专题02 一元二次不等式的解法（题型专练）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 以10类题型系统整合不等式性质应用、各类不等式解法及实际问题，方法提炼具体，知识逻辑从基础到综合，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式性质应用|3题型（判断/证明/求范围）|特殊值法、糖水不等式、整体代换|从性质基础到代数式范围推导，构建逻辑推理链| |绝对值与分式不等式|2题型|分类讨论（c>0/c=0/c<0）、整式转化|从绝对值定义到分式符号法则，实现化归思想| |一元二次不等式|3题型（不含参/含参/二次关系）|因式分解、判别式法、根的比较|从方程根到不等式解集，建立“二次”内在联系| |综合应用|2题型（实际应用/恒成立）|函数建模、最值分析|从数学问题到现实情境，提升应用意识与创新思维|

专题02一元二次不等式的解法 （题型突破·举一反三） 题型01 利用不等式性质判断命题真假 题型02 利用不等式的性质证明不等式 题型03 利用不等式性质求代数式的范围 题型04 绝对值不等式的解法 题型05 分式不等式的解法 题型06 不含参数的一元二次不等式的解法 题型07 含参数的一元二次不等式的解法 题型08 两个“二次”间的关系 题型09 一元二次不等式的实际应用 题型10 一元二次不等式恒成立问题 ▌题型01 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断命题真假的技巧 （1）运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质； （2）解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 【典例1】（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·山东泰安·期末）已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【变式2】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【变式3】如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． ▌题型02 利用不等式性质证明不等式 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 （1）利用不等式的性质证明不等式时，一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并在解题中灵活准确地加以应用； （2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 【典例2】已知，求证:. 【变式1】已知均为正实数，且，求证：． 【变式2】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【变式3】（25-26高一上·河南焦作·阶段检测）设a，b，c，d均为正实数，且，证明： (1)若，则； (2)的充要条件是. 题型03 利用不等式性质求代数式的范围 利用不等式的性质求代数式范围的策略 （1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围； （2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 【典例3】（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·山西大同·阶段检测）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·湖北孝感·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04 绝对值不等式的解法 ｜ax＋b｜≥c和｜ax＋b｜≤c型不等式的解法 （1）当c＞0时，｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）当c＝0时，｜ax＋b｜≥c的解集为R，｜ax＋b｜＜c的解集为∅； （3）当c＜0时，｜ax＋b｜≥c的解集为R，｜ax＋b｜≤c的解集为∅. 【典例4】（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C．且 D．或 【变式1】不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）不等式的解集是（   ）. A． B． C． D．或 【变式3】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）不等式的最小整数解为（   ） A． B． C． D． 题型05 分式不等式的解法 分式不等式的解法 （1）形如＞a（a≠0）的分式不等式可同解变形为＞0，故可转化为解g（x）[f（x）－ag（x）]＞0； （2）解≥0（≤0）型的分式不等式，转化为整式不等式后，应注意分子可取0，而分母不能取0.（f（x），g（x）为关于x的表达式） 【典例5】（25-26高二下·江西赣州·阶段检测）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·河北·阶段检测）已知，若这个关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型06 不含参数一元二次不等式的解法 解不含参数的一元二次不等式的方法 （1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集； （2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得； （3）若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法. 【典例6】不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【变式1】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2】不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型07 含参数一元二次不等式的解法 含参一元二次不等式的解法 【典例7】若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 7．关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 9．若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型08 两个二次间的关系 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 （1）求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集； （2）求解步骤：第一步：审结论——明确解题方向 如要解cx2＋bx＋a＜0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值. 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c； 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解. 【典例8】（25-26高一上·江苏南通·期末）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知关于x的不等式的解集为或，则的解集为（    ）． A． B． C．或 D． 【变式3】（25-26高一下·山西大同·期末）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 题型09 一元二次不等式实际应用 解不等式应用题的步骤 【典例9】河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【变式1】某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为元，则每天可卖出株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于元，则每株这种多肉植物的最低售价为（    ） A．元 B．元 C．元 D．5元 【变式2】某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 题型10 一元二次不等式恒成立问题 在给定范围上恒成立问题的解题策略 （1）当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0； （2）当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 【典例10】不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式3】命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一元二次不等式的解法 （题型突破·举一反三） 题型01 利用不等式性质判断命题真假 题型02 利用不等式的性质证明不等式 题型03 利用不等式性质求代数式的范围 题型04 绝对值不等式的解法 题型05 分式不等式的解法 题型06 不含参数的一元二次不等式的解法 题型07 含参数的一元二次不等式的解法 题型08 两个“二次”间的关系 题型09 一元二次不等式的实际应用 题型10 一元二次不等式恒成立问题 ▌题型01 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断命题真假的技巧 （1）运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质； （2）解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 【典例1】（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，又因为所以， 故A错误； 因为，所以， 故B错误； 因为，由糖水不等式得，故C正确； 因为，所以，因此， 又因为，所以，故D错误.故选C 【变式1】（25-26高二下·山东泰安·期末）已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】当时，满足，但，选项错误； 若，则，又，则，选项错误； 若，则，，但不能推出，选项错误； 由得，若，则，，选项正确. 【变式2】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【解析】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 【变式3】如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，且，则. 对于选项A：因为，，所以，故A正确； 对于选项B：因为，则，且，所以，故B正确； 对于选项C：例如满足，但，故C不一定成立； 对于选项D：因为，则，且，所以，故D正确. ▌题型02 利用不等式性质证明不等式 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 （1）利用不等式的性质证明不等式时，一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并在解题中灵活准确地加以应用； （2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 【典例2】已知，求证:. 【证明】方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 【变式1】已知均为正实数，且，求证：． 【解】，， ，又， ，故， ，，， ，即． 【变式2】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【解】（1）解：由，， 则， 因为，可得，所以； （2）证明：因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 【变式3】（25-26高一上·河南焦作·阶段检测）设a，b，c，d均为正实数，且，证明： (1)若，则； (2)的充要条件是. 【解】（1）因为，， 由题设，，得. 因此. （2）（ⅰ）若，则.即. 因为，所以，由（1）得. （ⅱ）若，则， 即. 因为，所以， 于是. 因此. 综上，的充要条件是. 题型03 利用不等式性质求代数式的范围 利用不等式的性质求代数式范围的策略 （1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围； （2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 【典例3】（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可知， 由可得，又， 所以，即的取值范围是. 【变式1】（25-26高一上·山西大同·阶段检测）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，又，， 所以，，所以， 即的取值范围是.故选：A. 【变式2】（25-26高一上·湖北孝感·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法一：设，则， 所以解得即， 因为则 因此． 方法二：设，则， 所以， 又因为，所以，因此．故选：D 【变式3】（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，即， 所以，则，所以.故选：D. 题型04 绝对值不等式的解法 ｜ax＋b｜≥c和｜ax＋b｜≤c型不等式的解法 （1）当c＞0时，｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）当c＝0时，｜ax＋b｜≥c的解集为R，｜ax＋b｜＜c的解集为∅； （3）当c＜0时，｜ax＋b｜≥c的解集为R，｜ax＋b｜≤c的解集为∅. 【典例4】（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C．且 D．或 【答案】D 【解析】当时，即时，有，解得； 当时，即时，有，解得； 综上不等式的解集为或.故选：D. 【变式1】不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以，解集为.故选：B 【变式2】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）不等式的解集是（   ）. A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由可得，解得.故选：B. 【变式3】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）不等式的最小整数解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，则，可得，此时，； 当时，则恒成立，此时，； 当时，则，解得，此时，. 综上所述，不等式的解集为， 则满足原不等式的最小整数解为，故选：C. 题型05 分式不等式的解法 分式不等式的解法 （1）形如＞a（a≠0）的分式不等式可同解变形为＞0，故可转化为解g（x）[f（x）－ag（x）]＞0； （2）解≥0（≤0）型的分式不等式，转化为整式不等式后，应注意分子可取0，而分母不能取0.（f（x），g（x）为关于x的表达式） 【典例5】（25-26高二下·江西赣州·阶段检测）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】不等式即， 当即时，即，故此时； 当即时，即或 ，故此时， 故不等式的解集为或，故选：D 【变式1】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， 即，解得， 所以不等式的解集为. 【变式2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式 ，即，即，则， 解得，故原不等式的解集为；故答案为： 【变式3】（25-26高一上·河北·阶段检测）已知，若这个关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式组恰好有3个整数解， 由可得，由可得，则这3个整数为， 所以，即．故选：A． 题型06 不含参数一元二次不等式的解法 解不含参数的一元二次不等式的方法 （1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集； （2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得； （3）若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法. 【典例6】不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】不等式，即，解得或. 因此不等式的解集是或. 【变式1】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式2】不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】的解为或5，故不等式的解集为或 【变式3】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对原不等式变形，得， 得，解得，所以不等式的解集为(−2,5). 题型07 含参数一元二次不等式的解法 含参一元二次不等式的解法 【典例7】若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 7．关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，解得， 所以的解集为.故选：A. 8．若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为，，所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或，故选：C． 9．若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，解，得， 所以不等式的解集为.故选：D 题型08 两个二次间的关系 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 （1）求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集； （2）求解步骤：第一步：审结论——明确解题方向 如要解cx2＋bx＋a＜0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值. 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c； 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解. 【典例8】（25-26高一上·江苏南通·期末）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为不等式的解集为， 所以，且，所以. 所以不等式可化为， 所以或.所以不等式的解集为.故选：A 【变式1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由不等式的解集为可知， 且，，所以， 所以不等式可化为， 又，则，解得或． 【变式2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知关于x的不等式的解集为或，则的解集为（    ）． A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】由关于x的不等式的解集为或， 可知，且-2和1是方程的两根， 故由根与系数的关系得，即得， 又，故不等式为，即，解得， 故选：B 【变式3】（25-26高一下·山西大同·期末）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 【答案】A 【解析】因为，是方程的两个根， 所以，解得，所以.故选：A. 题型09 一元二次不等式实际应用 解不等式应用题的步骤 【典例9】河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【答案】C 【解析】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 ． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元． 故选：C． 【变式1】某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为元，则每天可卖出株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于元，则每株这种多肉植物的最低售价为（    ） A．元 B．元 C．元 D．5元 【答案】C 【解析】设每株多肉植物的售价为元，则每天销量为株， 每天的销售额为， ，即，解得， 每株这种多肉植物的最低售价为元，故C正确． 故选：C． 【变式2】某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则， 所以，可得， 综上，. 故选：C 【变式3】某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 【答案】B 【解析】设下调后的电价为x元/.依题意知用电量增至，电力部门的收益为.依题意有，整理得.又，解得. 题型10 一元二次不等式恒成立问题 在给定范围上恒成立问题的解题策略 （1）当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0； （2）当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 【典例10】不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以.的最小值为. 【变式1】不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 【变式2】已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先，若，明显不恒成立. 若，恒成立. 若，可知当时最大， 所以即可， 解得，所以综上所述，. 【变式3】命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原命题“”为假命题， 等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $