3.2.1 单调性与最大（小）值（二）（分层作业·练知识）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础巩固到高考衔接，覆盖单调性与最值7个核心知识点，通过阶梯式题型培养数学思维与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|单一知识点（求最值、已知最值求参等）|基础题型（选择、填空、解答），夯实概念理解与运算能力| |B组|多知识点综合（分段函数、恒成立问题）|含多选、新定义题，提升逻辑推理与问题解决能力| |C组|复杂情境应用（高斯函数、创新定义）|培养创新意识与批判性思维，深化数学眼光| |拓展|高考真题对接|强化数学语言表达与跨学科应用意识，衔接升学需求|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.2.1单调性与最大（小）值（二) 目录 A组巩固过关 知识点01求函数的最值 知识，点02已知函数的最值求参 知识点03根据函数的值域求定义域范围 知识点04已知函数存在最大（小）值求参 知识，点05分段函数值域求参 知识点06利用恒成立与能成立问题求函数最值 知识点07分类讨论函数的单调性求最值 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 A组 巩固过关 知识占01 求函数的最值 1.(25-26高一上·福建宁德·期末)己知函数f(x)=-x+1,g(x)=(x-1),用M(x)表示f(x), g(x)中的最大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)》,则M(x)的最小值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 2.（2526高一上·山西大同·期中）若。6R记maxa6时= a,a>b, 6,a≤b,函数 f(x)=max{4-x,x2-2x+2},若r∈R,使得f(x)≤2m-3成立，则m的最小值为() 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 A.2 c.2 D.2 ,x≥1 3.(24-25高一上·福建厦门·期中)函数f(x)= 的最大值为 -x2+2,x<1 4.（25-26高一上·浙江杭州·期中)已知函数f)=2x+ x+1, (1)判断函数在区间[山，+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论. (②)求该函数在区间小，4]上的最大值与最小值. 知识占02 己知函数的最值求参 1.（25-26高一上·辽宁锦州·期未)若函数f()=2红+m x+1在区间[0，]上的最大值为1，则实数m=( A.0 B.1 C.2 D.0或1 2.《2526商一上·广东东莞·阶段检测)已知函数)--x-5在1m上的最大值为m,则 m=() A.-2 B.2 C.5 D.7 3.(25-26高一上·河南洛阳·期中)己知函数f(x)=-2+4x+a,x∈[0，，若f(x)有最小值-2，则 f(x)的最大值为() A.-2 B.2 C.-1 D.1 4,(24-25高一上·上海·期末)已知函数y=x-2ar-1+a,x∈[0,1的最小值为-3，则a= 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识占03 根据函数的值域求定义域范围 1. (25-26高一上·安徽马鞍山·期中)函数yx2-2xr-3的定义域是[0，a,值域是[4，-3]，则实数a 的取值范围是() A.L,2] B.,3] c.,4 D.[1,+0) 2.(25-26高一上·福建莆田·期中)已知函数y=x2-4x+3在闭区间[0，m]上有最大值为3，最小值为-1， 则m的取值范围是() A.[2,+∞) B.[2,4] C.(-0,2] D.[0,2] 1 +2,x<c 3.(25-26高一上·江西南昌·期中)已知函数f(x)= ，若 的值域为。 则 x2-2x+3,c≤x≤3f(x) [2,6] 实数C的取值范围() B.0 C.[-1,0) 4.(24-25高一上·四川成都·期中)定义一种运算min{a,b}= a,a≤b ba>b,设 f(x)=min{-x2+2x+4,x-t}(t为常数，且x∈[-3,3]).若函数f(x)的最大值为4，则t的取值集合为 知识占0☑ 已知函数存在最大（小）值求参 1.(24-25高一上·陕西咸阳·期中)若函数y=-x+(m+3)x+1在区间(2,3)内存在最大值，则m的取 值范围是() A.（-2,0) B.（-3,-1) c.(0,2) D.(1,3) 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -x-k2+1,x<0 2.(25-26高一上·北京·期中)己知函数f(x)= -2x+k20,若函数fy存在最小值，则实数6 的取值范围为() A.（-2,1) B.[-2, c.（-∞，-2U(1,+∞) D.（-0,-2]U[L,+o) 3.(24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末)函数f()=x(:-4)在[m,川上的最小值为一4，最大值是 5,则n-m的最大值为() A.7+22 B.7-22 C.6 D.7 [x2+mx+1,x≤0 车.（24-25商一上·山东烟台·期中)若函数()x++mx>0的最小值为 则实数的取值 (0) 范围为 -x2+ax+1,x≤1 5.(23-24高一上·北京石景山·期末)已知函数f(x)= ax,x>1 (1)若a=0,则f(x)的最大值是一： (2)若f(x)存在最大值，则a的取值范围为一一一 知识占n5 分段函数值域范围求参 1-a)x+2a,x<1, 1. (2025·山东威海·三模)已知函数f(x)= 1 x--,x≥1. 的值域为，则的取值范围是 () A.(-o,1) B.(-1,+o) c.[-1,1) D.(1,+o) 1-2m)x+3m,x<1 2.(24-25高一上·湖北宜昌·阶段检测)己知函数f()= x2,x21 的值域为R,则m的取值 范围是 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3-m)x+3m,x<2 3.(25-26高一上·上海·期末)已知函数y= x2,x≥2 的值域为，则实数的取值范围为 R x2-2x+2,x20 4.(25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末)已知函数y= x++3a,x<0的值域为，则实数的取值 R 范围为 知识占06 利用恒成立与能成立问题求函数最值 1,(25-26高一上·贵州六盘水·期中)一元二次不等式x2-mx-1≤0在区间[2,4上恒成立，则实数m 的取值范围是( B. c[3 [臣 D. 2.（2324高二下·山东德州·阶段检测)已知函数f)=4r-8-9 -2’x∈[0,1]： g(x)=x2-4r-2m(m21),若对于任意x∈[0，，总存在，∈[0，，使得f(:)=g(x)成立，则实数m 的取值范围为() 32 B.) c.[l2] 3.(23-24高一上·北京·期中)若不等式k+cx≤x2+3对于x∈[0，+∞)恒成立，则实数k的取值范围是 4、(256商-下·山东游坊·期中)已知腰数f-父-a+x+2aR,8()”若对征京的 与L2小总存在5[2引使化)5g)成立，则实数的取位花国为 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 反《2535育-上·果龙江齐苏哈尔·阶段检测)两数f)-*6满足70-2了Q) (1)求f(x)的解析式： (②)用定义法证：f(x)为[，+∞)上的单调增函数： (3)设函数8()=2+1(k≠0)对于x∈[，3]，x,∈[1,4]使8(：)=f(G)成立，求k的范围 知识占07 分类讨论函数的单调性求最值 1. (25-26高一下·山西太原·开学考试)已知二次函数∫(x),满足当x=3时，f()取得最大值5，且 f(0)=-4」 (1)求二次函数f(x)的表达式： 2)若x∈[，t+4],求函数f(x)的最大值h(). 2.(23-24高一上·重庆渝北·期中)己知函数f(x)=x2-2ar+3(aeR)」 (1)若函数f(x)在(-0,2]上是减函数，求a的取值范围： (2)当x∈[-l,时，设函数f(x)的最小值为8(a),求函数g(a)的表达式. 3.(23-24高一上·天津河北·期末)给定函数f()=x+1,g(x)=(c-1),x∈R. (1)求不等式f()≥g()的解集： (2②)x∈R,用M()表示fx),g(x)中的最大者，记为M=maxf(x,g},用解析法表示函数M(): (3)设函数M(x)在[，t+上的最小值为()，求函数h()的表达式. B组 能力进阶 一、单选题 1.(225高一上·内蒙古包头·期中)已知0<x<兮，则离数y=0-3的最大值为() 6112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 A.12 1 1 C.6 D.3 b,azb 2。(25-26高一上·湖南长沙·期末)若定义运算00b-Q.a<b,则函数f似=x02-y的值域为( ) A.(0, B.（-o,1) c.(-o,] D.[l,+o) 3.(25-26高一上·安徽滁州·期末)max{f(),g(x}表示f(x)与g(x)中的较大者.设 h(x)=max{x+1,-x2+2xr+3,则函数h(x)的最小值是() A.-2 B.-1 C.0 D.3 15 4.（23-24高一上·北京·期中)已知函数y=-x2-2x+3在区间[a,2]上的最大值为4，则a等于( ) A.2 B.Z 1 3 C.-2 D.或2 5.(23-24高一上·河南郑州·期中)若函数y=a2+1在l,2]上的最大值与最小值的差为3，则实数a的 值是() A.1 B.-1 C.1或-1 D.0 x+1,x<1, 6.《23-24高-上·江苏宿迁·期中)若函数/(-，x≥1 存在最大值，则实数的取值范围为( ) A.(0,2] B.（-0,2] 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.(2,+o) D.[2,+o) 二、多选题 7.(25-26高一上·河南信阳·期中)下列函数中最小值为4的是() A.y=x2-6x+13 C.y=x+-1 D.y= x2+5 2>2 x2+1 8.(23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测)若函数y=x2-ax-3,x∈[-3,2]的最小值为-8，则a的值 为() B.-25 9 C.25 D.2 三、填空题 9.(25-26高一上·福建宁德·期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名 了“高斯函数”.设x∈R,用[)表示不超过x的最大整数，则y=[)标为高斯函数.例如 [35引-42-2，已知还数了间-日，则内的宜装为 10.(23-24高一上·江苏徐州·期中)己知函数f)= _1+l,x<c ，若 的值域为。，则 x2-2x+2,c≤x≤3f(x) [,] 实数C的取值范围是 四、解答题 1,-1≤x<0 11.(23-24高二下·广西玉林·期末)已知函数f()=x2-2x,0≤x≤3 -2x+9,3<x≤4 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 3-2-0】234 -2 (1)求f(3),f(4),f(()的值： 2)f(a)=1,求a的值： (3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数f(x)的值域（无需写出理由）· 12.(23-24高一上·四川凉山·期中)己知函数f(x)=x2-ax+4 (1)当a=3时，求f(x)在区间，3]上的值域： (2)若f(x)在区间[0,2]上的最大值为4，求a的取值范围. C组 思维拔高 1.(23-24高一上·山西长治·期末)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王 子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R,用[]表示不超过x的最大整数，则称y=[为 高新西数制如[22-12]-2，已知还数/国-士[x对》 则函数f(x)的值域为() A.[0,) B.(0,2) c.{0,号 D.{0,12} 26高上·山西大同·期中)已知函数@)三2x+L>0,若/在区间m)宝 大值，又有最小值，则n-m的最大值为() A.1 B.V2-1 C.V2+1 D.3 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26高一上·重庆·阶段检测)（多选）定义min{a,b}= a,a≤b b,a>b,若函数 =mn忙-3+3--3引3，且构在区间m川上的位碳为孕，则7m的位可以是（) A.1 B.2 7 C.4 D.2 (x-a)2,x≤0 4.(23-24高一上·福建福州·期中)设f(x)= 1+x>0,若是 的最小值，则a的取值范 f(0)f(x) 围是 5.(24-25高一上·广东汕头·期中)已知函数f(x)=(x-2)x+a(aeR), (1)当a=1时， ①求函数f(x)单调递增区间： ②求函数f(x)在区间[-4，的最大值： (②)当x∈[-3,3]时，记函数f(c)的最大值为g(a),求g(a)的表达式. 6.(24-25高一上·广东深圳·阶段检测)已知函数f(x)=3x2+x-l,g(x)=2x2-x-ad+x. (1)求关于x的不等式f(x)+3mx<4x+3m-1解集； ②)若a=1,求8(x)在x∈[-2,2]上的值域： (3)设p()=f(x)-g(x),记p(x)的最小值为h(a),求h(a)的最小值. 拓展 链接高考 1.(2003·全国·高考真题)函数f()1-x0-可的最大值是：（） 10/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.4 D.4 2.(2017·浙江·高考真题)若函数f(x)=x2+ax+b区间[0，]上的最大值是M,最小值是m,则 M-m的值() A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关 c.与a无关，且与b无关 D.与a无关，但与b有关 (x-a)2,x≤0 3.(2014·上海·高考真题)f()= x++a,x>0,若 1 是的最小值，则的取值范围为( f()f(x) a A.[-1,2] B.[-1,0] C.[1,2] D.[0,2] 4.(2014·安徽·高考真题)若函数f)=x+l+2x+4的最小值3，则实数a的值为() A.5或8 B.-1或5 C.-1或-4 D.-4或8 5.(2005·上海·高考真题)设函数f(x)的定义域为R,有下列三个命题：(1)若存在常数M,使得 对任意x∈R,有f()≤M,则M是函数f(x)的最大值：(2)若存在∈R,使得对任意x∈R,且 x≠x,有f(x)<f(),则f()是函数f(x)的最大值；(3)若存在x∈R,使得对任意x∈R,有 f(x)≤f(x),则f()是函数f(x)的最大值：这些命题中，真命题的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.(2008·湖南·高考真题已知函数)=3-(a≠). a-1 (1)若a>1,则f(x)的定义域是 (2)若f(x)在区间(0，]上是减函数，则实数a的取值范围是 R。（207·江·高考直想已奥。函数田x+a+Q在区间14上的最大值是5，则。 的取值范围是」 【答案】0， 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -x+a,x≤0 8.(2014·上海·高考真题)设f(x)= x+,x>0’若 是 的最小值，则的取值范围是 f(0)f(x) a 9. (2008·浙江·高考真题)已知t为常数，函数y=x2-2x-在区间[0,3】上的最大值为2，则1= 10.(208·上海·高考真题)已知函数y=K+品有如下性质：如果常数a>0:那么该两数在0，回1上是 减函数，在[Vā，+o∞)上是增函数 a如果西数y=x+二x>0)在0.4上是减函数，在4m上是增两数，求b的值： ②)设带数c[L,4,求函数f)=x+Q≤x≤2)的最大值和最小值： 3)当n是正整数时，研究函数8()=r+(c>0)的单调性，并说明理由 12/12 分层作业 3.2.1单调性与最大（小）值（二） 目 录 A组 巩固过关 知识点01 求函数的最值 知识点02 已知函数的最值求参 知识点03 根据函数的值域求定义域范围 知识点04 已知函数存在最大（小）值求参 知识点05 分段函数值域求参 知识点06 利用恒成立与能成立问题求函数最值 知识点07 分类讨论函数的单调性求最值 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )求函数的最值 1．（25-26高一上·福建宁德·期末）已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先确定函数的解析式，再分段求函数的最小值即可. 【详解】由或. 所以. 当时，； 当时，； 当时，. 综上可得，. 故选：B 2．（25-26高一上·山西大同·期中）若，，记函数，若，使得成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，所以转化为，即可得到. 【详解】由题意知， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 又，使得成立，所以，解得，即的最小值为. 故选：B. 3．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的最大值为_____________． 【答案】2 【分析】求出函数在每一段的最大值，再进行比较，即可得答案. 【详解】当时，函数为减函数，所以在处取得最大值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得最大值. 故函数的最大值为2. 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据单调性的定义，按照取值、作差、整理、定号，得结论的步骤，证明即可. （2）根据的单调性，结合条件，代入数据，即可得答案. 【详解】（1）在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. ( 知识点0 2 )已知函数的最值求参 1．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（ ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【详解】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A 2．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数在上的最大值为，则（ ） A． B．2 C．5 D．7 【答案】C 【分析】求得二次函数的对称轴，分和两种情况讨论，求解即可. 【详解】由，可得， 所以函数的对称轴为， 当时，， 又函数在上的最大值为， 所以，解得（舍去）， 当时，，所以， 所以，所以，解得或（舍去）. 故选：C. 3．（25-26高一上·河南洛阳·期中）已知函数，若有最小值-2，则的最大值为（ ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】D 【分析】根据二次函数性质可知函数在上单调递增，根据最小值求出a，再求出最大值. 【详解】由二次函数易得在上单调递增， 所以在的的最小值为，故， 所以，故在的的最大值为， 故选：D. 4．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的最小值为，则________. 【答案】或3 【分析】根据给定条件，按分类讨论求出最小值即可得解. 【详解】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此， 所以或. 故答案为：或3 ( 知识点0 3 )根据函数的值域求定义域范围 1．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）函数的定义域是，值域是，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得二次函数的对称轴，以及函数的最小值，由，即可得到所求的范围． 【详解】，可得对称轴为， 且且为最小值， 又由， 函数的定义域为，值域为， 可得， 即有的取值范围是， 故选：A． 2．（25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数在闭区间上有最大值为3，最小值为，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的对称性和最值，即可求解. 【详解】，函数的对称轴为， 且， 函数在闭区间上有最大值为3，最小值为， 则. 故选：B 3．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到从而求出c的取值范围. 【详解】对于函数， 当时，，当时，， 而，有， 依题意，，又，解得，则. 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意； 当，函数在上单调递增， 则，∴，解得， ∴实数的取值范围是. 故选：A 4．（24-25高一上·四川成都·期中）定义一种运算，设（t为常数，且）.若函数的最大值为4，则t的取值集合为_________. 【答案】 【分析】根据定义，先计算在上的最大值，然后利用条件函数最大值为4，确定的取值即可． 【详解】在上的最大值为5， 所以由，解得或， 所以时，， 所以要使函数最大值为4，则根据定义可知， 当时，的图象必须经过点， 即时，，此时解得，符合题意； 当时，的图象必须经过点， 即时，，此时解得，符合题意。 综上所述，或. 故答案为：. ( 知识点0 4 )已知函数存在最大（小）值求参 1．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质列式计算即可. 【详解】函数图象的对称轴为直线， 由函数在区间内存在最大值，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 2．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分析函数在各段的单调性，即可求出的取值范围，结合函数存在最小值得到不等式，解得即可. 【详解】因为， 当时，所以在上单调递减，则； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B 3．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）函数在上的最小值为－4，最大值是5，则的最大值为（ ） A． B． C．6 D．7 【答案】A 【分析】将函数写成分段函数，画出函数图象，分别求出和时自变量的值，结合图象得到的最大值. 【详解】函数的图象如下， 当时，，解得（舍去）， 当时解得（舍去）， 所以的最大值为， 故选：A 4．（24-25高一上·山东烟台·期中）若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果. 【详解】当时，，因为的图象关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当时，，当且仅当时等号成立； 若最小值为可得，即，解得； 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 5．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知函数， （1）若，则的最大值是______； （2）若存在最大值，则的取值范围为______. 【答案】； 【分析】（1）若，则，由二次函数的性质可得出答案； （2）当时，由（1）知，存在最大值，当时，若存在最大值，在应单调递减，所以，即可得出答案. 【详解】（1）若，则， 当时，，所以， 则的最大值是. （2）当时，由（1）知，存在最大值， 当时，若存在最大值，在应单调递减， 所以，且当时，，无最大值， 当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以存在最大值为. 故的取值范围为：. 故答案为：；. ( 知识点0 5 )分段函数值域范围求参 1．（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的单调性可得，当时，，然后结合其值域为，即可得到的值域，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为在单调递增，在单调递增， 所以当时，单调递增，则， 又函数的值域为， 所以时，函数的值域要取到的所有实数， 所以， 当时，即时，函数单调递增， 时，， 当时，，即， 所以，即的取值范围是. 故选：C 2．（24-25高一上·湖北宜昌·阶段检测）已知函数的值域为R，则m的取值范围是__________． 【答案】 【分析】要使得函数的值域为R，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由于的值域为R，当时，， 所以，解得． 故m的范围是. 故答案为：. 3．（25-26高一上·上海·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题可知该函数在上的值域包含，对实数的取值进行分类讨论，利用集合的包含关系可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】设， 当时，，即函数在上的值域为， 要使得函数的值域为，则该函数在上的值域包含， 若，即时，当时，，不符合题意； 若，即时，当时，，不符合题意； 若，即时，当时，， 所以函数在上的值域为， 由题意可得，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 4．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】由函数的值域为，分三种情况结合对勾函数性质求解即可. 【详解】当时，，此时， 当且时，， 此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，，所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是. 故答案为：. ( 知识点0 6 )利用恒成立与能成立问题求函数最值 1．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）一元二次不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得在区间上恒成立，结合函数的单调性求出，即可得解. 【详解】因为在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 又与均在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D 2．（23-24高二下·山东德州·阶段检测）已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用换元法将函数，转化为，利用双勾函数的性质求得的值域，根据二次函数的性质求得的值域，再根据对于任意，总存在，使得成立，则由的值域包含的值域求解. 【详解】，， ，， 设，则，则函数等价为， 由对勾函数的单调性可得， 时，单调递减， 时，单调递增， 当时，函数取得最小值，， 当时，，当时，， 设函数的值域为，则函数的值域； 由，在上是减函数， 则最大值为，最小值，， 设的值域为，则， 若对于任意，总存在，使得成立， 则等价为，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D． 【点睛】关键点点睛：根据对于任意，总存在，使得成立，得出的值域包含的值域，是解决本题的关键. 3．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对于恒成立，则实数k的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据给定条件，分离参数结合基本不等式求出最小值即可. 【详解】对，则，可得不等式恒成立， 而， 当且仅当，即时取等号， 因此，所以k的范围为. 故答案为： 4．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】先根据参数分类求出函数在上的最大值，再由在上单调递增，求出其最大值，结合题意，可得，分别求解不等式即得参数的范围. 【详解】对于，其对称轴为直线，因， 则当时，即时，； 当时，即时，. 对于在上单调递增，故. 因对任意的，总存在，使成立，即. 则当时，由解得，故得； 当时，由解得，故得. 综上可得实数a的取值范围为. 5．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）函数满足， (1)求的解析式； (2)用定义法证：为上的单调增函数； (3)设函数对于，使成立，求k的范围. 【答案】(1) (2)由（1）可知，设，且， 则， 因为，所以，，则， 所以， 所以为上的单调增函数. (3) 【分析】（1）利用建立方程即可求解； （2）利用定义设，且，比较与大小即可得到单调性； （3）根据题意，求出，要使，使成立，则，然后分，两种情况求解即可. 【详解】（1）因为，所以，解得， 则， 所以的解析式为. （2）略 （3）由（2）知，时，， 所以要使，使成立， 只需要使， 因为， ①若，则在上单调递增，则， 所以，解得， ②若，则在上单调递减，则， 所以，解得无解， 所以综上，. ( 知识点0 7 )分类讨论函数的单调性求最值 1．（25-26高一下·山西太原·开学考试）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设出二次函数顶点式，代入即可求解； （2）分类讨论与对称轴的关系，结合二次函数单调性即可求解. 【详解】（1）由二次函数，满足当时，取得最大值5， 可设二次函数， 又因为，所以， 即二次函数； （2）由（1）知二次函数， 当，有，此时的最大值， 当时，则，此时在上单调递增， 即的最大值， 当时，则，此时在上单调递减， 即的最大值， 综上可得：． 2．（23-24高一上·重庆渝北·期中）已知函数． (1)若函数在上是减函数，求的取值范围； (2)当时，设函数的最小值为，求函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单调区间与对称轴的关系求解； （2）分对称轴与区间的关系求函数最小值. 【详解】（1）函数对称轴为，开口向上， 又函数在上是减函数，所以. （2）函数对称轴为，开口向上， ①当时，函数在上单调递增，所以； ②当时，函数在上先单调递减后单调递增， 所以； ③当时，函数在上单调递减，所以． 故； 3．（23-24高一上·天津河北·期末）给定函数，，． (1)求不等式的解集； (2)，用表示，中的最大者，记为，用解析法表示函数； (3)设函数在上的最小值为，求函数的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案. （2）根据和的图象来求得的解析式. （3）画出的图象，对进行分类讨论，从而求得. 【详解】（1）不等式即， ，解得， 所以不等式的解集为. （2）由解得或， 画出和的图象如下图所示， 而， 由图可知. （3）画出的图象如下图所示， 当时，. 当时，， 当时，， 当时，. 所以. 【点睛】一元二次不等式的解法是：将一元二次不等式化成或，其中，然后借助因式分解或配方法求解，口诀为“大于取两边，小于取中间”. 一、单选题 1．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知，则函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理函数解析式，得到函数对称轴，即可求得函数最大值. 【详解】函数， 二次函数开口向下，且函数对称轴为， ∵， ∴函数的最大值为. 故选：A. 2．（25-26高一上·湖南长沙·期末）若定义运算，则函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出的解析式，再分段求出函数的取值范围，即可得到函数的值域. 【详解】令，解得，所以， 当时，则在上单调递减，则， 即； 当时，则，即； 综上可得函数的值域为. 故选：C 3．（25-26高一上·安徽滁州·期末）表示与中的较大者.设，则函数的最小值是（ ） A． B． C．0 D．3 【答案】C 【分析】通过对题目的分析，将函数分情况讨论，转化为分段函数后求解最小值即可. 【详解】令得或，则， 所以函数在上单调递减，当时，， 当时，，此时， 函数在上单调递增，当时，， 故， 故选：C. 4．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在区间上的最大值为，则等于（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】求得函数的对称轴，对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，对称轴的方程为， 当时，则时，函数取得最大值，不满足题意； 当时，可函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 解得或（舍去）. 故选：C. 5．（23-24高一上·河南郑州·期中）若函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数a的值是（ ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】C 【分析】本题考查二次函数在给定区间最值问题，将系数与0比较分类讨论函数在区间的单调性即可求解. 【详解】当时，，为常值函数，显然不合题意，舍去； 当时，为开口向上，对称轴为y轴的二次函数， 所以它在区间严格增，所以，所以; 当时，为开口向下，对称轴为y轴的二次函数， 所以它在区间严格减，所以，所以; 故选：C. 6．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，，无最大值，所以函数在时取到最大值，然后根据反比例函数的图像和性质分析即可. 【详解】当时，， 又函数存在最大值， 所以函数在时取到最大值，又时，， 当时，显然不合题意，当时，为反比例函数， 所以，故， 故选：D. 二、多选题 7．（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数中最小值为4的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二次函数，函数单调性和基本不等式求最小值，就可作出判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为在上单调递增，所以，故B错误； 对于C，当时，，当且仅当取到等号，故C正确； 对于D，，当且仅当取到等号，故D正确； 故选：ACD. 8．（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若函数的最小值为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】求出函数的对称轴，分、、三种情况，分别求出函数的最小值，即可求出参数的值. 【详解】函数开口向上，对称轴为， 若，即时，解得或（舍去）， 若，即时，函数在上单调递减，所以，解得， 若，即时，函数在上单调递增，所以，解得（舍去）， 综上可得或. 故选：BD 三、填空题 9．（25-26高一上·福建宁德·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则标为高斯函数.例如，已知函数，则的值域为__________. 【答案】 【分析】利用高斯函数的定义得到的解析式，作出函数图象，进而得到值域即可. 【详解】由高斯函数的定义可得： 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则， 当时，，且每段函数都是单调递减的，每段的左端点的函数值都为1； 当时，，且每段函数都是单调递增的，每段的左端点的函数值都为1. 绘制的图象，如图所示， 由图可知，的值域为. 故答案为： 10．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据给定条件，由函数最小值为1可得，再按结合的取值情况求解即得. 【详解】函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，即，又，则有， 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 于是，函数在上单调递增，则， 有，因此， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：(1)分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑； (2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． 四、解答题 11．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知函数 (1)求，，的值; (2)，求a的值； (3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）. 【答案】(1)3；1； (2)或4. (3)答案见解析，. 【分析】（1）根据题意给的函数解析式直接求解即可； （2）分类讨论当、、时，根据求出对应的a值即可； （3）由函数解析式画出函数图象，结合图形即可得出函数的值域. 【详解】（1）函数， ，，， . （2）①当时，，（舍去）； ②当时，，解得， 又，； ③当时，，. 综上所述，的值为或4. （3）函数的图象，如图： 由图象可知，函数的值域为. 12．（23-24高一上·四川凉山·期中）已知函数 (1)当时，求在区间上的值域； (2)若在区间上的最大值为4，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接代入，根据二次函数的性质即可得到值域； （2）根据题意转化为，代入计算即可. 【详解】（1）当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， ， 所以在区间上的值域为. （2）因为，，开口向上， 则的最大值为和两个中的较大者， 而，要使在区间上的最大值为4，则， ， 故的取值范围为. 1．（23-24高一上·山西长治·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义，结合分类讨论，即可求解. 【详解】当时，； 当时，,；此时 当时，,． 故,则的值域为． 故选：A． 2．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，再利用函数在开区间上既有最大值又有最小值的条件，列式求解即可. 【详解】由题意，当时，， 根据图像，可得当时，单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为， 当时，由，解得， 当时，， 根据图像，当时，单调递减，值域为， 当时，由，解得， 因为在区间上既有最大值，又有最小值， 所以，所以，所以， 即的最大值为. 故选：C 3．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则的值可以是（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，求得，再画出函数的图象，结合图象求出的范围即可判断得解. 【详解】由，解得；由，得或， 则函数的图象（实线部分）如图，其中， 当时，由，得；由，得， 当或，由，得或；由，得， 图象中点 观察图象知，当或时，函数在上的值域为， 当时，，当时，， 因此的取值范围是，选项ABC满足题意，D不满足题意. 故选：ABC 4．（23-24高一上·福建福州·期中）设，若是的最小值，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用二次函数与反比例函数的性质，结合分段函数的最值即可得解. 【详解】因为， 当时，； 当时，开口向上，对称轴为， 又是的最小值，， 所以，解得，故a的取值范围为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数， (1)当时， ①求函数单调递增区间； ②求函数在区间的最大值； (2)当时，记函数的最大值为，求的表达式. 【答案】(1)①；②0 (2) 【分析】（1）①分和讨论，结合二次函数的性质可得； ②由二次函数的单调性可得； （2）先求出分段函数的表达式，再结合函数参数的二次函数的对称轴和单调性讨论最值即可； 【详解】（1）①当时，； 当时，，在上单调递增； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：的单调递增区间为. ②由①知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ；，，， 在上的最大值是0. （2）由题意得：， ①当，即时，时，，对称轴为； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， ； ②当，即时，若，；若，； 当时，，对称轴， 在上单调递增，； ③当，即时，， 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ； 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ， 若，即时，； 若，即时，； 综上所述：. 6．（24-25高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数． (1)求关于的不等式解集； (2)若，求在上的值域； (3)设，记的最小值为，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）将不等式转化为，分三种情况求出解集； （2）求出的分段函数，求出的单调区间，求出在上的值域； （3）求出，分、和三种情况求出，求出的最小值. 【详解】（1）由， 即不等式转化为， 则，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （2）， 当， 在单调递减，在单调递增， ，函数在上值域为， 当在单调递增， ，函数在上值域为， 综上所述，函数在上值域为； （3）由题意可知，， ①当时，根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，在上单调递增， 函数的最小值为； ②当时，根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，在上单调递增， 函数的最小值为； ③当时，根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，在上单调递增， 故函数的最小值为， 综上所述，， 当时，函数的最小值为，此时； 当时，函数的最小值为，此时； 当时，函数的最小值为，此时． 综上所述，的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题（3）关键在于分、和三种情况求出. 1．（2003·全国·高考真题）函数的最大值是：（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数式的分母是二次函数，求出分母的取值范围后利用不等式的性质可得结论． 【详解】∵， ∴，最大值为． 故选：A. 【点睛】本题考查求函数的最值，利用二次函数的性质和不等式的性质易得． 2．（2017·浙江·高考真题）若函数区间上的最大值是，最小值是，则的值（ ） A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 【答案】B 【详解】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B． 【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 3．（2014·上海·高考真题）若是的最小值，则的取值范围为（ ） A．[-1,2] B．[-1，0] C．[1，2] D． 【答案】D 【详解】由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D． 【考点】分段函数的单调性与最值问题． 4．（2014·安徽·高考真题）若函数的最小值3，则实数的值为（ ） A．5或8 B．或5 C．或 D．或 【答案】D 【详解】试题分析：由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D. 5．（2005·上海·高考真题）设函数的定义域为，有下列三个命题：（1）若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；（2）若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；（3）若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值；这些命题中，真命题的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】根据函数最大值定义进行逐个判断. 【详解】对于（1），M不一定是函数f(x)中的值，可能“=”不能取到，故其不正确； 因为函数最大值的定义是存在一个函数值不小于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值，故（2）（3）正确. 综上可知正确的有2个. 故选C. 【点睛】本题是一道关于函数最大值的题目，解答本题的关键是熟练掌握函数最大值的定义：存在一个函数值不小于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值，属于概念辨析，属于基础题. 6．（2008·湖南·高考真题）已知函数． （1）若，则的定义域是___________； （2）若在区间上是减函数，则实数的取值范围是___________． 【答案】； 【分析】（1）利用具体函数定义域求法即可得到的定义域； （2）分类讨论与两种情况，结合的取值范围与单调性即可得解. 【详解】（1）因为，，所以，即，故， 所以的定义域为； （2）当，即时，要使在区间上是减函数，需要在上是减函数，同时恒成立，即， 因为，即，所以在上是减函数显然成立，此时，则，得，故； 当，即时，要使在区间上是减函数，需要在上是增函数，同时恒成立， 所以，即，此时显然成立； 综上：或，即. 故答案为：；. 7．（2017·浙江·高考真题）已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】，分类讨论： ①当时，， 函数的最大值，舍去； ②当时，，此时命题成立； ③当时，，则： 或，解得：或 综上可得，实数的取值范围是． 【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论． 8．（2014·上海·高考真题）设，若是的最小值，则的取值范围是________________. 【答案】 【详解】由题意，当时，的极小值为，当时，极小值为，是的最小值，则. 【考点】函数的最值问题.. 9．（2008·浙江·高考真题）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则_____________ 【答案】1 【详解】显然函数的最大值只能在或时取到， 若在时取到，则，得或 ，时，；，时，（舍去）； 若在时取到，则，得或 ，时，；，时，（舍去） 所以 10．（2006·上海·高考真题）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)如果函数在上是减函数，在上是增函数，求b的值； (2)设常数，求函数的最大值和最小值； (3)当n是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由. 【答案】(1)4； (2)见解析； (3)见解析. 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； （2）根据题意得到的单调性，然后根据单调性和端点处函数值的大小求最值即可； （3）利用单调性的定义和奇偶性的性质判断单调性即可. 【详解】（1），所以由题可知，，解得. （2）因为，所以，所以在上单调递减，上单调递增，所以， 又，，所以当时，最大值为； 当时，最大值为， 综上所述，的最小值为， 当时，的最大值为， 当时，的最大值为. （3）设，， 因为为正整数，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 的定义域为，关于原点对称，当为奇数时，，所以此时为奇函数，当为偶数时，，所以此时为偶函数， 所以当为奇数时，在，上单调递增，在，上单调递减； 当为偶数时，在，上单调递增，在，上单调递减. 17 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 分层作业 3.2.1单调性与最大（小）值 参考答案 A组 巩固过关 知识占01 求函数的最值 1.B;2.B;3.2 4.【答案】(1)f()在，+∞)上的单调递增，证明如下： 在+∞)内任取x,x,且<x2, f0x)-f)=2+12x+1-2x+10+)-2,+1x+D_x-3 x+1x2+1 (x+1)(x2+1) (x+1)(x2+1) 因为1≤x<x,所以x+1>0,x2+1>0,x-x2<0, 所-)G总0，即G 所以f(x)在L,+o)上的单调递增 (2)由(1)得f()在山，4]上的单调递增， 所以f)的最大值为④-号，f的最小值为10 9 2 知识占02 已知函数的最值求参 1.A;2.C;3.D:4.-2或3 1/10 O 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识占03 根据函数的值域求定义域范围 1.A:2.B;3.A:4.{2,4} 知识占04 已知函数存在最大（小）值求参 1.D:2.B:3.A:4.-1,0]:5.1:(-0,0 知识点05 分段函数值域范围求参 1.C2. 02:3.【-2,3):4.（m,0)+o) 知迎占0k 利用恒成立与能成立问题求函数最值 1.D;2.D:3.（-0,2]4.[0,+∞) (1+a=2 1+b 5.【答案】(1)因为 f0=2f2)= ’所以4+a_5,解得a=1 2+b2 b=0 则f(x)=+1 ,1 x 所以()的解析式为四=x+x*0)】 (2)略 3》南2知，5e时.fe)29] 所以要使x∈[L,3],3,∈[1,4]使g(:)=f(:)成立， 只需要西e取4使29]=86)， 因为8(x)=2+1(k≠0)， 2110 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①若k>0,则8(x)=2+1在1,4]上单调递增，则g(x)∈[k+1,16k+, [k+1≤2 所以 6+129解得ke[ ②若k<0,则g(x)=x2+1在[，4]上单调递减，则g(x)∈[16k+1,k+1], 16k+1≤2 所 k+1≥10，解得无解， k 所以综上， 48 知识占07 分类讨论函数的单调性求最值 L.【答案】(1)由二次函数f(x),满足当x=3时，f(x)取得最大值5， 可设二次函数f(x)=a(x-3)+5, 又因为f(0)=-4,所以9a+5=-4→a=-1, 即二次函数f(x)=-(x-3)}+5: (2)由(1)知二次函数f(x)=-x-3)+5, 当t∈[-l,3],有3∈[，t+4],此时f()的最大值h()=5, 当t∈(-o,-l)时，则，t+4=（-o,3],此时f(x)在[，t+4]上单调递增， 即f(x)的最大值h()=f(t+4)=-(t+1)+5, 当t∈(3，+o)时，则，t+4]s[3,+∞)，此时f(x)在[，t+4]上单调递减， 即f(x)的最大值h()=f()=-(t-3+5, -(t+1}+5,t∈(-o,-1) 综上可得：h(0)=5,t∈[-l,3] -(t-3)}+5,te(3,+o) 2.【答案】(1)函数f(x)=x-2ax+3(a∈R)对称轴为x=a,开口向上， 又函数f()在(-0,2]上是减函数，所以a≥2 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com (2)函数f()=r2-2ar+3(aeR)对称轴为x=a,开口向上， ①当a<-1时，函数在[-1，上单调递增，所以g(a)=f(x)=f(-1) ②当-1≤a≤1时，函数在1，刂上先单调递减后单调递增， 所以8(a)=f(x)n=f(a）=3-a2: ③当a>1时，函数在-l,]上单调递减，所以g(a)=f(x)m=f()=4 4+2a,a<-1 故8(a)=3-a2,-1≤a≤1： 4-2a,a>1 3.【答案】(1)不等式f(x)≥g(x)即x+1≥(x-1)/,x+12x2-2x+1, x2-3x=x(x-3)≤0，解得0≤x≤3， 所以不等式f()≥g()的解集为[0,3]， (2)由f(x)=g(x)解得x=0或x=3, 画出f()和g(x)的图象如下图所示， 而M()=max{f(x,g(x)}, (x-1)2,x<0 由图可知M(x)=x+1,0≤x≤3 (x-1)2,x>3 x)=x+1 g(x)片c-1)2 210 123x (3)画出M(x)的图象如下图所示， 当t+1≤0，t≤-1时，h(t)=M(t+1)=(t+1-1)2=t2 当t<0<t+1,-1<t<0时，h()=M(0)=1, 当0≤t≤3时，h()=M()=t+1, 当t>3时，h()=M()=(t-1). 4/10 上好每一堂课 4+2a: 2a 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [t2,t≤-1 1,-1<t<0 所以h()= t+1,0≤t≤3 (t-1),t>3 0 【点睛】一元二次不等式的解法是：将一元二次不等式化成ar+br+c>(仑0)或ax2+bx+c<(≤0)，其中 a>0,然后借助因式分解或配方法求解，口诀为“大于取两边，小于取中间”， B组 能力进阶 一、单选题 1.A;2.C:3.C;4.C:5.C;6.D 二、多选题 7.ACD:8.BD 三、填空题 9.ou2)1o.【l 四、解答题 L,-1sx<0 11.【答案】(1)函数f()= x2-2x,0≤x≤3， -2x+9,3<x≤4 .f(3)=32-2×3=3,f(4)=-2×4+9=1,f0=1-2=-1, 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴f0=f-=号=-1 2)①当a0时，@=。=1，a1(舍去) ②当0≤a≤3时，f(a)=a2-2a=1,解得a=1±V2, 又0≤a≤3，a=1+V2; ③当3<a≤4时，f(a)=-2a+9=1,a=4 综上所述，a的值为1+√2或4 (3)函数f(x)的图象，如图： -3-2-10外234x 由图象可知，函数f(x)的值域为(-∞，3] 则在上单调减在3上单调增。 =f)子w=r=4 所以付)在区间L习上的值装为子4 (2)因为f(x)=x2-ax+4,x∈[0,2]，开口向上， 则f(x)的最大值为f(0)和f(2)两个中的较大者， 而f(0)=4,要使f(x)在区间[0,2]上的最大值为4，则f(2)≤4， ∴.4-2a+4≤4，.a≥2， 故a的取值范围为[2，+∞)】 6110 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1.A:2.C:3.ABC:4.0≤a≤1 5.【答案】(1)①当a=1时，f(x)=(x-2+1: 当x≤-1时，f(x)=(x-2)(-x-l)=-x2+x+2,·f(x)在(-0，刂上单调递增： 当x>-1时，f(x)=(x-2)(x+1)=x2-x-2, :内在》上单适减。在[及+树上单酒适带： 综上所述：四的单调港湘区同为（区-世 ②由0知：f(x)在[-4，-刂上单调递增， 在(》上单调运成，在行]上单调递始。 .f(x)x=max{f(-l),f(};f(-1)=0,f(0)=-2,∴f(x)x=0, ∴.f(x)在[4，上的最大值是0. (2)由题意得：f()= (x-2)(x+a)=x2+(a-2)x-2a,x2-a -(x-2)(x+a)=-x2+(2-a)x+2a,x<-a' ①当-a≥3即a≤=3时，xe33时，f)=-+-ax+2a,对称轴为x=2,≥ 22: 2,≥3，即g区4时，f)在[3,3止单涧莲增，六8@)=/6)=-3 当 22<,即4a-3时，f[32 2 上单调递减， 2 o)-2）4o4, ②当-a≤2，即a≥-2时，若x∈[-3,2]，f(x)≤0：若x∈(2,3]，f(x)>0: 当xe2,3]时f(=+a-2-2a,对称轴x=2,≤2 2 ∴f(x)在(2,3]上单调递增，∴g(a)=f(3)=a+3, ⑧当2<-a<3副-3<a<2时，2<2<5， 2 当202-0，即-25a<2时， 当2 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2-a f(x)在[-3，-a)上单调递增， ∴g(a)=max{f(-a),f(3)}=max{0,a+3}=a+3: 2,4<-a,即-3<a<-2时， 2 问在[82）上单调造增，在…上单润选减，在（上单调港带。 若a+3≥a+4a+4 4 即-22≤a<-2时，g(a)=a+3 若a+3<a+4a+4 ,即-3<a<-25时ga)=+4如+4 4 4： a+3,a≥-2√2 综上所述：g(a)= g+4a+4,-4<a<-22 4 -a-3,a≤-4 6.【答案】(1)由f(x)+3mx<4x+3m-1, 即不等式转化为x2+(m-1)x-m<0, 则(x+m(x-)<0,当m<1时，不等式的解集为{x1<x<-m: 当m>1时，不等式的解集为{xm<x<1: 当m=-1时，不等式的解集为⑦： (2)g()=2x2-x-1+x= 2x2+1,x≥1 2x2+2x-1,x<1' 当x∈[-2,1)，g(x)=2x2+2x-1. g问在[2》单调递减在（单调通增。 司引8(2小-3，西数问在xe2止值该为] 当x∈[1,2]，g()=2x2+山，g()在[，2]单调递增， g()=3,g(2)=9,函数8(x)在x∈1,2]上值域为[3,9]， 8110 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 除上述属数ε的，a位装[ (3)由题意可知，p(x)= x2+x-a-1,xza x2-x+a-1,x<a' 1 ①当a<-5时， 根据二次函数的性质，可知两数日在血司单调递诚，在行松上单调适增。 1 5 函数(x)的最小值为 -a 2-4 ②当2≤a≤2时，根据二次函数的性质，可知函数p(x)在(o,d]单调递减，在(a,+o)上单调递增， :.函数p(x)的最小值为p(a)=a2-1: ③当a>2时， 根据=次函数的性质，可知商数o在“司单调送减，在2+树)上单调递神。 5 故函数(x)的最小值为 =a- 2 4￥ q-a,as- 1 2 综上所述，h(a)={a2-l, 11 <a≤ 2 2 a,a2 5 1 4 当a≤-时，函数p()的最小恒为？a,此时4(@)2}： 5 1 当2<a≤2时，函数p(x)的最小值为a2-1'此时h(a)2-l: 当a> 时，函数o()的最小值为吾+a,此时@)上-。 5 综上所述，h(a)的最小值为-1. 11 【点睛】关键点点睛：本题(3)关键在于分a<- 2和a>2三种情况求出(a) 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ● 拓展 链接高考 1.A:2.B:3.D:4.D;5.C 3 9 6.（-,a:(,0U1,37.（0,1:8.(0,2:9.1 10.【答案】(1)2>0，所以由题可知，√2=4，解得b=4。 （2)因为c∈L,4,所以c∈[L,2],所以f(x)在[l,N]上单调递减，[，2]上单调递增，所以 f(x)=f(Vc)=2Vc. 又f0=1+c,f(2)=2+5,所以当ceL,2]时，最大值为f(2)=2+: 当c∈[2,4]时，最大值为f()=1+c, 综上所述，f(x)的最小值为2， 当ce.2]时。了()的最大值为2+气 当c∈[2,4]时，f()的最大值为1+c. a)0五<8s)小8)=5+后台-化-) 因为n为正整数，所以x-x”>0, 当c<x<x时，g(x)>g(x),函数g(x)在(6，+∞)上单调递增， 当0<：<为，<C时，g(x)<g(x),函数g(x)在(0，C)上单调递减， 8(x)的定义域为x≠0，关于原点对称，当n为奇数时，g()=-g(),所以此时8(x)为奇函数，当n为 偶数时，g(-x)=g(x),所以此时8()为偶函数， 所以当n为奇数时，g(x)在(-0，-2)，(c,+∞)上单调递增，在（-c,0),(0,)上单调递减： 当n为偶数时，g(x)在(c,0）,(c,+∞)上单调递增，在(-0，-)，(0，)上单调递减 10/10