第04讲 指数与指数函数（12核心考点）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦指数与指数函数核心考点，涵盖根式与指数幂运算、指数函数图像与性质、指数型复合函数性质等内容，按考情分析、知识梳理、重难突破、分层集训逻辑架构，通过考点归纳、方法指导、真题实战等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破运算、单调性、值域等难点。 资料以分层教学和方法创新为特色，如针对指数型复合函数单调性，采用“分解函数-判断单调-同增异减”三步法培养数学思维，设置基础演练、能力进阶、真题实战分层练习，配合考法预测和技巧总结，高效提升学生解题能力，为教师精准把控复习节奏、落实核心素养提供有力支持。

第04讲 指数与指数函数 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 根式与指数幂 知识2 指数函数的图像与性质及应用 知识3 指数型函数的性质 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 指数幂的运算 方法技巧 指数型复合函数单调性的判断 考点02 指数函数的定义 考点08 根据单调性解不等式 考点03 指数函数的图像 考点09 指数型复合函数的值域 考点04 指数函数的的定义域与值域 方法技巧 指数型复合函数值域的求解 考点05 指数函数的单调性 考点10由指数函数的最值求参数 考点06 比较指数幂的大小 考点11指数函数模型的应用 方法技巧 指数幂比较大小的技巧 考点12 指数函数的综合问题 考点07 指数型复合函数的单调性 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.了解根式的概念及性质，了解分数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质 2.熟练掌握指数函数的图象与性质 (1) 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 指数函数的图像 北京卷T4 全国甲卷T8、北京卷T9 指数函数的性质 天津卷T7 天津卷T5 考情解读 指数函数是常见的重要函数，指数与指数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考情况来看，指数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型，主要以单选题的形式考察，难度不大. 备考策略 备考指数与指数函数，需夯实基础，熟练掌握指数幂的运算性质与根式化简。重点掌握指数函数的图像与单调性，灵活运用其性质比较大小、解不等式。注重数形结合，强化复合函数单调性训练，提升综合解题能力。 知识・归纳梳理 知识1 根式与分数指数幂 1.根式 (1)一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (3)()n=a. 当n为奇数时，=a， 当n为偶数时，=|a|= 2.分数指数幂 正数的正分数指数幂：=(a>0，m，n∈N*，n>1). 正数的负分数指数幂：==(a>0，m，n∈N*，n>1). 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 aras=ar+s；(ar)s=ars；(ab)r=arbr(a>0，b>0，r，s∈R). 知识2指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 性质 过定点 ，即x=0时，y=1 当x>0时， ；当x<0时， 当x<0时 ；当x>0时， 函数 函数 必记结论 1.掌握指数函数图象的三个特点 (1)指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象. (2)任意两个指数函数的图象都是相交的，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. (3)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b. 2.谨防一个失误点 讨论指数函数的单调性及值域问题时，当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论. 知识3指数型复合函数的性质 涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 重难・核心突破 考点01 指数幂的运算 典例1．（多选）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·山西临汾·二模）已知（，且），则______． 【考法预测2】（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 考点02 指数函数的定义 典例1．已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 【考法预测1】已知指数函数的图象过点，函数，则的最小值为（    ） A． B．0 C．2 D． 【考法预测2】（2026·湖南长沙·三模）若为指数函数，且，则______ 【考法预测3】若指数函数满足，则_____． 考点03 指数函数的图像 典例1．函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 典例2．（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）已知，且，若函数与的图像有两个交点，则实数的取值范围是________． 【考法预测4】（多选）已知函数，其中为常数，若函数的图象如图所示，则（   ）    A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 考点04 指数函数的的定义域与值域 典例1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 典例2．（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．为偶函数 B．恰有2个单调区间 C．的最小值为 D．值域是 【考法预测1】函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26高三上·广东湛江·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【考法预测4】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 考点05 指数函数的单调性 典例1．（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【考法预测1】（25-26高三·全国·一轮复习）下列函数是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】“”是函数在R上单调递增的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考法预测3】（2026·河南·模拟预测）若定义在上的增函数满足，请写出一个满足条件的函数______. 考点06 比较指数幂的大小 典例1．（2026·北京大兴·三模）若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高三·全国·一轮复习）比较大小，，，则（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，，则（  ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·江苏·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考法预测4】（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 比较指数幂大小的策略 考点07 指数型复合函数的单调性 典例1．（2026·河南南阳·模拟预测）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·北京昌平·二模）已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 【考法预测2】．（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 方法技巧 指数型复合函数单调性的判断 方法技巧 复合函数的单调性判断步骤 ①确定函数的定义域； ②将复合函数分解成两个简单函数:与； ③分别确定分解成的两个函数的单调性； ④若两个函数在对应区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数； 若两个函数在对应区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数； 考点08 根据单调性解不等式 典例1．（2026·四川内江·二模）已知，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·江西萍乡·一模）设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·吉林长春·二模）已知函数，若，则的取值范围是___________． 【考法预测3】（2026·河北衡水·一模）设表示不超过的最大整数，则不等式的解集为______. 考点09 指数型复合函数的值域 典例1．（25-26高三上·北京海淀·期中）函数（    ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 典例2．（25-26高三上·重庆·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（多选）关于函数 下列说法正确的是（ ） A．值域 B．值域 C．单调增区间 D．单调减区间 【考法预测2】（2026·重庆·三模）若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·河南开封·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 指数型复合函数的值域求解策略 求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 考点10由指数函数的最值求参数 典例1．若函数的值域是，则的取值范围是______． 【考法预测1】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数的值域为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【考法预测2】已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】已知函数， 的值域为，则的取值范围是___________． 考点11指数函数模型的应用 典例1．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定的比率衰减，称为衰减率.考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年.假设某生物死亡时其体内碳14的含量为，则此生物的死亡时间t（，单位：年）和死亡后体内碳14的剩余含量M的函数关系可以是________． 【考法预测1】氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体．假设氡气经过天后，氡气的剩余量（单位：g）为，其中，为常数.在此条件下，已知氡气经过天后，氡气的剩余量为，再经过天后，氡气的剩余量为（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26高三上·陕西西安·期末）某人用手机拍摄月亮，发现每进行一次“2倍数码变焦”，画面中月亮的直径就变为原来的2倍，若最初月亮在画面中的直径为2毫米，则他连续进行4次这样的“2倍数码变焦”操作后画面中月亮的直径是（    ） A．8毫米 B．16毫米 C．32毫米 D．64毫米 【考法预测3】预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（    ） A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势 B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势 C．若在某一时期内，则这期间人口数呈摆动变化 D．若在某一时期内，则这期间人口数不变 考点12 指数函数的综合问题 典例1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【考法预测1】（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围． 【考法预测3】对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”. (1)判断函数，是否是“型函数”； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数（其中，为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对，求实数，满足的关系式. 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）若函数（）是奇函数，则（    ） A． B．1 C．3 D．9 2．（2026·北京顺义·二模）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为实现国家“十四五”污水处理目标要求：城市污水处理率，某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量与时间的关系为，其中为初始污染物数量，为常数.若在某次过滤过程中，前2小时过滤掉了污染物的，则可得到前4小时共能过滤掉污染物的（    ） A． B． C． D． 4．已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（   ） A． B．8 C． D． 5．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数则的值域是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．若，则实数的最大值为 D．若，则实数的最大值为1 8．（多选）（2026·广东肇庆·二模）若存在，使得函数在区间和上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 9．（25-26高三上·甘肃张掖·期末）已知函数，若在区间上恒成立，则实数a的取值范围是______． 能力进阶 1．（2026·山东日照·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南驻马店·模拟预测）关于函数，有如下描述：①的定义域为；②的值域为；③是减函数；④的图象关于点对称．其中描述正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高三上·山西·阶段检测）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则a的取值范围为 D．若，则的最小值为 7．（多选）（2026·河南·三模）一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为124 C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 8．对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，. (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 真题实战 1．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 2．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 试卷第12页，共16页 试卷第13页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 指数与指数函数 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 根式与指数幂 知识2 指数函数的图像与性质及应用 知识3 指数型函数的性质 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 指数幂的运算 方法技巧 指数型复合函数单调性的判断 考点02 指数函数的定义 考点08 根据单调性解不等式 考点03 指数函数的图像 考点09 指数型复合函数的值域 考点04 指数函数的的定义域与值域 方法技巧 指数型复合函数值域的求解 考点05 指数函数的单调性 考点10由指数函数的最值求参数 考点06 比较指数幂的大小 考点11指数函数模型的应用 方法技巧 指数幂比较大小的技巧 考点12 指数函数的综合问题 考点07 指数型复合函数的单调性 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.了解根式的概念及性质，了解分数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质 2.熟练掌握指数函数的图象与性质 (1) 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 指数函数的图像 北京卷T4 全国甲卷T8、北京卷T9 指数函数的性质 天津卷T7 天津卷T5 考情解读 指数函数是常见的重要函数，指数与指数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考情况来看，指数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型，主要以单选题的形式考察，难度不大. 备考策略 备考指数与指数函数，需夯实基础，熟练掌握指数幂的运算性质与根式化简。重点掌握指数函数的图像与单调性，灵活运用其性质比较大小、解不等式。注重数形结合，强化复合函数单调性训练，提升综合解题能力。 知识・归纳梳理 知识1 根式与分数指数幂 1.根式 (1)一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (3)()n=a. 当n为奇数时，=a， 当n为偶数时，=|a|= 2.分数指数幂 正数的正分数指数幂：=(a>0，m，n∈N*，n>1). 正数的负分数指数幂：==(a>0，m，n∈N*，n>1). 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 aras=ar+s；(ar)s=ars；(ab)r=arbr(a>0，b>0，r，s∈R). 知识2指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，+∞) 性质 过定点(0，1)，即x=0时，y=1 当x>0时，y>1；当x<0时， 0<y<1 当x<0时，y>1；当x>0时， 0<y<1 增函数 减函数 必记结论 1.掌握指数函数图象的三个特点 (1)指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象. (2)任意两个指数函数的图象都是相交的，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. (3)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b. 2.谨防一个失误点 讨论指数函数的单调性及值域问题时，当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论. 知识3指数型复合函数的性质 涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 重难・核心突破 考点01 指数幂的运算 典例1．（多选）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用指数和幂的运算，即可得到判断. 【详解】对于A：由，故A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则， 如，故C错误； 对于D：由，故D正确. 故选：ABD 【考法预测1】（2026·山西临汾·二模）已知（，且），则______． 【答案】/ 【详解】已知（，且），令，则，，解得， ，； ， ． 【考法预测2】（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用指数的运算得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以，又是正数， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 【考法预测3】（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 【答案】 【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论. 【详解】因为，所以， 所以． 考点02 指数函数的定义 典例1．已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1) (2)是偶函数，证明见解析 【分析】（1）由指数函数定义即可列方程求解； （2）由偶函数定义即可判断并得证. 【详解】（1）函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， （2）是偶函数    , 证明如下：，， ， 是偶函数． 【考法预测1】已知指数函数的图象过点，函数，则的最小值为（    ） A． B．0 C．2 D． 【答案】C 【分析】设,求得，得到，求得，令，得到，得到在上单调递增，进而得到的单调性，进而求得的最小值，得到答案. 【详解】设（且），则的图象过点，所以， 所以，所以，则， 令，则， 当且仅当时，即时取等号，所以在上单调递增， 又由，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以. 故选：C. 【考法预测2】（2026·湖南长沙·三模）若为指数函数，且，则______ 【答案】 【分析】由指数函数定义可设，由可求得的值，再利用等比数列求和公式求解. 【详解】为指数函数，可设且， ，解得：，， 则 . 【考法预测3】若指数函数满足，则_____． 【答案】27 【分析】令且，根据题设得，即可求解. 【详解】令且，因为， 则，即，解得或（舍）， 所以，则， 故答案为：. 考点03 指数函数的图像 典例1．函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据判断的范围，根据图象趋势判断的范围即可. 【详解】由图象可知：，， 又由函数为减函数，可得． 故选：C． 典例2．（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，令，求得，且，即可求解. 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 【考法预测2】（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）已知，且，若函数与的图像有两个交点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】①当时，作出函数的图像如图（1）． 若直线与函数的图像有两个交点， 则由图像可知，所以． ②当时，作出函数的图像如图（2）， 若直线与函数的图像有两个交点， 则由图像可知，此时无解． 所以实数的取值范围是． 【考法预测4】（多选）已知函数，其中为常数，若函数的图象如图所示，则（   ）    A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 【答案】D 【分析】由指数型函数的性质图象求得参数，根据二次函数的性质，结合相关函数的单调性，逐项检验即得. 【详解】因，函数的图象在上为减函数，则，即得，又图象经过点，即，故得，解得， 于是，，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为， 对于A，因函数在上单调递增， 则，即的图象与轴没有交点， 又的图象与轴有唯一交点，即的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误； 对于C，关于的方程的实根个数，等于直线与曲线的交点个数， 由A项，因，则直线与曲线的交点个数为0，故C错误； 对于B，的图象的对称轴是直线，在轴右侧，故B错误； 对于D，因的图象对称轴：，在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 考点04 指数函数的的定义域与值域 典例1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 典例2．（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．为偶函数 B．恰有2个单调区间 C．的最小值为 D．值域是 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义可判断A，根据函数的单调性可判断BCD. 【详解】根据题意，设     对于A，的定义域为，且，则为偶函数，A正确； 对于B，，易得在上单调递增，在上单调递减，B正确； 对于C，由于，则，不存在最小值，C错误； 对于D，，则，则的值域为，D正确． 故选：ABD 【考法预测1】函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式. 【详解】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 【考法预测2】（25-26高三上·广东湛江·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的值域求出集合B，再根据集合的补集和交集运算法则求解即可． 【详解】集合， ， 故， ∴． 故选：B． 【考法预测3】函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 【考法预测4】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在、上的值域，取并集即可得出函数的值域. 【详解】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. 故选：A. 考点05 指数函数的单调性 典例1．（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】A 【分析】根据奇偶性的定义及指数函数、幂函数的单调性判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以为奇函数， 又、、均在上单调递增， 所以在上单调递增. 故选：A 【考法预测1】（25-26高三·全国·一轮复习）下列函数是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，在上先减后增，不合题意. 对于B，为上的减函数，不合题意. 对于C，在上先减后增，不合题意. 对于D，为上的增函数，符合题意. 【考法预测2】“”是函数在R上单调递增的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由函数在R上单调递增， 可得，解得， 则“”是函数在R上单调递增的必要不充分条件. 【考法预测3】（2026·河南·模拟预测）若定义在上的增函数满足，请写出一个满足条件的函数______. 【答案】（答案不唯一） 【详解】根据是定义在上的增函数，再结合题意， 可以令，则，满足题意 （答案不唯一，可以是）. 考点06 比较指数幂的大小 典例1．（2026·北京大兴·三模）若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正切函数、指数函数和幂函数的单调性判断. 【详解】，因为在上递增， 且，所以，即，， 1，因为在上递增，且， 所以，即，所以 故选：D 【考法预测1】（25-26高三·全国·一轮复习）比较大小，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过构造函数，利用导数分析其单调性，利用在上的单调性比较与的大小；构造，用导数分析其单调性，证得，赋值推得，再由，推出，即可比较与的大小，得到最终结果. 【详解】令，则， 当时，，在上单调递增. ， 因，则,两边取对数得，则，即； 设，则， 在上单调递增. 又，即对恒成立. 令得，,又，∴ ，， 又 综上可得，. 【考法预测2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过指数函数性质判断函数单调递增得出，结合，，由此即可求解. 【详解】因为，单调递增，单调递减， 单调递增，则单调递增， 故，且，，所以. 【考法预测3】（2026·江苏·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由且在上单调递增，， 若，则， 由且在上单调递减，， 若，则， 显然可推出，反之不一定成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 【考法预测4】（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】如图，在同一坐标系下画出与的图象，结合图象可知A，B，D可能成立．故选ABD． 方法技巧 比较指数幂大小的策略 考点07 指数型复合函数的单调性 典例1．（2026·河南南阳·模拟预测）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性结合复合函数单调性规则计算判断即可. 【详解】对于函数，令，即，解得或， 所以函数的定义域为， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即函数的单调递减区间为. 故选：B 【考法预测1】（2026·北京昌平·二模）已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 【答案】D 【分析】先确定定义域为且关于原点对称,求出判定为奇函数,再将函数变形为,由在上递增推出在上递减,从而选出答案D. 【详解】已知函数，定义域为，关于原点对称. .满足，故是奇函数. .因为且在上单调递增. 所以在上单调递增，进而在上单调递减. 故在上单调递减. 综上，是奇函数，且在上是减函数. 【考法预测2】．（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则在上单调递增，从而得到即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 令， 又因为单调递减，则在上单调递增， 则，所以实数的取值范围是. 【考法预测3】（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. 方法技巧 指数型复合函数单调性的判断 方法技巧 复合函数的单调性判断步骤 ①确定函数的定义域； ②将复合函数分解成两个简单函数:与； ③分别确定分解成的两个函数的单调性； ④若两个函数在对应区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数； 若两个函数在对应区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数； 考点08 根据单调性解不等式 典例1．（2026·四川内江·二模）已知，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以是奇函数， 则等价于， 则，得， 故关于的不等式的解集为. 【考法预测1】（2026·江西萍乡·一模）设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用奇偶函数的性质，结合已知条件求出和的表达式，再代入不等式化简求解. 【详解】因为是偶函数，是奇函数，且对任意，有：， 所以，即， 解得：， 代入不等式：. 化简可得，即，即， 解得：. 所以不等式的解集为. 故选：D 【考法预测2】（2026·吉林长春·二模）已知函数，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，利用函数性质求的范围即可. 【详解】已知函数，则， 是奇函数， 是增函数，是增函数， 是增函数， 因为 ， ，即， 是单调递增函数， ，解得． 所以的取值范围是. 【考法预测3】（2026·河北衡水·一模）设表示不超过的最大整数，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】因为，所以，则解得. 考点09 指数型复合函数的值域 典例1．（25-26高三上·北京海淀·期中）函数（    ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】B 【分析】先换元设，再应用指数函数的值域及二次函数单调性计算求解. 【详解】因为函数， 设， 当函数单调递减，当函数单调递增， 所以当时，函数取最小值，函数无最大值. 故选：B. 典例2．（25-26高三上·重庆·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出，继而结合指数函数的单调性，即可求得答案. 【详解】令，则，当时取等号， 又为R上的单调递增函数，故，即， 故函数的值域为， 故选：D 【考法预测1】（多选）关于函数 下列说法正确的是（ ） A．值域 B．值域 C．单调增区间 D．单调减区间 【答案】BCD 【分析】令，求函数的值域即可判断AB；根据同增异减判断复合函数的单调性判断CD. 【详解】令，则， 因在上单调递增，则， 即的值域为，故正确，错误； 在上单调递增，在上单调递减， 则的增区间为，减区间为，故CD正确. 故选：BCD 【考法预测2】（2026·重庆·三模）若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，再结合不等式的运算求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由是奇函数即， 所以，解得， 则， 因为且，所以，，则， 即，可得， 所以函数的值域为． 【考法预测3】（2026·河南开封·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用换元法求得的值域，再根据高斯函数定义求出结论． 【详解】, 设，因为，则， 所以， 因为，则，即， 所以当时，，当时，，当时，， 所以的值域是 方法技巧 指数型复合函数的值域求解策略 求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 考点10由指数函数的最值求参数 典例1．若函数的值域是，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】求解的值域，即可根据求解. 【详解】由于的值域是， 令，则要能取遍所有的值， ， 因此，故 故答案为： 【考法预测1】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数的值域为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】结合，利用指数函数的单调性求得的值域为，结合题意即可得解. 【详解】由和是增函数可知， 所以的值域为，所以，可得. 故选：D. 【考法预测2】已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 【考法预测3】已知函数， 的值域为，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】当时，，求得值域为，当时，，分和，两种情况讨论，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，， 当时，取得最小值，最小值为，此时的值域为， 当时，， ①当时，函数在上为单调递增，可得的值域为， 要使得函数的值域为，则，解得； ②当时，函数在为单调递减，可得的值域为， 此时函数的值域不可能为，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 考点11指数函数模型的应用 典例1．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定的比率衰减，称为衰减率.考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年.假设某生物死亡时其体内碳14的含量为，则此生物的死亡时间t（，单位：年）和死亡后体内碳14的剩余含量M的函数关系可以是________． 【答案】 【分析】根据一个半衰期的定义和指数的运算求出可得答案. 【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为， 那么死亡1年后生物体内碳14含量为， 死亡2年后生物体内碳14含量为， 死亡5730年后生物体内碳14含量为， 所以，，所以． 故答案为：． 【考法预测1】氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体．假设氡气经过天后，氡气的剩余量（单位：g）为，其中，为常数.在此条件下，已知氡气经过天后，氡气的剩余量为，再经过天后，氡气的剩余量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，，解得．． 【考法预测2】（25-26高三上·陕西西安·期末）某人用手机拍摄月亮，发现每进行一次“2倍数码变焦”，画面中月亮的直径就变为原来的2倍，若最初月亮在画面中的直径为2毫米，则他连续进行4次这样的“2倍数码变焦”操作后画面中月亮的直径是（    ） A．8毫米 B．16毫米 C．32毫米 D．64毫米 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数函数的定义与运算，即可求解. 【详解】因为每次变焦后，直径变为前一次的2倍，所以进行4次变焦后， 则画面中月亮的直径是（毫米）. 故选：C. 【考法预测3】预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（    ） A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势 B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势 C．若在某一时期内，则这期间人口数呈摆动变化 D．若在某一时期内，则这期间人口数不变 【答案】C 【分析】根据公式，结合的不同取值范围分析人口数的变化趋势即可. 【详解】当时，，则逐渐变小，所以这期间人口数呈下降趋势，故A正确； 当时，，则逐渐变大，所以这期间人口数呈上升趋势，故B正确，C错误； 时，，则值不变，所以这期间人口数不变，故D正确. 故选：C. 考点12 指数函数的综合问题 典例1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合与在的单调性，求得其有最小值，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为函数的图象过点和， 可得，所以， 又因为，所以，则，所以． （2）解：由（1）知：，， 因为不等式在上恒成立， 即当时，恒成立， 即在上恒成立， 又因为与在上均单调递减， 所以在上也单调递减， 所以当时，有最小值，所以， 所以实数的取值范围是． 【考法预测1】（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析辅助函数的奇偶性、单调性来判断原函数的单调性，将不等式问题转化为求辅助函数的值域问题进行解答. 【详解】函数， 令函数，即， ，故是奇函数， 因为是上的增函数， 所以是上的减函数，是上的减函数， 因此是上的减函数，也是上的减函数， 将代入不等式， 即，化简可得， 因为是奇函数，所以， 代入可得， 因为是减函数，，所以， 令，，故，， 是对勾函数，在上单调递增， 因此当时，，当时，， 即，则， 在上有解，即大于在上的下确界， 因此实数的取值范围是. 【考法预测2】（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由上的奇函数的性质可得，进而求得，再结合定义法判断函数单调性；（2）结合奇函数性质将问题转化为，结合函数单调性可得，进而构造函数，利用函数单调性求解的范围；（3）对不等式左侧因式分解可得，进而求得，再结合题意和函数的值域对参数分类讨论即可. 【详解】（1）由是奇函数，且定义域为，得. 所以，解得， 故解析式为：， 检验， 所以. 任取，且设， . 因为，且在上是增函数， 所以，即. 又因为且, 所以，即. 综上所述函数在上是增函数. （2）由，可得. 由（1）可知在上是增函数，故，则， 令，由，可得，即. 若存在使得成立，则. 令，设，则，， 当，即时，取得最小值， 所以. （3）根据题意可得， 因为，当时，， 所以，则. 若，则，不等式的解为， 要使不等式对任意恒成立，只需， 即，解得； 若，则，不等式的解为， 即 ，解得； 若，可得，不符合题意， 综上所述实数的取值范围是. 【考法预测3】对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”. (1)判断函数，是否是“型函数”； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数（其中，为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对，求实数，满足的关系式. 【答案】(1)不是型函数，是型函数 (2) (3) 【分析】（1）根据型函数的定义进行判断即可； （2）分离参数，利用二次函数知识求解最值即可； （3）根据满足条件的实数对，得出，根据系数关系可得答案. 【详解】（1）因为不可能恒成立，所以不是型函数； 因为，令，所以是型函数. （2）因为任意，恒成立，所以恒成立， 令，因为，所以，则， 由于，的最小值为， 所以，即. （3）因为是“型函数”，且存在满足条件的实数对， 所以， 所以，，即. 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）若函数（）是奇函数，则（    ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】D 【分析】先求得定义域，结合奇函数的性质取特殊求解即可，注意检验． 【详解】由题知，，定义域为， 由是奇函数得（负根舍去）， 则，，符合题意． 故. 2．（2026·北京顺义·二模）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平移变换求出图象的函数解析式，然后根据图象重合列方程解出的值. 【详解】把函数的图象向右平移2个单位长度， 得到函数表达式为， 再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍， 得到图象的函数表达式为， 因为图象与重合，所以， 即，解得，. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为实现国家“十四五”污水处理目标要求：城市污水处理率，某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量与时间的关系为，其中为初始污染物数量，为常数.若在某次过滤过程中，前2小时过滤掉了污染物的，则可得到前4小时共能过滤掉污染物的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定的函数关系，先通过前2小时的过滤比例求出，再计算前4小时的剩余污染物比例，进而得到过滤掉的污染物占比. 【详解】由题意知，，因为前2小时过滤掉了污染物的， 则剩余污染物为，即，得， 则前4小时的剩余污染物量：， 即剩余污染物是，则前4小时过滤掉的污染物比例为. 4．已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】通过令指数部分为0求出定点坐标，代入直线得到线性关系，再运用基本不等式求最小值即可. 【详解】令，即，，所以恒过定点， 因为点在函数的图象上，则有， ， 当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 5．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数及二次函数的单调性得出值域. 【详解】当时，单调递增，， 当时，． 综上所述，的值域是． 6．（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，定义域为. 易知函数只含项， 因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大， 所以在上单调递减，在上单调递增. 等价于离的距离小于离的距离大小问题， 即.两边平方得； 整理得，解得. 故的取值范围为. 7．（多选）（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．若，则实数的最大值为 D．若，则实数的最大值为1 【答案】BC 【分析】求出函数的定义域，即可判断A；判断出在上的单调性，即可判断B；先求出的值域，若恒成立，分析出要小于等于的下确界，即可判断C；若，分析出要小于的上确界，即可判断D. 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以的定义域为， 故A错误； 因为函数在上单调递增，则也单调递增，因此单调递减， 则单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 因为，则，所以， 所以，所以，即. 若恒成立，则要小于等于的下确界，即， 所以实数的最大值为，故C正确； 若，则要小于的上确界，即， 所以实数没有最大值，故D错误. 8．（多选）（2026·广东肇庆·二模）若存在，使得函数在区间和上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】BC 【分析】先应用指数函数单调性转化已知条件，再应用导函数得出函数单调性求解参数判定A和B，再根据单调性判断C，D. 【详解】因为函数在上单调递增，所以原命题等价于“存在，使得函数在区间和上单调递减”. 又因为，所以，故A错误､B正确； 此时在上单调递增，在和上单调递减， 所以在上单调递增，在和上单调递减，故C正确､D错误. 9．（25-26高三上·甘肃张掖·期末）已知函数，若在区间上恒成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】令，结合条件将问题等价转化为在上恒成立，再结合基本不等式计算求解即可. 【详解】令，则， 因为均在R上单调递增，所以在上单调递增，所以， 因为在区间上恒成立， 所以，即在上恒成立， 因为，当且仅当即时取等号， 所以的最小值为，则， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 能力进阶 1．（2026·山东日照·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求，再求，最后根据并集的定义求解即可. 【详解】因为 ， 又因为， 所以. 2．（2026·河南驻马店·模拟预测）关于函数，有如下描述：①的定义域为；②的值域为；③是减函数；④的图象关于点对称．其中描述正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，及函数的对称性逐一判断即可． 【详解】由， 对于①，由，则分母对全体实数都成立，所以的定义域为，故①正确； 对于②，由，则，则，所以的值域为，故②正确； 对于③，由是增函数，则是减函数，所以是增函数，故③错误； 对于④，由，则，所以的图象关于点对称，故④正确． 综上描述正确的个数是3． 3．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】按分类，借助单调性求出最大值列式求解. 【详解】当时，函数都是R上的减函数，则函数是R上的减函数， 当时，，，则； 当时，函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数， 当时，，，则， 所以实数的值是或. 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性的定义可得为奇函数，进而分离常数，结合指数函数的单调性可判断的单调性，进而求解即可. 【详解】由题意，得，， 则，所以函数为奇函数， 又， 由于在上单调递增，且，故在上单调递增， 由，则， 即，解得，则的取值范围为. 5．（多选）（25-26高三上·山西·阶段检测）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】画出函数图象，分析该函数的单调性与的符号，可得出的取值范围. 【详解】若函数的图象经过第二、三、四象限，则的图象如下图所示： 函数单调递减，所以，所以， 由题意可知，解得，所以，， 故选：AC. 6．（多选）（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则a的取值范围为 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；利用基本不等式求解D. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，令，由，得到， 当且仅当，即时取等号，所以D正确， 7．（多选）（2026·河南·三模）一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为124 C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 【答案】ABD 【分析】对于A，根据分段函数定义可得当时，，，结合函数单调性即可判断；对于B，对每段函数分别求最大值即可判断；对于C，将代入函数计算函数值即可判断；对于D根据“运动后活跃期”定义求得满足的值即可判断. 【详解】对于A，当时，，则，其中，为正整数， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 因为单调递减，且为正整数，所以，故A正确； 对于B，当且时，， 所以当时，取得最大值：， 当且时，，， 因为在上单调递减，所以， 所以当时，取得最大值：， 综上，的最大值为124，故B正确； 对于C，当时，， 所以该运动员第9分钟时没有恢复到静息心率，故C错误； 对于D，当且时，， 当时，取得最小值，，所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”， 当且时，， ，即， 所以，即，解得，所以有，， 综上，当且时，， 因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟，故D正确. 8．对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，. (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)和 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由，化简得到，即可求解； （2）根据题意，将方程，化简得到，利用换元法和对勾函数的性质，即可求解； （3）根据题意，将不等式化为，利用指数函数的单调性，得到，分类参数转化为在上恒成立，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：当时，方程，即为， 即，可得， 解得或，可得或， 所以函数的不动点为和. （2）解：由方程，可得， 即，可得，即为， 令，当时，可得， 因为函数在区间上存在两个不动点， 可得关于的方程在上有两个不等的实数根， 令，可得在单调递减，在单调递增， 且， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为. （3）解：不等式，可化为， 由函数在上单调递减函数， 可得， 因为对任意，不等式恒成立， 即对任意，不等式，即， 可得，即为， 所以在上恒成立， 令，当时，可得， 由题意得，对任意，不等式恒成立， 函数在上为单调递增函数，所以， 函数在上为单调递减函数，所以， 所以，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 真题实战 1．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】A 【分析】由，根据平移法则即可解出． 【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象， 故选：A. 2．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 3．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 4．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 5．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 试卷第2页，共45页 试卷第1页，共45页 学科网（北京）股份有限公司 $