第04讲 复数（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦复数专题，覆盖定义分类、四则运算、模、复平面、三角形式等核心考点，按知识梳理、重难突破、分层集训逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节帮助学生突破运算、几何意义等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用分层教学策略与考点细化设计，如复数模的轨迹问题通过几何意义转化为直角坐标方程，培养学生几何直观与数学思维。设置基础演练、能力进阶、真题实战三级练习，配合典例精讲与考法预测，确保学生高效掌握核心方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第04讲 复数 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 复数的定义及其分类 知识2 复平面 知识3 复数的四则运算 知识4 复数的三角表达式 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 复数的四则运算 考点02 复数的乘方运算 考点03 求复数的模 考点04 求复数的实部与虚部 考点05 复数的相等 考点06 已知复数类型求参数 考点07 复数与对应点 考点08 复数模相关的轨迹(图形)问题 考点09 复数的三角形式 考点10 欧拉公式 考点11 复数多选题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．通过方程的解，认识复数。 2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义。 3．掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义。 4．通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 复数的相关概念及共轭古树 全国一卷T9 全国一卷T1 全国甲卷T1 复数的四则运算 全国一卷T9 全国二卷T1 全国一卷T1 全国二卷T2 全国甲卷T1 全国Ⅰ卷T2 复数的模 全国一卷T9 全国ⅠⅠ卷T1 考情解读 复数是高考数学必考基础考点，基本固定为5分单选，多设置在试卷第1、2小题，整体难度简单。主要考查复数代数形式、实虚部辨析、纯虚数判定、共轭复数、四则运算，除法分母实数化为核心计算点，常结合复数相等求参数，兼顾复平面几何意义、模长计算，题型单一无综合大题，侧重基础运算，细心计算即可稳拿分。 备考策略 熟练掌握复数实部、虚部、纯虚数、共轭复数等基础概念，熟记复数相等条件，扎实练习复数四则运算，重点掌握除法分母实数化方法。理解复平面对应关系与模长计算公式，结合真题反复训练基础小题，整理符号、概念类错题，规范计算步骤，依靠细心运算稳定拿下复数基础分值。 知识・归纳梳理 知识1 复数的定义及其分类 1.定义：形如的数叫做复数，其中称为的实部，称为的虚部(为虚数单位)．规定 2.复数的分类： 复数的分类 充要条件 集合表示 实数 虚数 纯虚数 且 3.复数相等 在复数集中任取两个数，我们规定：与相等的充要条件是且 知识2 复平面 1.定义：实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴. 2．复数的几何意义及复数的模 ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 知识3 复数的四则运算 1.复数的四则运算：设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 2．复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 3．共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 2.表示：z的共轭复数用表示，即若，则 知识4 复数的三角表达式 1.定义：一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． 注意：复数三角形式的特点：模非负，角相同，余弦前，加号连 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件 它们的模与辐角的主值分别相等 复数的辐角 以x轴的正半轴为始边、向量所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角。 辐角的主值:,记作： 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤 1.求出模； 2.确定辐角的主值； 3.写出其三角形式 2.复数三角形式的乘除法及其几何意义 设的三角形式分别是： 乘法 除法 公式 简记 模数相乘，幅角相加 模数相除，幅角相减 几何意义 把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 重难・核心突破 考点01 复数的四则运算 典例1．已知，则的实部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因，则， 则的实部为1. 典例2．已知，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】因为，所以 ， 所以， 该复数的虚部为. 【考法预测1】设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 【考法预测2】若，则实数a等于（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】， 由可得，解得. 【考法预测3】（多选）已知复数，为的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】，共轭复数，则 ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 考点02 复数的乘方运算 典例1．计算：______． 【答案】 【分析】详解】， 典例2．设复数满足，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 则，所以的虚部为. 【考法预测1】（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】 【考法预测2】复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由， 在复平面内对应的点为，位于第一象限. 【考法预测3】已知复数（i为虚数单位），且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则， ，， ． 考点03 求复数的模 典例1．已知，R，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】详解】由，即， ，解得. 故选：B. 典例2．已知i是虚数单位，则_______. 【答案】 【详解】， 故. 方法技巧 复数模的运算 （1）代数形式，模长公式，实部、虚部分别平方相加再开根号。 （2）模的运算性质：，，，可简化复杂复数求模。 （3）共轭复数模长相等，，遇到共轭复数可借助该性质减少计算量。 【考法预测1】已知，，且，则________． 【答案】 【详解】由题意得， 结合，得，解得. 【考法预测2】已知复数（为虚数单位），则___________． 【答案】 【详解】因为，则． 【考法预测3】若复数满足，则________． 【答案】或 【分析】详解】设，其中， 根据复数模的定义可知： ， ， 由题意得：，即，解得或， 所以或. 考点04 求复数的实部与虚部 典例1．已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】由，得，则的虚部为. 典例2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】，， 所以的虚部为. 【考法预测1】已知复数满足，则的实部为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】由题可知，，则的实部为2． 【考法预测2】已知，则的虚部为（   ） A．i B． C．1 D． 【答案】C 【分析】详解】已知，即，得 则，因此的虚部为，故C正确. 【考法预测3】已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积小于0，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为， 因为复数的实部与虚部之积小于0，可得，解得， 所以实数x的取值范围为． 考点05 复数的相等 典例1．复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】设，则， 因为，所以， 整理得， 所以，解得，即， 所以在复平面内，复数对应的点为，位于第二象限. 典例2．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】设，，则. 代入得. 根据复数相等，得，解得，.，故. 方法技巧 两复数相等的一般方法 （1）两个复数相等充要条件：实部与实部对应相等，虚部与虚部对应相等，即。 （2）题干给出复数等式，先全部化为标准形式，再分离实、虚部列出二元方程组求解参数。 （3）等式一侧为实数时，另一侧虚部必须等于0，实部等于该实数。 【考法预测1】设为虚数单位，复数，若，则的值为______. 【答案】0或1 【分析】详解】复数，则， 由， 有，则，，解得或. 【考法预测2】若，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】设（），则，，所以. 所以， 解得，代入中，解得， 故. 【考法预测3】复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】设，则，则， 则，解得； 故，； 故． 考点06 已知复数类型求参数 典例1．已知复数是纯虚数，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】详解】由复数是纯虚数， 则，解得，或， 所以结合选项得． 典例2．设，若为实数，则的值为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】详解】首先根据共轭复数的定义，可得， ， 因为该复数为实数，故其虚部为，且恒成立， 因此，解得. 故选：B. 【考法预测1】已知，（为虚数单位，），且，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】. ，，. 【考法预测2】.若复数为纯虚数，则______. 【答案】5 【详解】由题可知，解得，则， ． 【考法预测3】已知，关于x的一元二次方程的一个根z是纯虚数，则________ 【答案】 【分析】详解】设（且），将其代入原方程得： 整理得： 列方程组： 由第二个方程，，故，解得. 将代入第一个方程，得，即. 根据复数模的运算性质：对任意复数，， 因此. 代入，得， 则： 因此. 考点07 复数与对应点 典例1．复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】详解】，对应点坐标为，在第三象限. 典例2．复数z在复平面对应点A在第一象限，且，且实部是虚部的2倍 (1)求； (2)在复平面内B，C两点对应的复数分别为1， ，判断的形状. 【答案】(1)， (2)直角三角形 【详解】（1）设复数，因为对应点在第一象限，所以. 由题意：实部是虚部的2倍，得；又，所以，即， 与联立解得，， 因此，共轭复数. （2）由题意得三点坐标： ，，， ， ， ， 可得， 因此是直角三角形. 【考法预测1】在复平面上，为坐标原点，设复数、所对应的点分别为、，则的面积为 （    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】由题可得，，，则 ，， ，，， 所以， 因为，所以， 所以． 【考法预测2】已知复数，，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围是__________. 【答案】， 【分析】详解】若复数在复平面内对应的点在第四象限，则 所以 解得 则可得，，即，. 所以，. 【考法预测3】（多选）如图，每个小方格的边长均为1，复数，在复平面内的对应点分别为A，B，则（     ）    A． B． C．为纯虚数 D．在复平面内的对应点位于第三象限 【答案】ACD 【分析】详解】由图可知，点的坐标为 ，点的坐标为 ， 所以因此A正确，B错误． 对于C， 的实部为0，虚部不为0，所以为纯虚数，C正确． 对于D， 其实部和虚部均为负数，所以其对应点位于第三象限，D正确． 考点08 复数模相关的轨迹(图形)问题 典例1．已知在复平面内，动点与复数对应，则满足等式的点与点间的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，即， 可得动点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 则点与点间的距离的最大值为. 典例2．已知复数满足，则的最小值为_________． 【答案】/ 【分析】详解】由，得复数在复平面内对应的点在以为圆心，1为半径的圆上， 又，则表示在复平面内点到点的距离， 所以. 方法技巧 复数模的轨迹问题 （1）代表复平面内以原点为圆心，为半径的圆；是以对应点为圆心、为半径的圆。 （2）表示两点垂直平分线；为椭圆类轨迹。 （3）设代入模长公式，转化为的直角坐标方程，判断曲线类型。 【考法预测1】设，在复平面内对应的点为，那么下列选项中符合如图的式子是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】如图可知，对应的点为的集合是以原点为圆心，以及为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界， 所以符合如图的式子是． 【考法预测2】已知复数满足，则的最小值是________ 【答案】 【详解】设，代入已知条件， 可得：， 两边平方得，即复数z对应的点的轨迹是以为圆心、半径的圆， 的几何意义是点到原点的距离。 计算圆心到原点O的距离：， 由于，原点在圆外，因此圆上的点到原点的最小距离为， 即的最小值为. 【考法预测3】已知，.若集合中有且仅有一个元素，则的所有取值之积为（    ） A．4 B． C． D．9 【答案】D 【分析】详解】由，则在复平面内，复数对应的点到点的距离为， 则集合表示在复平面内，以为圆心，半径为的圆； 由，若，，不合题意； 若，则，即， 此时，即，不合题意； 故，则在复平面内，复数对应的点到点的距离为， 即集合表示在复平面内，以为圆心，半径为的圆； 由集合中有且仅有一个元素，则两圆相切， 若两圆相内切，则有，解得（负值舍去）； 若两圆相外切，则有，解得； 故的所有取值之积为. 考点09 复数的三角形式 典例1．若，则________. 【答案】 【分析】详解】因为， 根据复数的运算法则，可得. 故答案为：. 典例2．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】由复数乘法的几何意义，复数对应的向量绕原点顺时针旋转后， 所得向量对应的复数为，即. 因此，，分子分母同乘，得. 【考法预测1】若复数，则________． 【答案】 【分析】详解】 . 【考法预测2】计算：. 【答案】 【分析】详解】 . 【考法预测3】已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转_____得到（填最小正角）． 【答案】/90° 【分析】详解】因，则， 设将向量按逆时针方向旋转角，可得到复数对应的向量， 则由，化简得：， 故有，解得，故得， 依题意求最小正角，则. 故答案为：. 考点10 欧拉公式 典例1．欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，复数的模长等于（    ） A． B． C．2 D．-2 【答案】A 【详解】 ， 因此结果为，选A 典例2．欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，若复数满足，则的虚部为__________. 【答案】/ 【分析】详解】根据欧拉公式， 令，得到， 代入，得到， 所以 则的虚部为. 【考法预测1】欧拉公式是由瑞士数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，则． 【考法预测2】（多选）欧拉公式巧妙地将复数、指数函数与三角函数联系起来，揭示了它们之间的深刻关联，在复变函数论中占据核心地位，被誉为“数学中的天桥”．下列结论中正确的有（   ） A．，使得 B．当且仅当时成立 C．与互为共轭复数 D．，， 【答案】ACD 【分析】详解】选项A.当时，则，A正确. 选项B.若，可得且，即，B错误. 选项C.，， 二者实部相等、虚部互为相反数，因此互为共轭复数，C正确. 选项D.对任意， . 【考法预测3】欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”，其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.若复数，则=______． 【答案】/ 【分析】详解】由欧拉公式得，又， 所以，． 故答案为：． 考点11 复数多选题 典例1．设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 典例2．（新考法）（多选）已知集合，则（    ） A．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集 B．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集 C．若m，，则 D．若m，，则 【考法预测1】设集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A． B． C． D． 典例1．（多选）已知，为复数且均不为零，下列命题中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】详解】设，，且，则，， 所以， ，即，A对； ， ， 所以，B对； 由，且，则，故，C对； 若，满足，此时不满足，D错. 典例2．在复平面内，复数，对应的点分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，且，则，关于轴对称 C．若，则 D．若，且，是关于的方程的两个根（，），则 【答案】BC 【详解】若，则，故A错误； 因为，，所以，则，关于轴对称，故B正确； 若，则，则，故C正确； 由题意得，，则，故D错误. 【考法预测1】（多选）已知复数，，的共轭复数分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则或 B．若，则 C． D．一定是实数 【答案】ACD 【分析】详解】， 则， ， ， 所以， 选项A，若，则， 可得或，即或，A正确； 选项B，举反例，取，， 此时，但均不为0，B错误； 选项C，根据复数模的运算性质，， 又复数与其共轭复数的模相等，即， 故，C正确； 选项D：设，则， 代入计算得：， 虚部抵消结果为实数；D正确. 【考法预测2】（多选）若z是复数，其在复平面内对应的点为Z，下列说法正确的是（    ） A．为纯虚数 B． C．若，则Z的轨迹是以为圆心，半径为1的圆 D．若，是方程的两根，则 【答案】BCD 【分析】详解】A.设，则，则 ， 当时，为实数，故错误； B. 设，， 则， ，则， ， 所以，故正确； C.设，则， 所以，即， 表示以为圆心，以1为半径的圆，故正确； D.对于方程，判别式， 所以方程的根为，令， 则，故正确. 【考法预测3】（多选）已知复数，且.设，则下列说法正确的是（    ） A．的实部为0 B． C．若，则有且仅有两个可能值 D．的实部为 【答案】ABC 【分析】详解】设，， 因为，所以， 对于A，因为 ， 其实部为，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，由A可知， 当时，则有， 所以或， 即或， 解得或（舍，理由为）或， 所以或，故C正确； 对于D，取，则其实部为， 则， 所以， 所以，故D错误. 拔高・分层集训 基础演练 1．复数（其中i为虚数单位），则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，即的幂次具有周期性，周期为4， 所以. 所以. 2．已知复数，，，下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】C 【分析】详解】选项A，，则，但得不到， 例如，满足，但，故A错误； 选项B，令，满足条件，但，且均不为，故B错误； 选项C，下面先证明命题“若，则，或”成立. 证明：设，， 若，则有， 故有，即，两式相乘可得，， 则有，或，或， ①当时，，即； ②当，且时，则， 又因为不同时为，所以，即； ③当，且时，则，同理可得，故； 综上所述，命题“若，则，或”成立. 下面我们应用刚证明的结论推证选项C， ，， ，或，即或，故C正确； 选项D，令， 则， 但，不为，故D错误. 3．已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．复数在复平面内对应的点位于第二象限 B．若复数，则 C．复数的共轭复数 D．若，则的最小值为 【答案】BC 【分析】详解】对于A：复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故A错误； 对于B：由，故，故B正确； 对于C：由，得，故C正确； 对于D：因表示对应的点在以为圆心、半径为2的圆上， 而表示圆上动点到定点的距离，因圆心到定点的距离为3， 故的最小值为，故D错误.    4．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：设， 因为复数满足，即， 化简得，所以，解方程组得或， 所以. 法二：由求根公式可得，所以. 5．（湖北省云学联盟2025-2026学年高一下学期6月教学质量检测数学试题）设复数z满足为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是（    ） A． B．的虚部为 C．是个纯虚数 D．复数z对应的点位于复平面的第一象限 【答案】ACD 【详解】因为，所以，. 选项A，，正确. 选项B，虚部为，错误. 选项C，，属于纯虚数，正确. 选项D，对应点为，属于第一象限，正确. 6．设为虚数单位，已知复数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】详解】由题意得：，所以，解得，所以，故A错误，所以， 所以，故B正确， 由，故C错误， 由，所以，故D正确. 7．已知复数（i为虚数单位），则 （      ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 【答案】BD 【分析】详解】， 选项A：共轭复数要求实部不变，虚部变号，因此的共轭复数为，A错误； 选项B：的虚部为，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确. 8．已知 与 互为”共轭复数”，其中 为虚数单位，则 的值为 ______. 【答案】 【分析】详解】因为 与 互为共轭复数，其中 ， 为虚数单位， 则 故得 . 9．已知复数z满足，且，则的最小值是______． 【答案】 【分析】详解】设，则其共轭复数，展开等式可得：左边，右边，两式相等则虚部相等，即，整理得，即或. 又因为，结合复数的几何意义可知，在复平面内对应的点的轨迹为：轴上的线段和轴上的线段. 因为，故的几何意义是点到定点的距离. ①当点在轴上时，，点到的距离为，当时取得最小值； ②当点在轴上时，，点到的距离为，当时取得最小值. 因为，故的最小值为. 10．已知复数（为正实数），且满足． (1)求正实数的值； (2)在复平面内，若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，即， 又，所以. （2）由（1）得，故， 所以， 复数在复平面内对应的点为，因为该点在第四象限， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 11．已知复数． (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若z为虚数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2)且 【详解】（1）当且，且时，复数为纯虚数， 由，得或， 由，且得且， 所以当或时，复数为纯虚数． （2）当且时，复数为虚数， 解得且，所以当且时，复数为虚数 12．已知关于x的一元二次方程有两根，； (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的值； 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意得， 且， 由得二次方程两根互为共轭复数， 若，方程有两个不相等的实根，此时，不满足题意， 若，方程有两个相等的实根，此时，显然满足， 若，方程有一对共轭虚根，满足， 因此， 解得或. （2）若，即，此时方程有两个实根， 因为，所以两实根同号， 又因为当时，，所以两实根均为正数， 所以，解得，符合， 若，即或，此时方程有一对共轭虚根，即， 根据复数的性质，共轭复数的长相等，即， 则，解得， 代入韦达定理得， ，，故舍去， 符合题意， 综上，的值为或. 能力进阶 1．对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】设，，，， 则，， 当和伴随，有或， 又，， 若和伴随，则或， 所以和伴随的充要条件是，即. 2．设i为虚数单位，则______． 【答案】 【详解】 3．（新角度）一个九宫格如图所示，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线三个格内的复数和都相等，则表示的复数是_________. 3 【答案】 【分析】详解】设第一行另两个小格内填的复数为，，则每行、每列及对角线三个格内的复数和都等于， 于是正中间那一格为，右下方那一格为， 于是含的对角线三个小格内的复数和为，得， 解得.经检验，满足题设要求. 3 4．设复数，，则，的大小关系为（ ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】详解】设，则， 设，则， 所以， ， 因为， 所以. 5．已知复数，，为虚数单位，则（    ） A．当时，为纯虚数 B． C．的最大值为 D．若复数满足，则一定为实数 【答案】BCD 【分析】详解】当时，，此时不是纯虚数，选项错误； ，选项正确； ， ， 当时， 的最大值为，选项正确； ，， 则， 由，得，设，， 则， 当时，，因为，，所以，此时是实数， 当时，，，此时是实数， 选项正确. 6．已知集合，其中 为虚数单位，则下列元素属于集合的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】详解】由虚数单位的幂次周期性，时： ，，，，， 得集合. 分别化简各选项： A.， B.， C.， D.， 7．（新考法）已知复数（，），满足，（为正整数），其中i为虚数单位，表示的共轭复数，则__________． 【答案】 【分析】详解】由得， 所以，，由知，， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以； 数列为摆动数列，所以， 故. 8．设复数，，其中． (1)若，且为纯虚数，求的值； (2)若， ，且的实部与虚部相等，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知得为纯虚数， 因为， 所以， 故 （2）由题意：， 由已知，得， 显然，得． 真题实战 1．（2026·北京·高考真题）已知，，则（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【详解】由题意， 则. 2．（2026·全国二卷·高考真题）（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】详解】由可得，，所以， 故选：B. 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】详解】因为，所以. 故选：A. 5．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】因为，所以. 故选：C. 7．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】详解】依题意得，，故. 故选：D 8．（2026·全国一卷·高考真题）设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确. 对于B选项，复数的模，因此，B选项错误. 对于C选项，∵ ， ∴ ，该选项正确. 对于D选项， ∵ 分子，分母， ∴ ，是实数，故，该选项正确. 9．（2026·天津·高考真题）化简__________． 【答案】 【详解】. 10．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【分析】详解】先由题得，所以. 故答案为： 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 复数 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 复数的定义及其分类 知识2 复平面 知识3 复数的四则运算 知识4 复数的三角表达式 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 复数的四则运算 考点02 复数的乘方运算 考点03 求复数的模 考点04 求复数的实部与虚部 考点05 复数的相等 考点06 已知复数类型求参数 考点07 复数与对应点 考点08 复数模相关的轨迹(图形)问题 考点09 复数的三角形式 考点10 欧拉公式 考点11 复数多选题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．通过方程的解，认识复数。 2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义。 3．掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义。 4．通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 复数的相关概念及共轭古树 全国一卷T9 全国一卷T1 全国甲卷T1 复数的四则运算 全国一卷T9 全国二卷T1 全国一卷T1 全国二卷T2 全国甲卷T1 全国Ⅰ卷T2 复数的模 全国一卷T9 全国ⅠⅠ卷T1 考情解读 复数是高考数学必考基础考点，基本固定为5分单选，多设置在试卷第1、2小题，整体难度简单。主要考查复数代数形式、实虚部辨析、纯虚数判定、共轭复数、四则运算，除法分母实数化为核心计算点，常结合复数相等求参数，兼顾复平面几何意义、模长计算，题型单一无综合大题，侧重基础运算，细心计算即可稳拿分。 备考策略 熟练掌握复数实部、虚部、纯虚数、共轭复数等基础概念，熟记复数相等条件，扎实练习复数四则运算，重点掌握除法分母实数化方法。理解复平面对应关系与模长计算公式，结合真题反复训练基础小题，整理符号、概念类错题，规范计算步骤，依靠细心运算稳定拿下复数基础分值。 知识・归纳梳理 知识1 复数的定义及其分类 1.定义：形如的数叫做复数，其中称为的实部，称为的虚部(为虚数单位)．规定 2.复数的分类： 复数的分类 充要条件 集合表示 实数 虚数 纯虚数 且 3.复数相等 在复数集中任取两个数，我们规定：与相等的充要条件是且 知识2 复平面 1.定义：实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴. 2．复数的几何意义及复数的模 ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 知识3 复数的四则运算 1.复数的四则运算：设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 2．复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 3．共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 2.表示：z的共轭复数用表示，即若，则 知识4 复数的三角表达式 1.定义：一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． 注意：复数三角形式的特点：模非负，角相同，余弦前，加号连 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件 它们的模与辐角的主值分别相等 复数的辐角 以x轴的正半轴为始边、向量所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角。 辐角的主值:,记作： 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤 1.求出模； 2.确定辐角的主值； 3.写出其三角形式 2.复数三角形式的乘除法及其几何意义 设的三角形式分别是： 乘法 除法 公式 简记 模数相乘，幅角相加 模数相除，幅角相减 几何意义 把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 重难・核心突破 考点01 复数的四则运算 典例1．已知，则的实部为（    ） A． B． C． D． 典例2．已知，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】设，则（     ） A． B． C． D． 【考法预测2】若，则实数a等于（    ） A． B． C．2 D．3 【考法预测3】（多选）已知复数，为的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 考点02 复数的乘方运算 典例1．计算：______． 典例2．设复数满足，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 【考法预测1】（    ） A．1 B． C． D． 【考法预测2】复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考法预测3】已知复数（i为虚数单位），且，则（     ） A． B． C． D． 考点03 求复数的模 典例1．已知，R，则（    ） A． B． C． D．0 典例2．已知i是虚数单位，则_______. 方法技巧 复数模的运算 （1）代数形式，模长公式，实部、虚部分别平方相加再开根号。 （2）模的运算性质：，，，可简化复杂复数求模。 （3）共轭复数模长相等，，遇到共轭复数可借助该性质减少计算量。 【考法预测1】已知，，且，则________． 【考法预测2】已知复数（为虚数单位），则___________． 【考法预测3】若复数满足，则________． 考点04 求复数的实部与虚部 典例1．已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 典例2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】已知复数满足，则的实部为（   ） A．2 B． C．4 D． 【考法预测2】已知，则的虚部为（   ） A．i B． C．1 D． 【考法预测3】已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积小于0，则实数x的取值范围是______． 考点05 复数的相等 典例1．复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 典例2．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 方法技巧 两复数相等的一般方法 （1）两个复数相等充要条件：实部与实部对应相等，虚部与虚部对应相等，即。 （2）题干给出复数等式，先全部化为标准形式，再分离实、虚部列出二元方程组求解参数。 （3）等式一侧为实数时，另一侧虚部必须等于0，实部等于该实数。 【考法预测1】设为虚数单位，复数，若，则的值为______. 【考法预测2】若，且，则（     ） A． B． C． D． 【考法预测3】复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 考点06 已知复数类型求参数 典例1．已知复数是纯虚数，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 典例2．设，若为实数，则的值为（     ） A． B． C．2 D． 【考法预测1】已知，（为虚数单位，），且，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【考法预测2】.若复数为纯虚数，则______. 【考法预测3】已知，关于x的一元二次方程的一个根z是纯虚数，则________ 考点07 复数与对应点 典例1．复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 典例2．复数z在复平面对应点A在第一象限，且，且实部是虚部的2倍 (1)求； (2)在复平面内B，C两点对应的复数分别为1， ，判断的形状. 【考法预测1】在复平面上，为坐标原点，设复数、所对应的点分别为、，则的面积为 （    ）． A． B． C． D． 【考法预测2】已知复数，，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围是__________. 【考法预测3】（多选）如图，每个小方格的边长均为1，复数，在复平面内的对应点分别为A，B，则（     ）    A． B． C．为纯虚数 D．在复平面内的对应点位于第三象限 考点08 复数模相关的轨迹(图形)问题 典例1．已知在复平面内，动点与复数对应，则满足等式的点与点间的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 典例2．已知复数满足，则的最小值为_________． 方法技巧 复数模的轨迹问题 （1）代表复平面内以原点为圆心，为半径的圆；是以对应点为圆心、为半径的圆。 （2）表示两点垂直平分线；为椭圆类轨迹。 （3）设代入模长公式，转化为的直角坐标方程，判断曲线类型。 【考法预测1】设，在复平面内对应的点为，那么下列选项中符合如图的式子是（    ）    A． B． C． D． 【考法预测2】已知复数满足，则的最小值是________ 【考法预测3】已知，.若集合中有且仅有一个元素，则的所有取值之积为（    ） A．4 B． C． D．9 考点09 复数的三角形式 典例1．若，则________. 典例2．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（     ） A． B． C． D． 【考法预测1】若复数，则________． 【考法预测2】计算：. 【考法预测3】已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转_____得到（填最小正角）． 考点10 欧拉公式 典例1．欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，复数的模长等于（    ） A． B． C．2 D．-2 典例2．欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，若复数满足，则的虚部为__________. 【考法预测1】欧拉公式是由瑞士数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，若，则（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（多选）欧拉公式巧妙地将复数、指数函数与三角函数联系起来，揭示了它们之间的深刻关联，在复变函数论中占据核心地位，被誉为“数学中的天桥”．下列结论中正确的有（   ） A．，使得 B．当且仅当时成立 C．与互为共轭复数 D．，， 【考法预测3】欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”，其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.若复数，则=______． 考点11 复数多选题 典例1．设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 典例2．（新考法）（多选）已知集合，则（    ） A．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集 B．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集 C．若m，，则 D．若m，，则 【考法预测1】设集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A． B． C． D． 典例1．（多选）已知，为复数且均不为零，下列命题中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 典例2．在复平面内，复数，对应的点分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，且，则，关于轴对称 C．若，则 D．若，且，是关于的方程的两个根（，），则 【考法预测1】（多选）已知复数，，的共轭复数分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则或 B．若，则 C． D．一定是实数 【考法预测2】（多选）若z是复数，其在复平面内对应的点为Z，下列说法正确的是（    ） A．为纯虚数 B． C．若，则Z的轨迹是以为圆心，半径为1的圆 D．若，是方程的两根，则 【考法预测3】（多选）已知复数，且.设，则下列说法正确的是（    ） A．的实部为0 B． C．若，则有且仅有两个可能值 D．的实部为 拔高・分层集训 基础演练 1．复数（其中i为虚数单位），则（     ） A． B． C． D． 2．已知复数，，，下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 3．已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．复数在复平面内对应的点位于第二象限 B．若复数，则 C．复数的共轭复数 D．若，则的最小值为 4．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 6．设为虚数单位，已知复数，若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知复数（i为虚数单位），则 （      ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 8．已知 与 互为”共轭复数”，其中 为虚数单位，则 的值为 ______. 9．已知复数z满足，且，则的最小值是______． 10．已知复数（为正实数），且满足． (1)求正实数的值； (2)在复平面内，若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 11．已知复数． (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若z为虚数，求实数m的取值范围． 12．已知关于x的一元二次方程有两根，； (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的值； 能力进阶 1．对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 2．设i为虚数单位，则______． 3．（新角度）一个九宫格如图所示，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线三个格内的复数和都相等，则表示的复数是_________. 3 4．设复数，，则，的大小关系为（ ） A． B． C． D．无法比较 5．已知复数，，为虚数单位，则（    ） A．当时，为纯虚数 B． C．的最大值为 D．若复数满足，则一定为实数 6．已知集合，其中 为虚数单位，则下列元素属于集合的是(    ) A． B． C． D． 7．（新考法）已知复数（，），满足，（为正整数），其中i为虚数单位，表示的共轭复数，则__________． 8．设复数，，其中． (1)若，且为纯虚数，求的值； (2)若， ，且的实部与虚部相等，求的值． 真题实战 1．（2026·北京·高考真题）已知，，则（     ） A． B． C．2 D．8 2．（2026·全国二卷·高考真题）（     ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 5．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 8．（2026·全国一卷·高考真题）设，则（     ） A． B． C． D． 9．（2026·天津·高考真题）化简__________． 10．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $