专题04 函数的单调性与不等式十类综合题型（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数单调性与不等式综合应用，以“通法归纳-题型精讲-压轴挑战”为框架，系统提炼十类题型解题方法，构建从基础到综合的知识逻辑链，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心总结|单调性判断、奇偶性应用、定义域优先|奠定解题基础| |题型精讲|10题型(1典例+3变式/题型)|脱f原则、奇偶性化简、构造函数等|从单一性质到综合应用递进| |压轴挑战|10综合题|复杂情境下性质综合应用|提升高阶思维能力|

学科网（北京）股份有限公司 专题04 函数的单调性与不等式十类综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一 已知函数的单调性解不等式 题型二 已知函数解析式解不等式 题型三 单调性的定义解不等式 题型四 奇函数解不等式 题型五 偶函数解不等式 题型六 已知对称轴解不等式 题型七 已知对称中心解不等式 题型八 构造函数解不等式 题型九 复合函数的单调性 题型十 分段函数的单调性 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 函数的单调性解不等式是数学的常考点与重难点，题型涵盖奇偶性、对称性、单调性等，解题需要注意：一通过单调性的同增异减判断符号是否需要改变，二通过奇偶性与对称性解决计算与符号问题，函数问题需要注意定义域. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知函数的单调性解不等式 典例精讲1 (25-26高一上·甘肃定西·期末)已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性，列出不等式，求出结果即可. 【详解】可知恒成立，恒成立， 由是定义在上的减函数，且， 可得，解得． 故选：C. 题型归纳 1.给定函数的单调性需要脱去f 2.原则：同增异减，同时需要注意定义域 变式训练1-1 (25-26高一上·广东东莞东华高级中学、松山湖高级中学·)已知是定义在上的减函数，若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性及定义域得到不等式组，解得即可. 【详解】因为是定义在上的减函数， 则不等式等价于， 解得或， 所以的取值范围为. 故选：D 变式训练1-2 (25-26高一上·四川达州高级中学等部分校·期中)已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的单调性结合函数定义域，去求解即可. 【详解】由题意可得，解得 即的取值范围是， 故选：A 变式训练1-3 (25-26高一上·北京第一零九中学·期中)已知函数是定义在上的增函数，并且满足，. (1)求、的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用赋值法即得； （2）利用赋值法得，然后结合条件转化已知不等式为，最后根据单调性即得. 【详解】（1）因为， 令，得， 即； 令，则. （2）由题意知， ∴由，可得， 又在R上单调递增， ∴，即， ∴的取值范围是． 题型二、已知函数解析式解不等式 典例精讲2. (24-25高一上·广东深圳新安中学（集团）高中部·期中)已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，令函数，求出的最大值，就可求出的取值范围. 【详解】因为在上恒成立，所以在上恒成立， 令函数，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 题型归纳 1.给定函数的解析式求解不等式问题 2.判断函数的单调性，原则为同增异减，判断函数是否具有奇偶性，用来化简或者求解函数值，最后需要烤炉定义域 变式训练2-1(24-25高一·安徽淮北第五中学·期末)已知二次函数过点，点，点 (1)求的解析式； (2)若，对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）用待定系数法，设二次函数一般式 ，代入已知三点坐标，得到三元一次方程组，解出系数即得解析式； （2）令，将的范围转化为的范围，原不等式化为对恒成立，故需小于在该区间上的最小值，由单调性得该最小值，随即得到实数的取值范围. 【详解】（1）设二次函数解析式，因为二次函数过点，点，点， 因而，，解得，所以. （2）要使得，对任意恒成立，即，任意 不妨令，因为，因此， 即，，，由（1）得， 对称轴方程为，因此在单调递增，则， 所以，即. 变式训练2-2(25-26高一上·湖北鄂东南联考·期中)已知函数，若对于任意的，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据题意，当时，得到是上的减函数，满足题意；当时，转化为对于恒成立，设，结合二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解. 【详解】当时，解得，可得在上单调递减，在上单调递减， 如图（1）所示，此时函数是上的减函数， 则对任意成立，符合题意； 当时，如图（2）所示， 若，即对于恒成立， 即对于恒成立， 设，可得其图象开口向上，且对称轴为， 当时，则满足，解得，不符合题意，舍去 当时，则满足， 即，解得，解得，所以， 综上：，即实数的取值范围为. 故答案为：. 变式训练2-3(25-26高一上·贵州铜仁·)已知函数，且． (1)求的值，并证明在区间上单调递增； (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)；证明如下： ， ，解得， ， 证明：，且， 则 ， ∵， ∴， ∴，即， 故在上单调递增； (2)或 【分析】（1）由，代入可求，再利用函数的单调性的定义证明即可； （2）利用函数的单调性求解不等式即可． 【详解】（1）略 （2）解： ，， 又 在上单调递增，且， ， 解得或． 题型三、单调性的定义求解不等式 典例精讲3(25-26高一·广西北海·期末)已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的单调性，分和解不等式即可. 【详解】由 ，所以在上单调递减. 又，所以当时，；当时，. 因为 或 或， 即或. 故选：C 题型归纳 1.给定两个x的大小关系，求解不等式问题 2.利用定义判断函数的单调性，利用同增异减脱去f注意考虑定义域 变式训练3-1(25-26高一下·湖南娄底涟源部分学校·)已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由条件对任意成立，可知是定义在上的单调递减函数， 则等价于两种情况： 情况1： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，得：； 情况2： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，解集为， 综上：不等式的解集为. 变式训练3-2(25-26高一上·河北承德·期末)已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的且，均有．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得在上单调递增，由不等式即可求解. 【详解】令，得，所以； 再令，得，所以， 所以为上的奇函数， 设，且，则，得， 所以，所以，所以， 所以在上单调递增， 又因为，所以在上单调递增， 又为上的奇函数，所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，得，即， 解得：，所以的取值范围是. 故选：C. 变式训练3-3(25-26高一上·山东枣庄薛城区·期中)已知函数为奇函数，且对任意的，当时，，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据判断的单调性，然后由奇函数得到，最后解不等式即可. 【详解】当时，，即， 所以函数在上单调递减， 又因为为奇函数且定义域为，所以， 所以不等式，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A. 题型四、奇函数解不等式 典例精讲4 (25-26高一下·河南焦作普通高中·期末)已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意，都有，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用奇函数的性质化简给定不等式，得到，再结合的单调性求解对数不等式，即可得到的取值范围. 【详解】因为是定义在上的奇函数，故，，且， 代入原不等式得，即，整理得， 因为对于任意，都有，所以在单调递增，又是奇函数， 所以在单调递增，令， ① 当时，，则， 因为在单调递增，所以，即，解得； ② 当时，，所以， 因为在单调递增，故， 即，解得； 综上，实数的取值范围为. 题型归纳 1.给定函数的奇偶性解不等式 2.利用奇函数的特征化简，利用奇函数在对称区间单调性相同求解不等式 变式训练4-1(25-26高一上·福建南安国光中学、泉州培元中学、泉州惠南中学、安溪铭选中学四校·期中)若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原不等式等价于或，然后由函数单调性，奇偶性结合题设可得答案. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增且，所以函数在区间上单调递增且， 因此，当或时，；当或时，， 不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为. 变式训练4-2(25-26高一下·黑龙江大庆实验中学·开学考)已知函数是定义在上的奇函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由奇函数及其单调性确定的取值，再解一元二次不等式，然后可得. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 由函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递增，且， 则当时，得或， 当时，得或， 由，得或，由，得， 由，得或， 得或， 得或， 由，得或或或， 故的解集为： 变式训练4-3(25-26高一下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·)函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，证明函数的奇偶性，推理得到其单调性，利用函数的单调性和奇偶性求解不等式即可. 【详解】设，该函数的定义域为， ，都有，且， 所以函数是奇函数， 因是上的增函数，则是上的增函数且恒为正数， 故是上的减函数，是上的增函数， 由，得，则， 则，解得. 题型五、偶函数解不等式 典例精讲5(25-26高一下·四川泸州·期末)已知函数对任意满足，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数对称性和单调性，将函数不等式转化为一元二次不等式，进而求解. 【详解】因为，所以关于轴对称， 因为，， 所以在上单调递增， 所以在上单调递减， 由， 可得 即或， 解得. 题型归纳 1.已知函数的奇偶性解不等式 2.偶函数在对称区间的单调性相反，考虑一部分函数的单调性，通常考虑正半轴函数的单调性，利用f(x)=f(-x)=f(|x|),转化到正半轴进行求解。 变式训练5-1(25-26高一下·江西九江六校·期中)若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，将不等式转化为不等式组，再结合偶函数及函数单调性求解. 【详解】由上的偶函数满足，得， 不等式，化为或， 而函数在区间上单调递减，则或， 解得或，所以原不等式的解集为. 变式训练5-2(25-26高一下·湖南长沙第一中学·期中)已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数单调性与奇偶性计算即可得. 【详解】由已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 则函数在上单调递增， 又，所以， 即当时，，当或时，， 所以不等式的解集为. 变式训练5-3(25-26高一·贵州遵义第二中学·期末)已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数为偶函数，可得函数在上的单调性，再结合函数的单调性解不等式. 【详解】由已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 则函数在上单调递减，且 又， 所以， 解得或， 即. 题型六、已知对称轴解不等式 典例精讲6 (25-26高一下·重庆巴蜀中学校·期中)已知对于任意的，都有成立，且在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以关于对称， 又在上单调递减，所以在上单调递增， 由可得即， 转化得，可得. 题型归纳 1.已知对称轴问题求解不等式 2.通常需要转化成偶函数求解不等式，构造偶函数求解。 变式训练6-1已知定义在R上的函数在区间上单调递减，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为______ 【答案】 【分析】根据已知及偶函数性质得的图象关于直线对称，且，结合区间单调性和对称性，利用符号法求不等式的解集. 【详解】因为定义在R上的函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，且的定义域为R， 又函数为偶函数，则， 所以的图象关于直线对称，所以函数在区间上单调递增， 因为，则， 根据已知区间单调性和对称性：时，或时， 所以由得或，解得或， 则不等式的解集是. 变式训练6-2(25-26高一上·江苏南通中学·月考)已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，确定函数的对称性及单调性，再结合指数函数单调性求解不等式. 【详解】由为偶函数，得，则的图象关于直线对称， 由函数在上单调递增，又， 因此，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B 变式训练6-3(25-26高一·江苏锡山高级中学·期末)若定义在上的函数满足：当时，，的图象关于对称，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数的单调性，对称性，奇偶性解不等式即可. 【详解】因为函数的定义域为，且当时，， 所以在上单调递增. 由的图象关于对称，可得的图象关于对称， 即为偶函数，则，且函数在上单调递减， 于是，不等式可化为(i)或(ii)， 由（i）可得，解得； 由（ii）可得，解得. 故该不等式的解集为. 故选：B. 题型七、已知对称中心解不等式 典例精讲7 (25-26高一上·重庆求精中学校·期末)已知函数的定义域为，对、，满足，且为奇函数，，那么的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析出函数在上为增函数，且求得，由可得出，可得出关于的不等式，即可解得原不等式的解集. 【详解】、，满足， 不妨设，可得，即， 故函数在上为增函数， 因为函数为奇函数，即对任意的，， 即，故函数的图象关于点对称， 作出函数的草图如下图所示： 因为函数在上为增函数，所以函数在为增函数，故函数在上为增函数， 因为，即，故， 由可得，即， 所以，解得， 故不等式的解集为. 故选：B. 题型归纳 1.已知对称中心解不等式 2.通常转化成奇函数解不等式 变式训练7-1已知函数，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】得出在上单调递增，，然后将不等式等价变形为即可求解. 【详解】设函数，则函数是定义域为， 因为是增函数，是减函数，是增函数， 所以在上单调递增； 因为， 所以其图象关于点对称，即有，即． 由得 ， 即， 即，所以 ，解得 ． 故选：A． 变式训练7-2(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)已知定义在上的函数，且，函数的图象关于点中心对称，对于任意，，，都有.则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知函数为奇函数，构造函数，推导出函数在区间上单调递增，且函数为偶函数，分和两种情况结合函数的单调性可解不等式. 【详解】由于函数的图象关于点中心对称，则函数的图象关于原点对称， 所以，函数是定义在上的奇函数， 令，则， 所以，函数为偶函数， 对于任意、，，都有成立，即. 设，则，所以函数在区间上单调递增，且. ①当时，由可得，解得； ②当时，由于偶函数在区间上单调递增，则该函数在区间上单调递减，且. 由可得，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：D 变式训练7-3(25-26高一上·辽宁沈阳同泽高级中学·)已知函数，且满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，探讨函数的及单调性，再利用此性质求解不等式. 【详解】依题意，，函数的定义域为， ， 函数是奇函数，函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，又函数在上单调递增， 于是函数在上单调递增，因此函数在上单调递增， 不等式， 则，即，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故选：C 题型八、构造函数解不等式 典例精讲8 (25-26高一·安徽合肥第六中学·期末)定义在上的函数，满足对任意，且，都有．知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的结构构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 【详解】由题意，不妨设， 则由，可得， 则，所以， 令，则，所以函数在上单调递减， 由，得，由，得， 因为函数的定义域为，所以，所以，即， 所以，解得，所以不等式的解集为． 故选：A. 题型归纳 1.类比单调性定义解不等式问题 2.通常需要转化成单调性的定义判断单调性， 一般需要构造新的函数。 变式训练8-1(25-26高一·贵州黔东南苗族侗族·期末)已知函数定义域为对任意两个不相等的实数都有成立．则不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】先根据单调性定义得出函数在上单调递增，再结合已知得出不等关系，最后解一元二次不等式即可. 【详解】由已知对任意两个不相等的实数都有成立， 不妨设，则， 即函数在上单调递增， 又，则， 即， 则，即， 解得， 故答案为：． 变式训练8-2(25-26高一上·四川凉山彝族·期末)已知定义域为的函数满足：对任意，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，得在上单调递增，从而有，解出不等式，即可求解. 【详解】因为，且， 所以两边同时除以，得到， 又，则在上单调递增，又，则， 由，得到， 即或，所以， 则，解得，又或， 所以或，故D正确. 故选：D. 变式训练8-3(25-26高一上·陕西神�榆�靖区域联考·月考)已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件构造函数，并判断该函数的单调性，然后将不等式变形，根据单调性求出结果. 【详解】依题意，，，都有， 令，当时，， 则在定义域内单调递增， 又，则， 又，变形得，即， ，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 题型九、复合函数的单调性 典例精讲9 (25-26高一上·广东江门·)已知是定义域为的单调函数，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知设函数，再代入计算结合单调性得出参数，最后解对数不等式即可. 【详解】由题意可得，存在正数，使得，且， 所以，即． 因为函数在上单调递增，且，所以， 因为， 由，得或，解得或． 故选：D. 题型归纳 1.复合函数单调性问题 2.通常采取同增异减，需要注意定义域。 变式训练9-1 (25-26高一上·天津第五十五中学·)已知定义在上的函数满足，、，当时，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，分析可知函数为偶函数，且函数在上为减函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，结合对数函数的单调性可解出的取值范围，即为所求. 【详解】、，当时，都有， 不妨设，则，所以，即， 令，则，即函数在上为减函数， 又因为定义在上的函数满足，则函数的定义域为， 且，故函数为偶函数， 因为，则， 由可得，即， 所以，所以，所以或，解得或， 因此不等式的解集为. 故选：D. 变式训练9-2 (24-25高一上·江西南昌第二中学·期末)已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象可知在上单调递增，结合单调性解不等式即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 可知在上单调递增， 因为，则不等式即为，可得， 又因为，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 变式训练9-3(24-25高一上·山东威海·期末)已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】利用函数是奇函数求出时，函数的解析式，并求出函数的单调性；利用单调递增及奇函数化简可得，分类讨论解不等式即可得解． 【详解】由为奇函数，得， 当时，，故， 故当时，，所以； 又当时，的开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递增，根据奇函数的性质可知函数在上单调递增， 故， 所以或， 解得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数奇偶性的应用及分段函数不等式，解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式，结合奇偶性利用单调性求解. 题型十、分段函数的单调性 典例精讲10 (25-26高一下·贵州遵义·期末)已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断是单调递增的奇函数，再利用、奇偶性和单调性，把不等式转化为，解得. 【详解】当时，，是单调递增函数，且； 当时，，是单调递增函数，且（时）， 所以是奇函数，且在上单调递增； 则，因为是奇函数，且在上单调递增，所以，解得. 题型归纳 1.分段函数不等式问题 2.需要分别考虑左右两边函数的单调性，利通增减性求解不等式 变式训练10-1 (25-26高一下·河南信阳·期中)设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性求解即可. 【详解】当时，，为单调递减函数，且， 当时，，也为单调递减函数，， 所以在上单调递减. 因为，所以，解得， 所以. 故该不等式的解集为. 变式训练10-2 (25-26高一下·湖南长沙长郡中学·开学考)已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段讨论，结合函数在区间内的值域和解析式解不等式. 【详解】函数， 当时，单调递增，则， 当时，，单调递减，， 当时，，单调递增，， 当时，单调递增，， 故当时，，此时，，满足， 当时，，此时，， 满足， 当时，，此时可得， 解得， 综上可知，的解集为. 变式训练10-3 (25-26高一·山东聊城·期末)已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得的单调性，分类讨论可求不等式的解集. 【详解】当时，在上单调递增，所以， 当时，为常数函数. 若，解得，由，得， 即，解得或，又，所以； 若，解得，由题意不等式恒成立； 若，不等式无解； 若，不等式无解； 综上所述：不等式的解集为. 故选：B. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．(25-26高一下·山东潍坊寿光第一中学·期中)已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意， ，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题目条件化简可知函数在上单调递增，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数满足对任意的， ，都有， 设，则，所以，即， 所以，令，所以， 又因为，所以函数在上单调递增. 依题意得，，由，得， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 2．(25-26高一·浙江杭州（含周边）重点中学·期中)定义域为的函数满足：对任意的都有，当．若关于的不等式恒成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过已知条件和函数的性质，判断出 是减函数，再利用函数的单调性和性质将不等式转化为不等式组，最后通过求二次函数的最值，确定 的取值范围即可. 【详解】设，且，则， 因为当时，，所以。 因为， 所以，即， 因此， 在 上是减函数， 因为，令， 则，即，解得， 又因为，根据 可得：， 又因为函数在上单调递减，所以可得不等式组： ， 因为，， 因为，所以， 令 ，其中 ， 函数 在 处取得最大值 ， 所以在端点和 处，故， 原不等式 在 上恒成立，即， 因为，所以，故， 结合，得. 3．(25-26高一下·四川内江威远中学·期末)已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则的取值范围为_________. 【答案】 【分析】构造函数，且判断函数的单调性；结合的定义域和的单调性求解的取值范围. 【详解】因为，由，可得， 即． 令，可得，可知在上单调递减． 由得：， 因为的定义域为，所以，， 故，即. 由得，，因此，所以即， 该式对所有恒成立，因此，即， 又，得的取值范围为. 4．(24-25高一上·四川双流中学·期末)函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性的定义和对数的运算性质，结合恒成立思想，可得的值，由不等式有解，结合函数的奇偶性和单调性和双钩函数的性质得值域，求出的范围. 【详解】若函数是定义在实数集上的奇函数， 可得， 即， 即， 由，可得； 所以， 任取，设则 ， ， ， 则 所以则函数为上的增函数， 又因为函数为上的奇函数，所以函数为上的增函数， 所以不等式有解， 转化为， 即有解， 所以有解，即， 令，因，则，即， 则 ，当且仅当时取等号， 由双钩函数的单调性知：，函数单调递减， ，函数单调递增， 当时，，当时， 所以， 所以， 故实数的取值范围为. 5．(25-26高一上·浙江杭州第二中学东河校·期末)已知函数（e为自然对数的底数），若，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先将函数变形为，进而可判断奇偶性，并结合复合函数的性质可得函数的单调性，从而用函数的单调性可得不等式的解集. 【详解】由 ， 所以，且函数的定义域为R，所以函数为偶函数. 令，则函数在R上单调递增且， 因为对勾函数在单调递减，在上单调递增， 所以在单调递减，在上单调递增， 所以在单调递减，在上单调递增. 又因为，且函数为偶函数，所以， 因为在上单调递增，所以，即，解得或. 所以实数的取值范围为. 6．(25-26高一上·浙江杭州第十一中学·期末)已知函数为定义在上的奇函数. (1)求的值. (2)存在，使成立. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）;（ⅱ） 【分析】（1）根据题意由求. （2）（ⅰ）利用函数的单调性和奇偶性，转化为求复合函数的值域. （ⅱ）利用参变分离法，求解恒成立问题. 【详解】（1）因为为定义在上的奇函数， 则有，即，解得， 此时，则，所以为奇函数， 所以. （2）（ⅰ）由（1）知， 而为上的增函数，所以为上的减函数. 由，且为奇函数， 可得， 则有，整理得. 因为，所以当时，， 当时，，所以. （ⅱ）由，整理得. 因为，则设，而函数 在时，， 而恒成立，即，所以. 7．(25-26高一·贵州遵义第二中学·期末)已知函数是上的奇函数 (1)求实数的值 (2)用单调性的定义证明：函数在上单调递增 (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)证明：由（1）得，任取，且， 则，即， 因此， 故 ， 因为，，所以， 所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）由求解； （2）先证明，再由推证； （3）判断的单调性，结合的奇函数性质求解. 【详解】（1）因为是上的奇函数，对任意满足，即： ， 所以代入得： ， 整理得对任意恒成立，故，结合得：. （2）略； （3），因为是增函数，复合函数单调性得是上的增函数， 又是奇函数，所以原不等式变形为： ， 由单调性得：，即 令，时由基本不等式得，且， 代入得：，即 ， 函数在单调递增，故，因此， 即的取值范围为. 8．(25-26高一上·江苏如皋·期末)已知是奇函数． (1)求的值； (2)证明：是增函数； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 证明：由（1）得， 设为上任意两个实数，且，      因为，， 所以，即，所以是增函数 (3) 【分析】（1）根据奇函数恒成立求解即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数的单调性与奇偶性得，进而得，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）解：因为是奇函数， 所以， 所以， 所以 （2）略 （3）解：因为是奇函数，， 所以 因为是增函数，所以， 所以 因为，当且仅当时取等号， 所以， 所以实数的取值范围为 9．(25-26高一·江苏盐城亭湖高级中学·期末)已知函数的定义域为，函数，. (1)判断的奇偶性，并加以证明； (2)若，记. ①判断在上单调性（无需证明）； ②解关于的不等式. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)①在上单调递减；②. 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义判定证明. （2）①利用指数函数的单调性，结合复合函数单调性判断；②利用奇函数性质及单调性脱去法则“F”，再解析指数不等式. 【详解】（1）是R上的奇函数． 显然定义域为R，对于任意的，都有，， 所以是R上的奇函数. （2）①由，得， 所以， 因为在R上单调递减，所以在R上单调递减， 所以在上单调递减. ②由①知，是上单调递减的奇函数， 不等式， 则有，即， 又因为，所以，解得， 所以原不等式的解集为. 10．(25-26高一·河南驻马店·期末)已知，且是定义在上的奇函数. (1)求实数，的值； (2)判断在上的单调性（直接写出结论即可，不需要证明） (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2)在上单调递增. (3) 【分析】（1）由奇函数的性质及指数幂运算进行求解； （2）由，根据指数函数性质及单调性性质进行判断； （3）原不等式可转化为，根据在上单调递增，得，令，整理得：，令，则则，利用二次函数的性质进行求解． 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 则有，可得：，所以. 又因为，所以，化简得，所以， 所以，， 得，则， 得， 是定义在上的奇函数， 故，； （2）在上单调递增. 证明如下：由（1）知，， 由于为增函数，则为减函数，得为增函数， 故为增函数，故在上单调递增. （3）由（1）（2）知，是定义在上的奇函数且在上单调递增， 原不等式可转化为：， 即， 又因为在上单调递增，所以， 令，则，原式化为：， 整理得：， 令，则，且当时等号成立，则， 令，则对恒成立， ①，即，解得：； ②，即，无解； 综上所述，的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04函数的单调性与不等式十类综合题型 目录 通法归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一已知函数的单调性解不等式 题型二已知函数解析式解不等式 题型三单调性的定义解不等式 题型四奇函数解不等式 题型五偶函数解不等式 题型六已知对称轴解不等式 题型七己知对称中心解不等式 题型八构造函数解不等式 题型九复合函数的单调性 题型十分段函数的单调性 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 刁通法归纳一明睛核心解法，助力能力迁移 函数的单调性解不等式是数学的常考点与重难点，题型涵盖奇偶性、对称性、单调性等，解题需要注 意：一通过单调性的同增异减判断符号是否需要改变，二通过奇偶性与对称性解决计算与符号问题，函数 问题需要注意定义域， ◆◆ 夙题型精讲一精讲典型题法，李尖解题根基 题型一、已知函数的单调性解不等式 典例精进1(25-26高一上甘肃定西期末)已知函数f(x)是定义在(0，+0)上的减函数，则不等式 fx2+1sfx2-x+2的解集为() 1/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.（-1,+0) B.（-0,-1 c.（1,+o D.（-0,1 题型归纳 1.给定函数的单调性需要脱去f 2.原则：同增异减，同时需要注意定义域 变式训练1-1(25-26高一上广东东莞东华高级中学、松山湖高级中学)已知f(x)是定义在0，+∞上的减函 数，若f2a2+a+1)<f3a2-4a+1八则。的取值范围为（） 71 A.(0,5 B.1,5 D. 0,u1,5 变式训练1-2(25-26高一上四川达州高级中学等部分校期中)已知fx是定义在1,9上的增函数，且 flm2flm+2 则nm的取值范围是() A.1,2 B.-1,2 c.-2,-1 D.11,3] 变式训练1-3(25-26高一上·北京第一零九中学期中)已知函数fx是定义在R上的增函数，并且满足 fixtyi-fixl+fi),f 2 a求fo叭、f3的值： 2)若fx+f2+x<2,求x的取值范围。 题型二、已知函数解析式解不等式 典例精进2.(24-25高一上，广东深圳新安中学（集团）高中部期中)已知函数y=fx=乙若不等式 fx≥x-m恒成立，则实数m的取值范围是() A.0,+o B.0,+∞ c.-2,+o D.[-2,+0j 题型归纳 1.给定函数的解析式求解不等式问题 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2判断函数的单调性，原则为同增异减，判断函数是否具有奇偶性，用来化简或者求解函数值，最后需要 烤炉定义域 变式训练2-1(24-25高一安徽淮北第五中学期末)已知二次函数f(x)过点(1,6)，点(0,1)，点(-1，-2) (1)求f(x)的解析式： 2)若f()>k,对任意x∈-2,2恒成立，求实数k的取值范围. 变式训练2-225-26高一上湖北鄂东南联考期中)已知函数fx=乙，若对于任意的x∈R,fx-2≥fx, 则实数a的取值范围是■ 变式训练232526高一上贵州铜仁已知函数fx=x+?,且f2=号 2 (1)求m的值，并证明fx在区间0，+oo上单调递增： 2若a>0且f4 a)<flo+3r求实数。的取值范.围 题型三、单调性的定义求解不等式 奥例箱进32526商一西北海期末尼知函数y=fx的定义域为R:清足fX-f>0f14=0 X2-X1 则不等式x-2fx<0的解集为() A.-00,2 B.4,+o c.-0,2U4,+o D.-0o,2U4,+o0 题型归纳 1.给定两个x的大小关系，求解不等式问题 2.利用定义判断函数的单调性，利用同增异减脱去f注意考虑定义域 变式训练3-1(25-26高一下湖南娄底涟源部分学校)已知定义在R上的函数fx满足任意x1,X2∈R且 X,≠都有fX-f<0成立，则不等式xfX-f1-刘小≥0的解铁为〈) X1-X2 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-0,0 变式训练3-2(25-26高一上河北承德期末)已知定义在-1,1上的函数fx满足：当x<0时，fx<0,且对 任意的x,y∈-1,1且x+y∈-11，均有fx+y川=fx+fy.若fllogzx)f2 侧x的取值范围是 B.1,2 c.V2,2 D.0,2 变式训练3-325-26高一上山东枣庄薛城区期中)已知函数fx为奇函数，且对任意的x1,x2∈R,当 X,<x,时，f-f风<0则关于x的不等式fX.x-21<0的解突为（） X1-X2 A.-∞，-1U2,+∞ B.-1,2 C.-o,-2U1,+0∞ D.0,1 题型四、奇函数解不等式 典例精进4(25-26高一下河南焦作普通高中.期末)已知函数fx是定义在R上的奇函数，且对于任意 x<x,<0,都有fx<fxf1=0,若f1oga+f0l<flg:a,则实数a的取值范围为〈) A. 31u3,* u13 B. C. D.-1,0U1,+∞ 题型归纳 1给定函数的奇偶性解不等式 2.利用奇函数的特征化简，利用奇函数在对称区间单调性相同求解不等式 变式训练41(25-26高一上福建南安国光中学、泉州培元中学、泉州惠南中学、安溪铭选中学四校期中)若 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 奇函数fx定义域为-∞，0U0,+oo,在区间-∞，0上单调递增且f2=0,则不等式x-1fx<0的解 集为() A.-2,0U1,2 B.-2,0U2,+∞ c.-o,-2U1,2 D.-∞，-2U(0,2 变式训练42(25-26高一下·黑龙江大庆实验中学.开学考)已知函数fx是定义在R上的奇函数，满足fx在 -0,0上单调递增，且f3=0则不等式x-2x-3fx≤0的解集为（） A.(-00,-1]U0 U[3,+o0) B.-0o,-3U-1,0 c.-o,-3]U-1,0 D.-oo,-3U-1,0U{3} 变式训练4325-26高一下安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）函数fX=-号 22+1若 f(a+2)+f(3a)>-2,则a的取值范围是() B.( 2 c.2,+∞ D 题型五、偶函数解不等式 典例箱进525-26高一下-四川泸州期末已知函数fx对任意x满足fx=f2-X,若yx1,x∈1，+∞” x-xfx-fxl>0:则关于m的不等式fm2+1<f2m+4的解集为（） A.-3,1 B.-0o,-1U3,+0o c.-1,3 D.-∞，-3U1,+0∞ 题型归纳 1.已知函数的奇偶性解不等式 2偶函数在对称区间的单调性相反，考虑一部分函数的单调性，通常考虑正半轴函数的单调性，利用 fx)f(-x)f0x),转化到正半轴进行求解。 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练5-1(25-26高一下江西九江六校·期中)若定义在R上的偶函数fx在区间0，+o∞上单调递减，且 f-5=0,则关于x的不等式xf2x-1>0的解集为() A.-2,0U3,+∞ B.-2,0U0,3 C.-0,-2U3,+o D.-o,-2U0,3 变式训练5-2(25-26高一下湖南长沙第一中学.期中)已知fx是定义在R上的偶函数，且在0，+∞上单调递 减，f引-4=0，则不等式f引x<0的解集是() A.-4,0jU4,+∞ B.-0o,4U0,4 C.-00,-4U4,+∞ D.-4,4 变式训练5-3(2526高一贵州遵义第二中学期末)已知fx是定义在R上的偶函数，且fx在0，+oo上单调 递增，f2=3,则不等式f引x>3的解集为() A.-00,-2U2,+0 B.-2,2 C.2,t∞D.-o,-2ul2,+o0 题型六、已知对称轴解不等式 典例精进6(25-26高一下，重庆巴蜀中学校期中)已知对于任意的X∈R,都有fx+1=f1-x成立，且 fx在-，1上单调递减，则不等式flog,x<f-2的解集为（） ,4 24 16 ,16 题型归纳 1.已知对称轴问题求解不等式 2.通常需要转化成偶函数求解不等式，构造偶函数求解。 变式训练61已知定义在R上的函数fx-1在区间-oo,2上单调递减，若函数fx+1为偶函数，且 f4=0,则不等式x-2fx<0的解集为 变式训练6-225-26高一上江苏南通中学.月考)已知函数fx+1)为偶函数，且函数f(x)在(-∞，1]上单调 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 递增，则关于x的不等式f-2f(-8的解集为(） A.(-00,1)B.(-00,3) c.(3,+o) D.(1,+∞) 变式训练6-3(25-26高一江苏锡山高级中学.期末)若定义在R上的函数f(x)满足：当x∈[0，+o∞)时， |xxfx-f引x2>0:f(x-1)的图象关于x=1对称，f(-3=0:则不等式(x-1)fx-2)≥0的解集为 () A.[-2,1]U[5,+o) B.[-1,1]U[5,+o)c.[-1,1]U[3,5]D.[0,1]U[2,5] 题型七、已知对称中心解不等式 典例精进72526高一上重庆求精中学校期已知西数fx的定义域为R对yx名，∈1，+∞小满足 x1-x小fx小-fx小0且fx+1为奇函数·f3=1那么f2x+1<1的解集是（） A.-1,0 B.-1,1 c.-o,-1U1,+o D.-o,-1U0,+oo 题型归纳 1.已知对称中心解不等式 2.通常转化成奇函数解不等式 变式训练7.已知函数f(x)=e1-e+2x 则不等式f(x.4)+2-3x)≤4的解集为（). A.[-1,4] B.[-4,1] c.（-∞，-1]U[4,+o) D.(-∞，-4]U[1,+0) 变式训练7-224-25高一上重庆第二外国语学校期中)已知定义在-0o,0U0,+0∞上的函数f(x),且 f(1)=1,函数f(x+1)的图象关于点-1,0中心对称，对于任意1，x2∈(0，+o0,x1x2,都有 x”f(x)小-xfx>0则不等式f(X)的解集为（） X1-X2 ,2027 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-1,1 B.-∞，-1U1,+∞ c.-1,0U0,1 D.-∞，-1U0,1 变式训练7-325：26高一上辽宁沈阳同泽高级中学)已知函数f(x)=(1+X+x+e.e,且满足 f(m2+3m)+f(3m-16≥0'则实数m的取值范围为() A.{mlm≤0或m之3 、16 B.(mlosms16 c.{mlm≤-8或m≥2} D.{m|-8≤m≤2 题型八、构造函数解不等式 典例精进8(25-26高一安微合肥第六中学期末)定义在(0，+∞)上的函数f(x),满足对任意 X,0,+w且xx霜有xf2知f2=1则不等式fx-1>号x子的解头 X1-X2 为() A.(1,3 B.(0,3) c.（1,+0)】 D.(3,+0) 题型归纳 1.类比单调性定义解不等式问题 2.通常需要转化成单调性的定义判断单调性，一般需要构造新的函数。 变式训练8-1(25-26高一贵州黔东南苗族侗族期末)已知函数fx定义域为R，f2=4对任意两个不相等 的实数m,n都有fm-fn1成立.则不等式fX-X<X-x+2的解集为 m-n 变式训练8-225-26高一上四川凉山彝族期末)已知定义域为0，+o∞的函数fx满足：对任意 X,x,∈0，+o,x<x都有xfx-x,fx小>0且f21=2则不等式fX-x<x2-x的解集为（） A.-1,2 B.-0,-1U2,+o 8/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.1,2 D.-1,0U1,2 变式训练8-325-26高一上陕西神榆。靖区域联考·月考)已知定义域为R的函数fx满足：Hx1,X2∈R, X1*X2’ 都有fx,+X-fx小-X>0且f3=0若f2m+1>2-2m则实数m的取值范国为(） X1-X2 A.-0,0 B.0,+∞ C.-0∞，1 D.1,+0 题型九、复合函数的单调性 典例精进9(25-26高一上广东江门)已知fx是定义域为0，+∞的单调函数，且Vx∈(0，+o∞， ffx+2log1x=1,则不等式|fx≥1的解集为() 4 B.1,+o∞l C. 1u1,+o 0 题型归纳 1.复合函数单调性问题 2.通常采取同增异减，需要注意定义域。 变式训练9-1(25-26高一上天津第五十五中学)已知定义在R上的函数f引x满足f孔-x=fx,Vx1、 x,e10,+四当x≠x时，部有ff<1且f=1则不等式flog,N<log,x的解集为 x1-x () A. 1 B.33 .0,u3,+o 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练9-2(24-25高-上：江西南昌第二中学期未已知fx=d则不等式ffx小6的解集为（) A.2,+0o B.1,+0o C.-00,2 D.-0o,1 变式训练932425高一上山东威海：期未已知f(x为R上的奇函数：当x≥0时·f(x)=X+X则不等式 f3f(x)+f(2-8x<0的解集为 题型十、分段函数的单调性 典例精进1025-26高一下贵州意义：期未)已知函数fx-乙'则不等式千x+fx-2sf10的解集为 ) A.-1,1 B.（-00,1] c.[0,+o D.-00,-1]U[1,+0o 题型归纳 1.分段函数不等式问题 2.需要分别考虑左右两边函数的单调性，利通增减性求解不等式 变式训练10125：26高一下河南信阳：期中)设函数fx=8则不等式fx2-3>f2x的解集是（） A.0,3 B.3,+o c.3,3 D.3,+0 变式训练10-2(25-26高一下·湖南长沙长郡中学开学考)已知函数fx=乙，则f引x+fx-1<1的解集为 () A.x1x<4 B.x|1≤x<4 c.{x|0<x<3 D.x|x<3 变式训练10.32526高-山东聊城期未已知函数fx='则不等式fX-2>f-x的解集为（） A.-0,-2 B.-0,-2UR2,+∞ C.2,+o D.-o0,-2U1,+0 10/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同压轴挑战一攻克高难压轴，突致思维上保 1.(25-26高一下山东潍坊寿光第一中学期中)已知函数fx的定义域为0，+∞，若对于定义域内给定的任 意x'Xk,≠x,》都有，fx-xfx>0则不等式x-2fx>f-2的解集为（) X1-X2 A.2,2 B.0,2 C.只2，+oo D.2,+0 2.(25-26高一浙江杭州（含周边）重点中学.期中)定义域为0，+∞的函数fx满足：对任意的x,y都有 fx·y=fx+fy,当x>1,fx<0.若关于x的不等式f2-x+fax-a>0恒成立，则正实数a的取值 范围为() A.0<a<1 B.a>1 C.0<a<4 D.a>4 3.(25-26高一下.四川内江威远中学.期末)已知函数fx的定义域为0，+∞，对于任意的y>x>0,都有 xfyl-yfx-x2y+xy2<0.若f1=1,且fx-a+x2-2a+2x+a+2a>0对于x∈0,2 恒成立， 则a的取值范围为 4.4-25高一上四川双流中学期函数fx=lnR1+aX+2x是定义在R上的奇函数，且关于x的不 等式f2m-msinx)+f(cos'x)≥0有解，则实数m的取值范围为 5.(25-26高一上浙江杭州第二中学东河校期末)已知函数fx=lnex*1+e-1 x(e为自然对数的底数)， 若f2a-2≥fa+1,则实数a的取值范围为 6.(25-26高一上浙江杭州第十一中学期未已知函数fx=-3+a为定义在R上的奇函数. 3+1 (1)求a的值. 2)存在x∈R使fl'x+2t-1+f12sinx-t=0成立. (i)求t的取值范围： 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (i)若n4-2+1+1≥0恒成立，求n的取值范围. 7.2526商一贵州蓬义第二中学：期末已知函数fx=1+X+ax1a>0l,gx=nf1x,gx是R上 的奇函数 (1)求实数a的值 (2)用单调性的定义证明：函数fx在R上单调递增 (3)若不等 gm2-4+gm-2-4-3<0对x∈0，+o∞恒成立，求实数m的取值范围 8.(25-26高一上江苏如皋.期末)已知fx=x3+ax+2X+b是奇函数. (1)求a,b的值； (2)证明：fx是增函数： 3)若不等式f4+2+f2-m-2>0恒成立，求实数m的取值范围。 m 9.(25-26高一江苏盐城亭湖高级中学.期末)已知函数fx的定义域为R,函数gx=f-x-fx, h(x)=f(-x)+f(x). (1)判断gx的奇偶性，并加以证明： 2)若fx=3,记Fx=9x h(x ①判断Fx在R上单调性（无需证明）； ②解关于x的不等式F4-9+F6-2x*1>0 10.2526高一河南驻马店期末已知fx=2a+7小：7+b+4,且fx-2是定义在R上的奇函数 a·7*+2 (1)求实数a,b的值： (2)判断fx在R上的单调性（直接写出结论即可，不需要证明） (3)若f4+m-21+22-4m2+f4+m*2>4对任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围. 12/12