18.5相似三角形的判定（第2课时三边和两边夹角得相似）（教学课件）数学新教材北京版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的判定，核心内容为三边成比例及两边成比例且夹角相等的判定定理。课堂导入通过回顾定义法、预备定理和两角相等判定，类比全等三角形SSS、SAS提出问题，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以实践探究（用计算机画图验证猜想）培养数学眼光，通过严谨证明过程发展推理能力，结合“一排二算三判”步骤和口诀总结强化数学语言表达。如例3用三边比例判定，例4强调夹角重要性，帮助学生形成有条理的思维，教师可借助清晰流程提升教学效率。

第十八章 相似形 18.5相似三角形的判定 第2课时 三边和两边夹角得相似 导入新课 前面，我们学了哪些相似三角形的判定方法？ 预备定理 定义法 判定定理1 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形是相似三角形 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似. 两角分别相等的两个三角形相似 条件充分但较繁琐 图形中有平行线 有两组角相等 我们学习全等三角形判定方法时有SSS、SAS，相似三角形是不是也有类似的判定方法呢？ 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握三边对应成比例的两个三角形相似（重点） 理解并掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（重点） 能区分几种判定方法的适用条件，选择恰当的方法解决问题（难点） 新知探究 如图，用计算机或图形计算器画∆ABC与∆A'B'C'，使 和都等于给定的值k.设法比较∠A 与∠A'、∠B与∠B'、∠C与∠C'的大小. ∆ABC与∆A'B'C'相似吗?改变k值的大小， 再试一试. 由此你能得出什么猜想? ∆ABC与∆A'B'C'相似 你能证明它们相似吗？ 新知探究 已知：如图，在△ABC和△中, ===k. 求证： △ABC∽△. D E 证明：在△A′B′C′的边A′B′上取一点D，使 A′D=AB. 过点D作 DE∥B′C′， 交A′C′于点E. ∵ DE∥B′C′，∴△A′DE ∽△A′B′C′. ∴ = 又A′D=AB, = = ,∴ ==. ∴ A′E=AC,DE=BC. ∴ △A′DE ≌△ABC(SSS). ∴ △ABC ∽△A′B′C′. 你能得到什么结论？ 三边成比例的两个三角形相似. 借鉴“两角分别相等的两个三角形相似”的证明方法. 新知探究 总结归纳 相似三角形的判定定理 几何语言 三边成比例的两个三角形相似. 在△ABC和△ ∵== ∴ △ABC∽△ 三边对应成比例，两三角形相似 新知探究 如图，用计算机或图形计算器画∆ABC 与∆A'B'C',使∠A=∠A',和都 等于给定的值k.设法比较∠B与∠B'的 大小(或∠C与∠C'的大小).∆ABC与 ∆A'B'C'相似吗?改变k值的大小，再试 一试. 猜一猜： ∆ABC与∆A'B'C'相似吗？ 你能证明它们相似吗？ 相似 新知探究 已知：如图，在△ABC和△中, ∠A=∠A′, = . 求证： △ABC∽△. 证明：在△A′B′C′的边A′B′上取一点D，使 A′D=AB. 过点D作 DE∥B′C′， 交A′C′于点E. ∵ DE∥B′C′，∴△A′DE ∽△A′B′C′. ∴ = 又A′D=AB, =,∴ ==. ∴ A′E=AC. ∵∠A′=∠A,∴ △A′DE ≌△ABC(SAS). ∴ △ABC ∽△A′B′C′. D E 你能得到什么结论？ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 新知探究 总结归纳 相似三角形的判定定理 几何语言 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 在△ABC和△ ∵ =，∠A=∠A′, ∴ △ABC∽△ 注意：相等的角必须是成比例两边的夹角 例3 依据下列各组条件，求证:∆ABC∽∆A'B'C'. (1)AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm; A'B'=12cm, B'C'=18cm, A'C'=24cm. (2)∠A=120°,AB=7cm, AC=14cm; ∠A'= 120°, A'B'=3cm, A'C'=6cm. 典例分析 证明：(1)∵ ∴== ∴∆ABC∽∆A'B'C' (2)∵ ∴= ∵∠A=∠A'= 120° ∴∆ABC∽∆A'B'C' 两边夹角要牢记 知三边，算比例； 一“排” 二“算” 三“判” 新知探究 一“排” 二“算” 三“判” 将每个三角形的三边的长度按大小顺序排列 利用三边判断两个三角形是否相似的步骤 计算最长边与最长边的比,较长边与较长边的比,最短边与最短边的比 由比值是否相等判断两个三角形是否相似 总结归纳 新知探究 在∆ABC和∆A'B'C'中，∠A=∠A',=,∆ABC和∆A'B'C'一定相似吗? 举反例： 如图：在∆ABC和∆A'B'C'中，∠A=∠A',=，而且BC=B'C', ∆ABC和∆A'B'C'不相似。 ⚠ 关键易错点： 必须是两边的“夹角”相等！ 判定条件 能否判定相似 两边成比例 + 夹角相等 (SAS) ✅ 可以判定 两边成比例 + 一边对角相等 (SSA) ❌ 不能判定 例4 已知∆ABC，P是边AB上的一点，连接CP. (1)当∠ACP满足什么条件时，∆ACP∽∆ABC? (2)当AC:AP满足什么条件时，∆ACP∽∆ABC? 典例分析 解:(1) ∵∠A=∠A， ∴当∠ACP=∠B时，∆ACP∽∆ABC. (2) ∵∠A=∠A, ∴当AC:AP=AB:AC时,∆ACP∽∆ABC. 💡 判定策略口诀：有角优先找角（AA），无角则算三边比（SSS）， 若知两边一夹角，SAS判定最可靠。 有角优先找角（AA） 两边一夹角 基础巩固题 新知应用 1．已知△ABC的三边长分别为2，5，6.若要使△DEF∽△ABC，则△DEF的三边长可以是(　　) A．3，6，7 B．6，15，18 C．3，8，9 D．8，10，12 B 三边成比例的两个三角形相似. 那怎么比呢？ 注意：计算对应边的比时，大对大，小对小，中对中． 一“排” 二“算” 三“判” 基础巩固题 新知应用 2.如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(　　) C B A C D 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 两边及其夹角 300 基础巩固题 新知应用 3. 如图，已知∠BAD=∠CAE，添加下列条件，不能判定△ABE∽△ACD的是（ ） A. ∠ABE=∠ACD B. ∠AEB=∠ADC C. D. D A B C D E 不是两边对应成比例及其夹角相等 基础巩固题 新知应用 4.依据下列各组条件，判定∆ABC与∆A'B'C'是否相似，并说明理由: (1)∠A=45°,AB=12cm, AC=15 cm; ∠A'=45°, A'B'=16 cm, A'C'=20 cm. (2)AB=12 cm, BC=15 cm, AC=24 cm; A'B'=20 cm, B'C'=25 cm, A'C'=40 cm. (2)∵ ∴== ∴∆ABC∽∆A'B'C' 解：(1)∵ ∴= ∵∠A=∠A'= 45° ∴∆ABC∽∆A'B'C' 有角优先找角（AA）， 无角则算三边比（SSS）， 若知两边一夹角，SAS判定最可靠。 基础巩固题 新知应用 5.在∆ABC中，∠A=47°，AB=1.5cm，AC=2cm;在∆EFD中，∠E=47°，ED=2.8cm，EF=2.1 cm.这两个三角形相似吗?为什么? 解：(1)∵ ∴= ∵∠A=∠A'= 47° ∴∆ABC∽∆EFD 有角优先找角（AA）， 无角则算三边比（SSS）， 若知两边一夹角，SAS判定最可靠。 注意：计算对应边的比时，大对大，小对小，中对中． 基础巩固题 新知应用 6.如图，在∆ABC中，点D，E分别在边AB，AC上.若AB=5，AC=10,AD=4，AE=2，则∆ABC与∆AED相似吗?请说明理由. 解：∵ ∴= ∵∠A=∠A ∴∆ABC∽∆AED 新知应用 7.如图，在方格纸上有△ABC和△DEF，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由. 解：△ABC 与 △DEF的顶点都在格点上，可得 ∴△ABC 与 △DEF相似. B=, AC=, BC=5 DE=, DF=2 ,EF= =, 在网格中证明相似的常用方法 两边对应成比例且夹角相等 三条边对应成比例. 能力提升题 能力提升题 新知应用 8.如图，点， 在线段上，且 是等边三角形，，， .求证： . 证明： 为等边三角形， ， ， ， , , ． ． 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 能力提升题 新知应用 9.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别是4dm，5dm，6dm，另一个三角形框架的一边长为2dm.怎样选料可使这两个三角形相似?   课堂小结 相似三角形的判定 定义判定 平行判定 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似 判定定理2 判定定理3 三边成比例的两个三角形相似. 遇平行，用预备；见等角，用两角；知三边，算比例；两边夹角要牢记。 感谢聆听! $