专题01 集合含参数问题的七类综合题型（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合含参数问题，通过通法归纳-题型精讲-压轴挑战三级体系，系统提炼分类讨论等核心方法，构建从基础到压轴的知识逻辑链，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心解法|分类讨论空集/系数/端点，参数结果合规检验|从集合基本概念延伸至含参问题通法，奠定思维基础| |七类题型|每题型1典例+3变式|元素关系互异性检验，集合关系空集讨论，运算转化子集关系，命题真假转化否命题|从元素关系到命题真假，层层递进，以题载法，强化逻辑推理| |压轴挑战|10题|综合应用多类方法，突破复杂情境参数求解|整合前序知识，提升数学眼光与问题解决能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01集合含参数问题的七类综合题型 目录 通法归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一元素与集合的关系求参数 题型二集合间关系求参数 题型三集合的运算求参数 题型四集合中元素的个数求参数 题型五子集与真子集的个数求参数 题型六充分条件与必要条件求参数 题型七命题的真假求参数 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 同通法归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 集合含参数问题是高一数学核心重难点，所有题型均围绕含参问题进行考察，所涉及的方面为：列举 法、一元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式、一元二次不等式展开，解题方法中需要注意：一分 类讨论是否可以为空集，二最高项系数含参时，需要讨论参数是否为零，三不等式需要考虑端点值是否可 以取等，所有参数结果最终均需合规检验 ◆ 题型精讲一 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、元素与集合的关系求参数 奥请12525斋-剂那台乐道野月专足知全线-2345。来合1女-1，。+分，云 2∈CuA,则a= 题型归纳 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：已知元素与集合的关系 2方法：分类讨论，注意检验集合元素的互异性 变式训练1H1（多选)若集合A=X,X+2,X-3x且4∈A则x的值可能是（） A.-1 B.-2 C.2 D.4 变式训练122526高一上四川嘉祥教育集团期中设关于x的不等式X-1>1的解集为4，若2∈A,则 x-m 实数m的取值范围是」 变式训练1-3(25-26高-上山东名校考试联盟)已知集合A=a+1,a+2Ua+5,Q+10,0庄A,若 3n>0,使得vm∈A,都满足”∈A,则a= m 题型二、集合间关系求参数 典例精进2.(25-26高一上山东泰安泰山中学)已知集合A={x-2≤x≤3，B=x2a≤x≤a+2,a∈R! 若BCA,则实数a的取值范围为) A.-1,1 B.2,+∞ c.-1,1U2,+o∞ D.1,2 题型归纳 1.特征：两个集合间子集与真子集的关系 2方法：分类讨论集合为空集与非空，最高次项系数需要分类讨论系数是否为零，不等式需要讨论端点值 是否能取等 变式训练2-1(25-26高一上山东济宁金乡县期中)已知集合A={-2,3引，B=元，若B二A,则实数Q的所有 可能取值为() A.2 c D.0 变式训练2-2(25-26高一上江苏南京鼓楼区期中)已知a为实数，若集合A=乙，且A二B,则a的值可以是 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ( A.6 B.0 c.2 D.-2 变式训练2-3(25-26高一上·上海金山中学期末)已知集合A= 2x1<1, X+1 B={xm-1<x<2m+3}. (1)若ACAnB,求实数m的取值范围； (2)若B二A,求实数m的取值范围. 题型三、集合的运算求参数 典例精进3(25-26高一下湖南娄底涟源部分学校)已知集合A=乙，集合B=乙. (1)当m=-2时，求AUB: (2)若AUB=B,求实数m的取值范围： (3)若A∩B=,求实数m的取值范围. 题型归纳 1.特征：已知两个集合间的运算结果。 2方法：需要将集合运算的结果转化成子集与真子集，再进行分类讨论。 变式训练3-125-26高一上山西昌梁月考)已知集合A=x|X+mx-3=0,B=x|x-3x+n=0 (1)若AUB={-1,0,3,求m,n的值： 2)若m三)BcA,求n的取值范国。 变式训练3-223-24高一上辽宁名校联盟已知全集U=乙，A=d,B=d,C={-1,2. (1)若BnC≠g,且(BnC)CA,求a的值及集合B: (2)若Cu(AUBUC)=1,求a的值及(CuA)n(CuB). 变式训练3-3(24-25高一上贵州遵义第二中学.月考)已知集合A=乙，B=乙，若AnB=⑦，则ab=() B.2 1 A.-2 c.2 D.2 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四、集合中元素的个数求参数 典例精进4（多选）已知集合A=乙只有一个元素，则实数a的取值可以是() A.0 B.1 c.-1 D.-2 题型归纳 1.已知集合中元素的个数 2.由元素的个数转化成解得个数等，最高系数含参时，需要分类讨论系数是否为零。 变式训练41已知集合A=x1mX+3x-2=0 (1)若A中有两个元素，求实数m的取值范围： (2)若A中至多有一个元素，求实数m取值范围. 变式训练42123-24高一上河北石家庄同文中学月考)（多选）已知集合A=X∈Z严∈乙，-9≤m≤9 X 则满足A中有8个元素的m的值可能为() A.6 B.-6 C.9 D.-9 变式训练432425高一下河南新乡封丘县第一中学开学约)（多选）关于X的方程X=k:4x的 2一的解集中 Ex-1 x-X 只含有一个元素，则k的可能取值是() A.-4 B.0 C.1 D.5 题型五、子集与真子集的个数求参数 典例精进5(25-26高一上安徽合肥第六中学)已知集合A=乙恰有两个子集，则a的值为 题型归纳 1.己知集合的子集与真子集的个数 2.方法：将子集与真子集的个数转化为集合中元素的个数，进而转化成方程与不等式的解的个数。最高项 系数含参时，注意分类讨论系数是否为零。 变式训练5-124-25高一上辽宁沈阳第二十中学已知集合A=xkx2+8x-16=0,k∈R,x∈R 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A: (2)若A有且只有四个子集，试求实数k的取值范围 空式训练522526商一上河南郑州十校联考期中方程X-Q+名x+2=0的解突有且仅有两个子集，则 实数a的值为 变式训练5-3(25-26高一上湖南部分名校)已知集合A=乙恰有两个子集，则α的可能取值集合为。 题型六、充分条件与必要条件求参数 典例精进6(25-26高一上四川广安加德学校月考)已知集合A=x|川x-2引≤1，集合 B={x|m≤x≤2m+1m∈R: (1)若AnB=A,求实数m的取值范围； (2)设命题p:x∈A;命题q:x∈B,若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 题型归纳 1.已知命题间的充分与必要条件 2.方法：充分不必要条件为真子集的关系，充分条件为子集关系，充要条件为集合相等。 变式训练6-1（多选）“集合A=乙只有3个真子集”的充分不必要条件有() A.1<a<4 B.1<a≤3 C.1<a≤2 D 2a<3 变式训练6-2(24-25高一福建厦门同安实验中学月考)已知命题P:3x∈R,ax+2x-1=0为真命题.设实 数a的取值集合为A, (1)求实数a的取值集合A: (2)设集合B={x3m<x<m+2},若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围. 变式训练6-3集合A={-6,1,B=x|X2+2m+1x+m2-3=0 (1)若m=0,写出AUB的子集的个数： (2)设命题p:x∈A;命题q:x∈B,若q是p的充分条件，求实数m的取值范围. 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型七、命题的真假求参数 典例精进7(25-26高一上福建宁德福宁古五校教学联合体期中)设命题p:Vx∈R,使得不等式 mx-mx+2>0恒成立：命题q:30≤x≤3，不等式2x-2≥m成立. (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围. 题型归纳 1.已知命题的真假求参数 2.假命题可以转化成否命题，利用否命题为真求参数的取值范围。 变式训练7-1(24-25高一上浙江嘉兴桐乡茅盾中学)已知命题p:Vx∈[-1,1]，x2+2x-k≤0，命题 q:3x∈R,x2+2kx+3k+4=0. (1)当命题P为真命题时，求实数k的取值范围. (2)若命题p和q中有且仅有一个是假命题，求实数k的取值范围. 变式训练7-2(25-26高一上宁夏银川第二中学月考)命题p:“VX∈R,x2+2X-Q≥0”，命题q:“ 3x∈R,x2+3x+2-a=0”. (1)当P为假命题时，求实数a的取值范围： (2)若P和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围. 变式训练7-3(24-25高一上湖北黄冈十五校期中)已知命题p:关于x的方程mx+2x-1=0有实数根.命题 q:Vx∈|1,4，不等式-x2+4x-3≥m2-4m恒成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围. 同压轴桃战一文克离难压轴，突破思维上很 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1. 已知集合M=XaX-2x+1=0,a∈R则“a=1”是“M仅有1个直子集”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要 条件 2.(25-26高一上江苏无锡锡山区锡东高级中学)若集 x<4a 中恰有6个整数元素，则a的取值 范围为() A. c9号 D.（4,8] 3.(25-26高一上湖北丹江口第一中学.月考)（多选）设集合M={x|a<x<3+a),N={xx<2或x>4}, 则下列结论中正确的是() A.若a<-1,则M二N B.若a>4,则M≤N c.若MUN=R,则1<a<2 D.若MnN=g,则1<a<2 4.已知a>0,集合A={x|a≤x≤a+1或a+3≤x≤a+6},若m∈R,使得vn∈A,都有m∈A, n 则a= 5.设非空集合M=X≤m满是：当x∈M时，有XeM,则实数的取位范围是 6.已知全集U=R集合A=xX-x-6≤0集合B=x4<2<16 (1)求集合AUB,(CuA)Bi (2)若集合C={x|2m-2<x<m+1},满足CcA,求实数m的取值范围. 7.(2526高一上河南新乡第一中学·期中已知集合A=x×2-12x<0B=(xm-3<x<2m+4} (1)若1∈B,求m的取值集合； (2)若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值集合： (3)若AnB≠☑，求m的取值集合 8.2526高-上黑龙江龙东十校联盟：期中已知集合A=x1X+2m+1x+m2-5=0 a诺B=xx3-X=2且AnB=A求m的取值范国： 7/8 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若A恰有4个子集，且A-2,+∞，求m的取值范围. 9.(25-26高一上江苏梅村高级中学空港分校)已知命题p:关于x的方程x-2ax+2a-a-6=0有实数根， 命题q:m-1≤a≤m+3. (1)若命题P是真命题，求实数a的取值范围： (2)若P是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围 (3)当m=1时，若p与q有且只有一个真命题，求实数a的取值范围. 10.设集合A=乙，B=乙. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若BCA,求实数a的取值范围. 8/8 专题01 集合含参数问题的七类综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一 元素与集合的关系求参数 题型二 集合间关系求参数 题型三 集合的运算求参数 题型四 集合中元素的个数求参数 题型五 子集与真子集的个数求参数 题型六 充分条件与必要条件求参数 题型七 命题的真假求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 集合含参数问题是高一数学核心重难点，所有题型均围绕含参问题进行考察，所涉及的方面为：列举法、一元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式、一元二次不等式展开，解题方法中需要注意：一分类讨论是否可以为空集，二最高项系数含参时，需要讨论参数是否为零，三不等式需要考虑端点值是否可以取等，所有参数结果最终均需合规检验. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、元素与集合的关系求参数 典例精讲1(25-26高一上·河北邢台卓越联盟·月考)已知全集，集合，若，则________. 【答案】2 【分析】由元素与集合的关系得到，是3，4，5中的两个数，再分类讨论计算即可. 【详解】因为，所以，是3，4，5中的两个数. 当时，得. 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 故答案为：2 题型归纳 1.特征：已知元素与集合的关系. 2.方法：分类讨论，注意检验集合元素的互异性. 变式训练1-1（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 变式训练1-2(25-26高一上·四川嘉祥教育集团·期中)设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据，得到，求解即可. 【详解】若，则满足该不等式，代入得， 则，则， 故答案为：. 变式训练1-3 (25-26高一上·山东名校考试联盟·)已知集合，，若，使得，都满足，则__________. 【答案】或 【分析】根据可确定或或，根据区域边界的对应性可构造方程求得结果. 【详解】，或或； ①当或，即或时， 若，则， 此时，即； 若，则，此时， 即； 由得：，； ②当，即时， 若，则，此时，即； 若，则，此时，即； 由得：，； 综上所述：或. 故答案为：或. 题型二、集合间关系求参数 典例精讲2. (25-26高一上·山东泰安泰山中学·)已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【详解】因为则 (1)若，则，解得； (2)若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故选： C. 题型归纳 1.特征：两个集合间子集与真子集的关系. 2.方法：分类讨论集合为空集与非空，最高次项系数需要分类讨论系数是否为零，不等式需要讨论端点值是否能取等. 变式训练2-1(25-26高一上·山东济宁金乡县·期中)已知集合，，若，则实数的所有可能取值为（） A．2 B． C． D．0 【答案】BCD 【分析】对的取值进行分类讨论，利用可确定的值. 【详解】当时，不成立，，满足． 当时，， 当时，；当时，； 综上得，的所有可能取值为． 故选：． 变式训练2-2(25-26高一上·江苏南京鼓楼区·期中)已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先解方程表示出集合，然后根据和进行分类讨论即可，由此可求结果. 【详解】由解得或，则， 当时，此时，满足； 当时，此时，则， 若，则或，所以或； 综上所述，的可取值为， 故选：ABC. 变式训练2-3(25-26高一上·上海金山中学·期末)已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简集合，再根据得出再列出关于实数m的不等式组，解出即可； （2）分和两种情况讨论，根据列出关于实数m的不等式组，解出即可. 【详解】（1）不等式，变形为，通分得：，等价于，解得， 故集合.因为，根据集合的性质可知：,所以，解得：， 所以实数m的取值范围是. （2）当时，，因为，所以，解得， 当时，且，所以，此时不等式组无解. 综上，实数m的取值范围是. 题型三、集合的运算求参数 典例精讲3 (25-26高一下·湖南娄底涟源部分学校·)已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解． 【详解】（1）当时，， 又集合 ，则； （2）由得，所以， 即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即. 当时，有或，解得， 综上，实数的取值范围为． 题型归纳 1.特征：已知两个集合间的运算结果. 2.方法：需要将集合运算的结果转化成子集与真子集，再进行分类讨论。 变式训练3-1(25-26高一上·山西吕梁·月考)已知集合． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设易得，结合可得，进而求得，可得，，进而求得，再进行检验即可； （2）先求出，再分、、、四种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由题设，显然，又，所以， 所以，解得， 则，因此， 所以，解得， 则，此时，符合题意， 故. （2）若，则， 又，所以或或或， 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得； 当时，，无解. 综上所述，的取值范围是. 变式训练3-2(23-24高一上·辽宁名校联盟·)已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）求出集合，由确定集合中元素，进而求出的值及集合. （2）将全集用列举法表示，由补集的意义求出，进而求出集合即可求解. 【详解】（1）依题意，，由，且，，得， 即，因此，解得，经验证符合题意， 解方程，得或，， 所以，. （2）依题意，，由，得， 由（1）知，因此，有，解得，经验证符合题意， ，则， 所以，. 变式训练3-3(24-25高一上·贵州遵义第二中学·月考)已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据可知无解，再据此求解即可． 【详解】联立可得， 若方程组无解，则，所以． 故选：A． 题型四、集合中元素的个数求参数 典例精讲4 （多选）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 题型归纳 1.已知集合中元素的个数 2.由元素的个数转化成解得个数等，最高系数含参时，需要分类讨论系数是否为零。 变式训练4-1已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 变式训练4-2(23-24高一上·河北石家庄同文中学·月考)（多选）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】AB 【分析】根据题意依次讨论当为6，，9，时，集合中的元素个数． 【详解】当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故A可选， 当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故B可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故C不可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选， 故选：AB． 变式训练4-3(24-25高一下·河南新乡封丘县第一中学·开学考)（多选）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】ABD 【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值. 【详解】由已知方程得：，解得：且； 由得：； 若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： ①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 此时的解为，满足题意； ②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； ③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 综上所述：或或. 故选：ABD 题型五、子集与真子集的个数求参数 典例精讲5 (25-26高一上·安徽合肥第六中学·)已知集合恰有两个子集，则的值为___________． 【答案】4或 【分析】由集合恰有两个子集，分析出集合中只有一个元素，即方程只有一个解，即方程只有一个解，再分方程有两个相等的实数根和方程有两个不相等的实数根，但是其中一根是增根，两种情况讨论，即可求出的值. 【详解】因为集合恰有两个子集，所以集合中只有一个元素， 即方程只有一个解. 因为方程可化为， 要使原方程只有一个解，有以下两种情况， 第一种情况：方程有两个相等的实数根， 需满足判别式，解得， 此时原方程为，解得，且， 满足集合中只有一个元素，故符合题意； 第二种情况：方程有两个不相等的实数根， 但是其中一个根是使分母的增根. 当时，解得， 将其代入，解得，此时. 将代入，可得， 即，解得或. 因为当时，原方程分母为0，是增根，此时， 满足集合中只有一个元素，故符合题意. 综上，的值为或． 故答案为：或 题型归纳 1.已知集合的子集与真子集的个数 2.方法：将子集与真子集的个数转化为集合中元素的个数，进而转化成方程与不等式的解的个数。最高项系数含参时，注意分类讨论系数是否为零。 变式训练5-1(24-25高一上·辽宁沈阳第二十中学·)已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若有且只有四个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)时，；时，. (2)且. 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）有且只有四个子集，则方程有两个根，即且. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故时，；时，. （2）若有且只有四个子集，则方程有两个不等实数根，即且， 即解得且. 综上且. 变式训练5-2(25-26高一上·河南郑州十校联考·期中)方程的解集有且仅有两个子集，则实数的值为__________. 【答案】 【分析】根据子集个数判断元素个数，利用判别式即可求解. 【详解】因为方程的解集有且仅有两个子集， 所以方程有两个相等实数解， 所以，即，解得，即. 故答案为： 变式训练5-3(25-26高一上·湖南部分名校·)已知集合恰有两个子集，则a的可能取值集合为______． 【答案】 【分析】根据题意方程只有一个解，进而分，两种情况讨论求解即可. 【详解】根据题意，方程只有一个解， 当时，方程为，则，解得或（舍去）； 当时，方程化为， 由，得，此时，满足题意. 综上所述，a的可能取值集合为． 故答案为：. 题型六、充分条件与必要条件求参数 典例精讲6 (25-26高一上·四川广安加德学校·月考)已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合子集关系求解即可. （2）将问题转化为集合是集合的真子集即可求解. 【详解】（1）由题意， 因为，所以； 所以，解得， 所以实数的取值范围为 （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，解得 经检验，时，与集合是集合的真子集矛盾，故舍去. 综上所述，实数的取值范围为． 题型归纳 1.已知命题间的充分与必要条件 2.方法：充分不必要条件为真子集的关系，充分条件为子集关系，充要条件为集合相等。 变式训练6-1（多选）“集合只有个真子集”的充分不必要条件有（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先判断出集合中元素个数，由此可求的取值范围，再通过真子集关系检验各选项即可求得结果. 【详解】因为集合只有个真子集，所以集合中有个元素， 因为 ，则有： 当时，， 当时，， 当时，， 因集合中只有个元素，则， 所给选项中： ， ， 所以只有C和D中的范围符合充分不必要条件， 故选：CD. 变式训练6-2(24-25高一·福建厦门同安实验中学·月考)已知命题为真命题.设实数的取值集合为， (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知命题为真命题， 则关于的方程至少有一个实数根. 当时：方程变为，存在实数满足方程，所以符合题意； 当时：至少有一个实数根的话，其判别式， 则，即且. 综上所述，实数的取值集合 （2）已知集合，，将集合写成， 因是的充分条件，则集合是集合的子集， ①当集合为空集时，可得，符合题意； ②当集合不为空集时，则有,解得. 综上，可得， 即实数的取值范围是. 变式训练6-3集合 (1)若，写出的子集的个数； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）解不等式可化简集合B，即可得，然后由集合子集个数相关结论可得答案； （2）由题可得，然后分，为单元素集，为双元素集三种情况讨论可得答案. 【详解】（1）当时， ，， 其子集个数为个； （2）由题意，是的充分条件，则. 当时，此时，解得：； 当时， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 若为双元素集，则，结合韦达定理， 则有，则不存在实数满足题意. 综上所述，实数的取值范围为． 题型七、命题的真假求参数 典例精讲7 (25-26高一上·福建宁德福宁古五校教学联合体·期中)设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况进行讨论即可； （2）分真假和假真两种情况进行讨论求解，再取并集即可． 【详解】（1）因为为真命题， 所以当时，不等式为，在上恒成立，符合题意； 当时，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）若为真命题，即， 则对于． 由于， 所以，解得， 又因为有且只有一个是真命题， 所以当真假时， 解得； 当假真时， 解得． 所以实数的取值范围为． 题型归纳 1.已知命题的真假求参数 2.假命题可以转化成否命题，利用否命题为真求参数的取值范围。 变式训练7-1(24-25高一上·浙江嘉兴桐乡茅盾中学·)已知命题，命题． (1)当命题为真命题时，求实数的取值范围． (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用参变分离整理不等式，根据二次函数的性质，可得答案； （2）根据一元二次方程根存在的条件，建立不等式并求解，结合题意分类讨论，可得答案. 【详解】（1）当命题为真命题，， 当时，， ∴，即. （2）∵命题和中有且仅有一个是假命题，∴命题和一真一假， 当命题为真命题时，，解得或， ①当命题为真，命题为假时，，解得， ②当命题为真，命题为假时，，解得， 综上，实数的取值范围为． 变式训练7-2(25-26高一上·宁夏银川第二中学·月考)命题：“”，命题：“”. (1)当为假命题时，求实数的取值范围： (2)若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全称命题的否定，结合一元二次不等式的图象和性质求解即可； （2）分别求出和为真命题时的取值范围，分类讨论即可. 【详解】（1）由为假命题可得存在使得， 因为是开口向上的抛物线，若存在，则， 解得，即的取值范围为. （2）由（1）可知当为真命题时，， 当为真命题时，即一元二次方程有解，此时，解得， 因为和中有且只有一个是真命题， 当为真命题，为假命题时，由且解得， 当为假命题，为真命题时，由且解得， 综上的取值范围为. 变式训练7-3(24-25高一上·湖北黄冈十五校·期中)已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为真命题，则方程有实数根，分与两种情况讨论即可. （2）由一元二次不等式恒成立求得当命题为真命题时的范围，利用交集运算求解即可. 【详解】（1）若命题为真命题，则关于的方程有实数根， 当时，有实数根， 当时，则，解得且， 综上，实数的取值范围为 （2）命题为真命题，则，不等式恒成立， 当时，， 则，解得 当真假时，有，则或； 当假真时，有，则解集为： 综上，或， 故实数m的取值范围为 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据已知条件，得出方程只有一个根或两个相等的实根，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】若，则方程变为，即，解得， 方程有两个相等的实数根1，即仅有一个真子集， “”能推出“仅有1个真子集”，故充分性成立； 若“仅有1个真子集”，则“中仅有1个元素”， 当时，，解得，则仅有一个真子集， 当时，，解得，即也仅有一个真子集， “仅有1个真子集”不能推出“”，故必要性不成立． 故选：A． 2．(25-26高一上·江苏无锡锡山区锡东高级中学·)若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为6或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 3．(25-26高一上·湖北丹江口第一中学·月考)（多选）设集合或，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合包含的定义即可判断AB；根据交集并集结果求出参数范围可判断CD. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则显然任意，则，则，故，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，不等式无解，故D错误. 故选：ABC. 4．已知，集合或，若，使得，都有，则__________. 【答案】 【分析】根据的取值范围与的区间关系，通过区间端点对应关系建立方程求解. 【详解】依题意，， ， 又， 而，则，且， 解得. 故答案为：. 5．设非空集合满足：当时，有，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【分析】首先根据集合非空，得出，然后根据当时，有，得到集合之间的包含关系，计算不等式即可得出答案. 【详解】解：因为非空，故； 当时，，， 当时，有，即，但，矛盾； 当时，，， 当时，有，即，即，故； 当时，，， 当时，有，即，即，解得， 综上，m的取值范围为. 故答案为： 6．已知全集，集合，集合． (1)求集合； (2)若集合，满足，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先分别求解集合和集合，再根据并集、补集和交集的定义求解和； （2）先根据集合间的包含关系，分和两种情况讨论，列出关于的不等式组，再求解不等式组得到的取值范围. 【详解】（1）因为， ， 所以或，    所以， . （2）由（1）知， 当时，则有，即，   当时 则有   即，即， 综上所述，实数的取值范围为. 7．(25-26高一上·河南新乡第一中学·期中)已知集合，. (1)若，求的取值集合； (2)若是的必要条件，求的取值集合； (3)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由，利用元素与集合的关系即可求解； （2）由已知得，分和两种情况讨论即可； （3）由，得，解出即可求解. 【详解】（1）因为，由，所以， 解得， 所以的取值集合为； （2）由已知得，， ①若，则，解得； ②若，则，解得， 综上所述，的取值集合为或； （3）由，可得， 解得，则的取值集合为. 8．(25-26高一上·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知集合． (1)若，且，求的取值范围； (2)若恰有4个子集，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得集合，再对进行分类讨论，由此求得的取值范围. （2）先判断出有个元素，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）由题意知， 因为，所以. 若，则， 解得； 若，则，无解； 若，则，解得； 若，则，无解. 综上，的取值范围是. （2）若恰有4个子集，则中恰有2个元素， 又，则关于的方程在内有两个相异的实根， 所以 解得 所以， 所以的取值范围是. 9．(25-26高一上·江苏梅村高级中学空港分校·)已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据命题p是真命题，则列式计算即可； （2）记，，依题意可得，即可得到不等式组，解之即得； （3）分命题为真，命题为假或命题为假，命题为真两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为命题是真命题， 所以． 即，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）由（1）可知：， 记，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以或， 解得，所以实数的取值范围是； （3）当时，命题：， 当命题为真，命题为假时，此时； 当命题为假，命题为真时，此时； 综上，实数得取值范围为：或. 10．设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)实数a的取值范围为 (2)实数a的取值范围为 【分析】（1）由题意可得有两个不等正根，由根与系数的关系求解即可； （2）由题意可得或或或；分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合B中有两个大于0的元素，所以有两个不等正根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）由，可得，解得或， 因为，所以或或或； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 综上所述：实数a的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $