基础集训16 数列-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列核心概念与性质，通过基础题型与综合应用结合，构建从定义到递推、从计算到建模的知识网络，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-3、填空12|等差数列基本量计算、递推关系|从定义推导通项公式，建立首项与公差的关联| |性质应用|单选5-7、多选9-10|前n项和最值、奇偶项和、单调性判断|通过性质深化对数列变化规律的理解，强化推理意识| |实际情境|单选4、填空14|增长率问题、新定义“差扩充”|将数列模型应用于现实问题，培养模型意识与数据观念| |综合探究|解答15-19|等差与等比综合、证明与构造|整合知识链，从计算到论证，提升数学语言表达能力|

2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺： 苍穹精品工作室 知识改变命运，加油吧高三学子 基础集训16 数列 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1. 本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似2027年新高考I卷 2. 本试卷测试范围：数列部分 3. 本试卷适用于新高考I卷地区 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知在等差数列中，，，则公差的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（本题5分）设为等差数列的前项和，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）在数列中，若（为常数），且，则（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）某公司计划用10年时间（从2026年初到2036年初）完成产能升级，若初始产能为，每年产能的增长率为定值，2030年初产能为，则2036年初的产能是（     ） A． B． C． D． 5．（本题5分）某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（    ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 6．（本题5分）已知数列满足，则（   ） A．720 B．746 C．760 D．780 7．（本题5分）已知等差数列的前n项和为.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是递减数列 C．当时， D． 10．（本题6分）已知数列为等差数列，为其前项和，若，，则下列结论正确的有（   ） A．公差 B． C． D．当时，最小 11．（本题6分）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为．若，当时，，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 13．（本题5分）如图所示的数阵中，每一行中除了第一个与最后一个数为1外，其他数都等于它“肩上”的两个数之和．则将最外层的1全部删去后，前9行的数字和为______________．    14．（本题5分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”．如数列2024，2026第1次“差扩充”后得到数列2024，-2，2026，第2次“差扩充”后得到的数列2024，2026，-2，-2028，2026．设数列2024，2026经过第次“差扩充”后所得数列的项数为，所有项的和为，则的值为________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值. 16．（本题15分）设为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 17．（本题15分）在等差数列中，已知 (1)该数列的公差d； (2)设数列的前n项和为，当n为何值时，取得最小值?并求出该最小值. 18．（本题17分）已知等差数列的公差不为0，设，，． (1)若，，，求数列的通项公式； (2)若，且，，成等比数列，求的值； (3)若，证明． 19．（本题17分）由这个数排成一个数列，若两个1之间恰好有1个数，两个2之间恰好有2个数，，两个之间恰好有个数，则称这个数列为“完美闭环数列”.显然，时不能构成“完美闭环数列”.时，构成了“完美闭环数列”.若数列中的项与的奇偶性相同，称该项为“和谐项”，当时，，，，共有4项“和谐项”. (1)补全时的“完美闭环数列”：，并列出其所有“和谐项”. (2)证明：当时，不存在“完美闭环数列”. (3)可以构成“完美闭环数列”，同学们在171中学“知己知彼”、“拾级而上”，相信171也必将是你中学时代的“完美闭环”，从这里出发，向梦想远行.请写出时的“完美闭环数列”. 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺： 苍穹精品工作室 知识改变命运，加油吧高三学子 基础集训16 数列 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1. 本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似2027年新高考I卷 2. 本试卷测试范围：数列部分 3. 本试卷适用于新高考I卷地区 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知在等差数列中，，，则公差的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以，解得. 2．（本题5分）设为等差数列的前项和，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差数列前项和公式及等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，已知为等差数列的前项和， 因为，则，化简得，即， 所以，故D正确. 3．（本题5分）在数列中，若（为常数），且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，则． 4．（本题5分）某公司计划用10年时间（从2026年初到2036年初）完成产能升级，若初始产能为，每年产能的增长率为定值，2030年初产能为，则2036年初的产能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设初始产能， 从2026年初到2030年初，经过了年，此时产能为， 所以两边约去， 得， 从2026年初到2036年初，经过了年，此时的产能为 ， 所以答案是B. 5．（本题5分）某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（    ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据等差数列性质即可化简求出奇数项之和. 【详解】解：由题可知，， 根据等差数列的性质可知，所以，所以， 同理，根据等差数列性质可得. 6．（本题5分）已知数列满足，则（   ） A．720 B．746 C．760 D．780 【答案】D 【分析】对递推式按的奇偶性分类变形，推导相邻奇数项的和的规律，分组利用等差数列求和公式计算. 【详解】当时，， 即有； 当时，； 则，即， 故 . 7．（本题5分）已知等差数列的前n项和为.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用等差数列求和公式及通项公式计算得出通项公式及求和，最后应用二次函数最值计算求解. 【详解】由题意，可求得，， ，故时取的最小值为． 8．（本题5分）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用导数可得在上单调递增，从而可得，即可判断A；用累加法判断B；利用导数及放缩法判断C；利用，，可得，即可判断D. 【详解】令， 则 所以在上单调递增， ，， 所以，即， 以此类推即，所以，故A错误； 又时，令 则， 所以单调递减， 又当时，， 所以，即， 又， 所以，故C错误； ，故B正确； ， 又因为，， 所以，故D错误. 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是递减数列 C．当时， D． 【答案】BCD 【分析】利用等差数列的通项公式和性质来求解判断即可. 【详解】因为，又， 所以数列是首项为9，公差为的等差数列. 记公差为d，则，所以. 选项A：.所以选项A错误. 选项B：因为公差为，所以数列是递减数列.所以选项B正确. 选项C：当，，即.所以选项C正确. 选项D：，所以选项D正确. 10．（本题6分）已知数列为等差数列，为其前项和，若，，则下列结论正确的有（   ） A．公差 B． C． D．当时，最小 【答案】BCD 【分析】利用等差数列通项公式求出公差，再结合通项、前n项和公式以及数列单调性逐一验证四个选项的正误. 【详解】对于A：已知，，所以，即，解得，A错误； 对于B：，B正确； 对于C：，C正确； 对于D：公差，数列递增，， 令得，即，， 因此前项均为负，和最小，即时最小，D正确. 11．（本题6分）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为．若，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】当时，整数属于第个区间． 由题设， 而所以 另一方面，整数属于第个区间． 由题设， 因此，对任意，均有等价于 由上述估计可知对成立． 特别地，且，所以，进而．故A正确． 下面确定．由上述双边估计，并且 两式相减，得 又，所以 若，则随着增大可以任意大，与上式的右侧不等式矛盾； 若，则随着增大可以任意小，与上式的左侧不等式矛盾． 所以，故D正确； 于是． 代入上述估计，得 若，则中间的式子随着增大可以任意大； 若，则中间的式子随着增大可以任意小． 两种情况都与上式矛盾，所以，从而． 因此C错误． 因为，所以对任意正整数， 又，所以B正确． 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 【答案】 【详解】当时，， 当时，，符合上式， 所以. 13．（本题5分）如图所示的数阵中，每一行中除了第一个与最后一个数为1外，其他数都等于它“肩上”的两个数之和．则将最外层的1全部删去后，前9行的数字和为______________．    【答案】2026 【分析】根据杨辉三角的特征，及二项式定理求出第n行的数字和，从而根据等比数列，等差数列的前n项和求出前n行的数字和，进而代入即可求解． 【详解】图中数阵为杨辉三角，删去最外层后，对正整数n，第n行的n个数字依次为， 由二项式定理，第n行的数字和为 则前n行的数字和为， 所以当时，即为2026． 14．（本题5分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”．如数列2024，2026第1次“差扩充”后得到数列2024，-2，2026，第2次“差扩充”后得到的数列2024，2026，-2，-2028，2026．设数列2024，2026经过第次“差扩充”后所得数列的项数为，所有项的和为，则的值为________． 【答案】1013 【分析】通过该概念的性质求出为等比数列以及为等差数列并求出具体表达式，最后代入到中求解. 【详解】由题意，，， 所以， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，. 由题意，，， 即数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， .所以， . 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值. 【答案】(1)； (2)6. 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式计算基本量，进而可得； （2）直接由前n项和公式和通项公式得不等式，解不等式可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为， 由题意可得，化简得， 解得，，所以. （2）由（1）可知. 由，得，即， 即，解得或. 因为，所以n的最小值是6. 即使成立的n的最小值为6. 16．（本题15分）设为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的基本量运算列方程求出首项与公差即得其通项公式； （2）先求出数列的通项，裂项后求和即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由条件可知， 解得，， 所以的通项公式为． （2）因为， 所以数列的前项和为. 17．（本题15分）在等差数列中，已知 (1)该数列的公差d； (2)设数列的前n项和为，当n为何值时，取得最小值?并求出该最小值. 【答案】(1). (2)当时，取得最小值. 【分析】（1）利用等差数列的前n项和公式列方程求解； （2）写出该数列的前n项和再利用二次函数的图像与性质进行求解. 【详解】（1）已知. 由，得 ， ，解得， 故公差. （2）， 当时，取得最小值. 18．（本题17分）已知等差数列的公差不为0，设，，． (1)若，，，求数列的通项公式； (2)若，且，，成等比数列，求的值； (3)若，证明． 【答案】(1)． (2)． (3)由题设知， ，① ，② ①式减去②式，得． ①式加上②式，得．③ ③式两边同乘，得． 所以， ． 【分析】（1）由已知得，将数据代入可解得，再利用等差数列的通项公式即可. （2）利用，，成等比数列可得，解方程即可. （3）由已知得，，则可算，，再代入所要证明的式子即可. 【详解】（1）由题设知，， 所以，解得， 所以，． （2）当时，，，， 因为，，成等比数列，所以， 即， 注意到，整理得， 因为，解得． （3）略 19．（本题17分）由这个数排成一个数列，若两个1之间恰好有1个数，两个2之间恰好有2个数，，两个之间恰好有个数，则称这个数列为“完美闭环数列”.显然，时不能构成“完美闭环数列”.时，构成了“完美闭环数列”.若数列中的项与的奇偶性相同，称该项为“和谐项”，当时，，，，共有4项“和谐项”. (1)补全时的“完美闭环数列”：，并列出其所有“和谐项”. (2)证明：当时，不存在“完美闭环数列”. (3)可以构成“完美闭环数列”，同学们在171中学“知己知彼”、“拾级而上”，相信171也必将是你中学时代的“完美闭环”，从这里出发，向梦想远行.请写出时的“完美闭环数列”. 【答案】(1)“和谐项” (2)由排成一个数列， 假设存在符合题意的数列，其共有项，依次为， 对于数列中的两项， 若，则之间恰好有个数， 若为奇数，则同奇偶， 若为偶数，则一奇一偶，称为项，为项号， 所有偶数项中（即项的取值为偶数）， 项号取值为个奇数，个偶数， 剩余的奇数项排入数列中需要占据剩下的个奇数项号与个偶数项号， 由于奇数项的项号同奇偶，所以有矛盾. (3)（答案不唯一） 【分析】（1）根据完美闭环数列的定义写出所有“和谐项”； （2）应用反证法，假设存在符合题意的数列，其共有项，其中，结合定义得到矛盾，即可证； （3）根据已知写出一个符合要求的数列即可. 【详解】（1）由完美闭环数列的定义可知，两个3之间必须有3个数， 数列前两项为，则第一个3的位置是1，另一个3的位置必须是5，两个1之间必有1个数， 已知第二个数是1，则另一个1的位置必须是4（中间的第3项为1个数）， 此时数列框架为剩下的两个数是和，分别填入位置3和位置6， 恰好满足两个2之间有2个数（位置4和5的数）， 故补全的“完美闭环数列”为， “和谐项”定义为与的奇偶性相同： （奇奇相同），为和谐项， （奇奇相同），为和谐项， （偶偶相同），为和谐项， 因此，所有“和谐项”为第项 （2）略 （3）当时，可以通过构造法得出“完美闭环数列”，符合条件的一组数列有， 验证：7之间隔6个，3之间隔3个，6之间隔6个，2之间隔2个，5之间隔5个，4之间隔4个，1之间隔1个，符合题意. 学科网（北京）股份有限公司 $