第二章一元二次函数、方程和不等式（单元测试卷）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次函数、不等式与方程单元核心，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，适配高一下学期单元复习，强化数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|解不等式、最值计算、面积表示|第6题通过参数与系数错误情境，培养批判性思维| |多选|3/18|不等式性质、基本不等式|第10题结合正数条件考查最值，体现运算能力| |填空|3/15|代数式比较、最值、方程根分布|第13题含条件最值，强化模型意识| |解答|5/77|代数式比较、实际应用、含参不等式、函数最值探究、综合不等式|16题以矩形花园为情境（模型意识），18题模仿例题探究函数最值（创新意识），19题综合不等式恒成立（推理能力）|

2026-2027学年高一下学期单元测试卷 第二章 一元二次函数、方程和不等式 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．已知实数满足，则的最小值是（ ） A． B．2 C． D．3 3．已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（ ） A． B． C． D． 4．已知，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D．与有关 5．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．或 B． C． D．或 6．乐乐、丁丁解关于的不等式，乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为，检验解答题过程发现乐乐、丁丁的解答均正确，再次审题时，发现乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值，则原不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 7．已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则（ ） A． B． C． D． 8．若实数满足，，则下列结论中错误的是（ ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知正数，，满足，则（ ） A．的最大值为2 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 11．已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（ ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，，则与的大小关系为______ 13．若，，，则的最小值为_______． 14．方程有两个正实根，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 16．（15分）完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 17．（15分）已知函数，. (1)讨论关于的不等式的解集； (2)当，时，有，求的最小值. 18．（17分）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求函数的最小值.解：利用基本不等式，，可得，于是，当且仅当时，取得最小值. 提示：基本不等式， (1)老师请你模仿例题，研究函数的最小值； (2)求函数的最小值； (3)当时，求函数的最小值. 19．（17分）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． (3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一下学期单元测试卷 第二章 一元二次函数、方程和不等式 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原不等式等价于. 解得或， 即原不等式的解集为. 2．已知实数满足，则的最小值是（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】由基本不等式得： ， 当且仅当时取等号， 则的最小值是. 3．已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合矩形面积公式与不等式定义即可得. 【详解】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. 4．已知，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 5．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即，解得. 故选：B. 6．乐乐、丁丁解关于的不等式，乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为，检验解答题过程发现乐乐、丁丁的解答均正确，再次审题时，发现乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值，则原不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的根与系数的关系，列出方程组，求得的值，得出不等式，即可求解. 【详解】因为乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为， 且乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值， 可得，解得，所以不等式为， 又由，解得， 即不等式的解集为 7．已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，整理可得（1－）－2bx+>0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有1－<0，此时>1，而0<b<1+a，故a>1， 由不等式<0解得 即要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么－3<<－2，由<－2得－b<－2（a－1），则有a<+1，即a<+1<+1，解得a<3，由－3<得3a－3>b>0，解得a>1，则1<a<3． 8．若实数满足，，则下列结论中错误的是（ ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】首先判断的符号，再将待求式变形为可利用基本不等式或其变形的形式，进而求最值. 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】根据不等式的性质，可通过特殊值法、作差法逐一验证选项的正确性. 【详解】对于选项A，取，满足，但，故选项A不正确； 对于选项B，因为，，所以，故选项B正确； 对于选项C，因为，所以，又，由不等式的性质，得，故选项C正确； 对于选项D，当，时，，故选项D正确. 10．已知正数，，满足，则（ ） A．的最大值为2 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于ABC，利用基本不等式即可判断；对于D，根据消元，结合二次函数的最值即可判断. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，， 当且仅当时，等号成立，故B正确． 对于C，， ， 当且仅当即时，等号成立，故C正确． 对于D，， ，， 当时有最小值，故D正确． 故选：BCD. 11．已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（ ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 【答案】AD 【分析】根据图象得出参数，进而计算判断A，B，C选项，再代入化简计算一元二次不等式判断D. 【详解】函数的零点为和1，则， 又因为图象开口向下，所以， 对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项错误； 对于C：，C选项错误； 对于D：关于的不等式的解集为，D选项正确； 故选：AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，，则与的大小关系为______ 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为 ， 所以. 故答案为： 13．若，，，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】由得到，代入，利用基本不等式求解. 【详解】，，， ，，， 当且仅当，即时，此时，等号成立， 的最小值为. 故答案为：. 14．方程有两个正实根，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】若一元二次方程有两个正实根，则需满足，直接列不等式求解即可. 【详解】因为方程有两个正实根， 所以，解得； 实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】利用作差法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 16．（15分）完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32. (2)当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 【分析】(1)是考查基本不等式应用中，两个正数的积为定值时，求两个正数和的最小值； (2)是考查基本不等式应用中，两个正数的和为定值时，求两个正数积的最大值. 【详解】（1）设矩形花园的长为，宽为 由题意可知：（面积） 由得 ∴当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32m. （2）已知（周长），矩形花园的面积为 由 当且仅当时．上式等号成立 ∴当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 17．（15分）已知函数，. (1)讨论关于的不等式的解集； (2)当，时，有，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）含参一元二次不等式，首先分解因式，然后讨论根的大小； （2）化简已知方程可得，然后常数代换，转化为均值不等式求解. 【详解】（1）， 当时，恒成立； 当时，由，得或； 当时，由，得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. （2），，得， 又，， ， 当且仅当，即，时，等号成立. 的最小值为. 18．（17分）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求函数的最小值.解：利用基本不等式，，可得，于是，当且仅当时，取得最小值. 提示：基本不等式， (1)老师请你模仿例题，研究函数的最小值； (2)求函数的最小值； (3)当时，求函数的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由题意可得，结合基本不等式计算即可求解； （2）由题意可得，结合基本不等式计算即可求解； （3）由题意可得，结合基本不等式计算即可求解； 【详解】（1），由， 知， 当且仅当时，取到最小值； （2）由，由， 知， 当且仅当时，取到最小值； （3）由，，由， 知； 当且仅当时，取到最小值. 19．（17分）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． (3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）代入得到二次函数，解一元二次不等式（分析开口方向、判别式）； （2）整理不等式为，分、、讨论（结合因式分解、根的大小比较）； （3）分离参数，再通过化简，利用基本不等式求取值范围. 【详解】（1）由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （3）由对一切实数恒成立， 即对恒成立， 当时，，所以， ∵，∴， 当且仅当时，即时等号成立，∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $