第3章 周末练7 章末检测试卷(三) 函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

**基本信息** 聚焦函数核心概念与性质，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖定义域、单调性、奇偶性等高频考点，以题载法强化知识应用，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数概念|选择1-4、填空12|定义域求解、函数相等判断、解析式求法|从函数定义出发，构建定义域、解析式、相等条件的逻辑链| |函数性质|选择5-7、多选11|单调性应用、奇偶性判断、抽象函数性质|以单调性、奇偶性为核心，结合图像与定义推导性质应用| |函数图像与应用|选择8、填空13-14、解答17-18|图像交点、实际问题建模、分段函数图像|从图像直观到代数表达，实现数形结合解决应用问题| |综合解答|解答15-16、19|定义域求解、函数单调性证明、抽象函数综合|整合概念与性质，通过逻辑推理解决复杂函数问题|

章末检测试卷(三) [时间：120分钟 分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知f(x)=则f(3)等于(　　) A.7 B.2 C.10 D.12 答案　D 解析　∵3>1，∴f(3)=32+3=12. 2.下列四组函数中，表示同一个函数的一组是(　　) A.f(x)=|x|，g(x)= B.f(x)=g(x)= C.f(x)=g(x)=x+1 D.f(x)=g(x)= 答案　A 解析　对于A选项，f(x)和g(x)的定义域均为R，且g(x)==|x|=f(x)，所以A选项符合题意； 对于B选项，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，所以B选项不符合题意； 对于C选项，f(x)的定义域为{x|x≠1}，g(x)的定义域为R，所以C选项不符合题意； 对于D选项，f(x)的定义域为{x|x≤0}，g(x)的定义域为R，所以D选项不符合题意. 3.已知f =2x+3，则f(6)的值为(　　) A.15 B.7 C.31 D.17 答案　C 解析　令-1=t，则x=2t+2.将x=2t+2代入f =2x+3，得f(t)=2(2t+2)+3=4t+7. 所以f(x)=4x+7，所以f(6)=4×6+7=31. 4.若函数y=f(3x-1)的定义域是[1，3]，则y=f(x)的定义域是(　　) A.[1，3] B.[2，4] C.[2，8] D.[3，9] 答案　C 解析　因为函数y=f(3x-1)的定义域是[1，3]， 所以1≤x≤3，2≤3x-1≤8， 则函数y=f(x)的定义域是[2，8]. 5.若函数f(x)在(-∞，-1]上单调递增，则下列关系式中成立的是(　　) A.f <f(-1)<f(-2) B.f(-1)<f <f(-2) C.f(-2)<f(-1)<f D.f(-2)<f <f(-1) 答案　D 解析　∵f(x)在(-∞，-1]上单调递增，且-2<-<-1，∴f(-2)<f <f(-1). 6.已知f(x)=在R上为减函数，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可得 即解得≤a<1， 所以实数a的取值范围为. 7.定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足<0，且f(2)=4，则不等式f(x)->0的解集为(　　) A.(4，+∞) B.(0，4) C.(0，2) D.(2，+∞) 答案　C 解析　由题意，设g(x)=xf(x)， 因为<0，即<0，所以函数g(x)是减函数， 不等式f(x)->0，即>0， 因为x∈(0，+∞)， 所以不等式等价于xf(x)-8>0，即xf(x)>8， 又f(2)=4，则g(2)=2f(2)=8， 所以不等式xf(x)>8的解集为(0，2). 8.已知函数f(x)=x3+ax2，g(x)=2ax2-x，若函数y=f(x)与y=g(x)的图象有三个交点，则a的取值范围是(　　) A.(-2，2) B.[-2，2] C.(-∞，-2)∪(2，+∞) D.(-∞，-2]∪[2，+∞) 答案　C 解析　因为函数y=f(x)与y=g(x)的图象有三个交点，所以令x3+ax2=2ax2-x， 当x=0时，方程必然成立，即f(x)与g(x)的一个交点为(0，0)； 当x≠0时，可得a=x+令h(x)=x+ 则直线y=a与y=h(x)的图象有两个交点， 作出y=h(x)的图象如图所示， 结合图象，直线y=a要与y=h(x)的图象有两个交点，需满足a<-2或a>2，故a的取值范围是(-∞，-2)∪(2，+∞). 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.若函数y=x2-4x-4的定义域为[0，m]，值域为[-8，-4]，则实数m的值可能为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　ABC 解析　函数y=x2-4x-4=(x-2)2-8，当x=2时，y=-8，令y=x2-4x-4=-4，得x=0或x=4，若函数y=x2-4x-4的定义域为[0，m]，值域为[-8，-4]，则需满足2≤m≤4. 10.已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为 C.若f(x)=3，则x=- D.f(x)<1的解集为 答案　BC 解析　由题意知函数f(x)的定义域为故A错误； 当x≥1时，f(x)的取值范围是 当-2<x<1时，f(x)的取值范围是因此f(x)的值域为故B正确； 当x≥1时，-x+2=3，解得x=-1(舍去)， 当-2<x<1时，x2=3，解得x=-或x=(舍去)，故C正确； 当x≥1时，-x+2<1，解得x>1， 当-2<x<1时，x2<1，解得-1<x<1， 因此f(x)<1的解集为∪故D错误. 11.函数f(x)的定义域为R，且f(x)在[0，+∞)上单调递减，f(1)=1，若函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，则下列结论正确的是(　　) A.y=f(x)的图象关于直线x=2对称 B.f(x)为偶函数 C.∀x∈R，f(x)≤f(0)恒成立 D.f(x)>1的解集为(-1，1) 答案　BCD 解析　若函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称， 则y=f(x)的图象关于y轴对称，即f(x)为偶函数，故B正确； 又f(x)在上单调递减，所以f(x)在上单调递增，故A错误； 所以∀x∈R，f(x)≤f(0)恒成立，故C正确； 因为f(1)=1，所以f=1，所以f(x)>1的解集为故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.①f(x)在R上单调递增，②f =则满足上述两个条件的函数为　　　　　　(写出一个即可).  答案　f(x)=x(答案不唯一) 解析　不妨令f(x)=x，显然f(x)在R上单调递增，满足①， 又f == 即f =满足②，符合题意. 13.已知函数f(x)是R上的奇函数，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，f(-5)=0，则不等式(x-3)f(x)>0的解集是　　　　.  答案　(-5，0)∪(3，5) 解析　根据题意，得函数f(x)是R上的奇函数，且f(-5)=0，则f(5)=-f(-5)=0， 又函数f(x)在(0，+∞)上单调递减， 则在区间(0，5)上，f(x)>0，在区间(5，+∞)上，f(x)<0， 又函数为奇函数，则在区间(-5，0)上，f(x)<0，在区间(-∞，-5)上，f(x)>0， 不等式(x-3)f(x)>0⇒或 则-5<x<0或3<x<5， 即不等式的解集为(-5，0)∪(3，5). 14.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：①如不超过200元，则不予优惠；②如超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如超过500元，则其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分，给予8折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样的商品，则应付款　　　　元.  答案　560.4 解析　由题意可知，设消费金额为x元，应付款为y元， 则y= 由168<200，得第一次购物的消费金额为168元. 由200<423<450，得第二次购物的消费金额为=470(元). 所以x=168+470=638>500， 则y=0.8×(638-500)+450=560.4. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)若函数f(x)=+. (1)求f(-3)，f(a2+1)；(6分) (2)求函数f(x)的定义域.(7分) 解　(1)∵f(x)=+ ∴f(-3)=+=-1， f(a2+1)=+. (2)对于函数f(x)=+则有 解得x≥-3且x≠-2. 因此，函数f(x)=+的定义域为[-3，-2)∪(-2，+∞). 16.(15分)已知函数f(x)是一次函数，且满足f(x-1)+f(x)=2x-1. (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)判断函数g(x)=在(1，+∞)上的单调性，并用函数单调性的定义给予证明.(9分) 解　(1)设一次函数f(x)=ax+b(a≠0)， 由f(x-1)+f(x)=2x-1，可得a(x-1)+b+ax+b=2x-1，整理得(2a-2)x+2b-a+1=0， 所以解得 所以f(x)=x. (2)g(x)===1+. 可判断g(x)=1+在(1，+∞)上单调递减， 证明如下： 任取x1，x2∈(1，+∞)且x1>x2，则 g(x1)-g(x2)=1+-=-= 因为x1>x2>1，所以x2-x1<0，x1-1>0，x2-1>0， 所以g(x1)-g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)， 所以函数g(x)在(1，+∞)上单调递减. 17.(15分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系(其中30≤x≤50，且x∈N+)： x 30 40 45 50 y 60 30 15 0 (1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式；(7分) (2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润.(8分) 解　(1)由题表作出(30，60)，(40，30)，(45，15)，(50，0)的对应点，它们分布在一条直线上. 设它们所在直线为y=kx+b(k≠0)， 则解得 所以y=-3x+150(30≤x≤50，且x∈N+)， 经检验点(30，60)，(40，30)也在此直线上， 所以所求函数解析式为y=-3x+150(30≤x≤50，且x∈N+). (2)依题意得，P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30) =-3(x-40)2+300(30≤x≤50，且x∈N+). 所以当x=40时，P有最大值300，即销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润. 18.(17分)已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)+f(-x)=0，且当x<0时f(x)=x2+2x. (1)求f(x)的解析式；(8分) (2)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请补出函数f(x)的完整图象，并根据图象直接写出函数f(x)的单调区间及x∈[-2，2]时y=f(x)的值域.(9分) 解　(1)∵f(x)+f(-x)=0，∴f(-x)=-f(x)，令x>0，则-x<0， 依题意知f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x，即-f(x)=x2-2x，故f(x)=-x2+2x； 当x=0时，f(0)+f(0)=0，故f(0)=0， 故f(x)的解析式为f(x)= (2)由f(-x)=-f(x)，知f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故函数f(x)的完整图象如图所示， 由图象可知，函数f(x)的单调递减区间是(-∞，-1]和[1，+∞)，单调递增区间是(-1，1).x∈[-2，2]时y=f(x)的值域为[-1，1]. 19.(17分)已知函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)同时满足下列3个条件：①对任意的实数x，y，f(x+y)=f(x)+f(y)+2恒成立；②当x>0时，f(x)<-2；③f(1)=-3. (1)求f(0)及f(-1)的值；(3分) (2)求证：函数y=f(x)+2既是R上的奇函数，同时又是R上的减函数；(7分) (3)若f -2f >2，求实数t的取值范围.(7分) (1)解　当x=y=0时，由题意得f(0+0)=f(0)+f(0)+2，解得f(0)=-2， 当x=1，y=-1时，由题意f(1-1)=f(1)+f(-1)+2，解得f(-1)=-1. (2)证明　令g(x)=f(x)+2，则g(0)=f(0)+2=0， 任取x∈R，则g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)+4=f(x-x)+2=0，即g(x)=-g(-x)， 所以函数y=f(x)+2是R上的奇函数； 任取x1，x2∈R，且x1>x2，则x1-x2>0，故f(x1-x2)<-2， f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2)+2<-2+f(x2)+2=f(x2)， 故f(x1)<f(x2)，f(x1)+2<f(x2)+2， 即g(x1)<g(x2)，所以函数y=f(x)+2是R上的减函数. (3)解　因为f=f(x)+f+2， 令x=y可得f(2x)=2f(x)+2， 所以f=2f +2， 又因为f -2f >2， 所以f >f 所以f +2>f+2， 即g>g 由(2)可知g(x)是R上的减函数， 所以t2<3t-2，解得3-<t<3+ 故实数t的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $