18.5相似三角形的判定（第1课时平行得相似和两角对应相等得相似）（教学课件）数学新教材北京版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的判定，核心内容为平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似，以及两角分别相等的两个三角形相似。课堂导入从相似三角形定义出发，通过问题引导学生思考更简便的判定方法，搭建从定义到判定定理的学习支架。 其亮点在于新知探究采用“猜想-证明-归纳”流程，结合几何直观与推理意识，如构造辅助线证明平行判定，用计算机画图实践探究两角相等判定。课堂小结系统梳理三种判定方法，帮助学生构建知识体系，提升逻辑推理与应用能力，教师可借助清晰教学流程和典例分析高效开展教学。

第十八章 相似形 18.5相似三角形的判定 第1课时 平行得相似和两角对应相等得相似 导入新课 什么是相似三角形？ 三个角分别相等，三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形 按定义判定： ∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，==， ∴△ABC∽△. 从相似三角形的定义中，需要哪些条件判定两个三角形相似？ 还有没有其他更简便的判定方法呢？ 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似（重点） 理解并掌握两角分别相等的两个三角形相似（重点） 能运用两种判定方法解决简单的证明和计算问题（难点） 新知探究 如图，在∆ABC中，DE//BC，DE分别交AB，AC于点D，E。 猜一猜： ∆ADE与∆ABC相似吗？ 你能证明它们相似吗？ 相似 新知探究 已知:如图，在∆ABC中，DE// BC，DE分别交AB，AC于点D，E. 求证:∆ADE∽∆ABC. 三个角对应相等，三条边对应成比例. 分析：(1)角:在△ADE 与△ABC中， ∠A=∠A. ∵ DE∥ BC，∴ ∠ADE=∠B， ∠AED=∠C. ∵DE∥ BC，∴= 需要我们构造平行线DF//AC 对应线段成比例= 平行四边形DECF,FC=DE (2)边： F 新知探究 在△ADE与△ABC中，∠DAE=∠BAC. 因为DE∥BC， 所以∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB， 过D作DF∥AC，交BC于F. 因为DE∥BC，DF∥AC 因为四边形CFDE为平行四边形， 所以 CF=DE. ∴=，=. F 三个角对应相等 证明： 所以 所以△ADE∽△ABC. 三条边对应成比例 我们可以得到什么结论呢？ 新知探究 总结归纳 平行线判定三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似. D E A B C ∵DE∥ BC, ∴△ADE∽△ABC. 几何语言 A B C D E （图1） A D E B C （图2） （图3） D E O B C “A”型 “X”型 新知探究 目前判断两个三角形相似需要说明三个角分别相等，三条边对应成比例。还有没有更少的条件来判断呢？ 问题1：如果两个三角形仅有一对角对应相等，它们是否一定相似？ 含30°的直角三角形与含30°的非直角三角形，不相似 问题2：如果两个三角形有两对角对应相等，它们是否一定相似？ ----我们一起来探究它。 新知探究 如图，用计算机或图形计算器画∆ABC和∆A'B'C'，使得∠A和∠A'都等于给定的，∠B和∠B'都等于给定的β，那么∠C和∠C'相等吗?对应边的比相等吗?这样的两个三角形相似吗? 改变，β的大小，再试一试. 你能由此得出什么结论? 两个三角形相似 你能证明它们相似吗？ 新知探究 已知:如图18-29，在∆ABC和∆A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B' 求证:∆ABC∽∆A'B'C' 定义法 平行得相似 （条件太多，不常用） 通过平行构造A型图 把△放到△ABC上面 使点A'与点A重合，且边A'B'落到边AB上，则由∠A=∠A'，可判断边AC会落到边A'C'上. ∠B′ =∠B BC// 这两个三角形相似。 B' C' (A') 新知探究 D E 证明：在△ABC的边AB上,截取 AD==A′B′. 过点D作 DE∥BC， 交AC于点E. ∴∆ADE ∽∆ABC, ∠ADE=∠B. ∵∠B=∠B'， ∴∠ADE= ∠B'. 又∵∠A=∠A'，AD=A'B', ∴∆ADE∆A'B'C'. ∴∆ABC∽∆A'B'C'. 你能得到什么结论？ 两角分别相等的两个三角形相似. 新知探究 总结归纳 相似三角形的判定定理 两角分别相等的两个三角形相似. 几何语言 ∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C' 新知探究 问题1：有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似?为什么? 问题2：顶角相等的两个等腰三角形是否相似?为什么? 两角分别相等的两个三角形相似. 两角分别相等的两个三角形相似. 一个锐角对应相等+直角对应对于相等 顶角相等的两个等腰三角形，则两个底角对应相等 例1 如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.请找出图中的相似三角形，并说明理由。 典例分析 解:ΔABC∽ΔCBD ∽ΔACD.理由如下: ∵CD⊥AB 于点D, ∴∠CDB= ∠ADC=90°. ∵∠B=∠B,∠ACB=∠CDB=90°, ∴ΔABC∽ΔCBD. ∵∠A=∠A,∠ACB= ∠ADC=90°, ∴ΔABC∽ΔACD. ∴ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD. 两角分别相等的两个三角形相似. 你能由例1的结论得到下面的关系式吗?为什么? (1)AC2=AD·AB: (2)BC2=BD·AB; (3)CD2=AD·DB. 射影定理 例2 如图，ΔABC和ΔDEF均为等边三角形，点D，E分别在边AB，BC上，DF交AC于点G，EF交AC于点H.请找出一个和ΔDBE相似的三角形，并说明理由. 典例分析 解:ΔECH和ΔDBE相似.理由如下: ∵ΔABC和ΔDEF均为等边三角形， ∴∠B=∠C=∠DEF=60° ∴∠BDE + ∠BED= 120°,∠BED + ∠CEH=120°. ∴∠BDE=∠CEH. ∴ΔDBE∽ΔECH. 你发现图中有几个三角形与ΔDBE相似? 基础巩固题 新知应用 1.如图，在 △ABC 中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形； （2）如果 AD = 1，DB = 3，那么 DG∶BC =_____. △ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC 1∶4 A B C D E F G H I 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似. 基础巩固题 新知应用 2.小楠画了如图所示的三个三角形，你认为相似的是( ) A A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙 D.甲、乙、丙 两角分别相等的两个三角形相似. 基础巩固题 新知应用 3. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶AB=1∶3，BC=12， 则DE的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B A B C D E 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似 “A”型 4．如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E.若线段DE＝5，则线段BC的长为(　　) A．7.5 B．10 C．15 D．20 C “A”型 基础巩固题 新知应用 5.如图，在中，为上一点，且，， ，则（　　） A．6 B．5 C． D． A 基础巩固题 新知应用 6、已知△ABC与△A'B'C'中，∠B=∠B ' =75°，∠C=50°，∠A ' =55°，这两个三角形相似吗？为什么？ 50° 解:在ΔABC中， ∠A=180°-∠B-∠C =180°-75°-50°=55°， ∵∠A ' =55° ∴∠A=∠A ' ∵∠B=∠B ' =75° ∴ΔDCO∽ΔBAO. 基础巩固题 新知应用 7.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，对角线AC，BD相交于点O.请找出图中的相似三角形，并说明理由. 解:ΔDCO和ΔBAO相似.理由如下: ∵AB//DC， ∴∠CDO=∠ABO,∠DCO=∠BAO, ∴ΔDCO∽ΔBAO. 能力提升题 新知应用 H D C B A G 8、如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于G，AB=2cm，CD=3cm，求GH的长。 GH=1.2cm 解：∵ AB∥GH ∴△CGH∽△CAB CH BC GH AB = ∵ GH∥CD ∴△BGH∽△BDC BH BC GH CD = BC-CH BC GH CD = CH BC GH CD =1- GH AB GH CD =1- 即： GH 2 GH 3 =1- 能力提升题 新知应用 9.如图，在平行四边形中，点为 边上一点，连接， 点为线段 上一点，且.求证： . 证明： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ，且 ， ， ， ． 课堂小结 相似三角形的判定 定义判定 平行判定 三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似. 判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似 感谢聆听! $