第3周 周测试卷（范围：不等式的性质与基本不等式）- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦不等式性质与基本不等式，精选各地期中期末及高考真题，通过电子芯片利润计算、社区场所造价等真实情境，分层考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6/30|不等式性质、基本不等式最值|第4题考查充分不必要条件，强化逻辑推理| |多选|2/12|不等关系推理|第7题结合实数大小比较，培养严谨思维| |填空|2/10|最值及实际应用|第9题选用天津高考真题，对接高考趋势| |解答|3/48|范围确定、最值求法、实际建模|第13题以公司生产为情境，体现模型意识与应用能力|

高一上学期数学人教A版同步 高一数学备课组 2026-2027学年高一上学期 数学同步周周测 第3周 不等式的性质与基本不等式 （考试时间：70分钟，分值：100分） 班级：__________ 学号：__________ 姓名：__________ 分数：__________ 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由于，取特殊值验证，令， 计算可得此时，不满足； 对于B，由，不等式两边同时乘，不等式方向改变， 得与对应相乘，得，则， 对于C.取上述A中特殊值验证选项C，， 此时不满足题意大小关系，排除C； 对于D，由，不等式两边同时加,不等式方向不变，得， 由，不等式两边同时加，不等式方向不变，可得， 联立两个不等式得，因此 2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若正实数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】直接根据基本不等式的变形不等式可得. 【详解】因为正实数满足，由基本不等式， 当且仅当时等号成立，将代入得. 所以时，的最大值为4. 故选：B 3．（24-25高一上·河南南阳·阶段检测）已知，则取得最小值时的值为（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据基本不等式求最值，考查等号成立的条件即可求解. 【详解】，则，当且仅当，即时等号成立. 故选：A 4．（25-26高一上·河南·期末）a>b的一个充分不必要条件是（    ） A．a2>b2 B．|a|>|b| C． D．a－b>1 【答案】D 【分析】由不等式的性质结合充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】，，，则ABC错误； a－b>1⇒a－b>0而a－b>0⇏a－b>1，则D正确； 故选：D 5．（24-25高一下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【分析】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 6．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得，再利用基本不等式求的最小值，由此可得结论. 【详解】因为， 因为，，，所以， 所以. 又因为 ， 当且仅当即时取等号. 所以. 故选：D 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】根据不等式的性质，可通过特殊值法、作差法逐一验证选项的正确性. 【详解】对于选项A，取，满足，但，故选项A不正确； 对于选项B，因为，，所以，故选项B正确； 对于选项C，因为，所以，又，由不等式的性质，得，故选项C正确； 对于选项D，当，时，，故选项D正确. 8．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】AC 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，对平方后利用基本不等式判断；对于C，由，再结合基本不等式分析判断；对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由 ，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 9．（2026·天津卷·高考真题）的最小值为________． 【答案】9 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 10．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m. 【答案】 【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 四、解答题：本题共3小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测） （1）已知，，求，的范围. （2）已知，． (i)求y的取值范围； (ii)求的取值范围． 【答案】（1），. （2）(i)；(ii) 【详解】（1）因为，， 所以，所以， 因为，所以， 根据同向同正可乘性有：，所以. （2）(i)设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． (ii)设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 12．（24-25高一上·四川成都·阶段检测）（1） 已知 ， 求函数的最大值． （2）求函数的最小值. （3）已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解； （3）根据题意，结合，利用基本不等式，求得，转化为，即可求解. 【详解】解：（1）因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 又因为，所以函数 的最大值为． （2）因为，可得， 则， 当且仅当时，即时等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以， 因为恒成立，所以， 解得，所以实数的取值范围是. 13．（25-26高一上·四川广安·期中）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过40万件，每万件电子芯片的计划售价为18万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两部分，其中固定成本为35万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【答案】(1) (2)万件 【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式即可； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）根据题意得，当时，； 当时，， 故. （2）当时，，由二次函数的性质可知，当时， 取得最大值； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，故当时，即每年生产万件该芯片时，公司获得的年利润最大，为万元. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高一上学期数学人教A版同步 高一数学备课组 2026-2027学年高一上学期 数学同步周周测 第3周 不等式的性质与基本不等式 （考试时间：70分钟，分值：100分） 班级：__________ 学号：__________ 姓名：__________ 分数：__________ 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若正实数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．（24-25高一上·河南南阳·阶段检测）已知，则取得最小值时的值为（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 4．（25-26高一上·河南·期末）a>b的一个充分不必要条件是（    ） A．a2>b2 B．|a|>|b| C． D．a－b>1 5．（24-25高一下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 6．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 8．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 9．（2026·天津卷·高考真题）的最小值为________． 10．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m. 四、解答题：本题共3小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测） （1）已知，，求，的范围. （2）已知，． (i)求y的取值范围； (ii)求的取值范围． 12．（24-25高一上·四川成都·阶段检测）（1） 已知 ， 求函数的最大值． （2）求函数的最小值. （3）已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 13．（25-26高一上·四川广安·期中）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过40万件，每万件电子芯片的计划售价为18万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两部分，其中固定成本为35万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $