2.4.1 圆的标准方程（讲义，知识点&4大题型&刷好题）高二数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦“圆的标准方程”核心知识点，前承直线方程知识，后启圆的一般方程及位置关系学习。通过圆的定义推导标准方程，明确圆心半径与方程的对应关系，总结特殊位置圆的方程形式，构建点与圆位置关系的判定方法，形成完整的知识支架。 资料以数学思维为核心，通过方程推导培养逻辑推理能力，结合圆拱桥等实际问题渗透模型观念，助力学生用数学语言表达现实世界。随学随练与分层题型设计，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升数学应用能力。

司 第二章 直线和圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 课标要点 1.理解圆的定义，推导并掌握圆的标准方程，明确圆心坐标、半径与方程的对应关系。 2.能根据圆心、半径条件直接写出圆的标准方程，也能由标准方程读出圆心与半径。 3.掌握利用待定系数法求解圆的标准方程的方法，能结合已知点、几何条件列方程求值。 4.理解点与圆的位置关系，掌握通过距离或代数式子判定点在圆内、圆上、圆外的方法。 5.体会解析几何数形结合思想，能用圆的标准方程解决简单的几何计算与判定问题。 学习重难点 重点： 1.圆的标准方程的结构形式，圆心、半径与方程的对应关系。 2.已知条件求圆的标准方程，熟练运用待定系数法求解参数。 3.点与圆位置关系的两种判定方法（几何法、代数法）。 难点： 1.结合几何隐含条件（直径、垂直、对称、距离关系）挖掘圆心与半径，灵活求圆的方程。 2.含参数条件下圆的方程求解，分类讨论圆心位置与半径取值。 知识点 圆的标准方程 1、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆． 如图，在平面直角坐标系中，⊙的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，⊙就是集合．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径． 2、圆的标准方程：我们把称为圆心为，半径长为的圆的标准方程． 特别提醒 （1）所谓标准方程，是指方程的形式．它的优点在于明确指出了圆心位置和半径． （2）圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程． 3、圆的标准方程的推导过程 （1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为是定点，设，半径为，且设圆上任意一点的坐标为． （2）写点集：根据定义，圆就是集合． （3）列方程：由两点间的距离公式得． （4）化简方程：将上式两边平方得． 4、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 随学随练 1．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为.故选：B 2．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）圆心为，半径为4的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆心为，半径为4的圆的标准方程为．故选：C. 知识 点与圆的位置关系 1、点与圆的位置关系 如图所示，点与的位置关系分别是：点在圆外、点在圆上、点在圆内． 设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点在圆外；点在圆上，点在圆内． 2、点与圆的位置关系的判断方法 点，圆心，圆的半径，设与点间的距离． 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 点在圆上 点在圆上 点在圆内 点在圆内 点在圆内 点在圆外 点在圆外 点在圆外 随学随练 1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对A：因为，所以点在圆内； 对B：因为，所以点在圆内； 对C：因为，所以点在圆上； 对D：因为，所以点在圆外.故选：AB 2．（25-26高二上·四川南充·期中）（多选）若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由点在圆：的外部，得， 解得或，则实数可能的值为，，.故选：ABD 拓展 与圆有关的对称问题 1、圆的对称性：圆关于直径所在的直线轴对称；圆关于圆心中心对称． 2、圆关于点对称 （1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． （2）求两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3、圆关于直线对称 （1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． （2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线． 活学活用 1．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为____． 【答案】 【解析】圆圆心为半径为1， 所以圆关于原点对称的圆的圆心为半径为1， 所以圆关于原点对称的圆的方程为. 故答案为：. 2．（25-26高二上·山东·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为5， 设圆心关于直线对称点坐标为， 由题意得，解得，即对称圆的圆心为， 所以圆C关于直线对称的圆的方程为.故选：B 题型 求圆的标准方程 ▌例1 （25-26高二上·辽宁·阶段检测）以点，点为直径的两个端点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆的定义知圆心为线段的中点，即为，半径为， 所以圆的方程为．故选：D 解题贴士 求圆的标准方程的方法 1、待定系数法（代数法）：根据条件设出圆的标准方程，再由题目给出的条件，列出关于的方程组，求出代入标准方程． （2）直接法（几何法）：根据圆的几何性质，直接求得圆心坐标和半径．利用圆内两条弦的中垂线的交点为圆心，圆心与圆上任一点的长度为半径求解． ▌对点练1-1 （25-26高二上·北京·月考）圆心是，且过点的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为该圆的圆心是，且过点，所以半径为； 所以圆的标准方程是.故选：A ▌对点练1-2 （24-25高二上·江苏南京·阶段检测）以点为圆心，且与轴相切的圆的方程是_____. 【答案】 【解析】以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为， 所以圆的方程为， 故答案为：. ▌对点练1-3 （25-26高二上·河南新乡·阶段检测）求满足下列条件的圆的方程： (1)经过点，，且圆心在直线上． (2)圆心在轴上，半径为，且经过点． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）因为圆心在上，所以设圆心为， 因为圆过点， 所以，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. （2）设圆心为，因为圆的半径为且过， 所以，解得或， 所以圆的方程为或. 题型 点与圆的位置关系 ▌例2 （25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是.故选：C. 解题贴士 利用点到圆心的距离与半径的大小关系判定位置，将点坐标代入距离公式算出点心距，距离大于半径则点在圆外、等于半径则点在圆上、小于半径则点在圆内，也可直接代入圆的标准方程通过式子正负快速判定，解题时注意统一比较半径平方规避开方运算，简化计算同时避免大小比较失误． ▌对点练2-1 （25-26高二上·甘肃白银·期末）已知点在圆内，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】由题知，解得. ▌对点练2-2 （25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【解析】， 在圆外，故选：C. ▌对点练2-3 （2026·广东深圳·三模）已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若点在圆外，则，所以. 若点在圆外，则，所以. 显然是的真子集， 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 题型 与圆有关的最值问题 ▌例3 （25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（   ） A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【解析】圆：的圆心，半径， 所求的最短距离为.故选：A 解题贴士 设圆心到定点的距离为，圆的半径为，圆上的动点为点． （1）若点在圆外时，，； （2）若点在圆上时，，； （3）若点在圆内时，，． 综上：，． ▌对点练3-1 （25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【解析】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. ▌对点练3-2 （25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】依题意，点在圆外，圆的圆心为，半径为， 如图，，因为， 当三点共线且在之间时取等号；所以的最大值为8.故选：C. ▌对点练3-3 （25-26高二上·辽宁大连·期中）已知是圆上一动点，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】可得，， 令，解得，即直线过定点， 该定点到圆心距离是， 圆的半径是，于是到圆上一点的最大距离是. 此时，直线方程为， 由于不可能表示， 所以点到直线的距离没有最大值， 由于直线过的定点在圆外，该直线有可能和圆相切， 和切点重合时，最小距离是 故到直线的距离的取值范围是.故选：D 题型 圆方程的综合应用 ▌例4 （24-25高二上·广东广州·期末）某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度，拱高，建造时每间隔3m需要用一根支柱支撑，则_______m. 【答案】3 【解析】如图：建立平面直角坐标系. 设过点的圆的方程为：. 因为点，在圆上， 所以，解得. 所以圆的方程为：. 令得：. 又，所以. 解题贴士 解决与圆有关的实际应用问题的一般步骤 1、审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据． 2、建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程． 3、求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解． 4、还原：将运算结果还原为对实际问题的解释． ▌对点练4-1 （25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊．如今人行道两侧进行了加宽，建成了“彩虹桥”（图1），非常漂亮．桥上一圆拱形的结构跨度，拱高．在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，，为其中的两根支柱(图2)，且，则支柱的高度为（    ） A．7.5 B．8.5 C．7 D．8 【答案】C 【解析】以为原点，建立平面直角坐标系，如图： 设该圆弧所在圆为圆． 将的坐标代入圆的方程，得，解得， ∴圆． 当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7．故选：C． ▌对点练4-2 （25-26高二上·安徽·阶段检测）有一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面4米，水面宽16米，当水面上涨2米后，水面宽是（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】A 【解析】建立平面直角坐标系如图，则， 可知圆心在y轴负半轴上，设为， 则，即，解得， 即圆心为，半径， 可得桥拱所在圆的方程为， 令，可得，解得， 所以水面宽是12米．故选：A. ▌对点练4-3 （25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（    ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【答案】B 【解析】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：；， 解得，. 故圆的方程为， 令，解得（负根舍去），， 可得题目数据中能安全过桥的最高值为3.1（米）.故选：B 基础通关 1．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）方程表示的图形是（    ） A．直线 B．圆 C．点 D．线段 【答案】C 【解析】方程,则,解得：, 所以方程表示的图形是点；故选：C 2．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）圆C的圆心坐标和半径分别是（    ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 【答案】C 【解析】由题意可知圆的圆心坐标为，半径是2.故选：C. 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知圆的圆心为， 因为圆的对称轴必过圆心，所以，解得. 4．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的面积最小时线段为直径， 圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 5．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在圆内部， 所以，解得.故选：C. 6．（25-26高二上·新疆喀什·期中）圆心为，半径为的圆关于原点对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点关于原点的对称点的坐标为， 所以圆心为，半径为的圆的标准方程为.故选：D. 7．（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，设点关于直线的对称点为， 则解得 故所求圆的方程为．故选：A． 8．（25-26高二上·天津红桥·阶段检测）已知点，，则以为直径的圆的方程为______． 【答案】 【解析】由题意知，圆心为线段的中点，坐标为，即. 因为为直径，所以半径， 所以圆的标准方程为：. 9．（25-26高二上·湖北·期末）已知为圆上一个动点，为坐标原点，且在圆外部，的最小值为3，则_______. 【答案】2 【解析】圆的圆心为，半径为， 则， 而，所以. 10．（23-24高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆过点，． (1)求周长最小的圆的标准方程； (2)求圆心在直线上的圆的标准方程； 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小， 即圆心为线段AB的中点，半径为． 则所求圆的标准方程为． （2）由题意可知，圆心在AB的垂直平分线上， 由（1）知AB的中点，斜率为， ∴AB的垂直平分线为，即， 又∵圆心也在直线上，∴圆心是这两条直线的交点， ∴ ，解得，即圆心的坐标是， ∴半径， ∴所求圆的标准方程是． 素养提升 11．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）已知是圆上任意一点，则的值是（    ） A． B． C．7 D． 【答案】C 【解析】由题意得， 其中，分别表示点到直线和的距离， 由两条直线与圆均相离， 如图所示两直线平行且和的距离为， 所以.故选：C. 12．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，，射线AO是∠BAC的角平分线，则△ABC面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】AO是∠BAC的角平分线，， 设，则，两边平方化简得， 故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆（除去与轴的交点）. ，又，.故选：C. 13．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点为圆上的动点：为坐标原点，则面积的最小值为__________. 【答案】 【解析】由，令，即，解得，即， 所以，， 所以直线的方程为：， 又圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离为：， 所以点到直线的距离的最小值为：， 所以面积的最小值为. 14．（25-26高二上·福建·阶段检测）若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为__________. 【答案】/ 【解析】由圆，可得圆心，半径为， 又由，可得圆心，半径为， 设圆心关于直线的对称点为，可得， 因为关于，则， 则， 因为，所以， 当且仅当三点共线时，取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 15．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过，两点． (1)求圆的方程； (2)设，点为圆上的动点，求证：为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设，圆的方程为，圆过，， ，，解得，， 圆的方程为. （2）设，则，， ， ，， ， ，为定值得证. 迁移创新 16．（25-26高二上·吉林·期末）已知实数，满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 设，， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故选：D. 17．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为.故选：D 18．（25-26高二上·贵州黔南·阶段检测）在中，为坐标原点，、，则内切圆的标准方程为________. 【答案】 【解析】由题意可知，直线的方程为，即， 由题意可知的角平分线所在直线的方程为，如下图所示： 设内切圆圆心为，则圆的半径为， 所以圆心到直线的距离为， 整理可得，因为，解得， 故圆心为，圆的半径为， 所以内切圆的标准方程为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第二章 直线和圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 课标要点 1.理解圆的定义，推导并掌握圆的标准方程，明确圆心坐标、半径与方程的对应关系。 2.能根据圆心、半径条件直接写出圆的标准方程，也能由标准方程读出圆心与半径。 3.掌握利用待定系数法求解圆的标准方程的方法，能结合已知点、几何条件列方程求值。 4.理解点与圆的位置关系，掌握通过距离或代数式子判定点在圆内、圆上、圆外的方法。 5.体会解析几何数形结合思想，能用圆的标准方程解决简单的几何计算与判定问题。 学习重难点 重点： 1.圆的标准方程的结构形式，圆心、半径与方程的对应关系。 2.已知条件求圆的标准方程，熟练运用待定系数法求解参数。 3.点与圆位置关系的两种判定方法（几何法、代数法）。 难点： 1.结合几何隐含条件（直径、垂直、对称、距离关系）挖掘圆心与半径，灵活求圆的方程。 2.含参数条件下圆的方程求解，分类讨论圆心位置与半径取值。 知识点 圆的标准方程 1、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆． 如图，在平面直角坐标系中，⊙的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，⊙就是集合．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径． 2、圆的标准方程：我们把称为圆心为，半径长为的圆的标准方程． 特别提醒 （1）所谓标准方程，是指方程的形式．它的优点在于明确指出了圆心位置和半径． （2）圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程． 3、圆的标准方程的推导过程 （1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为是定点，设，半径为，且设圆上任意一点的坐标为． （2）写点集：根据定义，圆就是集合． （3）列方程：由两点间的距离公式得． （4）化简方程：将上式两边平方得． 4、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 随学随练 1．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）圆心为，半径为4的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 知识 点与圆的位置关系 1、点与圆的位置关系 如图所示，点与的位置关系分别是：点在圆外、点在圆上、点在圆内． 设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点在圆外；点在圆上，点在圆内． 2、点与圆的位置关系的判断方法 点，圆心，圆的半径，设与点间的距离． 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 点在圆上 点在圆上 点在圆内 点在圆内 点在圆内 点在圆外 点在圆外 点在圆外 随学随练 1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川南充·期中）（多选）若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 拓展 与圆有关的对称问题 1、圆的对称性：圆关于直径所在的直线轴对称；圆关于圆心中心对称． 2、圆关于点对称 （1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． （2）求两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3、圆关于直线对称 （1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． （2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线． 活学活用 1．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为____． 2．（25-26高二上·山东·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型 求圆的标准方程 ▌例1 （25-26高二上·辽宁·阶段检测）以点，点为直径的两个端点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 求圆的标准方程的方法 1、待定系数法（代数法）：根据条件设出圆的标准方程，再由题目给出的条件，列出关于的方程组，求出代入标准方程． （2）直接法（几何法）：根据圆的几何性质，直接求得圆心坐标和半径．利用圆内两条弦的中垂线的交点为圆心，圆心与圆上任一点的长度为半径求解． ▌对点练1-1 （25-26高二上·北京·月考）圆心是，且过点的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2 （24-25高二上·江苏南京·阶段检测）以点为圆心，且与轴相切的圆的方程是_____. ▌对点练1-3 （25-26高二上·河南新乡·阶段检测）求满足下列条件的圆的方程： (1)经过点，，且圆心在直线上． (2)圆心在轴上，半径为，且经过点． 题型 点与圆的位置关系 ▌例2 （25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 利用点到圆心的距离与半径的大小关系判定位置，将点坐标代入距离公式算出点心距，距离大于半径则点在圆外、等于半径则点在圆上、小于半径则点在圆内，也可直接代入圆的标准方程通过式子正负快速判定，解题时注意统一比较半径平方规避开方运算，简化计算同时避免大小比较失误． ▌对点练2-1 （25-26高二上·甘肃白银·期末）已知点在圆内，则实数的取值范围为__________. ▌对点练2-2 （25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 ▌对点练2-3 （2026·广东深圳·三模）已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型 与圆有关的最值问题 ▌例3 （25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（    ） A． B．4 C．8 D． 解题贴士 设圆心到定点的距离为，圆的半径为，圆上的动点为点． （1）若点在圆外时，，； （2）若点在圆上时，，； （3）若点在圆内时，，． 综上：，． ▌对点练3-1 （25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 ▌对点练3-2 （25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 ▌对点练3-3 （25-26高二上·辽宁大连·期中）已知是圆上一动点，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型 圆方程的综合应用 ▌例4 （24-25高二上·广东广州·期末）某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度，拱高，建造时每间隔3m需要用一根支柱支撑，则_______m. 解题贴士 解决与圆有关的实际应用问题的一般步骤 1、审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据． 2、建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程． 3、求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解． 4、还原：将运算结果还原为对实际问题的解释． ▌对点练4-1 （25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊．如今人行道两侧进行了加宽，建成了“彩虹桥”（图1），非常漂亮．桥上一圆拱形的结构跨度，拱高．在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，，为其中的两根支柱(图2)，且，则支柱的高度为（    ） A．7.5 B．8.5 C．7 D．8 ▌对点练4-2 （25-26高二上·安徽·阶段检测）有一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面4米，水面宽16米，当水面上涨2米后，水面宽是（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 ▌对点练4-3 （25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（    ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 基础通关 1．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）方程表示的图形是（    ） A．直线 B．圆 C．点 D．线段 2．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）圆C的圆心坐标和半径分别是（    ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·新疆喀什·期中）圆心为，半径为的圆关于原点对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·天津红桥·阶段检测）已知点，，则以为直径的圆的方程为______． 9．（25-26高二上·湖北·期末）已知为圆上一个动点，为坐标原点，且在圆外部，的最小值为3，则_______. 10．（23-24高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆过点，． (1)求周长最小的圆的标准方程； (2)求圆心在直线上的圆的标准方程； 素养提升 11．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）已知是圆上任意一点，则的值是（    ） A． B． C．7 D． 12．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，，射线AO是∠BAC的角平分线，则△ABC面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点为圆上的动点：为坐标原点，则面积的最小值为__________. 14．（25-26高二上·福建·阶段检测）若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为__________. 15．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过，两点． (1)求圆的方程； (2)设，点为圆上的动点，求证：为定值． 迁移创新 16．（25-26高二上·吉林·期末）已知实数，满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·贵州黔南·阶段检测）在中，为坐标原点，、，则内切圆的标准方程为________. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $