专题06 函数常考解答题十二类综合题型（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 以“通法归纳-题型精讲-压轴挑战”为框架，系统整合函数十二类解答题型，提炼定义证明、分离参数等核心方法，构建从基础到综合的知识逻辑链，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1|单调性/奇偶性定义等核心解法|函数性质基础认知| |题型精讲|12题型（每题型1典例+3变式）|定义法/分离参数法/换元法等|从性质应用到综合问题递进| |压轴挑战|12道|综合解题策略|高难问题思维突破|

学科网（北京）股份有限公司 专题06 函数常考解答题十二类综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一 函数的单调性 题型二 函数的奇偶性 题型三 不等式问题 题型四 恒成立问题 题型五 函数的值域 题型六 函数的最值 题型七 函数的零点 题型八 抽象函数 题型九 已知值域最值求参数 题型十 任意与存在问题 题型十一 值域成倍数问题 题型十二 复合函数问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 函数解答题问题是函数的重难点，题型涵盖单调性、奇偶性、值域最值、抽象函数、复合函数等，需要注意：一函数单调性的定义，二函数奇偶性的定义，注意考虑定义域. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、函数的单调性 典例精讲1 (24-25高一上·福建厦门同安实验中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)对于任意的，且， 则， ∵，∴，，∴， ∴，即， ∴函数在上是增函数. (2) 【分析】（1）对于任意的，且，利用作差法判断的大小关系即可得证； （2）先判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性结合函数的单调性即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为且定义域关于原点对称，所以是奇函数， 则，即， 所以，解得， 则不等式的解集为． 题型归纳 1.证明函数的定义域问题 2.利用单调性的定义证明函数的单调性 变式训练1-1(25-26高一上·福建南安国光中学、泉州培元中学、泉州惠南中学、安溪铭选中学四校·期中)已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3） 在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 变式训练1-2(25-26高一下·四川泸州合江县·期中)已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)，； (2)函数在R上单调递增，理由如下：                                       任取，，且，                                                     则，   由，得， ，                                   则，即， 所以函数在R上单调递增. (3)． 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式. （2）确定函数的单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）利用奇函数的性质及单调性求出不等式的解集. 【详解】（1）由是定义在R上的奇函数，得，                         当时，，则                           所以函数在R上的解析式为，.   （2）略 （3）由是奇函数，得，   又在R上单调递增，则，解得，                         所以原不等式的解集为． 变式训练1-3 (25-26高一下·陕西安康·)已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) 由题可知，所以， 因为，则，又， 所以， 所以当时，； (2)单调递增 (3) 【分析】（1）利用已知条件，对自变量赋值可证且当时； （2）根据函数单调性的定义判断； （3）利用（2）的单调性和函数的定义域建立不等式组，求解； 【详解】（1）略 （2）任取，则，则， 又， 所以， 所以在上的单调递增； （3）由题意，需满足定义域条件 ，解得，且， 由（2）知 单调递增，原不等式等价于 ， 要使该不等式有解，只需 小于 在其定义域 上的最大值， 令，则， 所以，解得， 所以的取值范围为 题型二、函数的奇偶性 典例精讲2. (25-26高一上·浙江杭州师范大学附属中学·期中)已知函数，且定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递减； (3)解关于m的不等式． 【答案】(1) 函数为奇函数，理由如下： 因为函数定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数. (2) 证明：取，规定， 则 因为，所以， 所以，即， 由，所以函数在上单调递减. (3) 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断即可； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）利用函数奇偶性与单调性建立不等式组求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为函数在上单调递减，且函数为奇函数， 所以函数在上单调递减，由， 所以函数在上单调递减， 所以不等式即， 因为函数是奇函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以不等式的解集等价于或， 解得或， 所以关于m的不等式的解集为：. 题型归纳 1.证明函数的奇偶性 2.利用函数的奇偶性证明函数的奇偶性 变式训练2-1(25-26高一上·广东广州第二中学教育集团·期中)已知函数满足，． (1)求a，b的值，判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) 由题意可得，解得，故， 为偶函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 故为偶函数； (2) 在上单调递减，理由如下： 令，则 ， 由，则，，故， 故在上单调递减； (3). 【分析】（1）将点与代入计算即可得a，b的值，再利用奇偶性定义即可证明的奇偶性； （2）令，再利用函数单调性定义证明即可得； （3）利用函数单调性及其奇偶性，可得，解出即可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由为偶函数且在上单调递减， 则由可得， 即有，化简得， 解得或. 所以不等式的解集为. 变式训练2-2(25-26高一上·福建漳州芗城中学·月考)已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)偶函数，证明见详解. (3) 【分析】(1)代入已知点坐标，解方程组求出函数解析式中的参数. (2)通过判断与的关系，结合定义域的对称性，确定函数的奇偶性. (3)利用偶函数性质转化不等式，再结合函数在非负区间的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量绝对值的大小关系，进而求解不等式. 【详解】（1）将点，代入中，得方程组 （2）的定义域是，关于原点对称，对任意的，有，故是偶函数. （3）当时，单调递增，则在上单调递减， 又因为是偶函数，则在上单调递增； 由，结合偶函数与单调性的性质可得：， 两边平方并整理得：， 解得：或，因此，不等式的解集为：. 变式训练2-3已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)用定义证明：函数在上的单调性； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明： 由函数，可得其定义域为，关于原点对称． 又由 所以函数为定义域上的奇函数． (2) 证明：当时， 任取，，且， 可得 因为，，且，可得， 所以，即，所以函数在上是增函数 (3)． 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）通过奇偶性和单调性去掉符号“”，得到不等式对于任意实数恒成立，求解不等式即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数 所以函数在上也是增函数，又因为，所以函数在上是增函数． 又由，可得 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立 当时，不等式即为恒成立，符合题意 当时，则满足，解得 综上可得，，即实数的取值范围 题型三、不等式问题 典例精讲3 (25-26高一下·河南洛阳·期末)已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数， ． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性变形题中等式，联立解得函数解析式； （2）根据函数的奇偶性和单调性解不等式； 【详解】（1）是奇函数，是偶函数，，， ，①， 即，②，由①、②解得，． （2）由（1）知是上的奇函数和增函数， 则不等式， 因此，即，解得， 即，所以原不等式的解集为． 题型归纳 1.不等式问题 2.结合函数的奇偶性与单调性求解不等式 变式训练3-1(25-26高一上·浙江杭州第四中学吴山校区·期中)已知是定义域为的奇函数． (1)当时，，且，求实数的值． (2)当实数时，， （i）求的值； （ii）当时，若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据奇函数性质建立关于的方程，再结合已知条件代入求解； （2）（i）根据奇函数性质建立关于的方程，结合解析式特点求解即可.（ii）利用对勾函数单调性，将，转化为求解不等式，进而利用换元法求解即可. 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数， 故，且，得， 当时，，代入得，即； 再代入得，解得， 即. （2）（i）因为是上的奇函数，对任意，满足， 则，由不恒为0，故， 即，解得. （ii）当时，时， 由对勾函数单调性，可得在上单调递增. 由题意得，则，， 所以由，可得. 令，可得，即， 由得，即，解得， 即的取值范围为. 变式训练3-2(25-26高一上·广西河池·期末)已知函数为上的奇函数，当时，且. (1)求函数的解析式； (2)若实数满足不等式，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质求出参数的值，再求出在上的解析式，即可得解； （2）首先利用定义法证明的单调性，结合函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为函数为上的奇函数，当时，且， 所以，解得， 所以当时； 设，则，所以， 所以； 综上可得，； （2）因为，， 设任意的且， 所以 ， 因为且，所以，，， 所以，则，又， 所以， 所以，即， 所以在上单调递减， 不等式，即，解得， 所以的取值范围为. 变式训练3-3(25-26高一上·陕西咸阳永寿县中学·期中)已知定义在上的奇函数，为常数. (1)求实数的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过函数为奇函数，求解即可. （2）通过函数为奇函数，可知函数在上单调递减，利用函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，即，解得， 所以，所以，经验证，此时为奇函数. （2）已知，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减，因为， 所以， 所以，解得，故不等式的解集为. 题型四、恒成立问题 典例精讲4 (25-26高一上·安徽宿州第二中学·期末)已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判定函数的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 函数在单调递增， 证明：由（1）知，函数， 任取，且，则 因为，可得，则， 又因为，可得，所以 所以函数在为单调递增函数. (3) 【分析】（1）根据题意，得到，结合指数幂的运算法则，即可求解； （2）由（1）知，函数，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）由是的奇函数，且为递增函数，把不等式转化为，根据题意，得到对任意的恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， 则，即， 解得， 即实数的值为. （2）略 （3）由（2）知：函数是的奇函数，且为单调递增函数， 则不等式，即为 可得，即 因为不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， ①当时，不等式即为，显然恒成立； ②当时，则满足，即， 解得， 综上可得，，所以实数的取值范围为. 题型归纳 1.不等式恒成立问题常用方法 2.分离参数法；利用初等函数考虑单调性 变式训练4-1(25-26高一下·湖南师范大学附属中学·)已知奇函数的定义域为. (1)求实数a，b的值； (2)当时，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇函数定义域关于原点对称，可以求得，再根据根据奇函数定义可知，化简整理，从而问题得到求解； （2）对问题时，恒成立进行转化，转化为当时，恒成立，通过构造函数，再利用函数的单调性求出实数m的取值范围. 【详解】（1）因为函数为定义域为的奇函数， 所以，即， 所以，整理得，解得， 因为函数的定义域为，则，解得. 所以，. （2）由（1）可知， 当时，即恒成立， 可得恒成立，即当时，恒成立， 所以，， 令，，则， 令，，根据对勾函数性质知在区间上单调递增， 所以，所以，则， 则实数m的取值范围为. 变式训练4-2(23-24高一·河北唐山丰润区·期中)若二次函数，满足对称轴为，且． (1)求的解析式； (2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对称轴和已知函数值求二次函数解析式；（2）不等式恒成立参变分离转化为的最小值. 【详解】（1）二次函数，， 则， 对称轴为，，则， 所以. （2）不等式恒成立， 即恒成立， 即， 令， 对称轴为，所以在上单调递减， ， 所以， 实数的取值范围为. 变式训练4-3(25-26高一下·四川泸县第五中学·月考)已知函数的图象关于原点对称． (1)求实数的值； (2)若，求的取值范围； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质，代入表达式化简后即可得到答案； （2）先由（1）得的表达式，再根据函数单调性的定义，任取并作差，通过判断差的正负来证明在上单调递减，由函数的单调性即可得到的取值范围； （3）先化简不等式左边得到，再代入的表达式，换元转化为函数最值问题，最后观察函数的单调性求出最小值，从而得到的取值范围. 【详解】（1）因为函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数， 令可得，，解得， 因此，实数的值为. （2）由（1）可知，则，则任取且， 则，即，因此函数在上单调递减， 由，解得，又由于，所以的取值范围是. （3）因为，，所以即， 令，因为，所以，则不等式转化为，整理得， 设，则， 因为，且函数和在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围是. 题型五、函数的值域 典例精讲5 (25-26高一下·山东潍坊寿光第一中学·期中)已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上的值域为 【分析】（1）利用换元法求解函数的解析式； （2）利用定义法证明的单调性，并求解值域. 【详解】（1）令，则，将其代入得 ，将替换为，得； （2）任取，且，则 因为，所以，因为，所以，即 分母恒成立， 因此，即，所以在上单调递减。 由单调性可知，在上单调递减，最大值在左端点处取得： 最小值在右端点处取得： 所以在上的值域为. 题型归纳 1.函数的值域问题 2.通过函数的单调性求解函数的值域 变式训练5-1(25-26高一·广东肇庆·期末)已知函数（为非零常数）， (1)判断的奇偶性，并证明； (2)当时，若，判断的单调性并证明，求出函数的值域． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)函数在上是单调递增函数，证明见解析， 【分析】（1）判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性的定义判断即可； （2）判断函数的单调性，根据函数单调性的定义证明，利用单调性求值域即可. 【详解】（1）为奇函数．证明如下： 因为，所以的定义域为 又， 为奇函数. （2）当时，． 函数在上是单调递增函数． 证明：，且， 则 ，， ，，即， ，即 函数在上是单调递增函数. ，， 函数在上的值域为. 变式训练5-2(25-26高一上·浙江S9联盟·期中)已知，且的一个实数根是1. (1)求的值与的另一个根； (2)设，写出在上的单调区间（不需证明），并求此时的值域. 【答案】(1)，另一个根为 4 (2)递减区间是，递增区间是，值域为 【分析】（1）由解得，进而求的根即可； （2）由题意有，利用对勾函数即可求解. 【详解】（1）由得， 所以，解得， 即的另一个根为4. （2）由题意有， 所以的递减区间是，递增区间是， 因为，所以值域为. 变式训练5-3．(25-26高一上·江苏苏州苏州大学附属中学·期中)已知函数． (1)若的解集为，求，的值，并求函数的值域； (2)若，求不等式的解集． 【答案】(1)，值域为； (2) 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 【分析】（1）利用不等式的解集及其对应的方程的根，由根与系数的关系可求得值，再应用换元法及二次函数的性质求值域； （2）应用分类讨论求含参一元二次不等式的解集. 【详解】（1）由题意可得方程的两根分别为，且， ，解得，则， 当时， ， 令，当且仅当时取等号，则，且， 所以在上单调递增，故； （2）由题设，即， 当时，原不等式化为，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即或， 若，则，不等式的解集为， 若，则，不等式的解集为， 综上， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 题型六、函数的最值 典例精讲6 (25-26高一上·山东潍坊·)已知函数 (1)若不等式的解集为，求a，b； (2)若，且在区间上有两个零点，求a的取值范围； (3)若函数的图象关于直线对称，求的最小值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式解集结合韦达定理计算求解参数； （2）根据二次函数零点分布列式计算求解参数； （3）根据对称性得出，进而得出，，再构造二次函数结合单调性求解最值. 【详解】（1）由题意得，，即，， 所以，. （2）因为，所以，所以， 要使函数在上有两个零点，则需满足 ，即 解得 所以a的取值范围是. （3）由题意知， 因为，且的图象关于对称， 所以， 所以 解得，， 所以 设 则转化为函数，， 因为的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以的最小值为. 题型归纳 1.最值问题 2.方法一：基本不等式 求解最值，方法二：函数的单调性求解函数的最值 变式训练6-1(25-26高一上·江苏盐城大冈中学·期末)已知函数 (1)求的单调区间； (2)解不等式； (3)设的最小值为，若正数满足，求的最小值． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2) (3) 【分析】（1）根据题意，分，和，三种情况讨论，求得的解析式，结合一次函数的图象与性质，即可求解； （2）根据题意，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解； （3）由（1）中函数的单调性，求得，得到，将其代入化简，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，， 所以， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）当时，，解得 ，所以； 当时，，解得 ，所以； 当时，，解得 ，所以， 综上可得：不等式的解集为. （3）由（1）知：函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以，即， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 变式训练6-2(25-26高一上·北京育才学校·期末)已知函数. (1)证明是偶函数； (2)判断在区间上的单调性，并加以证明； (3)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) 函数的定义域为R，， 所以函数是偶函数. (2) 当时，函数，函数在上的单调递增， 任取，则， 由，得，则，即， 所以函数在上的单调递增. (3). 【分析】（1）利用偶函数定义推理得证. （2）化简函数并判断单调性，再利用函数单调性定义推理得证. （3）利用偶函数及单调性求出最值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）（2）知偶函数在上的单调递增， 则函数在上的单调递减，当时，，， 所以函数在区间上的最大值和最小值分别为. 变式训练6-3(25-26高一上·河北·调研)已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，若成立的一个充分不必要条件是，求的最大值. 【答案】(1)， (2) 在区间上单调递增. 证明如下： 任取，且， 则， 因为，且， 所以，，，， 故， 所以. 所以在区间上单调递增. (3). 【分析】（1）由题可得：，，代入函数计算即可； （2）利用单调性的定义即可证明； （3）结合奇偶性和单调性可将转化为，求出的范围，根据充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得， 所以， 又，所以，解得， 所以，经检验满足题意. （2）略 （3）等价于， 因为是定义在上的奇函数，所以原不等式转化为. 因为，所以， 当时，,原不等式为,即，不成立， 当时，， 又因为在区间上单调递增， 所以原不等式等价于，即，解得或， 又因为，所以或. 由，得. 又因为，所以. 因为成立的一个充分不必要条件是， 所以或， 所以，解得， 所以的最大值为. 题型七、函数的零点 典例精讲7 (22-23高一上·重庆长寿区·期末)已知函数. (1)若，解不等式； (2)若函数恰有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分当时，当时，讨论去掉绝对值，由一元二次不等式的求解方法可得答案； （2）得出分段函数的解析式，根据二次函数的性质和根与系数的关系可求得答案. 【详解】（1）当时，原不等式可化为①， （i）当时，①式化为， 解得，所以； （ii）当时，①式化为， 解得，所以. 综上，原不等式的解集为. （2）依题意，. 因为，且二次函数开口向上， 所以当时，函数有且仅有一个零点. 所以时，函数恰有两个零点. 所以解得 不妨设，所以是方程的两相异实根， 则，所以. 因为是方程的根，且， 由求根公式得. 因为函数 在上单调递增，所以， 所以. 所以的取值范围为. 题型归纳 1.函数零点问题 2.二次函数考虑求根公式，基本初等函数考虑函数的特征求解零点 变式训练7-1(22-23高一上·云南保山文山州·期末)已知函数，. (1)判断是否有零点，若有，求出该零点；若没有，请说明理由； (2)若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围. 【答案】(1)没有，理由见解析 (2) 【分析】（1）将问题转化为是否有解，设，判断在时是否有解即可； （2）设，利用在上为单调递增函数得恒成立，常数分离后得的取值范围. 【详解】（1）设有零点，则方程有解，即有解， 设，，得（*）， ，（*）方程无正解， 所以没有零点. （2）， 设，恒成立， ， 因为，所以恒成立， 所以恒成立， 又， 所以， 所以的取值范围为. 变式训练7-2(25-26高一·浙江杭州·)已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)令， （i）证明：函数的图象是中心对称图形； （ii）设函数有三个零点，， ，证明：． 【答案】(1)在区间上单调递减. 证明：设，则 ， 因为所以，，， 所以，即， 故在区间上单调递减. (2)（i）， 又定义域为，关于对称， 故曲线关于点对称；   （ii）由结合（1）易知在，，上单调递减， 函数有三个零点，则，，， 由，可得， 而，， 所以， 由，则， 则， 又，在上单调递减， 故． 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可. （2）（i）结合函数的对称性证明即可. （ii）根据零点存在定理判断，，范围，结合函数的单调性证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 变式训练7-3(25-26高一上·河北承德·期末)已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)若函数在上有零点，求实数的取值范围； (3)若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，证明如下： 设，且，则 ， ， 即在上单调递增． (2) (3) 【分析】（1）先判断在上单调递增，再用定义法证明； （2）由题意知函数有零点等价于在上有解，分类讨论求得的值域即可； （3）由题意可得原不等式等价于对任意的，都有，进而构造函数，进而求解可得实数的取值范围． 【详解】（1）略 （2）函数在上有零点，等价于在上有解． 当时，， 当时，， 若，则，当且仅当时取等号，， 若，则，当且仅当时取等号，． 综上，可得，即实数的取值范围为． （3）由（2）知，的值域为， 所以对任意的，都有等价于 对任意的，都有，即恒成立． 设，则是关于的一次函数， 于是有，即，也即， 解得或或， 故实数的取值范围为． 题型八、抽象函数 典例精讲8 (25-26高一上·甘肃兰州某校·)已知满足对任意，都有，且，当时，． (1)计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断并证明在上的单调性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) 依题意，函数对任意的，都有， 令，得， 是奇函数，理由如下： 用代替，得，则， 所以是奇函数. (2) 在上是单调递减的函数，证明如下： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数． (3) 【分析】（1）利用赋值法求得，根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性. （2）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可. （3）利用特殊值法，结合代入法进行求解，再根据已知等式，结合函数的单调性及一元二次不等式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由于，则，所以， 又因为，所以． 因为， 又因为，所以不等式可化为， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 题型归纳 1.抽象函数问题 2.特殊值法，求解函数特殊值，通过特殊值发判断函数的奇偶性或单调性 变式训练8-1(24-25高一·重庆渝中区·期中)定义在上的函数满足：①；②，其中，为任意正实数；③任意正实数，满足当时，.试回答下列问题： (1)求，的值； (2)试判断函数的单调性； (3)如果，试求的取值范围. 【答案】(1)0，4 (2)在上单调递增 (3) 【分析】（1）利用赋值法可求，； （2）结合单调性的定义可得结论； （3）由已知可得，结合单调性求解即可. 【详解】（1）取，由②得，， ∴. 又由①得， 由②得，. （2）设， 则根据条件③，得， ∴在上单调递增. （3）根据满足的条件②及， 由得，， ∴根据为增函数得：， 再由的定义域，便得到不等式组 解得， ∴的取值范围为. 变式训练8-2(25-26高一上·陕西西北工业大学附属中学·期末)已知函数的定义域为R，且，若. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)已知，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出的值，再令，求出即可； （2）令，即可求出的解析式； （3）令，得到，再运用均值不等式即可求出. 【详解】（1）令，则，即， 解得或， 当时，令，则，即（舍去）， 当时，令，则， 又，， . （2）令，得， 即， 故的解析式为. （3）由题意得，， 令，，，， ，. ， 当且仅当，即时等号成立. 此时，解得. 故的最小值为. 变式训练8-3(25-26高一上·江苏东海高级中学·)定义在上的函数满足成立，当时，. (1)证明函数是奇函数； (2)解不等式. 【答案】(1) 因为定义在上的函数满足成立； 所以令，得到，即， 令 ，得到，即； 所以函数是奇函数； (2) 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 当 时，解集为； 当时解集为. 【分析】（1）先令证明，再令，可得，所以函数是奇函数； （2）先证明在上是减函数, 因为，所以，再对a进行分类讨论求解二次不等式即可. 【详解】（1）略 （2）任取 ，则 ，由题设得 因为 ， 所以 ，即 在上是减函数, 因为，所以， 整理得到，即. 当时，不等式化为，解得； 当时，，不等式的解为； 当时，，不等式的解为或； 当 时，，不等式化为，解得； 当时，，不等式的解为或； 综上所述，不等式的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 当 时，解集为； 当时解集为. 题型九、已知值域最值求参数 典例精讲9 (25-26高一上·重庆巴蜀中学·期末)已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)当函数的定义域为且时，函数的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为上的奇函数，所以， 当时，， 所以当时，， 所以， 所以 （2）设，因为在上单调递减， 所以 即，是方程的两个不相等的正根， 故方程有两个不相等的正根， 故，解得. 实数的取值范围为. 题型归纳 1.已知函数的值域求参数 2.通过最值结合函数的单调性求解参数 变式训练9-1(25-26高一上·陕西神�榆�靖区域联考·月考)已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若方程有3个实数根，求实数的取值范围； (3)若时，函数的值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性解得函数解析式； （2）根据函数的图象与直线的交点个数，求解参数的取值范围； （3）根据给定函数的值域，反求满足条件定义域区间长度的取值范围； 【详解】（1）函数是定义域为的奇函数，. 当时，， 当时，，此时， 又， 当时，. . （2）函数的图象开口向上，对称轴为直线， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 同理可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 又，，当时， 结合奇函数图象关于原点对称，可知当或时，符合题意， 实数的取值范围为. （3）令，解得或. ，从而. 对于，解得， 结合（2）的分析易知， 的最大值为，最小值为. 的取值范围为. 变式训练9-2(25-26高一·浙江台州·期末)已知函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)当，时，用定义证明在上单调递增； (3)当，时，若函数在定义域上单调，且函数的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) ，，且， 有 ， 由，得，，于是， 即， 所以，函数在区间上单调递增． (3) 【分析】（1）求的值即可判断的对称中心； （2）直接根据单调性定义证明即可； （3）求出函数的单调区间，根据题意分、两种情况讨论，并结合在区间的单调性，以及该区间内的值域列等式并转化为一元二次方程根的问题求解即可． 【详解】（1）， 所以可知函数可由平移变换过来，而仅有一个对称中心， 故只有一个对称中心， ， 所以是函数图象的对称中心． （2）略 （3），为对勾函数， 根据对勾函数的图像性质可知函数在上递减，在上递增， ①当时，函数在区间上单调递增， 于是，所以方程在上有两个不同的根， 即方程在上有两个不同的根， 由函数在上单调递增，故不符合； ②当，函数在区间上单调递减， 于是，即，两式相减得， 所以，将代入方程得， 同理可得， 所以，方程在上有两个不同的根， 记，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 变式训练9-3(25-26高一上·河北保定部分高中·期中)已知函数 (1)若对任意实数x，都有，求a的值. (2)若，且关于x的方程有两个不同的实数根，求a的取值范围. (3)是否存在a，b，使得在上的值域为? 若存在，求a，b的所有值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据给定条件，代入计算，结合恒成立列式求出值. （2）由可得，再利用判别式列出不等式求解即得. （3）按分类，结合函数单调性及二次函数性质求出在上的最小值、最大值，再列式求解即可. 【详解】（1）对任意实数x，恒成立， 即对任意实数x，恒成立，因此，解得， 所以a的值是. （2）由，得，由关于x的方程有两个不同的实数根， 得，解得且， 所以a的取值范围. （3）当时，函数在上单调递增，，依题意，，无解； 当时，函数图象的对称轴为， 当时，，函数在上单调递增，则， 依题意，，解得，与矛盾； 当时，，若，即，函数在上单调递增， 则，解得，与矛盾； 若，即，函数在上的最大值为， 最小值为或，于是或， 解得，此时在上的值域为，符合要求， 所以存在实数，使得在上的值域为，. 题型十、任意与存在问题 典例精讲10 ．(25-26高一上·广东惠州光正实验学校·月考)设，，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数t的取值范围； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）作出函数的图象，即可根据图象求解， （2）只需根据在上的值域为的子集即可，求解的范围即可. 【详解】（1），， ，， 即， 作图可知， 函数的最大值为，值域为； （2）由题意，只需在上的值域为的子集即可， 因为，所以， 对称轴为，由得， ①当，即时，， 所以，解得，故； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时最小值为，最大值为， 所以，解得，所以； 综上，所求的范围为. 题型归纳 1.任意与存在结合问题 2.通常分开各自考虑，任意与存在分开考虑各自最值 变式训练10-1(25-26高一·贵州遵义第二中学·期末)已知函数 (1)求实数的值 (2)已知“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”，试用此结论证明：函数的图象的对称中心为 (3)若对于任意，都存在及实数，使得，求实数的值 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据得到； （2）假设函数的图像存在对称中心，得到，整理后得到方程组，求出，，得到对称中心； （3）变形得到，因为，所以，根据得到包含关系，得到不等式，求解即可. 【详解】（1）将代入，得，解得， （2）假设函数的图像存在对称中心， 则对于定义域内任何恒成立， 整理得恒成立， 所以，解得，， 故函数的对称中心为； （3）已知，由（2）可知函数的对称中心为， 故，因此， 因为函数在上单调递减， 所以，整理得， 因为，所以，则，所以， 又因为，所以，则可得不等式组， 解得：，因此实数的值为. 变式训练10-2(25-26高一上·湖南邵阳邵东创新高级中学·期中)材料一：已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. 材料二：当时，若函数与函数单调性相同，则函数在区间上单调递增；若函数与函数单调性不同，则函数在区间上单调递减. 阅读以上材料：解决下列问题： (1)判断在上的单调性； (2)已知，，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上递减，在上递增 (2)单调递减区间是，单调递增区间是；值域为 (3) 【分析】（1）由材料一可得出函数的单调性； （2）化简得出，设，，则，利用复合函数的单调性可得出函数的增区间和减区间，由此可得出函数的值域； （3）分析可知在上的值域是在上的值域的子集，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，求出该函数的值域，即可得出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由材料一可知在上递减，在上递增. （2）， 设，，则，且在上单调递增， 则函数可转化为，， 由材料信息得，当，单调递减，即时，单调递减； 当，单调递增，即时，单调递增. 所以的单调递减区间是，单调递增区间是, 由，，，得的值域为. （3）因为，， ， 由题意，在上的值域是在上的值域的子集， ①当时，函数在上单调递增， 所以，， 此时函数在上的值域为， 所以，解得； ②当时，函数在上单调递减， 所以，， 由题意可得，解得； ③当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 当时，函数在上的值域为， 所以，无解； 当时，函数在上的值域为， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 变式训练10-3(25-26高一上·湖北鄂东南联考·期中)已知函数，其中为非零常数. (1)写出在上的单调区间，； (2)若，求函数的值域； (3)若，对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值. 【答案】(1) 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，上单调递增. (2) (3) 【分析】本题主要考查函数的单调性、值域以及根据函数最值关系求解参数取值范围等知识点。 （1）根据对勾函数的性质直接得出在上的单调区间， （2）先对进行变形，再利用换元法，结合均值不等式求出换元后变量的取值范围，最后根据二次函数的单调性求出值域， （3）法1：分别求出在上的最小值和在上的最小值，再根据条件建立不等式，分情况讨论求解k的取值范围，进而得到k的最大值. 法2：根据题意将表达式化简，利用参变分离以及函数单调性即可求得实数的最大值. 【详解】（1）任取， 则； ①当时，由得到， 所以在上单调递增； ②当时， （i）当时，，所以在上单调递减； （ii）当时，，所以在上单调递增； 综上所得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，上单调递增. （2）当, 利用基本不等式当时；当时； 因为 所以，其中或者，令， 则转化为求，或者， 当时，函数取到最小值0.值域为. （3）法1：由题意，， 当时，，则，解得； 当时，，则，解得实数不存在； 当时，，则，解得实数不存在. 综上所述，实数的最大值为. 法2：由题意，， 即在有解，分离变量后在有解， 设，则，其中，解得. 综上所述，实数的最大值为. 题型十一、值域成倍问题 典例精讲11 (25-26高一上·河北遵化·期中)已知函数为偶函数， (1)求a的值； (2)用单调性的定义证明函数在上为增函数； (3)是否存在实数m，n，使得当的定义域为时，函数的值域为．若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) 由（1）可知：， 任取，令， 则， 因为，则，， 可得，即， 所以函数在上为增函数. (3)存在， 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义运算求解即可； （2）根据题意结合单调性的定义分析证明； （3）根据区间的定义可得，再结合的单调性和值域列式求解即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 若函数为偶函数，则， 即，可得， 结合x的任意性可知. （2）略 （3）因为函数在内的值域为， 对于，， 可知，解得， 因为，可知当在内单调递增， 可得， 可知是方程的两根， 整理可得，解得或或， 且，则， 所以存在，此时. 题型归纳 1.值域成倍数问题 2.一般需要考虑特殊点的函数值 变式训练11-1(25-26高一·福建宁德·期末)（，）是由正比例函数和反比例函数相加构成的函数，其图象具有独特的“双勾”形状，被称为“对勾函数”. (1)若，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)若两个不相等的正数m，n满足，求证：； (3)若，是否存在实数s，t，使得在上的值域是？若存在，求出所有s，t的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 在上单调递增，理由如下： 证明：任取，且，， 则 因为，故且 于是，即，所以在单调递增 (2) 依题意得，，即，整理得 因为，所以，即 又依题意m，，故 因为，故等号不成立，所以 (3)不存在，理由： 假设存在实数，使得在的值域是，易知， 因为定义域为，区间是连续区间，故符号相同 当时，因为，故，即 由（1）可知，在单调递增，于是，即，故有， 得，这与矛盾，故无解 同理，当时，可得. 由，可得是奇函数，由对称性可知在单调递增. 于是，得，解得，这与矛盾，故无解. 综上所述，不存在符合要求的实数s，t. 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可； （2）由题得，化简得，再利用均值不等式即可证明； （3）先利用反证法假设存在实数s，t，使得在的值域是，再分类讨论，根据单调性列式求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 变式训练11-2(25-26高一上·四川泸州高级中学校·期中)已知函数，不等式的解集为且． (1)求在的值域； (2)记．当的定义域为时，值域为，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上的最小值为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据一元二次不等式的解集和求的解析式，再求二次函数在给定区间上的值域. （2）问题转化为二次函数的零点分布问题求参数的取值范围. （3）根据区间和二次函数对称轴的位置关系讨论函数在给定区间上的单调性，求其最小值即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以且， 所以， 又 ，所以，. 所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增， 且，，. 所以在上的值域为. （2）因为， 其图象是开口向上的抛物线，且对称轴为， 所以在上单调递增. 由题意，是方程即的两个正根， 所以 . 故实数的取值范围为. （3）因为， 其图象是开口向上的抛物线，且对称轴为. 当，即时，函数在上单调递减，所以； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当时，函数在上单调递增， 所以. 综上可知，函数的最小值为. 变式训练11-3(25-26高一上·浙江嘉兴·期末)已知函数. (1)当时，判断在上的单调性，并用定义证明； (2)若，. （i）求的值； （ii）若存在，当时，的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) 函数在上单调递增. 证明：当时，函数. ，且， 则 ， 由，得，，， 于是，即， 所以函数在上单调递增. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （2）（i）根据题意，得到，即可求解； （ii）法一：根据题意，转化为方程有两个大于的不等实数根，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解； 法二：根据题意，转化为方程有两个大于的不等实数根，求得的取值范围，进而求得的范围，得到答案. 【详解】（1）略 （2）（i）因为，所以，解得. （ii）法一：因为在上单调递增， 所以当时，的值域为， 即，可得是关于的方程的的两个不等实数根，并且， 所以方程有两个大于的不等实数根， 令，对称轴为， 则满足，即或，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 法二：因为在上单调递增， 所以当时，的值域为， 即，所以是关于的方程的的两个不等实数根，并且， 显然，即方程有两个大于的不等实数根， 即函数和在上的图像有两个交点， 画出函数在上的图象，如图所示，    结合图象，可得，即，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 题型十二、复合函数问题 典例精讲11 (25-26高一上·广东揭阳惠来县第一中学等校·期中)已知函数． (1)当时，讨论在上的最小值； (2)当时，求函数的单调区间； (3)讨论关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 函数的单调递减区间为、，单调递增区间为、 (3) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或 【分析】（1）当时，写出函数的解析式，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，可得出函数在区间上的最小值； （2）利用复合函数法可得出函数的增区间和减区间； （3）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）当时，，该函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，即当时，函数在上单调递减， 此时； 当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； 当时，函数在上单调递增，此时. 综上所述，. （2）当时，，令，， 因为内层函数在上单调递减，在上单调递增， 外层函数在上单调递减，在上单调递增， 由可得，由可得或， 由复合函数法可知，函数的单调递减区间为、， 单调递增区间为、. （3）不等式即为， 当时，不等式即为， 因为，即，解原不等式可得； 当时，不等式即为， 因为， （i）当时，，解原不等式可得或； （ii）当时，原不等式即为，解得； （iii）当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 题型归纳 1.复合函数相关问题考点 2.一般需要通过换元法考虑 变式训练11-1(20-21高一上·重庆第一中学·期中)已知函数，其中且. （1）若函数在区间单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若关于的方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）由复合函数的单调性和对数函数的定义域列出不等式组，解之可得； （2）把对数方程转化为指数方程，换元后转化为一元二次方程，再由二次方程根的分布知识得结论． 【详解】解（1）由复合函数的单调性法则，以及的定义域可得 或 或 （2）原方程 （其中）， 其中）， 令，原条件关于的方程在区间内有两个不同的根 记，由二次方程根的分布的求解方法可得 ． 【点睛】关键点点睛：本题考查复合函数的单调性，对数方程解的问题．对数方程的解的个数问题的解题关键是进行转化，一是由对数方程转化为指数方程，二是指数方程转化为一元二次方程，最后由一元二次方程的根的分布知识可求解． 变式训练11-2(25-26高一上·广东梅州·期末)已知函数，. (1)若，解方程； (2)讨论函数的零点的个数. 【答案】(1) (2)当时，有3个零点； 当时，有6个零点； 当时，有7个零点； 当时，有8个零点. 【分析】（1）把代入，再分类讨论解方程即可； （2）先求出的零点，再令，将函数转化为，通过讨论的取值情况来确定的解的个数，进而得到函数的零点的个数. 【详解】（1）当时，， 于是方程分为以下两种情形： ①；②， 分别解得：①，②（注意到，不符）， 因此当时，方程的解只有. （2）分类讨论： （i）当时，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下：    令， 解得或， 即或， 根据图象，有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点； （ii）当时，， 对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下：    令，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 对于的解的情况，再分以下三种情况： ①当，即时，根据图象，有3个解； ②当，即时，根据图象，有2个解； ③当，即时，根据图象，只有1个解； 综上所述： 当时，有3个零点； 当时，有6个零点； 当时，有7个零点； 当时，有8个零点. 变式训练11-3(25-26高一上·四川成都第七中学·期末)已知函数，． (1)求的值； (2)已知． ①判断并证明的奇偶性和单调性； ②设为的零点，且满足，求满足条件的的个数． 【答案】(1)； (2)①为奇函数，在R上单调递增；②满足条件的的个数为个. 【分析】（1）利用平方差公式，代入，直接相乘化简. （2）①通过计算得出奇函数，将化为后判断单调性.②根据的零点得到，利用的奇偶性和单调性将不等式转化为，分奇偶情况讨论整数解. 【详解】（1）根据题意，函数为： 由平方差公式： 代入，, 得：即. （2）①已知， ， 定义域为，故为奇函数， 又，同时乘以得：, 随着的增大而增大，减小，故在上单调递增. ②已知，零点为，， 不等式为: 代入，得 注意到为奇函数，有, 为偶数，设，则， 不等式化为 由，得 单调递增，则 对应，共个； 为奇数，设，则， 不等式化为： 由，得 由函数单调递增可得： 解为，即，共个， 故满足条件的的个数为. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．(25-26高一下·四川内江威远中学·期末)已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)，值域为. (2) 【分析】（1）先根据为奇函数求出的值，然后利用不等式的性质求出的值域. （2）函数在区间上有两个不同的零点，即方程在该区间上有两个不同的解，通过换元法将问题转化为二次函数的零点问题，再结合二次函数的性质求解的取值范围. 【详解】（1）因为且，则的定义域为， 又为奇函数，，解得， 所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则， 所以函数的值域为. （2）因为，令，即，整理得到， 又函数在区间上有两个不同的零点，所以时，方程有两个不等根， 令，得到，又在区间上单调递增，所以， 则在上有两个不等根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 2．(25-26高一上·四川广安加德学校·期中)已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)任取 ，且， 则 由于，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增. (2) 【分析】（1）利用定义法证明即可； （2）根据条件得出，再利用参变分离求函数最值即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，得， 则． 于是． 令，由题可知． 由（1）易得函数 在上单调递增，故，即， 所以实数的取值范围是． 3．(25-26高一下·浙江强基联盟·)已知函数， (1)若，当时，求的最小值； (2)若，当时， （ⅰ）若函数的最小值为2，求的取值范围； （ⅱ）对于任意的，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用基本不等式进行求解即可； （2）（ⅰ）根据基本不等式、公式法解绝对值不等式，结合基本不等式取等条件分类讨论进行求解即可； （ⅱ）根据任意性的定义，结合复合函数的单调性的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，当且仅当时取等， 故当时，最小值为2． （2）（ⅰ）由，或， 即， ，当且仅当时取等号， 即当时，函数的最小值为2， 所以当时，方程有解， 即方程，或有解， 即或有解，当有解时，， 当有解，， 所以； （ⅱ）由题意得当时，，， ①当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得， 解得，； ②当时，在上单调递减，单调递增． ，设表示中最大的数， ， 且，即， 解得，； ③当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得， ； ④当时， ，符合题意； ⑤当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得， 解得，． 综上所述：． 4．(25-26高一上·湖北孝感高级中学等校·期末)已知定义在上的函数满足下列两个条件：①对任意、，都有；②对任意，.请解答下列问题： (1)判断的奇偶性及在定义域内的单调性，并证明； (2)解不等式：； (3)证明：对任意正整数，. 提示：①；②. 【答案】(1)奇函数，单调递减，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）令可得出，再令结合奇函数的定义证得函数为奇函数，设，可得出，求得，结合题干条件以及函数单调性的定义可证得结论成立； （2）将所求不等式变形为，根据函数的定义域与单调性可得出关于的不等式组，即可解得所求不等式的解集； （3）推导出，求得，利用裂项求和法以及不等式的基本性质可证得结论成立. 【详解】（1）令，则，解得； 令，则， 所以为定义在上的奇函数， 设，则，所以， 因为 ，所以，则，， 又，所以， 又当，，所以， 所以，即，所以在上是减函数. （2）由得， 因为定义域为且在上是减函数，所以， 解得，故原不等式的解集为. （3）因为， 因为，， 所以， 所以 ， 因为，所以，则， 所以， 故. 5．(24-25高一·陕西榆林靖边中学·月考)已知函数，．，用表示，中的最大者，记为函数． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)若函数的定义域为时，值域为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）利用函数的新定义来确定新函数值即可； （2）利用比较两个函数的大小，再得到分段的新函数； （3）利用二次函数性质，结合分类讨论思想，来求最小值即可. 【详解】（1）因为，，                          所以． （2）令， 若，则，，             当，即时，或；            当，即时，． 所以． （3）因为的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 又因为的图象开口向下，对称轴为直线，又， 所以当时，函数单调递增； 当时，函数单调递增．                 又， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增． 即函数的最小值为．                  令，可解得或． 则函数的定义域为时，值域为， 当时，，此时．                       当时，，此时． 当或时，不符题意． 所以的最小值为1． 6．(25-26高一下·贵州毕节金沙县·期中)高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，． (1)求不等式的解集； (2)若，，，求m的取值范围； (3)若的解集为，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用十字相乘法得到，所以； （2），使得，又，则； （3）十字相乘得到，分，，三种情况，结合不等式解集为得到不等式，求出答案． 【详解】（1）由，即， ，所以． 所以的解集为； （2），，此时， 即，使得， 又， 则， 故的取值范围为； （3）不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，不符合题意； ②若，， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得； ③若，， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，的范围为． 7．(25-26高一下·江苏盐城滨海中学·期中)“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有．若函数的图象关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． ①求函数的对称中心； ②若命题“，，使得成立”是真命题，求实数m的范围． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）根据对称的充要条件，令即可求解； （2）①根据题意得到即可；②由命题“，，使得成立”是真命题可得在上的值域是在上的值域的子集.，根据二次函数图象对称轴在区间上的单调性情况，分别讨论在和上的值域，即可求得参数范围． 【详解】（1）函数的图象关于点对称， 所以， 令，得； （2）①， ，即满足， 所以函数的图象关于点对称； ②命题“，使得成立”是真命题， 又在上单调递增， 所以时，的值域为， 因函数的图象关于点对称，则， 当时，，则当时，， 则， 化简得. 命题“，，使得成立”是真命题, 即在上的值域是在上的值域的子集. 先考虑时，，其对称轴为直线， ①当时，在单调递增，，， 此时，需满足，解得，故得； ②当时，在单调递减，在单调递增， ，， 需满足，解得； ③当时，在单调递减， ，， 此时，需满足，解得，故得. 再分析时，，其对称轴为直线， ①当，即时，在单调递减， ，，此时， 需满足，解得，故得； ②当，即时，， ， 需满足，可得； ③当，即时，在单调递增， ，，此时， 需满足，解得，故. 综合函数在与的上的情况，可得. 8．(25-26高一下·广东梅州兴宁第一中学·月考)已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； (3)求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，即可求出的值，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解； （2）根据条件得，利用指数不等式的解法，即可求解； （3）根据条件，将问题转化成在上有两个不等根，令，利用二次函数根的分布建立方程组，即可求解. 【详解】（1）因为且，则的定义域为，又为奇函数， 则，解得，所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则，所以函数的值域为. （2）由（1）知，由，得到， 整理得到，解得，所以不等式的解集为. （3）因为，令，即，整理得到， 又函数在区间上有两个不同的零点，所以时，方程有两个不等根， 令，得到，又在区间上单调递增，所以， 则在上有两个不等根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 9．(25-26高一下·广东江门广雅中学等校·)已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) 令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； (2) 在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； (3) 【分析】（1）令，求出，再令，结合时的正负性判断； （2）利用定义判断单调性； （3）利用单调性结合一元二次函数的性质判断. 【详解】（1）令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； （3）因为关于x的不等式有解，且在上单调递增， 所以有解，即在上有解， 故，得或， 故实数a的取值范围为. 10．(25-26高一下·湖北黄石云学联盟·)已知函数，， (1)若是奇函数，求a的值； (2)在（1）的前提下，证明：在上仅一个零点，且； (3)设函数，，若对，总存在唯一的，使得成立，求a的取值范围. 【答案】(1)1 (2)证明：和在上均为增函数，故在上单调递增， 又，， 由零点的存在性定理可知，，使， 即， 则， 又，故. (3)或． 【分析】（1）由奇函数定义 ，代入化简得 对任意 成立，故 . （2）先由单调性和零点定理得唯一零点 ,再由 代换得 ,结合 即得 . （3），问题转化为 在 上单调且值域包含 ，且对每个 有唯一解. 由对称轴位置分类讨论，得 或 . 【详解】（1）由题意：，且， 所以， 所以． （2）略； （3）由题意 在 上单调递增,故 ， 所以 的值域包含 ,且对 总存在唯一 使得. 若 即 时, 解得 ， 若 即 时, 解得 ， 若 即 时 或 ， 解得 ， 综上所述: 的取值范围为 或 . 11．(25-26高一下·河南叶县高级中学·期末)设函数（，）． (1)判断函数的单调性（无需证明）； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若，解关于实数的不等式． 【答案】(1)函数在上单调递增 (2) 证明：的定义域为， 由于， （或） 所以关于点中心对称． (3) 【分析】（1）先确定定义域，再由各组成函数单调性判断单调性； （2）计算或，验证为常数，证明中心对称； （3）利用对称性将不等式转化，结合单调性和定义域列不等式组求解． 【详解】（1）解：的定义域为，， 当时，，，都是增函数， 所以函数在上单调递增． （2）略 （3）解：当时，由（2）知，关于点中心对称， 关于的不等式等价于，即， 由解得 所以不等式的解集为． 12．(25-26高一·江苏常州第一中学·期末)已知函数为奇函数，函数满足，且． (1)求和的解析式； (2)若在区间上的最小值为2，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用奇函数的性质求出解析式，从而得到的解析式； （2）结合（1）可得函数，利用单调性的定义得到单调性，换元后结合二次函数的单调性讨论即可. 【详解】（1）由题可得的定义域为， 因为函数为奇函数， 所以，解得：， 当时，，则函数为奇函数， 所以的解析式为， 则， 当，即时， 由，可得， 又，符合题意， 所以的解析式为. （2）将函数代入，则 ， 由于，不妨设，则， 因为，所以，则， 所以在上单调递增，则，即， 令，则， 所以在区间上的最小值为2， 等价于在区间的最小值为2， 由于的对称轴为， 当，即，解得，满足条件； 当，即，方程无解； 当，即，，解得，不满足条件， 综上可得：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06函数常考解答题十二类综合题型 目 录 通法归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一函数的单调性 题型二函数的奇偶性 题型三不等式问题 题型四恒成立问题 题型五函数的值域 题型六函数的最值 题型七函数的零点 题型八抽象函数 题型九已知值域最值求参数 题型十任意与存在问题 题型十一值域成倍数问题 题型十二复合函数问题 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 夙通法制归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 函数解答题问题是函数的重难点，题型涵盖单调性、奇偶性、值域最值、抽象函数、复合函数等，需要注 意：一函数单调性的定义，二函数奇偶性的定义，注意考虑定义域 ◆◆ ◆◆ 刁题型精讲精讲夹型题法，奔失解题振基 题型一、函数的单调性 典例猫讲12425高一上福生厦门同安实验中学羽已知高微X1是定义-1山止山的奇函数， (1)用定义证明fx在-1,1上单调递增： (2)解关于x的不等式fx-1+fx<0. 1/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型归纳 1.证明函数的定义域问题 2利用单调性的定义证明函数的单调性 变式训练1-1(25-26高一上福建南安国光中学、泉州培元中学、泉州惠南中学、安溪铭选中学四校期中)已 入 知函数fx=ar+b 1+x是定义在 -1， 0 上的奇函数 (1)求函数fx的解析式： (2)判断函数fx在定义域上的单调性，并用定义加以证明： (3)解不等式： fx-1+fx2-1>0 变式训练1-2(25-26高一下四川泸州合江县期中)已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x>0时， flx)=x+x. (1)求函数fx在R上的解析式： (2)判断函数fx在R上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：fx-1+fx>0. 变式训练1-3(25-26高一下陕西安康)已知函数fx的定义域为0，+o∞，对任意正实数m,n,恒有 fmn=fm+fn,且当x>1时，fx>0 (1)求证：f1=0,且当0<x<1时，fx<0: (2)判断fx在0，+o∞上的单调性： 3)若存在x使得f2X-X>f3-m'求实数m的取值范围 m 题型二、函数的奇偶性 奥贸箱远2云26有上断江杭州师粒大学附属中学期中已知函数fX”且定义拔为小1,1山 (1)判定函数fx的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：fx在0,1上单调递减： 2/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解关于m的不等式fml+f1-2m2<0 题型归纳 1.证明函数的奇偶性 2.利用函数的奇偶性证明函数的奇偶性 变式堡212526商-上东矿州路三中学教有华团期已知西数fx6X27满足f0=1,f1号 (1)求a,b的值，判断fx的奇偶性并证明； (2)判断fx在[0，+∞)上的单调性，并用单调性的定义证明： (3)求不等式fm-1>f3-2m的解集 变式继22526高-上帮生流州梦城中学月考日知至数xn”7的图家经过点1，号2， (1)求f(x)的解析式： (2)判断f(x)的奇偶性并证明； (3)求不等式ft-1)>f(3-2t)的解集. 变式训练2-3己知函数fx=3x+ X x+1 (1)判断并证明函数fx的奇偶性： (2)用定义证明：函数fx在0，+o∞上的单调性： 3)若关于x的不等式faX2+3ax+f1-ax上0对于任意实数x恒成立，求实数。的取值范围. 题型三、不等式问题 典例精进3(25-26高一下·河南洛阳·期末)已知函数fx,gx的定义域都是R,且fx是奇函数，gx是 偶函数，2fx+3gx=9x2+4x+1. (1)求函数fx,gx的解析式： 2求不等式f4+f4-5×2s0的解集， 3/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型归纳 1.不等式问题 2.结合函数的奇偶性与单调性求解不等式 变式训练3-1(25-26高一上浙江杭州第四中学吴山校区期中)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数. )当x20时，f(x)=+0 x+b' 且f(-2)=-1,求实数a,b的值。 2)当实数x≠0时，fx)=X+a x+b (i)求b的值： (ii)当a=1时，若f(m+2)>f(2Vm+5),求实数m的取值范围. 变式训练3-2(25-26高一上广西河池期末)已知函数fx为-3,3上的奇函数，当x∈-3,0时fx=x3-ax, 且f1=-26 (1)求函数fx的解析式： 2若实数m满足不等式f3-m>fm2-3求m的取值范围， 变式训练3-3(25-26高一上陕西咸阳永寿县中学期中)已知定义在R上的奇函数fx=a·3+3',a为常数. (1)求实数a的值： (2)求不等式f2x-1+fx+4<0的解集， 题型四、恒成立问题 典例精进42526高一上安徽宿州第三中学期末已知定义域为R的函数fX=Q-,2,Q∈R是奇函数 1+21 (1)求实数a的值： (2)判定函数fx的单调性，并用定义证明： (3)若不等式fmX+f1-2mx>0对任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围， m 题型归纳 1.不等式恒成立问题常用方法 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.分离参数法；利用初等函数考虑单调性 变式训练412526高一下湖南师范大学附属中学)已知奇函数fX=0:2-:2的定义域为-a-2,b 2*+1 (1)求实数a,b的值： (2)当x∈2,3时，2+mfx+2*>0恒成立，求实数m的取值范围. 1 变式训练4-2(23-24高一河北唐山丰润区·期中)若二次函数f(X)=x2+bx+c,满足对称轴为x= 且 f(0)=1. (1)求f(x)的解析式： (2)若在区间[-1,1]上，不等式f(x)>2x+m恒成立，求实数m的取值范围. 变式训练4325：26高一下四川泸县第五中学月考)已知函数fx)=1-a·4a>0,X∈R)的图象关于原 1+a·4* 点对称。 (1)求实数a的值： (2)若f(21og3x)>f(1,求x的取值范围： (3)若存在X 1-fx≤4+mf(-x)成立，求实数m的取值范围. 使得1+fx) 题型五、函数的值域 兵例精进52526高一山东寿光第一中学期已知函数x满足，fX+1父2 a)求fx (2)用定义法判断fx在1，+o∞上的单调性，并求fx在1,2上的值域。 题型归纳 1.函数的值域问题 2.通过函数的单调性求解函数的值域 变式训练5-125-26高一广东肇庆期末)已知函数fx=x-0 (a为非零常数)， X 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)判断fx的奇偶性，并证明； (2)当a=1时，若x∈2,6，判断fx的单调性并证明，求出函数的值域。 变式训练5-225-26高一上浙江S9联盟.期中)已知fx=x2-5x+t,且fx=0的一个实数根是1. (1)求t的值与fx=0的另一个根： 2)设Fx=f出 写出Fx在x∈L,3上的单调区间（不需证明），并求此时Fx的值域： X 变式训练5-3.(25-26高一上江苏苏州苏州大学附属中学.期中)已知函数fx=ax2-a+2x+b. (1)若fx≤0的解集为x1≤x≤2}，求a,b的值，并求函数y=fx+f x>0的值域： (2)若b=2,求不等式fx≤0的解集. 题型六、函数的最值 典例精进6(25-26高一上山东潍坊)已知函数fx=x2+ax+b (1)若不等式fx<0的解集为1,2，求a,b: (2)若f0=3,且fx在区间1,2上有两个零点，求a的取值范围： (3)若函 gx=X-1fx的图象关于直线x=2对称，求gx的最小值 题型归纳 1.最值问题 2方法一：基本不等式求解最值，方法二：函数的单调性求解函数的最值 变式训练6-125-26高一上江苏盐城大冈中学.期末)已知函数f(x)=x+1+2x-4. (1)求fx的单调区间； (2)解不等式f(x)≥2x: B)设fx的最小值为m,若正数a,b满足a+b=m,求3+的最小值. ab b 变式训练6-22526商一上北京育才学校期末已知函数f(x)=X:1 (1x+1)2 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)证明fx)是偶函数： (2)判断f(x)在区间0，+∞)上的单调性，并加以证明： (3)求(x)在区间[-2，-1]上的最大值和最小值， 变式训练632526高一上河北：调研已知函数fx=Y+ x2+1 是定义在R上的奇函数，且f-1=1. (1)求a,b的值： (2)判断fx在区间1，+∞上的单调性，并用定义证明： 3已知t>号，若f-2t-4+f引t+1>0成立的一个充分不必要条件是2t-m<1,求m的最大准 题型七、函数的零点 典例精进7(22-23高一上·重庆长寿区期末)已知函数fx=x-1小x-a-1,X∈R (1)若a=0,解不等式fx<1: 2若函数fx恰有三个零点X1,X,X'求+的取值范国 X1 X2 题型归纳 1.函数零点问题 2.二次函数考虑求根公式，基本初等函数考虑函数的特征求解零点 变式训练7-1223商一上云南保山文山州期末已知函数fX=4华-a2+a2+1,a∈R 28 (1)判断fx是否有零点，若有，求出该零点；若没有，请说明理由： (2)若函数fx在x∈1,3上为单调递增函数，求实数a的取值范围. 变式训篮？-2526高一新江杭州)已知勇数fK- (1)判断函数fx在区间0,1上的单调性，并用定义证明： (2)令gx=fx-x+k, (i)证明：函数y=gx的图象是中心对称图形： (i)设函数y=gx有三个零点a,b,ca<b<c,证明：c>b+1. 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练7-32526高一上河北承德期末已知函数fx=2x x+1 (1)判断fx在-1,1上的单调性，并用定义证明： (2)若函数y=fx-a在R上有零点，求实数a的取值范围： (3)若对任意的x∈R,k∈-1,1，都有fx≥-u2+6ku-9,求实数u的取值范围. 题型八、抽象函数 典例精进8(25-26高一上甘肃兰州某校)已知f(x)满足对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y), 且f4)=-2,当x>0时，f(x)<0 1)计算f(0,判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由： (2)判断并证明f(x)在R上的单调性： (3)求不等式fX-2X>f(2-x)+1的解集. 题型归纳 1.抽象函数问题 2.特殊值法，求解函数特殊值，通过特殊值发判断函数的奇偶性或单调性 变式训练8-1(24-25高一重庆渝中区期中)定义在0，+o∞上的函数fx满足：①f4=2;② fy=fx+fy,其中x,y为任意正实数：③任意正实数x,y满足当x>y时，fx>fy试回答下列 问题： (1)求f1,f16的值： (2)试判断函数fx的单调性： (3)如果fx+fx-6≤4，试求x的取值范围. 变式训练8-2(25-26高一上陕西西北工业大学附属中学期末)已知函数fx的定义域为R,且f 20,若 fx+y+fx fy =4xy a求f0+f-号的值： (2)求fx的解析式： 8/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)已知a>0,b>0,a+2b= 3 1+4 a+6a+36的最小值。 变式训练8-325-26高一上江苏东海高级中学)定义在R上的函数fx满足fx+y=fx+fy成立，当 x<0时，fx>0. (1)证明函数fx是奇函数； 2解不等式faX2-a+2x<f-2 题型九、已知值域最值求参数 典例精讲9(25-26高一上重庆巴蜀中学期末)已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x∈-00,0时， fx=x2-6. (1)求fx的解析式： 2)当函数fx的定义域为m,nl且0<m<n时，函数fx的值域为专，专 求实数，的取值范围。 n m 题型归纳 1.已知函数的值域求参数 2.通过最值结合函数的单调性求解参数 变式训练9-1(25-26高一上陕西神榆。靖区域联考月考)已知函数fx是定义域为R的奇函数，当X>0时， fx=x2-4x+1 (1)求函数fx的解析式： (2)若方程fx=k有3个实数根，求实数k的取值范围： (3)若x∈a,b)时，函数fx的值域为-3,3，求b-a的取值范围. 变式通练92526商一清L台州期为已知面激K=X+Xba,b∈R (1)求函数y=fx图象的对称中心： (2)当a=-1,b=1时，用定义证明fx在1，+∞上单调递增： 9/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)当a>0,b=0时，若函数fx在定义域m,n上单调n>m>0,且函数fx的值域为2m+1,2n+1], 求实数a的取值范围. 变式训练932526高一上河北保定部分高中期中已知函数f(x)=aX+2x+b. (1)若对任意实数x,都有f(1+x)=f(1-x),求a的值 (2)若f(-1)=0,且关于x的方程f(x)=0有两个不同的实数根，求a的取值范围 (3)是否存在α，b,使得fx)在[0,2]上的值域为[0,1]？若存在，求a,b的所有值；若不存在，请说明理由. 题型十、任意与存在问题 典剑精进10.25-26高一上广东惠州光正实验学校，月考设fx)=又-2x+1'gx)=-X+4x+1:其 中t>0,记F(x)=min{f(x),g(x)}. (1)若t=1,求F(x)的值域： (2)若t>0,记函数h(x)=f(x)+x-1+t对任意x 总存在m∈ 品2 使得h(x)=m成立， 求实数t的取值范围： 题型归纳 1.任意与存在结合问题 2.通常分开各自考虑，任意与存在分开考虑各自最值 座式道盥01526商-费州度义第=中学转有E知示数fx2【eR,f0号 (1)求实数t的值 (2)已知“函数fx的图象关于点a,b对称”的充要条件是“fa-x+fa+x=2b对于定义域内任何x 恒成立”，试用此结论证明：函数fx的图象的对称中心为0, 3)若对于任意x,∈1,2小都存在x,∈1,2]及实数m使得f2+mx+fxx=1求实数m的值 变式训练10-22526高一上湖南邵阳邵东创新高级中学.期中)材料一：己知函数y=x+上有如下性质：如 10/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 果常数t>0,那么该函数在0，十是减函数，在，+o0上是增函数 材料二：当x∈D时，若函数4=gx与函数y=fu单调性相同，则函数y=fgx在区间D上单调递增： 若函数u=gx与函数y=fu单调性不同.则函数y=fgx在区间D上单调递减 阅读以上材料：解决下列问题： (1)判断y=x+4在0，+o0上的单调性： X 2已知fx=4X12x-3,x∈0,1l,求函数fx的单调区间和值域： 2x+1 (3)对于(2)中的函数fx和函数gx=x2-2ax+a-2,若对任意x1∈0,1，总存在x2∈0,1，使得 9x,=fx成立，求实数。的取值范围。 变式训练1032526高一上湖北鄂东南联考，期中已知函数fX=X+k,gX=-kx+2,其中k为非零常 数 (1)写出fx在0，+∞上的单调区间，； 2)若k=1,求函数hx=X+是+fx的值域； 3)若k>0:对任意的x,∈0,2存在x,∈1,4使得gX上fx,成立，求实数k的最大值 题型十一、值域成倍问题 典例精进11(2526高一上河北遵化：期中)已知函数fx=X+ax-L 为偶函数， 2 (1)求a的值； (2)用单调性的定义证明函数fx在0，+o∞上为增函数： (3)是否存在实数，n,使得当fx的定义域为 11 m>0,n>0时，函数fx的值域为3-3m,3-3n. m n 若存在，求出，n的值；若不存在，说明理由 11/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型归纳 1.值域成倍数问题 2.一般需要考虑特殊点的函数值 变式训练1-125-26高-福建宁德期末fx=ax+(a>0,b>0)是由正比例函数和反比例函数相加 构成的函数，其图象具有独特的“双勾”形状，被称为“对勾函数” (1)若a=b,判断函数fx在1，+oo上的单调性，并用定义证明： 2若两个不相等的正数m,m满足fm=fn,求证：m+n>2巳 a (3)若a=b=1,是否存在实数s,,使得fx在s,t上的值域是2s,2t?若存在，求出所有s,t的值；若 不存在，说明理由. 变式训练11-2(25-26高一上·四川泸州高级中学校期中)已知函数fx=ax2+bx+ca≠0，不等式f引x<0 的解集为x1<x<3且f0=3 (1)求fx在1,4的值域： 2记F刘=fx+5x-3+m当Fx的定义域为x,xx>0时，值城为5X,5x小求实数m的取值范 围： 3)若函数hx=fx+2x-6在区间t,t+1t∈R上的最小值为Ht,求Ht的最小值. 变式训练1-325-26高一上浙江嘉兴期末)已知函数fx=X.1 +1 a当m=时，判断x在0，+∞1上的单调性，并用完义证明： (2)若m∈N,f0+f-2=-2. (i)求m的值； (ii)若存在a,b-1<a<b,当x∈a,b时，fx的值域为ka,kb,求实数k的取值范围. 题型十二、复合函数问题 典例精进11(25-26高一上广东揭阳惠来县第一中学等校期中)已知函数 12/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f(x)=mx2+(m-4m2x+3m3-m2(m0 (1)当m=1时，讨论fx在a,a+2上的最小值： 2当m=1时，求函数gX=fx的单调区间： (3)讨论关于x的不等式fx>0的解集， 题型归纳 1.复合函数相关问题考点 2.一般需要通过换元法考虑 变式训练1-120-21商一上：重庆第-中学期中已知函数fx)=10g。2ax-X2其中a>0且a≠1 1)若西数x在区同吃，1单调递增，求实数口的取值范国， 2)当a=3时，若关于x的方程f3)=1og,(m+3)+x恰有两个不同的解，求实数m的取值范围， 变式训练11-2(25-26高一上广东梅州期末)已知函数fx=乙，a∈R (1)若a=2,解方程fx=1: 2讨论函数ffx的零点的个数 变式训练1-325-26高一上四川成都第七中学期末已知函数f1x=10-10, 2,9x=10+10* a求gx-fxP的值： 2E知F(x=fx gx ①判断并证明Fx的奇偶性和单调性： ②设x为x=nmx的安点，且满足F利x刻+FA小x+号-7小0求满足条件的x的个数 13/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同压轴挑战一或克高难压轴，突破思维上保 1.526高-下-四川内江威运中学期末已知函数fX=1-,4Q>0且a≠1)为奇西数 2a'+a (1)求实数a的值及函数fx的值域： (2)函数gx=2*-mfx在区间-oo,2上有两个不同的零点，求实数m的取值范围. 2.2526高-上四川广安加德学校期中已知函数fX=ax-la>0。 (1)用定义法证明：函数fx在区间0，+∞上单调递增： a-2f分3，且存在×eL,3使得fx<x-2+m.求实数m的位范国。 3.(25-26高一下浙江强基联盟，)尼知函数fx=ax-1+1 ax-1' (1)若a=1,当x>1时，求fx的最小值； 子当xe2t 2)若a- (i)若函数fx的最小值为2，求a的取值范围： （i)对于任意的x,X,X,∈1,2fx<fx+fx,恒成立，求。的取值范围. 4.(25-26高一上湖北孝感高级中学等校期末)已知定义在-1,1上的函数fx满足下列两个条件：①对任 意.ye1u.都有x+f-f是 ②对任意x∈0,1，fx<0.请解答下列问题： (1)判断fx的奇偶性及在定义域内的单调性，并证明； a廉不梦式：fx+1+f文0， (3)证明：对任意正整数n' -11 提示：①n2+3n+1=n+1n+2-1:②n+1n+2n+1n+2 5.425商一陕西输林筛边中学月考已知函数fx=X2+4Xgx=-X+2x+3Vx∈R用 14/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M(x)表示f(x),g(x)中的最大者，记为函数M(x)=max{f(x),g(x)}. (1)求M(-2)的值： (2)求函数M(x的解析式： (3)若函数M(x的定义域为[a,b]时，值域为[-4,0]，求b-a的最小值. 6.(2526高一下贵州毕节金沙县期中)高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之 一，享有“数学王子”之称.函数y=x称为高斯函数，其中x表示不超过实数x的最大整数，如1.2=1， -1.2=-2 )求不等式6x-7x-20≤0的解集： axfx-mlk+4s0,3xe1, fx>0,求m的取值范围； 3)若x-2x-a+1≤0的解集为x-1≤x<4 求a的取值范围， 7.(25-26高一下江苏盐城滨海中学期中)“函数hx的图象关于点a,b对称”的充要条件是“对于函数 hx定义域内的任意x,都有hx+h2a-x=2b.若函数fx的图象关于点1,2对称，且当x∈0,1时， fx=x2-2mx+2m+1. (1)求f0+f2的值； 2)设函数gx=7x+1 x+1 ①求函数gx的对称中心： ②若命愿“VX∈[0,2]X,∈0,1小使得fx=gx,成立”是真命题，求实数m的范围. 8.25.26高一下广东梅州兴宁第-中学月考已知函数fx=1-,4a>0且a≠1)为奇函数 2a'+a (1)求实数a的值及函数fx的值域： R解不等式X小号 (3)求函数gx=2-mfx在区间-∞，2上有两个不同的零点，求实数m的取值范围. 9.(25-26高一下广东江门广雅中学等校)已知函数f(x)的定义域为R,且(x-y)f(y)=f(x),当x<0 时，0<f(x)<1. (1)求f(0),判断f(x)的正负，并给出证明： 15/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)判断fx)在R上的单调性，并给出证明： B)若关于x的不等式fx+ax+3<fx-1)有解，求实数a的取值范围。 10.2526高一下湖北黄石云学联盟)已知函数fx=+a'gX=nx+x e*-1 (1)若fx是奇函数，求a的值： 2在1)的前提下，证明：gx在0，+∞上仅-个零点x,'且fx,>3 3)设函数hx=gx-x°px=X2-ax+1若对yX,∈1，e总存在唯-的x,∈-1,2使得 hx=px成立，求a的取值范围 11.(25-26高一下河南叶县高级中学期末)设函数fx=lnX+ax-b(a>0,b∈R). 6-x (1)判断函数fx的单调性（无需证明）： (2)证明：曲线y=fx是中心对称图形： (3)若3a=b解关于实数的不等式f.2t+3+f3+t>0 12.25-26高一江苏常州第一中学期末已知函数fX=4“-a为奇函数，函数gx满足gX~fx=f2x 2 且g0=2. (1)求fx和gx的解析式： (2)若Fx=fx-mgx+m在区间0,1上的最小值为2，求m的值. 16/16