27.3实际问题与反比例函数（第3课时）（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“建立反比例函数模型解决实际问题”，通过回顾前两节课基于公式的精确建模，引出本节课利用实验数据的近似建模，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生掌握完整建模流程。 其亮点在于以气体压强与体积关系为情境，通过绘制散点图培养几何直观（数学眼光），用平均法计算k值发展运算与推理能力（数学思维），结合密度、电流等跨学科实例强化模型意识（数学语言）。知识小结明确五步建模步骤，学生能结构化掌握方法，教师可直接使用实例与流程提升教学效率。

第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数 第3课时 建立反比例函数模型解决实际问题 学 习 目 标 1 2 3 能根据实验数据绘制散点图，通过散点图判断变量之间的近似反比例函数关系； 掌握用 平均法确定反比例函数系数k的方法，建立近似反比例函数模型； 能区分精确建模与近似建模的差异，掌握建立函数模型解决实际问题的完整步骤. 新课引入 回顾 1.力学、几何、经济、功、行程等问题 2.根据已知的物理公式、几何公式等明确的等量关系，直接推导得到精确的函数解析式 1.前两节课我们学习了用反比例函数解决哪些类型的实际问题？ 2.我们是如何建立这些问题的反比例函数模型的？ 3. 反比例函数的图象形状是什么？ 今天我们就以气体压强与体积的关系为例，探究如何通过实验数据判断变量之间的函数关系，又如何建立对应的函数模型. 3.双曲线 新知探究 一、绘制散点图，分析变量变化趋势 情境 某物理实验小组研究气体的压强 （单位：）与体积 （单位：）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了 6 组数据. 序号 体积 压强 想一想 如何判断压强与体积是否纯在一定关系呢？ 问题1：气体的压强与体积是否存在一定的函数关系？ 先画散点图，初步判断这些点的分布特点 新知探究 绘制散点图 想一想 这些点的分布有什么规律？ ①体积V减小，压强p增大； ②点的分布近似双曲线的一支 规律 猜想：压强p与体积V可能成反比例函数关系 新知探究 探究 如果设，如何确定k的值？ 小组讨论：每组数据都可以求出一个值，用哪个值更合适？ 计算每组数据对应的值： 计算的平均值： 得到函数模型： 二、建立模型，计算参数 新知探究 探究 三、检验模型，验证合理性 这个函数模型是否符合实际情况？如何检验？ 方法1 将已知数据代入解析式，检验是否近似满足 方法2 画出函数图象，观察与散点图的吻合程度 想一想 估计当压强为132 𝑘𝑃𝑎时，气体的体积为多少？ 将代入 解得： 知识小结 思考 解题一般步骤： 建立函数模型解决实际问题的步骤一般是什么？ 1.收集数据：通过实验或调查获取数据 2.画散点图：观察点的分布，判断函数类型 3.建立模型：设函数解析式，求参数值 4.检验模型：验证模型与实际的吻合程度 5.解决问题：利用模型解决实际问题 新知巩固 建立反比例函数模型解决问题 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变。测得体积V（单位：m³）与密度ρ（单位：kg/m³）的对应数据如下： (1)建立ρ关于V的函数模型； 【分析】根据公式 质量 = 密度 × 体积（），当气体质量一定时，密度与体积 成反比例关系. 计算每组数据的 值 当 ， 时： 当 ， 时： 当 ， 时： 当 ， 时： 当 ， 时： 9 各组 ρV 的值都在 10 附近波动，近似相等，因此 ρ 与 V 成反比例函数关系. 设反比例函数解析式为： 则 ； ； ； ； 计算 的平均值： 因此， 关于 的函数模型为： 新知巩固 建立反比例函数模型解决问题 新知巩固 建立反比例函数模型解决问题 （2）当时，求气体的密度。 当 时，求气体的密度 将 代入函数模型： 答：当 时，气体的密度约为 。 实际问题中，当我们计算出各组PV的值之后，只要各组之积在某个数的附近上下波动，就可以判断为反比例函数，无需每一次都画散点图. 巩固训练1 建立反比例函数模型解决问题 某物理兴趣小组在探究“电流与电阻的关系”实验中，保持电源电压不变，改变定值电阻的阻值 （单位：），测得对应的电流 （单位：A），数据如下表： 电阻 电流 （1）试建立 关于 的函数模型； 【分析】根据欧姆定律 ，当电压一定时，电流 与电阻 成反比例关系。 计算每组数据的 值 当 ， 时： 当 ， 时： 当 ， 时： 当 ， 时： 当 ， 时： 巩固训练1 建立反比例函数模型解决问题 各组 IR 的值都在 3.0 附近波动，近似相等，因此 I 与 R 成反比例函数关系 设反比例函数解析式为： 则 ； ； ； ； 计算 的平均值： 因此， 关于 的函数模型为： 巩固训练1 建立反比例函数模型解决问题 （2）当电阻 时，求电路中的电流。 当 时，求电路中的电流 将 代入函数模型： 答：当电阻 时，电路中的电流约为 。 变式题 巩固训练1 建立反比例函数模型解决问题 某工厂生产一批零件，安排不同数量的工人进行生产，在每人工作效率相同的情况下，测得完成任务所需时间 （单位：天）与工人数 （单位：人）的对应数据如下表： 工人数量 / 人 工作时间 / 天 （1）试建立 关于 的函数模型； （1）解：在工程问题中，工作总量 = 每人效率 × 人数 × 时间。 当 n=10，t=12 时：nt = 120； 当 n=15，t=8.1 时：nt = 121.5 当 n=20，t=6.2 时：nt = 124； 当 n=25，t=4.8 时：nt = 120 当 n=30，t=4.1 时：nt = 123 各组 nt 的值都在 120 附近波动，近似相等，因此 t 与 n 成反比例函数关系. 巩固训练1 建立反比例函数模型解决问题 设反比例函数解析式为： 分别计算每组数据对应的 值（） ； ； ； ； 计算 的平均值： 因此， 关于 的函数模型为： （2）如果要求在 3 天内完成任务，至少需要安排多少名工人？ 巩固训练1 建立反比例函数模型解决问题 解：将 代入函数模型： 因为工人数最必须为整数，且要在 3 天内完成，所以需要向上取整。 答：至少需要安排 41 名工人。 巩固训练2 反比例函数与一次函数的综合 如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数图象交于点 和 ,与轴交于点. (1)求反比例函数的解析式; (2)观察图象,请直接写出使的取值范围; 根据反比例函数在每个象限内随增大而增大推出比例系数小于 0，列不等式求解范围。 解:(1) 把点 代入得 , 点 , 把点 代入得 反比例函数的解析式为; 巩固训练2 反比例函数与一次函数的综合 (2)把 代入得, , 一次函数的图象与反比例函数图象交于点 和 的取值范围为或 巩固训练2 反比例函数与一次函数的综合 变式题 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； 解：（1）已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点 ， 反比例函数解析式为：； 巩固训练2 反比例函数与一次函数的综合 （2），在一次函数图象上 ，解得 一次函数解析式为： 设一次函数与轴交点为，则， ； 课堂总结 本节课你学到了什么？ 22 感谢聆听! 23 $