第4章 指数函数与对数函数概念清单速记表（知识清单）数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了第4章指数函数与对数函数内容，涵盖n次方根、指数函数、对数、对数函数、函数零点与二分法等核心知识范畴，按章节分设概念、定义及相关概念模块，为学生搭建了从基础概念到性质应用的递进式学习支架。 清单通过“概念-定义-相关概念”三级关联呈现知识体系，突出指数与对数的互化、函数单调性等重难点，如标注“指数函数与对数函数互为反函数”强化逻辑联系，培养学生的数学思维。设计“指数增长/衰减模型”“马尔萨斯人口模型”等应用实例，助力用数学语言描述现实问题，不同层次学生可高效复习，教师可据此优化教学环节提升课堂效率。

第4章 指数函数与对数函数清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 4.1.1 n次方根与分数指数幂 n次方根 一般地，如果 （其中 且 ），那么 叫做 的 次方根。 平方根、立方根、根指数、被开方数 根式 式子 叫做根式，其中 叫做根指数， 叫做被开方数。 n次方根、根指数、被开方数 根式的性质 ； 当 为奇数时，； 当 为偶数时，。 根式、绝对值、奇偶性 分数指数幂 正数的正分数指数幂：（，，）； 正数的负分数指数幂：。 根式、指数幂、运算性质 0的分数指数幂 0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义。 分数指数幂、底数限制 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 （， 为无理数）是一个确定的实数。 有理数指数幂、实数指数幂 实数指数幂的运算性质 ；；（，，）。 指数幂、幂的运算 4.2.1 指数函数的概念 指数增长 增长率为常数的变化方式称为指数增长。若原有量为 ，每次增长率为 ，经过 次增长后量增长到 ，则 （）。 增长率、指数函数 指数衰减 衰减率为常数的变化方式称为指数衰减。 衰减率、指数函数 指数函数 一般地，函数 （ 且 ）叫做指数函数，其中指数 是自变量，定义域是 。 指数、底数、定义域 4.2.2 指数函数的图象和性质 指数函数的图象与性质 当 时， 在 上单调递增，过定点 ，值域 ；当 时， 在 上单调递减，过定点 ，值域 。 单调性、值域、定点 指数函数图象的对称性 底数互为倒数的两个指数函数 与 的图象关于 轴对称。 对称性、倒数底数 指数函数模型 形如 （，； 且 ）的函数可刻画指数增长或指数衰减的变化规律。 指数增长、指数衰减、函数模型 4.3.1 对数的概念 对数 一般地，如果 （ 且 ），那么数 叫做以 为底 的对数，记作，其中 叫做底数， 叫做真数。 指数、底数、真数 常用对数与自然对数 以 10 为底的对数叫做常用对数，记作；以 为底的对数叫做自然对数，记作。 对数、底数、e 对数与指数的互化 当 且 时，。 指数式、对数式 对数的基本性质 负数和 0 没有对数；；（ 且 ）。 真数、底数 4.3.2 对数的运算 对数的运算性质 ；； （ 且 ，，）。 对数、和差积商、幂 对数换底公式 （ 且 ； 且 ；）。 对数、换底、常用对数、自然对数 4.4.1 对数函数的概念 对数函数 一般地，函数（ 且 ）叫做对数函数，其中 是自变量，定义域是 。 对数、底数、定义域 4.4.2 对数函数的图象和性质 对数函数的图象与性质 当 时， 在 上单调递增，过定点 ，值域 ；当 时， 在 上单调递减，过定点 ，值域 。 单调性、值域、定点 对数函数图象的对称性 底数互为倒数的两个对数函数与 的图象关于 轴对称。 对称性、倒数底数 指数函数与对数函数互为反函数 指数函数 （ 且 ）与对数函数（ 且 ）互为反函数，它们的定义域与值域互换。 反函数、定义域、值域 4.4.3 不同函数增长的差异 一次函数、指数函数、对数函数的增长差异 在 上，即使 值很大，指数函数 （）最终增长远快于一次函数 （）；对数函数（）最终增长慢于一次函数 （）。 增长速度、指数爆炸、对数增长 4.5.1 函数的零点与方程的解 函数的零点 对于函数 ，使 的实数 叫做函数 的零点。 方程、图象与x轴交点 函数零点与方程解的关系 方程 有实数解 函数 有零点 函数 的图象与 轴有公共点。 零点、方程、函数图象 函数零点存在定理 如果函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，且 ，那么函数 在区间 内至少有一个零点。 连续函数、零点、区间 4.5.2 用二分法求方程的近似解 二分法 对于在区间 上图象连续不断且 的函数 ，通过不断把零点所在区间一分为二，使区间端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法叫做二分法。 零点、近似解、区间中点 4.5.3 函数模型的应用 马尔萨斯人口增长模型 ，其中 表示经过的时间， 表示 时的人口数， 表示人口的增长率。 指数增长、自然底数e、增长率 函数模型建立过程 分析和理解实际问题增长情况 → 选择函数类型构建数学模型 → 运算推理求解模型 → 用模型描述实际问题变化规律并解决有关问题。 数学建模、函数选择、信息技术 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $