2.2 基本不等式 归纳练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念理解-应用深化-综合拓展”为主线，系统覆盖基本不等式的核心考法，提炼“1的妙用”“换元法”等实用技巧，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|2题|成立条件辨析、等号条件判断|从定义出发，夯实数学抽象基础| |比较大小|2题|作差法结合基本不等式|概念到性质的应用过渡| |证明不等式|3题|直接应用、“1”的代换|逻辑推理能力培养| |求最值|10题|配凑法、换元法、变量分离|核心应用，覆盖各类最值模型| |生活应用|2题|建模转化、均值比较|数学眼光观察现实问题| |几何应用|2题|面积体积建模、不等式求最优解|几何与代数结合的数学语言表达| |恒成立问题|4题|最值法求参数范围|综合应用，提升数学思维严谨性|

2.2 基本不等式 归纳练 2026-2027学年 上学期高中数学人教A版必修第一册 一、对基本不等式的理解 1．已知实数a和b，判断下列不等式中哪些是正确的． （1）；( ) （2）( ) （3）；( ) （4）；( ) （5）；( ) （6）；( ) （7）．( ) 2．不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 二、利用基本不等式比较大小 3．已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 4．设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 三、利用基本不等式证明不等式 5．已知x，y都是正数，且，求证 (1) (2) 6．已知，，且，求证：. 7．已知，，，且，证明： (1)； (2). 四、利用基本不等式求最值 8．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 9．若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 10．若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 11．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 12．已知，则的最大值为__________. 13．已知，若，则的最大值为__________． 14．已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为_______ 15．已知正数x、y满足，求的最小值为____________； 16．已知正实数x，y满足，则的最大值是______. 17．若实数满足，则的最大值为___________. 18．函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为________． 19．已知，. (1)若，求的最大值； (2)若，证明：. 五、基本不等式在生活中的应用 20．甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（    ） A．甲更合算 B．乙更合算 C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算 21．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（    ） 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左、右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长． A．等于 B．小于 C．大于 D．不确定 六、基本不等式在几何中的应用 22．某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      23．已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 七、基本不等式的恒成立问题 24．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．9 25．已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 26．已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 27． 已知，. (1)若不等式恒成立，求的最大值； (2)若，求的最小值. 参考答案 题号 2 3 4 8 9 10 11 20 21 24 答案 D B A B B C A A C D 题号 25 26 答案 B A 1． 正确 正确 错误 错误 错误 正确 正确 （1）由于，，所以不等式正确. （2）由于，，所以不等式正确. （3）当为负数时，不等式不成立，所以不等式错误. （4）当为负数时，不等式不成立，所以不等式错误. （5）当为负数时，不等式不成立，所以不等式错误. （6）依题意不为零，同号，，当且仅当时等号成立，所以不等式正确. （7） ，所以，所以不等式正确. 故答案为：（1）正确，（2）正确，（3）错误，（4）错误，（5）错误，（6）正确，（7）正确. 2．D 利用基本不等式的取等条件即可求解. 由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立， 故选：. 3．B 利用基本不等式计算出. 因为a、b为正实数， 所以，当且仅当时，等号成立， ，所以，当且仅当时，等号成立， 综上：. 故选：B 4．A 由基本不等式求得的范围，由二次函数性质求得的最大值后可得结论． 、为互不相等的正实数，则， 所以， ，时，， 所以． 故选：A． 5．(1)证明见解析 (2)证明见解析 （1）由基本不等式证明即可. （2）利用基本不等式结合不等式的性质证明即可. （1）证明：因为x，y都是正数，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 由于，所以 （2）因为x，y都是正数，且，所以， 又，所以， 即. 6． 因为，，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立. 故原题得证. 利用把化为，展开利用基本不等式求最值即可证明. 略 7．(1) 因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. (2) ， 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. （1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. （1）略 （2）略 8．B 使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 9．B 根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 10．C 对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 11．A 由题意得到关于的表达式，再利用换元法与基本不等式即可得解. 因为，， 所以，则， 由，得，令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用表示，从而将转化为关于的表达式，由此利用基本不等式即可得解. 12． 根据已知，利用基本不等式求解即可. 因为，， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以. 故答案为：. 13．2 利用基本不等式即可得到答案. 因为，所以，解得， 当且仅当即，时，等号成立． 所以的最大值为2. 故答案为：2 14．1 对目标函数进行配凑，利用基本不等式即可求得函数最大值. 因为x＜，所以5－4x＞0， 则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号． 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1. 故答案为：. 15．/ 利用1的妙用，由利用基本不等式求得结果. ， 当且仅当，即时取等号， 的最小值为. 故答案为：. 16．/ 由题可得代入，结合基本不等式即可得出答案. 由可得：， 则. 当且仅当，即时取等. 故答案为：. 17． 令，则，即， 所以， 当时，； 当时，， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 所以的最大值为. 故答案为：. 18．2 令x＋1＝t(t≥3)，则有＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解. 依题意， y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)， 设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增， 所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋(x≥2)取得最小值． 故答案为：2. 19．(1)9 (2) 证明：因为， 所以，又， 解得， 当且仅当时，等号成立. 故. （1）由运用基本不等式求乘积得最大值； （2）直接由基本不等式对已知等式进行放缩，证得结果. （1）因为，所以. ， 当且仅当，，时，等号成立， 故的最大值为9. （2）略 20．A 根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解. 设两次的单价分别是元/升， 甲加两次油的平均单价为，单位：元/升， 乙每次加油升，加两次油的平均单价为，单位：元/升， 因为，，， 所以，即， 即甲的平均单价低，甲更合算. 故选：A 21．C 设天平左臂长，右臂长，且，根据已知条件求出、的表达式，利用基本不等式比较与的大小关系，即可得出结论. 设天平左臂长，右臂长，且， 设天平右盘有克黄金，天平左盘有克黄金，所以， 所以，，则． 故选：C． 22．长为m，宽为m时总造价最低． 设处理池的长和宽分别为，，高为，表示出总造价的关系式，再利用基本不等式即可解出． 设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，， ， 当且仅当，又，即，时取到等号， 故长为m，宽为m时总造价最低． 23．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)米 （1）证明：因为，，当且仅当，时等号成立, 所以当且仅当，时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. （2）解：由于，当且仅当时等号成立， 令, 得， 即，故. 所以，当且仅当时等号成立. （3）解：做成的长方体的底面是一个边长为的正方形，高为. 所以. 由（2）中已证的不等式，可知， 当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立. 所以，因此， 综上所述，当米，长方体盒子的容积取到最大值立方米. 24．D 根据基本不等式即可求解最值，进而由即可求解. 因为，当且仅当且时取等号， 所以，整理得，解得，故正实数的最小值为9. 故选:D. 25．B 首先根据基本不等式得到，结合题意得到，即，再解不等式即可. ，当且仅当时等号成立， 解得，即. 因为不等式恒成立， 所以，即，解得. 故选：B 26．A 根据所给条件转化，利用均值不等式求最小值，再解关于的不等式，即可得解. 因为，，且， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得， 所以整数可取、，共个. 故选：A 28． (1)12； (2)4. （1）对给定不等式分离参数，再利用1的妙用求出最小值作答. （2）变形给定等式，利用均值不等式建立并解一元二次不等式作答. （1）因为，，则， 而，当且仅当，即时取等号， 依题意，不等式恒成立，于是 所以m的最大值为12. （2）若，，，则， 当且仅当，即，时取等号， 于是，而，解得， 所以的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $