27.2（第1课时）反比例函数的图象和性质（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的图象和性质，通过矩形面积问题情境引入，类比一次函数、二次函数的研究方法，引导学生从已学函数知识自然过渡到新知探究，搭建完整的学习支架。 其亮点在于以情境问题激发数学眼光，通过描点法画图象培养几何直观，典例精析中正反辨析强化推理意识，表格系统总结性质形成模型观念。学生能深化对函数本质的理解，教师可高效开展探究式教学。

人教版(新教材) 九年级上册 27.2(第1课时) 反比例函数的图象和性质 第二十七章 反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 矩形的面积一定时，矩形的长和宽成什么关系？ 如果把矩形的一个顶点固定，拖动这个固定顶点的对角顶点，拖动时必须保证矩形的面积不变，猜猜看，这个对角顶点的运动轨迹会是什么图象呢？ 与研究一次函数、二次函数的图象和性质类似，在建立反比例函数的概念后，我们类比上述函数图象和性质的研究方法，研究反比例函数的图象和性质. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如何画函数 的图象. 回顾：描点法画函数图象的步骤 列表：在自变量的取值范围内，列表表示几对 x 与 y 的对应值. 描点：以表中各对对应值为点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点. 连线：按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点并向两端延伸. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 x … … −12 −6 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 6 12 … … 列表表示几组x与y的对应值如下： y= x 6 −0.5 −1 −1.5 −2 −3 −6 6 3 2 1.5 1 0.5 函数 所在象限 增减性 第一、三象限 x>0时，y 随 x 的增大而减小x<0时，y 随 x 的增大而减小 y= x 6 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 函数 的图象与坐标轴会相交吗？ y= x 6 因为x≠0，y≠0，所以图象不会与x轴，y轴相交. 事实上，两坐标轴是函数图象的渐近线. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 1. 该反比例函数图象由 条曲线组成. 2. 该图象位于 象限. 3. 在每个象限内，函数值y随着自变量x的 增大而 . 4. 猜想：当k>0时，反比例函数的图象位置和增减性. 两 第一，三 减小 图象位于第一、三象限， 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 你能类比画出函数 的图象吗？ 反比例函数的图象和性质 图象由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限， 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 反比例函数 (k＞0) 的图象和性质： 这个条件可以删去吗？为什么？ x y o 不能，因为k>0时，第一象限图象对应的y值永远大于第三象限图象对应的y值. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如何画函数的图象? x … … −6 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 6 12 … … 0.5 1 1.5 2 3 6 −6 −3 −2 −1.5 −1 −0.5 1. 该反比例函数图象由 条曲线组成. 2. 该图象位于 象限. 3. 在每个象限内，函数值y随着自变量x的 增大而 . 4. 猜想：当k<0时，反比例函数的图象位置和增减性. 两 第二，四 增大 图象位于第二、四象限， 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 反比例函数的图象和性质 反比例函数 (k<0) 的图象和性质： 这个条件可以删去吗？为什么？ 不能，因为k<0时，第二象限图象对应的y值永远大于第四象限图象对应的y值. 图象由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限， 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. x y o 待定系数法 图象 位置 增减性 图象的发展趋势 k>0 k<0 两支曲线分别位于第一，三象限 两支曲线分别位于第二，四象限 在每一象限内,y随x的增大而减小 在每一象限内,y随x的增大而增大 无限接近于x,y轴，但永远不能于x,y轴相交 x y o x y o 一般地，反比例函数 的图象是两支双曲线，它具有以下性质： 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 1.函数的图象在第 象限，在每一象限内，y 随x 的增大而 . 2.函数的图象在第 象限，在每一象限内，y 随x 的增大而 . 3.函数 ，当x>0时，图象在第 象限，y随x 的增而 . 一、三 二、四 一 减小 增大 减小 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 双曲线是中心对称图形么？是轴对称图形吗？如果是，请指出对称轴. 中心对称：反比例函数的图象关于原点对称 轴对称：反比例函数的图象关于第一，三象限角平分线(直线y=x或直线y=−x)对称. k值相反的两个反比例函数的图象关于x轴，y轴对称. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 观察如图所示的反比例函数的图象，你能发现k值和反比例函数图象离原点的远近有何关系？ 反比例函数∣k∣越大， 反比例函数的图象离原点越远. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 关于反比例函数 ，下列说法正确吗？ 函数图象在第一、三象限. 正确.因为反比例函数 当x>0时，y的值随x的增大而减小. 正确.当x>0时，函数图像位于第一象限，y的值随x的增大而减小. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 关于反比例函数 ，下列说法正确吗？ 当x>−1时，y<−3. 若点(a,b)在它的图象上，则点(b,a)也在该图象上 当x=−1时，y=−3.，∵当x<0时，图象在第三象限，y随x的增大而减小， ∴当−1<x<0时，y<−3，又∵当x>0时，y>0， ∴当x>−1时，y的取值范围是y<−3或y>0，故该说法错误. 若点(a,b)在函数图象上，则 ，即ab=3，∴ ， 即点(b,a)也在该函数图象上，故正确． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是(2,5)， ∴点B的坐标为(−2,−5)． 如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点A(2,5)，求点B的坐标. 反比例函数和正比例函数的图象都是中心对称图形，因此它们的交点也是关于原点中心对称的. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于哪些象限？ 解：∵函数的图象位于第二､四象限， ∴， 解得， ∴ ， 根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一､三象限， ∴反比例函数的图象位于第一､三象限． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知反比例函数（为常数）． (1)若点A(1,2)在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围. (1)解：∵点A(1,2)在反比例函数的图象上， ∴，解得=7． (2)解：∵反比例函数的每一支上，y随x的增大而减小， ∴>0，解得>5． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知点 (a−1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 (k＞0)的图象上,若y1＜y2， 求a的取值范围. 解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小. ① 当这两点在图象的同一支上时， ∵y1＜y2，∴a−1＞a+1， 无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时， ∵y1＜y2，∴必有 y1＜0＜y2. ∴a−1＜0，a+1＞0， 解得：−1＜a＜1.故 a 的取值范围为：−1＜a＜1． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)解：把点A(−2,a)代入y1=−x+1，得 ， ∴ ， 把点A(−2,3)代入，得，解得−6， ∴反比例函数的表达式为； 在平面直角坐标系中，依次列表、描点、用平滑的曲线分别连接，即可得到反比例函数的图象； 如图为一次函数y1=−x+1的图象，它与反比例函数的图象交于点A(−2,a),B(3,b)． (1)求反比例函数的表达式，在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)连接OA,OB ，求出△OAB的面积． (2)解：如图，设一次函数与x轴交于点C， 令y1=0，则−x+1=0，解得x=1， ∴ ， 又A(−2,3),B(3,−2)， ∴ ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，矩形 ABCD 的顶点 A 和对称中心均在反比例函数 (k≠0，x＞0)上，若矩形 ABCD 的面积为12，求k 的值. 解：设矩形的对称中心为 E，连接 OA、OE，过 E 作EF⊥OC ，垂足为 F， ∵点 E 是矩形 ABCD 的对称中心， ∴BF=FC= BC，EF= AB， 设 OB=a，AB=b，∵ABCD 的面积为12， ∴BC= ，BF=FC= ， ∴点 E(a+ ， b)，∵S△AOB=S△EOF= k， ∴ ab= (a+ )× b= k，即 ab=6=k. E F 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 形状 位置 增减性 对称性 双曲线 1、k>0时，两支曲线分别位于第一，三象限； k<0时，两支曲线分别位于第二，四象限； 2、图象无限接近于x，y轴，但永远不能与x，y轴相交. 3、|k| 越大，反比例函数的图象离原点越远. k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小； k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大. 1、中心对称：反比例函数的图象关于原点对称； 2、轴对称：反比例函数的图象关于第一，三象限角平分 线(直线y=x或直线y=−x)对称. 3、k值相反的两个反比例函数的图象关于x轴，y轴对称. 反比例函数的 图象和性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 解： ， ∴此函数图象在二、四象限，故选：A． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 解：当 时， ，其图象在第一象限； 当 时， ，其图象在第二象限． 故选：B． 定义新运算 例如： ．则函数 的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 详解 已知函数 y＝ax−b与 的图象如图所示，则二次函数 y＝ax2＋bx＋c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B． C． D． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 解：观察函数图象可知：a<0，b<0，c>0， ∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，对称轴直线 ，与轴的交点在y轴正半轴．∴y＝ax2＋bx＋c二次函数的图象可能是A. 详解 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解：由题图可知，当=1时，，即， 当=3时， < 2， 即< 6， < 6． 选项中只有4在此范围内，∴的值可能为4． 反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解：对于反比例函数 ， 当=1时，1，∴点(1,−1)不在它的图象上，故A错误； ∵1>0， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大反而减小， 故B错误，C错误； 由反比例函数的对称性可知，图象的两个分支关于原点对称，故D正确． 关于反比例函数 的图象，下列说法中正确的是（     ） A．点(1,−1)在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解：将点(−2,3)代入， 得 ， ， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，∴当时，函数图象位于第四象限，因此y随x的增大而增大. 已知反比例函数，点(−2,3)在这个函数的图象上，那么当>0时，y随x的增大而______．（增大或减小） 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解：把A(4,1)代入，得=4，∴该反比例函数表达式为， 当时，解得x=1， ∵， ∴函数图象在第一、三象限，且在每一象限内，随x的增大而减小， ∴当时，x0或x>1． 反比例函数 的图象经过点A(4,1)，当时，x的取值范围是________． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 x ... ... −4   −2   −1   1   2   4   ... ... 填表并用描点法在平面直角坐标系中画出反比例函数 的图象． −2 −1 −0.5 2 1 0.5 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 (1)解：∵A点的横坐标为−2，∴A点的纵坐标为−(−2)＋2=4，即A(−2,4)， 设反比例函数的解析式为， 将A(−2,4)代入，得：=−8，∴； 如图，已知一次函数 y＝−x＋2的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且A点的横坐标与B点的纵坐标都是−2． (1)求反比例函数的解析式；(2)求△OAB的面积. (2)解：如图，连接OA,OB，设直线与x轴的交点为D， 当 y＝−x＋2=0时，解得x=2，即D(2,0)， ∴ ．