第三章 函数的概念与性质（11考点+8易错+易错训练）（知识清单）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了“函数的概念与性质”单元内容，涵盖函数定义、性质、表示法、幂函数、特殊函数及应用等核心范畴，搭建了从基础概念到性质应用再到易错点突破的递进式学习支架。 清单通过“定义-性质-应用”三级结构呈现知识体系，设“常用结论”“易错提醒”模块，如用表格对比幂函数定义域与单调性，以“同增异减”口诀简化复合函数判断，培养数学思维与表达能力。配套“对点训练”和题型分类，助力学生自主突破难点，教师可精准定位教学重点，提升复习效率。

第三章 函数的概念与性质 知识点一 函数的概念 1．函数的现代定义 定义 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个 f，使对于集合A中的 ，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 如果两个函数的 相同，并且 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数 定义域 集合A称为函数的定义域，x称为 值域 与x值对应的y值称为 ，集合{f(x)｜x∈A}称为函数的 2．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别 时，这两个函数才 ，即是同一个函数. 知识点二 函数的表示法与分段函数 函数的表示法 表示函数的常用方法有 、 和 分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 【常用结论】 (1)直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点. (2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集. 知识点三 区间 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做 ，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做 ，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做 ，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的 . 知识点四 函数的表示方法 1．函数的表示法 函数的三种表示法： 、 和 . (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出 的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做 函数，y=f(t)叫做 函数. 知识点五 函数的单调性 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有 ，那么就称函数y＝f(x)是增函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上 当x1＜x2时，都有 ，那么就称函数y＝f(x)是减函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上 或 ，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间. 【注意】(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数. 3．复合函数的单调性 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【注意】复合函数y＝f(g(x))的单调性的判断方法可简单归纳为：同增异减. 4．单调性的性质 (1)函数单调性的两个等价结论 ①∀x1，x2∈I且x1≠x2，有＞0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在区间I上单调递增. ②∀x1，x2∈I且x1≠x2，有＜0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在区间I上单调递减. (2)在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数. (3)函数y＝f(x)(f(x)＞0或f(x)＜0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反. 知识点六 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有 ； (2)∃x0∈D，使得 (1)∀x∈D，都有 ； (2)∃x0∈D，使得 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 知识点七 函数的奇偶性 1． 判定前提： 函数定义域关于 对称（必要不充分条件） 2．定义 奇函数：对定义域内任意，，图象关于 对称； 偶函数：对定义域内任意，，图象关于 对称。 3．核心性质 （1）奇函数若在处有定义，则； （2）奇偶性+单调性：奇函数在对称区间单调性一致，偶函数在对称区间单调性相反； 【常用结论】 (1)函数奇偶性的常用结论 ①如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(｜x｜). ②奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. ③在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 知识点八 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于 ：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于 ：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1) ：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 知识点九 幂函数 1.幂函数的概念 (1)定义：一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数. (2))幂函数的特征： ①xα的系数为 ； ②xα的底数是 ； ③xα的指数为 . 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 3．简单幂函数的图象和性质 幂函数 y＝x y＝x－1 y＝x2 y＝ y＝x3 图象 定义域 R {x｜x≠0} R [0，＋∞) R 值域 R {y｜y∈R且y≠0} [0，＋∞) [0，＋∞) R 单调性 增 x∈(－∞，0)减， x∈(0，＋∞)减 x∈[0，＋∞)增， x∈(－∞，0)减 增 增 奇偶性 奇函数 奇函数 偶函数 非奇非 偶函数 奇函数 4．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是 . ②当α=0时，y=x0=1(x≠0)的图象是 . ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个 幂函数的公共点. 知识点十 几种特殊的函数 1.对勾函数、飘带函数 对勾函数 飘带函数 解析式 y＝ax＋(a＞0，b＞0) y＝ax－(a＞0，b＞0) 图象 定义域 {x｜x≠0} {x｜x≠0} 单调性 单增区间：，； 单减区间：， 单增区间：(－∞，0)，(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 奇函数 渐近线 y＝ax和x＝0 x＝0 说明 关注北师教材必修一P61例5、P67T3(4) 关注北师教材必修一P71T5 2.一次分式函数、高斯函数 一次分式函数 高斯函数 解析式 y＝(a≠0，ad≠bc) y＝[x] (不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又叫取整函数) 图象 定义域 R 值域 Z 性质 (1)单调性：当ad＞bc时，单减区间：，； 当ad＜bc时，单增区间：， (2)对称性：对称中心 (3)渐近线方程：x＝－和y＝ 不具有单调性、奇偶性、周期性、对称性 说明 关注北师教材P70T3 关注北师教材P55例4 3.最值函数、狄利克雷函数D(x)＝ (1)设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数. (2)狄利克雷函数的性质 ①定义域R；值域{0，1}.②奇偶性：偶函数. ③周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期. ④无法画出函数的图象，但其图象客观存在. 知识点十一 函数的应用（一） 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1) ：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2) ：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3) ：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4) ：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．常见的函数模型 (1)一次函数模型： (k,b为常数，k≠0). ⑵二次函数模型: (a,b,c为常数,a≠0). (3)幂函数模型. (为常数). (4)分段函数模型. (5)对勾函数模型：(a>0,b>0). 易错点1 复合函数定义域理解不当致错 易错提醒 已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点： 1．定义域是指自变量的取值范围； 2．在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同，另外对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 【对点训练1】25-26高三上·重庆·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 易错点2 函数的三要素考虑不全 易错提醒 1．判断两个函数是不是同一函数，也就是利用函数的三要素来判断，看其定义域、对应法则、值域是否对应相同，只要有一项不同就不是同一函数. 2．由于没有特殊要求，函数的值域可由函数的定义域及对应法则来确定，因而只需判断定义域和对应法则是否都相同即可. 【对点训练2】（25-26高一上·广西河池·期中）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 易错点3 研究性质时忽略函数定义域致错 易错提醒 研究函数性质时，要注意建立“定义域优先”的解题原则. 【对点训练3】(2026四川广安期中)奇函数是定义域为上的增函数.且，则的取值范围是（   ） A． B． C．， D． 易错点4 使用换元法时忽略新元的范围致错 易错提醒 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的取值范围被扩大了,则在求解之后要加以检验. 【对点训练4】（25-26高三上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 易错点5 混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错 易错提醒 1．单调区间是指一个函数的定义域中所有具有递增或递减性质的区间;在区间上单调是指函数在某一个区间上单调,二者有本质区别. 2．若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上具有相同的单调性. 【对点训练5】（25-26高三上·河北·期中）已知函数f(x)=|2x+a|. (1)若f(x)的单调递增区间为[3,+∞),求实数a的值; (2)若f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围. 易错点6 忽略对参数取值范围讨论而致错 易错提醒 对于含参的函数问题，要注意恰当讨论，对于含参的分段函数问题，除了要注意研究各段解析式的性质，还要从整体上把握分段函数的性质. 【对点训练6】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 易错点7 遇抽象函数找不准切入点而致错 易错提醒 研究抽象函数的有关性质时，因为没有给出具体函数，可能导致解题时没有切入点，不知从何下手. 【对点训练7】（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 易错点8 误判幂函数的性质致错 易错提醒 对于幂函数 ，整数m,n取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都有影响，这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点，要在复习中高度重视. 【对点训练8】（多选）（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（   ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是增函数 1、 单选题 1．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江西吉安·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 6．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·陕西汉中·阶段检测）若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9.（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且对于任意的实数，，都有，，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 2、 多选题 10．下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 11．（25-26高一上·浙江·期末）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 12．（2026·全国·模拟预测）高斯函数表示不超过实数的最大整数，已知函数（为大于0的实数），下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．无论为何值，恒过定点 C．存在，使为奇函数 D．在上单调不减 13．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 3、 填空题 14．（25-26高二上·上海普陀·期末）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为，值域为的“同族函数”共有__________个. 15．（2026高三上·上海·专题练习）已知函数，实数满足至少存在一个正实数，使得的定义域和值域相同，则的取值范围为__________. 16．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 17．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 四、解答题 18．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 19．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 20.（25-26高一上·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数. (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 知识点一 函数的概念 1．函数的现代定义 定义 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数 定义域 集合A称为函数的定义域，x称为自变量 值域 与x值对应的y值称为函数值，集合{f(x)｜x∈A}称为函数的值域 2．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 知识点二 函数的表示法与分段函数 函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法 分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 【常用结论】 (1)直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点. (2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集. 知识点三 区间 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 知识点四 函数的表示方法 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 知识点五 函数的单调性 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递增 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间. 【注意】(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数. 3．复合函数的单调性 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【注意】复合函数y＝f(g(x))的单调性的判断方法可简单归纳为：同增异减. 4．单调性的性质 (1)函数单调性的两个等价结论 ①∀x1，x2∈I且x1≠x2，有＞0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在区间I上单调递增. ②∀x1，x2∈I且x1≠x2，有＜0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在区间I上单调递减. (2)在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数. (3)函数y＝f(x)(f(x)＞0或f(x)＜0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反. 知识点六 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 知识点七 函数的奇偶性 1． 判定前提： 函数定义域关于原点对称（必要不充分条件） 2．定义 奇函数：对定义域内任意，，图象关于原点对称； 偶函数：对定义域内任意，，图象关于轴对称。 3．核心性质 （1）奇函数若在处有定义，则； （2）奇偶性+单调性：奇函数在对称区间单调性一致，偶函数在对称区间单调性相反； 【常用结论】 (1)函数奇偶性的常用结论 ①如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(｜x｜). ②奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. ③在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 知识点八 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 知识点九 幂函数 1.幂函数的概念 (1)定义：一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数. (2))幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 3．简单幂函数的图象和性质 幂函数 y＝x y＝x－1 y＝x2 y＝ y＝x3 图象 定义域 R {x｜x≠0} R [0，＋∞) R 值域 R {y｜y∈R且y≠0} [0，＋∞) [0，＋∞) R 单调性 增 x∈(－∞，0)减， x∈(0，＋∞)减 x∈[0，＋∞)增， x∈(－∞，0)减 增 增 奇偶性 奇函数 奇函数 偶函数 非奇非 偶函数 奇函数 4．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y=x0=1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个 幂函数的公共点. 知识点十 几种特殊的函数 1.对勾函数、飘带函数 对勾函数 飘带函数 解析式 y＝ax＋(a＞0，b＞0) y＝ax－(a＞0，b＞0) 图象 定义域 {x｜x≠0} {x｜x≠0} 单调性 单增区间：，； 单减区间：， 单增区间：(－∞，0)，(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 奇函数 渐近线 y＝ax和x＝0 x＝0 说明 关注北师教材必修一P61例5、P67T3(4) 关注北师教材必修一P71T5 2.一次分式函数、高斯函数 一次分式函数 高斯函数 解析式 y＝(a≠0，ad≠bc) y＝[x] (不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又叫取整函数) 图象 定义域 R 值域 Z 性质 (1)单调性：当ad＞bc时，单减区间：，； 当ad＜bc时，单增区间：， (2)对称性：对称中心 (3)渐近线方程：x＝－和y＝ 不具有单调性、奇偶性、周期性、对称性 说明 关注北师教材P70T3 关注北师教材P55例4 3.最值函数、狄利克雷函数D(x)＝ (1)设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数. (2)狄利克雷函数的性质 ①定义域R；值域{0，1}.②奇偶性：偶函数. ③周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期. ④无法画出函数的图象，但其图象客观存在. 知识点十一 函数的应用（一） 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．常见的函数模型 (1)一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). ⑵二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). (3)幂函数模型.(为常数). (4)分段函数模型. (5)对勾函数模型：(a>0,b>0). 易错点1 复合函数定义域理解不当致错 易错提醒 已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点： 1．定义域是指自变量的取值范围； 2．在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同，另外对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 【对点训练1】25-26高三上·重庆·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，则 所以，（易错点） 定义域是x的取值范围 所以的定义域是， 所以函数中，（易错点） 中的与中的x-1的取值范围一致 解得，故选：B． 易错点2 函数的三要素考虑不全 易错提醒 1．判断两个函数是不是同一函数，也就是利用函数的三要素来判断，看其定义域、对应法则、值域是否对应相同，只要有一项不同就不是同一函数. 2．由于没有特殊要求，函数的值域可由函数的定义域及对应法则来确定，因而只需判断定义域和对应法则是否都相同即可. 【对点训练2】（25-26高一上·广西河池·期中）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同(易错点)， 定义域和对应法则均相同的函数一定是同一函数 ∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项B：∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为（易错点）， 两函数对应法则相同，但定义域不同，故仍是不同函数 二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 对于选项C：∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项D：∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 综上，正确选项为A、C. 易错点3 研究性质时忽略函数定义域致错 易错提醒 研究函数性质时，要注意建立“定义域优先”的解题原则. 【对点训练3】(2026四川广安期中)奇函数是定义域为上的增函数.且，则的取值范围是（   ） A． B． C．， D． 【答案】B 【详解】 ，， 是奇函数，， 是定义域为上的增函数， （易错点）， 注意定义域优先 ，解得， 的取值范围是. 易错点4 使用换元法时忽略新元的范围致错 易错提醒 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的取值范围被扩大了,则在求解之后要加以检验. 【对点训练4】（25-26高三上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令（易错点）， 注意新元t的取值范围 由， 则，即. 故选：C. 易错点5 混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错 易错提醒 1．单调区间是指一个函数的定义域中所有具有递增或递减性质的区间;在区间上单调是指函数在某一个区间上单调,二者有本质区别. 2．若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上具有相同的单调性. 【对点训练5】（25-26高三上·河北·期中）已知函数f(x)=|2x+a|. (1)若f(x)的单调递增区间为[3,+∞),求实数a的值; (2)若f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围. 【详解】(1)由题意知f(x)= ∴函数f(x)的单调递增区间为, ∴3=-,(易错点) 为增区间和减区间的分界点 解得a=-6. (2)由(1)可知, f(x)的单调递增区间为, ∵f(x)在[3,+∞)上单调递增, ∴-≤3, (易错点) [3,+∞)为单调增区间的子区间 即a≥-6. ∴实数a的取值范围为[-6,+∞). 易错点6 忽略对参数取值范围讨论而致错 易错提醒 对于含参的函数问题，要注意恰当讨论，对于含参的分段函数问题，除了要注意研究各段解析式的性质，还要从整体上把握分段函数的性质. 【对点训练6】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】由题知，即； 在上单调递增， 所以，（易错点）， 注意考虑每一段函数的单调性 解得， 综上，实数的取值范围是 易错点7 遇抽象函数找不准切入点而致错 易错提醒 研究抽象函数的有关性质时，因为没有给出具体函数，可能导致解题时没有切入点，不知从何下手. 【对点训练7】（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【答案】C 【详解】令，则， 则，故A错误；（易错点） 不能正确赋值，从而思路受阻致错 令，则， 则，故B错误； 令， 则， 所以为偶函数，故C正确； 由，，可知不是增函数，D错误. 故选：C. 易错点8 误判幂函数的性质致错 易错提醒 对于幂函数 ，整数m,n取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都有影响，这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点，要在复习中高度重视. 【对点训练8】（多选）（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（   ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是增函数 【答案】ABD 【详解】对于选项A：若m，n是奇数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是奇函数，故A正确； 对于选项B：若m是奇数，n是偶数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是偶函数，故B正确； 对于选项C：m是偶数，n是奇数时，则， 此时的定义域为，不关与原点对称(易错题)， 忽略函数的定义域致错 所以幂函数不具有奇偶性，故C错误； 对于选项D：时，由幂函数性质可知：在上是增函数，故D正确； 故选：ABD. 1、 单选题 1．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得． 所以的定义域为. 2．（23-24高一上·江西吉安·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，则，所以函数的定义域为； 若函数有意义，则，解得． 则函数的定义域为. 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得，即的定义域为， 令，则，所以，且， 则原函数转化为， 因为与在上均为单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以的最大值为，的最小值为， 所以的值域为，即原函数的值域为. 5．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和性质直接解题即可. 【详解】由题可知，解得或1.所以实数的值为0或1. 6．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 7．（24-25高二下·陕西汉中·阶段检测）若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若函数，是定义在上的减函数， 则解得 ， 所以的取值范围为. 8．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】由，可得， 设函数，，则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数， 在上单调递减，而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 9.（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且对于任意的实数，，都有，，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 【答案】C 【分析】令，求得，可判定A错误；令，得到，根据奇偶性的定义，可判定B错误；任取，令，结合函数单调性的定义，可判定C正确；取函数，结合不能恒成立，可判定D错误. 【详解】对于任意的实数，都有，， 且当时，， 对于A，令，可得，可得，所以A错误； 对于B，令，可得， 所以，所以不恒成立， 所以函数不满足，所以不是奇函数，所以B错误； 对于C，任取，则，令， 则， 所以， 因为时，，所以，且， 所以，即， 所以在上单调递增，所以C正确； 对于D，取函数，此时函数满足， 且当时，，满足， 则， 所以不能恒成立，所以D错误. 故选：C. 2、 多选题 10．下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【详解】选项A：和的定义域都是全体实数，对应法则相同，是同一函数； 选项B：的定义域是；要求分母不为0，定义域是，二者定义域不同，不是同一函数； 选项C：，定义域是；的分段表达式即为，定义域也是，定义域和对应法则都相同，是同一函数； 选项D：的定义域满足，即， 化简得：， 与的对应法则不同，不是同一函数. 11．（25-26高一上·浙江·期末）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 【答案】BC 【详解】若，，定义域为， 其图象上存在点，而点(4,2)关于直线对称点不在其图象上，，故不关于直线对称，故A错误. 若，，可知是开口向上的二次函数，对称轴为， 又，是偶函数，，在上单调递增，故B正确. 若，，可知的定义域为， 又，在上单调递减，故C正确. 若，，则 ， 故只有当时才有，故D错误. 故选：BC. 12．（2026·全国·模拟预测）高斯函数表示不超过实数的最大整数，已知函数（为大于0的实数），下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．无论为何值，恒过定点 C．存在，使为奇函数 D．在上单调不减 【答案】ABD 【分析】A，求解；B，时，；C，取，验证时得到矛盾；D，由单调不减的定义：对任意，都有，进行验证. 【详解】选项 A，，由题意 ，A 正确； 选项 B，时，，，时恒成立，因此函数一定经过点，B 正确； 选项 C，奇函数的定义：对定义域内任意，都满足， 取，由高斯函数定义，因此（），对应，，则 若为奇函数，需满足，但不可能等于 0，矛盾； 同时负数的非整数次幂在实数域无意义，因此不存在使为奇函数，C 错误； 选项 D，单调不减的定义：对任意，都有， 在上，高斯函数本身是单调不减函数：增大时，取整结果要么保持不变，要么增加，不会减小； 已知，幂函数在上单调递增,两者复合后，可推出，即，因此在上单调不减，D 正确. 13．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 【答案】ACD 【分析】令可得判断A，令可得，再令得判断C，结合单调性结合特例判断B，根据函数单调递增即可比较大小判断D. 【详解】在等式中， 对于A，令，可得，则，故A正确； 对于C，令可得，则， 因为函数的定义域为， 令可得，则， 故函数为奇函数，故C正确； 对于B，是定义域为的单调函数，因为， 所以是上的增函数，故B错误； 对于D，由上分析可知是上的增函数， 当时，，即， 因此，故D正确. 3、 填空题 14．（25-26高二上·上海普陀·期末）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为，值域为的“同族函数”共有__________个. 【答案】 【详解】已知函数解析式为，值域为的“同族函数”的定义域可以为： ，，，，，， ，，，所以“同族函数”共有个. 15．（2026高三上·上海·专题练习）已知函数，实数满足至少存在一个正实数，使得的定义域和值域相同，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】当时，，则时，，且，符合； 当时，令， 则或即定义域为，且，定义域和值域不相同，不符合； 当时，令，则，即定义域为， 此时最大值在时取到，令， 两侧平方整理得，当时，有，得； 综上，. 16．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 17．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为，函数的对称轴为直线， 当，即时，函数在上为增函数，过定点， 根据题意，有，此时； 当，即时，当时， 由题意得，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 四、解答题 18．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 【分析】（1）根据 是幂函数得 ，再根据 是偶函数，且在 上单调递增得 为正偶数，从而求解出 解析式. （2）求出 解析式后根据单调性定义证明函数 的单调性. 【详解】（1）∵幂函数（k∈Z）是偶函数，且在上单调递增， ，且为正偶数，则，故. （2）在上单调递增， 证明如下：因为， 设， 则， 因为，所以，， 则， 所以在上单调递增. 19．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 【详解】（1）因为，则， 由函数为奇函数得，即，解得． 又，则， 即，． （2）由（1）知． ，且， ． 因为，所以，，． 又，，所以，即， 所以在区间上是增函数． 所以，即， 则有解得， 即不等式的解集为． 20.（25-26高一上·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数. (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式. 【分析】（1）令，求得，再令，求得； （2）令，根据偶函数定义证明； （3）利用偶函数性质将不等式变形为，再根据单调性求解. 【详解】（1）由，令，得，得， 令，得，解得. （2）因为的定义域为，， 令，得，即， 所以函数为偶函数. （3）不等式，即， ， 由为偶函数，得， 又是区间上的递增函数， ，解得或， 所以不等式的解集为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $