专题 3.4 相似三角形的性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本初中数学讲义聚焦相似三角形的性质，系统梳理其基本性质（对应角相等、对应边成比例），性质定理（对应高、角平分线、中线、周长之比等于相似比，面积比等于相似比平方），延伸相似多边形性质，明确核心易错点，构建从基础到应用的学习支架。 该资料特色在于知识梳理结构化，题型分层设计，涵盖对应线段、周长面积、动点及图形变换综合题。通过实例培养几何直观与推理能力，易错点强调对应关系培养严谨思维，同步检测多样化题型助力课中教学与课后查漏补缺。

专题 3.4 相似三角形的性质（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】相似三角形基本性质 1 【知识点二】相似三角形性质定理（1） 2 【知识点三】相似三角形相似定理（2） 2 【知识点四】相似多边形的性质（延伸理解） 2 【知识点五】核心易错点 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】利用相似三角形对应线段、角平分线、中线、高线之比 2 【题型 2】相似三角形对应周长、面积之比 3 【题型 3】相似三角形性质与判定综合（基础） 4 三.题型精析（巩固提升） 4 【题型 4】相似三角形性质与判定综合 5 【题型 5】相似三角形性质与判定动点问题综合 6 【题型 6】相似三角形性质与判定与图形变换综合 7 四.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 10 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一.知识梳理解读 【知识点一】相似三角形基本性质 相似三角形对应角相等、对应边成比例 几何语言：如果 ，相似比为 ，则：（1）；（2）（ 为相似比）。 【知识点二】相似三角形性质定理（1） 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。 【知识点三】相似三角形相似定理（2） 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 【知识点四】相似多边形的性质（延伸理解） 相似多边形对应角相等，对应边成比例；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。三角形是特殊的多边形，因此完全适用以上性质。 【知识点五】核心易错点 1. 面积比一定要先求相似比，再平方，切忌直接将边长比当作面积比； 2. 所有线段比（高、中线、角平分线、周长）均等于相似比，只有面积比是平方关系； 3. 使用性质前必须找准对应边、对应高、对应角，非对应线段不满足比例关系； 4. 相似比有顺序： 与 的相似比互为倒数。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】利用相似三角形对应线段、角平分线、中线、高线之比 【例题1】（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，中，点是的中点，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式2】（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知，与的相似比为．若，则的长为_______． 【变式3】（25-26九年级上·广东湛江·期末）如图，在中，为边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【题型 2】相似三角形对应周长、面积之比 【例题2】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，求这两个三角形的周长分别是多少cm． 【变式1】（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，中，点，分别在上，且，下列结论正确的是（    ） A． B．与的面积比为 C．与的周长比为 D．与四边形的面积比为 【变式2】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）已知中，，，，，点在上（与、不重合），点在上．若的面积是四边形面积的时，则的长为______． 【变式3】（第4章图形的相似易错疑难集训5）两个相似三角形对应边的长分别为和，且两个三角形的面积差为．求较大三角形的面积． 【题型 3】相似三角形性质与判定综合（基础） 【例题3】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，点D是上一点，且，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，点是边上的一点，，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知在中，，，点分别在边上，，，那么的长为____________． 【变式3】（25-26九年级上·湖南·阶段检测）如图：中，是斜边上的高． （1）求证：； （2）若，，求的长． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 4】相似三角形性质与判定综合 【例题4】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． （1）求的长； （2）若交于点，求的长． 【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，是的平分线，且交于E，与相交于O，已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【题型 5】相似三角形性质与判定动点问题综合 【例题5】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，点P、D分别是边上的点，且． （1）求证：： （2）当，求的值． （3）若点K在边上且，点P以每秒1个单位从点B向终点C运动；请直接写出点K在内部的时间． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【变式2】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，，，，点P从A点出发沿向C点运动，速度为每秒，同时点Q从C点出发沿向B点运动，速度为每秒，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒，当t为_________时，与相似． 【变式3】（25-26九年级上·广西百色·期中）如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． （1）当t是多少时，； （2）四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． （3）能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 【题型 6】相似三角形性质与判定与图形变换综合 【例题6】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． （1）求证：； （2）若，，求与的相似比． 【变式1】（2026·山西·中考真题）如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，一张三角形纸片，其中，，．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则________． 【变式3】（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点E与的斜边的中点重合．将绕点E旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点P，射线与线段相交于点G，与射线相交于点Q． （1）求证：． （2）当，，求的长． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点、分别在的边、上，且，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如果两个相似三角形面积比为，则这两个相似三角形对应边的比为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，如果，，，那么的周长等于（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，点D、E分别在、上，且，那么下列比例式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接，，若，则的长是（    ） A．4 B．5 C．20 D．3.2 7．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（    ） A． B．12 C．8 D． 8．（2026·安徽蚌埠·三模）如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 10．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（     ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·四川成都·期中）若，且，则和对应边上的中线比为_____． 12．（24-25九年级上·上海·期中）已知，顶点、、分别与、、对应，若，，则________度． 13．（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，点分别在的边上，且，若，，，则的值为_______________．    14．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别为边和对角线上的点，．若，，则的长为_____． 15．（练习06相似三角形的判定-2020-2021学年【补习教材�寒假作业】九年级数学（沪科版））如图，中，，，，点是边上一点，将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处，若恰好和相似，则此时的长为______． 16．（2026·四川雅安·一模）如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 17．（2026·四川内江·三模）如图，正方形中，，点是边的中点，连接，与交于点，点在上，点在上，且．若，则______． 18．（2026·浙江嘉兴·二模）如下图，在中，平分交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接，若，则_____． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在中，为上一点，点在上，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在正方形中，E是边上的一点，F是的中点，且．求证：． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，点、分别在、上，平分，．如果，，，求和的长． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，平行四边形，连接，过点分别作，，垂足分别为，，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）解决下列问题： （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：； （2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 24．（本小题满分12分）（2026·上海·三模）如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 （1）求证：； （2）若，，求证：四边形是菱形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.4 相似三角形的性质（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】相似三角形基本性质 1 【知识点二】相似三角形性质定理（1） 2 【知识点三】相似三角形相似定理（2） 2 【知识点四】相似多边形的性质（延伸理解） 2 【知识点五】核心易错点 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】利用相似三角形对应线段、角平分线、中线、高线之比 2 【题型 2】相似三角形对应周长、面积之比 4 【题型 3】相似三角形性质与判定综合（基础） 7 三.题型精析（巩固提升） 9 【题型 4】相似三角形性质与判定综合 9 【题型 5】相似三角形性质与判定动点问题综合 13 【题型 6】相似三角形性质与判定与图形变换综合 18 四.同步检测 23 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 23 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 29 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 36 一.知识梳理解读 【知识点一】相似三角形基本性质 相似三角形对应角相等、对应边成比例 几何语言：如果 ，相似比为 ，则：（1）；（2）（ 为相似比）。 【知识点二】相似三角形性质定理（1） 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。 【知识点三】相似三角形相似定理（2） 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 【知识点四】相似多边形的性质（延伸理解） 相似多边形对应角相等，对应边成比例；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。三角形是特殊的多边形，因此完全适用以上性质。 【知识点五】核心易错点 1. 面积比一定要先求相似比，再平方，切忌直接将边长比当作面积比； 2. 所有线段比（高、中线、角平分线、周长）均等于相似比，只有面积比是平方关系； 3. 使用性质前必须找准对应边、对应高、对应角，非对应线段不满足比例关系； 4. 相似比有顺序： 与 的相似比互为倒数。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】利用相似三角形对应线段、角平分线、中线、高线之比 【例题1】（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 【答案】 【分析】利用题目条件推出，从而，代入值可得的长． 解：，， ， ， ，，， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，中，点是的中点，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．利用平行线的性质得到两组对应角相等，从而证明三角形相似，再结合中点条件得到相似比，进而求出线段的比值． 解：∵， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知，与的相似比为．若，则的长为_______． 【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的性质；根据相似三角形的性质，对应边成比例，由相似比为和，可求的长． 解：∵，相似比为， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式3】（25-26九年级上·广东湛江·期末）如图，在中，为边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由两组对应角相等的三角形相似直接判定即可得到答案； （2）由（1）中得到，代入值计算即可得到答案． 解：（1）证明：， ； （2）解：由（1）知， ∴， ， ∴， ． 【题型 2】相似三角形对应周长、面积之比 【例题2】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，求这两个三角形的周长分别是多少cm． 【答案】这两个三角形的周长分别是、． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，两个相似三角形的周长比等于相似比，由最长边之比得出相似比，再根据周长之和求解即可． 解：∵两个相似三角形的最长边分别是和， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的周长比为， ∵这两个相似三角形的周长之和为， ∴较小三角形的周长是， 较大三角形的周长是 答：这两个三角形的周长分别是、． 【变式1】（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，中，点，分别在上，且，下列结论正确的是（    ） A． B．与的面积比为 C．与的周长比为 D．与四边形的面积比为 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据题意得到，则可判断A；再证明，即可判断B、C、D． 解：， ，故A错误； 与的面积比为，故B和C错误； ， ， 又∵ ， ，与的面积比为，故B和C错误，D正确， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）已知中，，，，，点在上（与、不重合），点在上．若的面积是四边形面积的时，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质， 先得出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出的长 解：∵， ∴， ∵的面积是四边形面积的， ∴与的面积比为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2 【变式3】（第4章图形的相似易错疑难集训5）两个相似三角形对应边的长分别为和，且两个三角形的面积差为．求较大三角形的面积． 【答案】较大三角形的面积为 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 设较大三角形的面积是，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得到求解即可． 解：设较大三角形的面积是，则较小三角形的面积为． 由题意可得：，解得：． 答：较大三角形的面积为． 【题型 3】相似三角形性质与判定综合（基础） 【例题3】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，点D是上一点，且，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）证明，结合夹角相等即可证明； （2）由（1）中的相似得到对应线段成比例代入求解即可得到答案． 解：（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，即， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，点是边上的一点，，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据，，得，得，代入数据即可求出，即可作答． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知在中，，，点分别在边上，，，那么的长为____________． 【答案】/3.5 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等边对等角．解题的关键是证明三角形相似． 证明，列出比例式进行求解即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·湖南·阶段检测）如图：中，是斜边上的高． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，即可求证； （2）根据勾股定理可得，再由，即可求解． 解：（1）证明：是斜边上的高， ， ∵，． ∴． ∴， ∴， ∴； （2）解：在直角中，，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 4】相似三角形性质与判定综合 【例题4】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． （1）求的长； （2）若交于点，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据平分得，由等腰三角形的性质得，可得，即可证明，得到，求解即可； （2）由平行线的性质得到，有代入求得，结合即可． 解：（1）解：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ∴； （2）， ∴， ∵， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，是的平分线，且交于E，与相交于O，已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义，证得为等腰三角形，从而求出的长；再利用得出对应边成比例，进而求得的值． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【答案】 【分析】先利用矩形性质得到平行线与直角，推出一组等角，结合垂直得到另一组直角相等，证出与相似；再在直角三角形中用勾股定理算出斜边，最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长求出的长度． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【分析】（1）得出，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证； （2）先证出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 解：（1）证明：略． （2）解：∵是边的中点， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． 【题型 5】相似三角形性质与判定动点问题综合 【例题5】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，点P、D分别是边上的点，且． （1）求证：： （2）当，求的值． （3）若点K在边上且，点P以每秒1个单位从点B向终点C运动；请直接写出点K在内部的时间． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由题意可得，，可证； （2）由，可得，代入数值即可求出的长； （3）由，可得，点K在内部时，的临界值是，代入数值求出的长即可． 解：（1）证明：， ， ， ， 又， ， ； （2）解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴； （3）解：点K在内部时，的临界值是，设运动时间为t， ∵， ∴． ∵，，， ∴， 解得或， ∵点P以每秒1个单位从点B向终点C运动， ∴当或时，点K在内部． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意分类讨论：当时；当时；当时，设，则，可证，解得，；由此即可求解． 解：当时，， ∴； 当时，点重合，，此时与矛盾，不符合题意，舍去； 当时，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或， 故选：D ． 【变式2】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，，，，点P从A点出发沿向C点运动，速度为每秒，同时点Q从C点出发沿向B点运动，速度为每秒，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒，当t为_________时，与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，利用勾股定理求出的长，用含t的式子表示出的长，根据题意只存在和这两种情况，据此利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 解：∵在中，，，， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴当与相似时，只存在和这两种情况， 当时，则，即， 解得， 当时，则，即， 解得， ∵， ∴， ∴和都符合题意， 故答案为：或． 【变式3】（25-26九年级上·广西百色·期中）如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． （1）当t是多少时，； （2）四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． （3）能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）是，36；（3）或 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）用矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行求解即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 解：（1）解：∵矩形， ∴，， 由题意，， ∴， 当时，则，解得； （2）解：是定值； ∵， ∴， ∴四边形的面积 ； （3）解：能， ∵矩形， ∴，， 由题意，得， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 综上：当或时，能与相似． 【题型 6】相似三角形性质与判定与图形变换综合 【例题6】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． （1）求证：； （2）若，，求与的相似比． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∴， ， ∴， ∴． （2） 【分析】（1）因为是等边三角形，所以三个内角均为；又因为折叠前后对应角相等，所以，利用平角定义和三角形内角和定理，推导，结合，用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明相似． （2）首先由和的长度计算出的长度，即等边三角形的边长；根据折叠的性质得到，由，，得，得的周长为16，的周长11．进而得出相似比． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∴，， ∴， ， ∴的周长为16，的周长为11． ∵， ∴． 【变式1】（2026·山西·中考真题）如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形是正方形得，由点是的中点得，由平移得，进而得，得出，代换即可求出． 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由平移得， ∴， ∴, 又∵， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，一张三角形纸片，其中，，．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则________． 【答案】15 【分析】由三角形中位线定理求出；由勾股定理求出，证明，得出对应边成比例求出即可． 解：如图所示： 由折叠的性质得：是线段的垂直平分线， ∴是的中位线， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， 解得：，即， ∴， 故答案为：15． 【点拨】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点E与的斜边的中点重合．将绕点E旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点P，射线与线段相交于点G，与射线相交于点Q． （1）求证：． （2）当，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可知，，再由三角形外角的性质，得到，即可证明相似； （2）由相似三角形的性质，得到，再结合线段的中点，得出，进而得到，然后利用勾股定理，得出，进而得到，，最后再利用勾股定理，可求出的长，过点作于，在中，由勾股定理得，，然后根据即可求解． 解：（1）证明：和是两个等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ， （2）解：∵点E是的中点， ∴， ， ，且，， ， ， ， ，， ； 过点作于， ，， ， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形外角的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点、分别在的边、上，且，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据可证，根据相似三角形对应边成比例可得，再根据线段之间的关系求出的长度． 解：， ， ， ， ， ， ， ， . 故选：A. 2．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形对应边上高的比等于相似比即可求解． 解：∵相似三角形对应边上的高之比等于相似比， 又∵与的相似比为， ∴与对应边上的高之比为． 3．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如果两个相似三角形面积比为，则这两个相似三角形对应边的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可得结论． 解：∵相似三角形的面积的比等于相似比的平方． ∴两个相似三角形的面积之比为时，这两个相似三角形的对应边之比是． 故选：A． 4．（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，如果，，，那么的周长等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质及相似三角形的周长的比等于相似比的运用． 先求出等边三角形的周长，再根据三角形相似比得到周长比，从而求出周长． 解：∵等边三角形，， ∴． ∵点在边上，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．（23-24九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，点D、E分别在、上，且，那么下列比例式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，相似三角形的判定和性质，根据平行线截线段对应成比例、相似三角形的判定和性质逐一判断选项即可求解． 解：∵ ∴，，故A，C正确 ∵ ∴ ∴，故D正确， 不一定成立， 故选：B． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接，，若，则的长是（    ） A．4 B．5 C．20 D．3.2 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质可得，从而代入数值求出的值． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选B． 7．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（    ） A． B．12 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，，则，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 解：由题意可得：，，，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 8．（2026·安徽蚌埠·三模）如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理得出，，根据平行四边形的性质得出，，，进而得出，，证明可得出，即可求解． 解：∵，分别是边，上的中线， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】求出的长，证明得到，据此代入求值即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 10．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·四川成都·期中）若，且，则和对应边上的中线比为_____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，对应边上的中线比等于相似比． 解：∵，且， ∴ 相似比为， 又 ∵ 相似三角形对应边上的中线比等于相似比， ∴ 中线比为， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·上海·期中）已知，顶点、、分别与、、对应，若，，则________度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键． 利用三角形内角和求出的度数，再利用相似三角形的性质可得到的度数． 解：∵，， ∴ ∵，顶点、、分别与、、对应， ∴， 故答案为： 13．（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，点分别在的边上，且，若，，，则的值为_______________．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 先证明，再把数值代入即可求解． 解：∵，， ， ，即， ． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别为边和对角线上的点，．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先证出，根据相似三角形的性质可得，则，再根据平行四边形的性质求解即可得． 解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：． 15．（练习06相似三角形的判定-2020-2021学年【补习教材�寒假作业】九年级数学（沪科版））如图，中，，，，点是边上一点，将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处，若恰好和相似，则此时的长为______． 【答案】或． 【分析】先利用30º角直角三角形的性质求出斜边AB=4，再由勾股定理求直角边BC=2，当PA′∥AC和PA′⊥AB时两种情况证明三角形相似，利用相似，列出比例构造方程，求出AP即可 解：在中，，，， ，， ∵将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处， ∴AP=A′P， 设． ①如图1中，当PA′∥AC时， ，， ， ， ， ， ∴； ②如图2中，当PA′⊥AB时， ，， ∴， ， ， ， ∴， 综上所述，满足条件的值为或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形的性质，和相似三角形的判定方法，会利用相似三角形的性质构造方程，利用方程解决问题是关键 16．（2026·四川雅安·一模）如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得到，从而证得，利用相似三角形对应边成比例及已知线段比即可求解． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（2026·四川内江·三模）如图，正方形中，，点是边的中点，连接，与交于点，点在上，点在上，且．若，则______． 【答案】 【分析】连接，首先求出、的长，证明，可得，求出即可． 解：如图，连接， 四边形是正方形， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 18．（2026·浙江嘉兴·二模）如下图，在中，平分交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接，若，则_____． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，结合三角形外角的性质，角的和差关系可得出，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 解：∵平分交于点， ∴， ∵的垂直平分线交的延长线于点， ∴， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在中，为上一点，点在上，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）8 【分析】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，进而得到，根据相似的判定方法，证明； （2）根据相似三角形的性质可得，进而得到的长，从而求得的长． 解：（1）证明：， ， 、， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在正方形中，E是边上的一点，F是的中点，且．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 根据正方形的性质证得、，结合垂线的性质，证得，进而证得，根据相似三角形的性质证得，结合，从而得出结论． 解：证明：∵四边形是正方形， 、， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，点、分别在、上，平分，．如果，，，求和的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例，等角对等边， 先说明，可得，再代入数值求出，然后根据“等角对等边”得，接下来根据平行线分线段成比例得，则此题可解. 解：∵， ∴，， ∴， 即, 解得. ∵平分， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得. 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，平行四边形，连接，过点分别作，，垂足分别为，，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ． （2） 【分析】（1）利用平行四边形对角相等、垂直得直角相等，两角对应相等证三角形相似． （2）根据平行四边形的性质结合等角的余角相等等量代换证明，再由推出，进而证明，得到比例，代入数值计算． 解：（1）略 （2）解：已知四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）， ， ，即， ， ，即， ． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）解决下列问题： （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：； （2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）9 【分析】（1）证出即可； （2）先得出，再证出，求出的长，由此即可得． 解：（1）证明：略． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵， ∴． 24．（本小题满分12分）（2026·上海·三模）如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 （1）求证：； （2）若，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明：在平行四边形中，对角线交于点O， ，， ， ，即， ∴ 又， ； （2）证明：， ， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴, 即， 又∵四边形 为平行四边形， ∴四边形 是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，进一步得出，结合即可得出结论； （2）由，得到，由直角三角形两两个锐角互余得出，结合已知条件以及三角形内角和定理得出，即，再根据菱形的判定即可证明． 解：（1）略 （2）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $