1.3 全等三角形的判定（一）--SAS 提优特训A·B卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 该练习通过A卷基础过关与B卷强化提优的分层设计，构建从SAS判定基本事实到综合模型应用的知识巩固路径，培养数学抽象、逻辑推理与直观想象素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A卷基础过关|SAS判定内容、隐含条件（公共角、对顶角）、规范书写|选择填空侧重概念辨析（如SSA反例），解答题训练基础证明步骤| |B卷强化提优|模型应用（旋转、八字）、动态几何、综合证明|含网格作图、动点问题，强化模型迁移与逻辑推理|

数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上 《第一章三角形第三节全等三角形的判定（一）--SAS》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.数学抽象：理解SAS（边角边）判定基本事实的含义，精准区分夹角与一边的对角；能规范书写SAS的几何符号语言，明晰证明全等的逻辑格式。 2.逻辑推理：能根据已知条件，识别、补充SAS所需的等角、等边条件；能利用SAS证明三角形全等，再结合全等三角形性质推导线段相等、角度相等；能辨析 “ SSA不能判定全等 ” 的反例，形成严谨推理习惯。 3.直观想象：通过尺规作图感知SAS的合理性；能在含公共边、公共角、对顶角的基础图形、旋转型基础模型中，快速锁定两组对应边及其夹角。 4.规范表达与模型观念：掌握几何证明题标准步骤，学会从 “ 公共角、对顶角、同角加减等角 ” 中推导夹角相等；初步建立共顶点旋转、对顶八字等基础全等模型，解决简单计算与说理题。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.边角边（SAS）全等判定基本事实内容、几何符号语言； 2.寻找题目中隐含条件（公共角、对顶角、等角加/减同一个角），用SAS证明三角形全等； 3.全等证明的规范书写格式，证明后利用全等性质推导线段、角度结论。 （二）难点 1.准确识别夹角，区分SAS与SSA，理解SSA无法判定全等； 2.间接推导等角：利用 “ 同角（等角）的和或差相等 ” 构造SAS需要的夹角； 3.在旋转、交叉变式图形中找准对应边、对应夹角，避免对应关系出错。 )三．知识清单 ( （ 一）SAS判定基本事实 1.定理内容 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简记为 “ 边角边 ” 或SAS。 2. 关键词：夹角，即两组相等边中间夹住的内角。 3. 几何符号语言： 在 △ ABC和 △ A'B'C'中 ∴△ ABC ≌△ A'B'C ‘ (SAS). （二）隐含等角、等边常用来源（SAS高频） 1.公共角：同一个角为两个三角形共用，直接相等； 2.对顶角：两条直线相交形成的对顶角相等； 3.等角推导： ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 2+ ∠ 3 → ∠ 1= ∠ 2（同角加等角）； ∠ 1- ∠ 3= ∠ 2- ∠ 3 → ∠ 1= ∠ 2（同角减等角）； 4.公共边、已知线段中点、线段和差，用来提供相等对应边。 ) ( （三）重要易错结论：SSA不能判定全等 两边及其中一边的对角对应相等（边边角SSA），无法保证两个三角形一定全等，可以画出两种不同形状的三角形作为反例，做题不能使用SSA作为全等依据。 （四）SAS证明全等之后的常用推论 证明三角形全等后，可以直接使用全等三角形性质：对应边相等、对应角相等，进一步求解线段长度、角度大小，或证明两直线平行、垂直等结论。 （五）本节基础模型（高频考题） 1 . 共顶点模型：两三角形共用顶角，给出夹这个角的两组边相等，直接SAS； 2.八字对顶模型：两线段相交，产生一组对顶角，搭配对顶角两侧的边相等，用SAS证全等； 3.旋转模型：一个三角形绕顶点旋转得到另一三角形，旋转前后对应边相等、旋转角相等，推导出夹角相等，使用SAS。 （六）几何证明答题规范要点 1.先写 “ 在 △ XXX和 三角形 XXX中 ” ； 2.大括号依次列出3个条件（边、夹角、边），每个条件标注依据（已知、公共角、对顶角相等、已证等）； 3.写出全等结论，括号标注判定依据SAS； 4.后续需要边角相等，写明 “ 因为 △ XXX ≌ △ XXX， ∴ XXX （ 对应边/角相等 ） ” 。 （七）高频易错汇总 1.忽略 “ 夹角 ” ，把一边的对角当作条件，误用SSA证明全等； 2.书写全等时顶点顺序不对应，导致后续找错对应边角； 3.不会利用同角的和差推导夹角相等，无法补齐SAS条件； 4.证明缺少依据，直接默认边角相等，几何说理不严谨； 5.旋转类图形中，误把旋转外的角当作两组边的夹角。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．下列三角形中全等的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【答案】A 【解析】A、①②：①中与的夹角为，②中与的夹角为，两边及夹角对应相等，满足判定，此选项符合题意；B、C、D选项均不满足两三角形全等的判定条件，均不符合题意；故选：A． 2.如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1＝∠2，AD＝AB，则（ ） A.∠1＝∠EFD B.BE＝EC C.BF＝DF＝CD D.FD∥BC 【答案】D； 【解析】可由SAS证全等，再利用直角三角形中两锐角互余可得D选项是正确的. 3.如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是 （ ） A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN 【答案】C； 【解析】没有SSA定理判定全等. 4.如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（　　） A.AB=CD B.EC=BF C.∠A=∠D D.AB=BC 【答案】A； 【解析】：∵AE∥FD，∴∠A=∠D，∵AB=CD，∴AC=BD，在△AEC和△DFB中， ，∴△EAC≌△FDB（SAS），故选：A． 5.如图，惠子同学为了测量内槽的宽，她将两根钢条、的中点连在一起， 使、可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工件，她认为此时， 测量的长即可得到内槽宽；那么判定的理由是（   ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【解析】∵是、的中点，，在和中， ，，故选：A． 6．如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAE＝60°，则∠BAC的度数为（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 【答案】B 【解析】∵AD＝AE，∴∠ADC＝∠AEB，在△ACD和△ABE中，， ∴△ACD≌△ABE（SAS），∴AC＝AB，∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠B＝∠C，∵∠C＝∠1﹣∠CAD＝110°﹣60°＝50°，∴∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：B． 7．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（　　） A．55° B．50° C．45° D．60° 【答案】A 【解析】∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故选：A． 8．如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则下列结论错误的是（　　） A．∠A＝∠D B．∠B＝∠E C．AB＝DE D．CD＝CE 【答案】D 【解析】∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，即∠DCE＝∠ACB，在△ACB和△DCE中，，∴△ACB≌△DCE（SAS），∴∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．故选：D． 9．如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　） A．AB=DC B．OB=OC C．∠C=∠D D．∠AOB=∠DOC 【答案】B 【解析】A、AB=DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误；B、∵在△AOB和△DOC中，∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确；C、两三角形相等的条件只有OA=OD和∠AOB=∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误；D、根据∠AOB=∠DOC和OA=OD，不能证两三角形全等，故本选项错误；故选B．　 10.如图，△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=40°，则∠DEF的度数是（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 【答案】B 【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C=（180°﹣∠A）=70°，在△BDE和△CEF中，， ∴△BDE≌△CEF（SAS），∴∠BDE=∠CEF，∵∠CED=∠B+∠BDE，即∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE，∴∠DEF=∠B=70°；故选：B． 二．填空题（共30分） 11．如图所示，，．可利用 来判定． 【答案】 【解析】在△ABC和中∴．故答案为：． 12．如图，已知，若要用“”证明，还需加上的一个条件可以是 ． 【答案】 【解析】∵，，∴当添加时，（SAS）．故答案为：． 13．如图，已知，，，则 ，理由是． 【答案】 【解析】在与中，，∴，故答案为：． 14. 在△ABC和△中，∠A＝44°，∠B＝67°，∠＝69°，∠＝44°，且A＝ ，则这两个三角形_______全等.（填“一定”或“不一定”） 【答案】一定； 【解析】由题意，△ABC≌△B′A′C′，注意对应角和对应边. 15.如图，A，D，F，B在同一直线上，AE=BC，且AE∥BC．添加一个条件　 　，使△AEF≌△BCD． 【答案】AF=DB； 【解析】：AF=DB，理由是：∵AE∥BC，∴∠A=∠B，在△AEF和△BCD中 ∴△AEF≌△BCD（SAS），故答案为：AF=DB． 16．如图AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE.有下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD的面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE.其中正确的有________．(把正确结论的序号都填上) 【答案】①②③④ 【解析】∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.∴S△ABD＝S△ACD.在△BDF和△CDE中，∵∴△BDF≌△CDE.(SAS)∴CE＝BF，∠BFD＝∠CED.∴BF∥CE.故本题答案为①②③④. 17．如图所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，则∠DOC＝___． 【答案】120° 【解析】 在与中， 故答案为： 18.如图，在与中，与相交于点M，，在不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母的情况下，要证明．需添加的一个条件是______．（答案不唯一） 【答案】AD＝BC 【解析】：添加条件：AD＝BC，∵BC＝AD，∠2＝∠1，AB＝BA，∴△ABC≌△BAD（SAS），∴AC＝BD． 19.如图是由4个全等的小正方形组成的网格，点、、、、都在格点上，则与的数量关系为__________． 【答案】互补 【解析】如图∵，，,∴，∴∴，故答案为：互补． 20．如图，△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=40°，则∠DEF的度数是______. 【答案】70° 【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C=（180°﹣∠A）=70°，在△BDE和△CEF中，，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴∠BDE=∠CEF，∵∠CED=∠B+∠BDE，即∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE， ∴∠DEF=∠B=70°； 三．解答题（共60分） 21.如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC的顶点均在格点上，点D是图③的一个格点.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法. (1)在图①中画△ECB,使△ECB≌△ABC; (2)在图②中画△FAC,使△FAC≌△BCA; (3)在图③中画△DGH,使△DGH≌△CBA. 解(1)如图①,△ECB即为所求.(2)如图②,△FAC即为所求.(3)如图③,△DGH即为所求. 22.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB = DE，AB∥DE，BE = CF． （1）求证：AC = DF； （2）若∠D = 65°，求∠EGC的大小． 解：（1）∵ BC = BE+EC，EF = CF+EC，BE = CF，∴ BC = EF，又∵ AB∥DE，∴ ∠B =∠DEC， 在△ABC和△DEF中，∴ △ABC≌△DEF(SAS)，∴ AC = DF. （2）∵ △ABC≌△DEF，∴ ∠F =∠ACB，∴ DF∥AC，∴ ∠D =∠EGC，又∵ ∠D = 65°， ∴ ∠EGC = 65°． 23.如图,已知五边形ABCDE的各边都相等,各内角也都相等,点F,G分别在边BC,CD上,且FC=GD. (1)求证:△CDF≌△DEG. (2)求∠EHF的大小. 解:(1)证明:∵五边形ABCDE的各边都相等,各内角也都相等,∴CD=DE,∠FCD=∠GDE. 在△CDF和△DEG中,∴△CDF≌△DEG(SAS). (2)∵△CDF≌△DEG,∴∠FDC=∠GED,∴∠EHF=∠GED+∠HDE=∠FDC+∠HDE =∠CDE==108°.答:∠EHF的大小为108°. 24.(1)如图1,CE与AB交于点E,AC=BC,∠1=∠2.求证:△ACE≌△BCE. (2)如图2,CD的延长线与AB交于点E,AD=BC,∠3=∠4,在CE上取CF=DE,连接BF.探究∠BEF与∠EFB的数量关系,并说明理由. 解:(1)证明:在△ACE和△BCE中,∴△ACE≌△BCE(SAS). (2) ∠BEF=∠EFB.理由:在△ADE和△BCF中,∴△ADE≌△BCF(SAS), ∴∠AED=∠CFB.∵∠AED+∠BEF=180°,∠CFB+∠EFB=180°,∴∠BEF=∠EFB. 25. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AO平分∠BAC，交CD于点O，E为AB上一点，且AE=AC． （1）求证：△AOC≌△AOE；（2）求证：OE∥BC． 解：（1）∵AO平分∠BAC，∴∠CAO=∠EAO．在△ACO和△AEO中： ， ∴△AOC≌△AOE． （2）∵△AOC≌△AOE，∴∠ACO=∠AEO，∵ CD⊥AB于点D，∴∠ODE=∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠DCB=90°，∠AEO+∠EOD=90°，∴∠DCB=∠DOE，∴OE∥BC. 26.如图（1），AB = 7 cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC = 5 cm．点P在线段AB上以 2 cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t(s) （当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t = 1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB =∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． 解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ． 理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A=∠B=90°，∵AP=BQ=2，∴BP=5，∴BP=AC， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）.∴∠C=∠BPQ，∵∠C+∠APC=90°，∴∠APC+∠BPQ=90°，∴∠CPQ=90°，∴PC⊥PQ； （2）①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，可得：5=7-2t，2t=xt解得：x=2，t=1； ②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，可得：5=xt，2t=7-2t 解得：x=，t=.综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或． 27.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AC=AB=8,BC=6,D为AB的中点,点P在线段BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动.同时点Q在线段CA上以每秒a(a＞0)个单位的速度由点C向点A运动.设运动时间为ts(0≤t≤3). (1)线段PC=______________(用含t的代数式表示); (2)当点P,Q的运动速度相等,t=1时,△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； (3)若△BDP≌△CQP,求a的值. 解：（1）6-2t （2）△BPD≌△CQP.理由:∵D为AB的中点,AB=8,∴DB=AB÷2=4.∵点P,Q的运动速度相等,t=1,∴BP=CQ=2,∴CP=4=BD.∵AB=AC,∴∠B=∠C.在△BPD和△CQP中,∴△BPD≌△COF. （3）∵△BDP≌△CQP,∴BP=PC,BD=CQ, ∴2t=6-2t,at=4,解得t=，a=。 B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是( ) A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.①②③都带去 【答案】C； 【解析】由ASA定理，可以确定△ABC. 2. 如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（　　） A. ∠A=∠C B. ∠D=∠B C. AD∥BC D. DF∥BE 【答案】B 【解析】当∠D=∠B时， 在△ADF和△CBE中∵， ∴△ADF≌△CBE（SAS） 3. 如图，已知AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，则图中有多少对三角形全等（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】∵AC与BD相交于点O，∴∠AOD=∠COB，∠AOB=∠COD，又∵OA=OC，OB=OD， ∴△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，∴AD=CB，AB=CD，又∵AC=CA，BD=DB，∴△ACD≌△CAB，△ABD≌△CDB，即图中共有4对全等三角形.故选D. 4．如图，已知∠1＝∠2，用“SAS”证△ABC≌△ABD，还需（　　） A．BC＝BD B．AC＝AD C．∠C＝∠D D．∠ABC＝∠ABD 【答案】B 【解析】由图可知，AB＝AB，∵∠1＝∠2，∴用“SAS”证△ABC≌△ABD，还需AC＝AD， 故选：B． 5．如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　　） A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE 【答案】D 【解析】∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；故选：D． 6.如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C， 连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定△ABC和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知、，在△ABC和中， ∴．故选：B． 7.据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”． 后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞． 在如图所示的“风筝”图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】,,在△ABC和△ADE中，， ．故选B． 8．如图，E是延长线上一点，已知，则图中全等三角形有（　 　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【答案】D 【解析】∵，，∴；∴，∵，，∴；∴，∵， ∴．∴图中全等三角形有，，，共3对，故选：D． 9.如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则∠α+∠β=( ) A.60° B.75° C.90° D.100° 【答案】C 【解析】如图,在△AOC和△DOB中,∴△AOC≌△DOB(SAS)，∴∠α=∠OCA. ∵∠OCA+∠β=90°,∴∠α+∠β=90°. 10已知：如图，△ABC，△ADE是等腰直角三角形，C，D，E三点在同一条直线上， 连接，以下四个结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①∵，∴，即， ∵在和中，，∴，∴，故①正确； ②∵△ABC为等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，∴，故②不正确；③∵△ADE为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，故③正确；④由③得∴平分，故④正确，正确的个数是个，故选：C． 二．填空题（共30分） 11．如图，，，能直接判定的方法是“ ”． 【答案】 【解析】，，，即，在和中，，，故答案为：． 12. 已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝________. 【答案】6； 【解析】△ABF≌△CDE，BE＝CF＝2，EF＝10－2－2＝6. 13. 如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对. 【答案】5； 【解析】△ABO≌△CDO，△AFO≌△CEO，△DFO≌△BEO，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB. 14.如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则全等的三角形是___________________. 【答案】△ACB≌△DCE 【解析】 即 在和中 ≌.故答案为≌. 15．如图在与中，与相交于点M，，在不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母的情况下，要证明．需添加的一个条件是_____． 【答案】AD＝BC（答案不唯一） 【解析】：添加条件：AD＝BC，∵BC＝AD，∠2＝∠1，AB＝BA，∴△ABC≌△BAD（SAS），∴AC＝BD． 16．如图，在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，BC＝EF，根据（SAS）判定△ABC≌△DEF，还需的条件是　 　． 【答案】∠B=∠E 【解析】在△ABC和△DEF中，已经知道AB = DE，BC = EF。根据（SAS）判定定理，我们需要AB与BC的夹角∠B和DE与EF的夹角∠E相等，即∠B=∠ E， 17．如图，在△ABC中AB＝6，BC＝7，AC＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为__________. 【答案】8 【解析】已知AD平分∠BAC，根据角平分线的定义可知∠EAD = ∠CAD。 在△ADE和△ADC中，有AE = AC（题目中在AB上截取AE = AC）， ∠EAD = ∠CAD，AD = AD（公共边）。根据全等三角形判定定理中的边角边（SAS），可以得出△ADE≌△ADC。 根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，所以ED = CD。已知AE = AC = 5，AB = 6，由于BE = AB - AE，将AB = 6，AE = 5代入可得BE = 6 - 5 = 1。因为BC = BD + CD，又因为ED = CD，所以BC = BD + ED，已知BC = 7，即BD + ED = 7。根据三角形周长的定义，BDE的周长为BE + BD + ED，将BE = 1，BD + ED = 7代入可得\△BDE的周长为1 + 7 = 8。 18.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且CD＝BE，BD＝CF．若∠EDF＝42°，则∠BAC的度数是 　　． 【答案】96° 【解析】因为在△ABC中，AB = AC，根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，所以可得∠B=∠C。在△BDE与△CFD中，已知BD = CF，由步骤1得到∠B = ∠C，又已知BE = CD。根据全等三角形的判定定理（SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），所以△BDE≌△CFD(SAS)。根据全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，所以∠EDB = ∠DFC，∠FDC =∠BED。又因为∠EDF +∠EDB +∠FDC = 180°（平角的定义：平角为180°），∠B +∠BED +∠EDB = 180°（三角形内角和定理：三角形内角和为180°），且∠FDC =∠BED，∠EDB =∠EDB，所以可得∠B=∠EDF。已知∠EDF=42°，由步骤3可知∠B =∠EDF，所以∠B = 42°。又因为∠B = ∠C（步骤1已证），所以∠C = 42°。在△ABC中，根据三角形内角和定理：三角形内角和为180°，即∠BAC + ∠B + ∠C = 180°。已知∠B = 42°，∠C = 42°，所以∠BAC = 180°- ∠B - ∠C = 180° - 42°- 42 °= 96°。 19、如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为______时，△ABP与△PCQ全等． 【答案】2或 【解析】①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，∵AB＝8cm，∴PC＝8cm，∴BP＝12﹣8＝4（cm），∴2t＝4，解得：t＝2，∴CQ＝BP＝4cm，∴v×2＝4，解得：v＝2；②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，∵PB＝PC，∴BP＝PC＝6cm，∴2t＝6，解得：t＝3，∵CQ＝AB＝8cm，∴v×3＝8，解得：v＝，综上所述，当v＝2或时，△ABP与△PQC全等，故答案为：2或． 20、如图，在△ABC中，，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为____秒时，△PMC与△QNC全等． 【答案】2或6 【解析】设运动时间为t秒时，△PMC≌△CNQ，∴斜边，分两种情况：①如图1，点P在AC上，点Q在BC上，∵，，∴，，∵，∴，∴；②如图2，点P、Q都在AC上，此时点P、Q重合， ∵，，∴，∴；综上所述，点P运动时间为2或6秒时，△PMC与△QNC全等， 故答案为：2或6． 图1 图2 三．解答题（共60分） 21．如图，在五边形ABCDE中，AB＝DE，AC＝AD. (1)请添加一个条件，可利用“SAS”判定△ABC≌△DEA，并说明理由； (2)在(1)的条件下，若∠CAD＝66°，∠B＝110°，则∠BAE的度数为_______． 解：(1)添加条件：∠BAC＝∠EDA.理由：在△ABC和△DEA中， 所以△ABC≌△DEA(SAS) (2)136° 22．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E，F分别在AB，BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF. (1)求证：∠D＝∠2； (2)若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数． 解：(1)在△BEF和△CDA中，∴△BEF≌△CDA(SAS)，∴∠D＝∠2　 (2)∵∠D＝∠2，∠D＝78°，∴∠2＝78°，∵EF∥AC，∴∠BAC＝∠2＝78° 23．已知在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°. (1)如图①，当点D在AC上时，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出结论； (2)将图①中的△ADE的位置改变一下，如图②，其他条件不变，则线段BD，CE又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 解：(1)BD＝CE，BD⊥CE　 (2) 结论：BD＝CE，BD⊥CE.理由如下：因为∠BAC＝∠DAE＝90°，所以∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，所以△ABD≌△ACE(SAS)，所以∠ABD＝∠ACE, BD＝CE.如图，延长BD交AC于点F，交CE于点H. 因为∠ABF＝∠HCF，∠AFB＝∠HFC，所以∠CHF＝∠BAF＝90°，所以BD⊥CE 24. 如图，两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形， 图中，B，C，E在同一条直线上，连结． （1）求证：． （2）指出线段和线段的关系，并说明理由． 解：（1）证明：∵，∴，∴在与中，，∴ （2）线段和线段的关系是：垂直且相等． 证明：由（1）知：，∴，∵， ∴，∴，即∴，∴， ∴线段和线段的关系是：垂直且相等． 25. 已知△ABC中，AC＝BC；△DEC中，DC＝EC；∠ACB＝∠DCE＝α， 点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE． （1）如图1，当α＝60°时， ① 求证：AD＝BE； ② 请求出∠AEB的度数； （2）如图2，当α＝90°时，请直接写出： ① ∠AEB的度数为 　 　； ② 若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，线段AF的长为　　 ． 解：（1）①∵AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴△ABC和△DEC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，CA＝CB，CD＝CE，∴∠ACB﹣∠DCF＝∠DCE﹣∠DCF，∴∠ACD＝∠BCE，在△CDA和△CEB中， ，∴△CDA≌△CEB（SAS），∴AD＝BE； ②∵△CDA≌△CEB，∴∠CEB＝∠CDA＝180°﹣∠CDE＝120°，∵∠CED＝60°， ∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°； （2）①∵AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴∠CDE＝45°＝∠CED，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， 即∠ACD＝∠BCE，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°， 在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，故填：90°； ②∵△ACD≌△BCE，BE＝2，∴BE＝AD＝2，∵∠CAF＝∠BAF＝22.5°，∠CDE＝45°＝∠CAD+∠ACD，∴∠ACD＝∠CAD＝22.5°，∴AD＝CD＝2，∵∠DCF＝90°﹣∠ACD＝67.5°，∠AFC＝∠ABC+∠BAF＝67.5°，∴∠DCF＝∠AFC，∴DC＝DF＝2，∴AF＝AD+DF＝4，故填：4． 26．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 解：（1）△BPD≌△CQP，理由如下：∵t=1s，∴BP=CQ=3×1=3（cm）， ∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5（cm），∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中， ∴△BPD≌△CQP（SAS）； （2）∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，则BP=PC=4，CQ=BD=5，∴点P，点Q运动的时间t==（s），∴vQ===（cm/s），答：当点Q的运动速度为cm/s，能够使△BPD与△CQP全等． 27.为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试:如图①,在△ABC中,AD是BC边上的中线,延长AD到M,使DM=AD,连接BM. 【探究发现】 (1)如图①,AC与BM的数量关系是__________,位置关系是________________； 【初步应用】 (2)如图②,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围； 【探究提升】 (3)如图③,AD是△ABC的中线,过点A分别向外作AE⊥AB,AF⊥AC,使得AE=AB,AF=AC,延长DA交EF于点P,判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，并说明理由. 解：(1)AC=BM;AC∥BM (2)如图①,延长AD到点M,使DM=AD,连接BM,易知△MDB≌△ADC,∴BM=AC=6.在△ABM中,AB-BM<AM<AB+BM,即10-6<AM<10+6,∴4<2AD<16,∴2<AD<8. (3)EF=2AD,EF⊥AD.理由如下:如图②,延长AD到点M,使得DM=AD,连接BM. 易知△BDM≌△CDA,∴BM=AC.∵AC=AF,∴BM=AF.由(1)可知,AC∥BM,∴∠BAC+∠ABM=180°. ∵AE⊥AB,AF⊥AC,∴∠BAE=∠FAC=90°,∴∠BAC+∠EAF=180°,∴∠ABM=∠EAF. 在△ABM和△EAF中∴△ABM≌△EAF(SAS),∴AM=EF,∠BAM=∠E. ∵AD=DM,∴AM=2AD,∴EF=2AD.∵∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠E+∠APE,∴∠APE=∠BAE=90°,∴EF⊥AD. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上 《第一章三角形第三节全等三角形的判定（一）--SAS》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.数学抽象：理解SAS（边角边）判定基本事实的含义，精准区分夹角与一边的对角；能规范书写SAS的几何符号语言，明晰证明全等的逻辑格式。 2.逻辑推理：能根据已知条件，识别、补充SAS所需的等角、等边条件；能利用SAS证明三角形全等，再结合全等三角形性质推导线段相等、角度相等；能辨析 “ SSA不能判定全等 ” 的反例，形成严谨推理习惯。 3.直观想象：通过尺规作图感知SAS的合理性；能在含公共边、公共角、对顶角的基础图形、旋转型基础模型中，快速锁定两组对应边及其夹角。 4.规范表达与模型观念：掌握几何证明题标准步骤，学会从 “ 公共角、对顶角、同角加减等角 ” 中推导夹角相等；初步建立共顶点旋转、对顶八字等基础全等模型，解决简单计算与说理题。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.边角边（SAS）全等判定基本事实内容、几何符号语言； 2.寻找题目中隐含条件（公共角、对顶角、等角加/减同一个角），用SAS证明三角形全等； 3.全等证明的规范书写格式，证明后利用全等性质推导线段、角度结论。 （二）难点 1.准确识别夹角，区分SAS与SSA，理解SSA无法判定全等； 2.间接推导等角：利用 “ 同角（等角）的和或差相等 ” 构造SAS需要的夹角； 3.在旋转、交叉变式图形中找准对应边、对应夹角，避免对应关系出错。 )三．知识清单 ( （ 一）SAS判定基本事实 1.定理内容 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简记为 “ 边角边 ” 或SAS。 2. 关键词：夹角，即两组相等边中间夹住的内角。 3. 几何符号语言： 在 △ ABC和 △ A'B'C'中 ∴△ ABC ≌△ A'B'C ‘ (SAS). （二）隐含等角、等边常用来源（SAS高频） 1.公共角：同一个角为两个三角形共用，直接相等； 2.对顶角：两条直线相交形成的对顶角相等； 3.等角推导： ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 2+ ∠ 3 → ∠ 1= ∠ 2（同角加等角）； ∠ 1- ∠ 3= ∠ 2- ∠ 3 → ∠ 1= ∠ 2（同角减等角）； 4.公共边、已知线段中点、线段和差，用来提供相等对应边。 ) ( （三）重要易错结论：SSA不能判定全等 两边及其中一边的对角对应相等（边边角SSA），无法保证两个三角形一定全等，可以画出两种不同形状的三角形作为反例，做题不能使用SSA作为全等依据。 （四）SAS证明全等之后的常用推论 证明三角形全等后，可以直接使用全等三角形性质：对应边相等、对应角相等，进一步求解线段长度、角度大小，或证明两直线平行、垂直等结论。 （五）本节基础模型（高频考题） 1 . 共顶点模型：两三角形共用顶角，给出夹这个角的两组边相等，直接SAS； 2.八字对顶模型：两线段相交，产生一组对顶角，搭配对顶角两侧的边相等，用SAS证全等； 3.旋转模型：一个三角形绕顶点旋转得到另一三角形，旋转前后对应边相等、旋转角相等，推导出夹角相等，使用SAS。 （六）几何证明答题规范要点 1.先写 “ 在 △ XXX和 △ XXX中 ” ； 2.大括号依次列出3个条件（边、夹角、边），每个条件标注依据（已知、公共角、对顶角相等、已证等）； 3.写出全等结论，括号标注判定依据SAS； 4.后续需要边角相等，写明 “ 因为 △ XXX ≌ △ XXX， ∴ XXX （ 对应边/角相等 ） ” 。 （七）高频易错汇总 1.忽略 “ 夹角 ” ，把一边的对角当作条件，误用SSA证明全等； 2.书写全等时顶点顺序不对应，导致后续找错对应边角； 3.不会利用同角的和差推导夹角相等，无法补齐SAS条件； 4.证明缺少依据，直接默认边角相等，几何说理不严谨； 5.旋转类图形中，误把旋转外的角当作两组边的夹角。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．下列三角形中全等的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 2.如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1＝∠2，AD＝AB，则（ ） A.∠1＝∠EFD B.BE＝EC C.BF＝DF＝CD D.FD∥BC 3.如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是 （ ） A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN 4.如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（　　） A.AB=CD B.EC=BF C.∠A=∠D D.AB=BC 5.如图，惠子同学为了测量内槽的宽，她将两根钢条、的中点连在一起， 使、可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工件，她认为此时， 测量的长即可得到内槽宽；那么判定的理由是（   ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 6．如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAE＝60°，则∠BAC的度数为（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 7．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（　　） A．55° B．50° C．45° D．60° 8．如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则下列结论错误的是（　　） A．∠A＝∠D B．∠B＝∠E C．AB＝DE D．CD＝CE 9．如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　） A．AB=DC B．OB=OC C．∠C=∠D D．∠AOB=∠DOC 10.如图，△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=40°，则∠DEF的度数是（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 二．填空题（共30分） 11．如图所示，，．可利用 来判定． 12．如图，已知，若要用“”证明，还需加上的一个条件可以是 ． 13．如图，已知，，，则 ，理由是． 14. 在△ABC和△中，∠A＝44°，∠B＝67°，∠＝69°，∠＝44°，且A＝ ，则这两个三角形_______全等.（填“一定”或“不一定”） 15.如图，A，D，F，B在同一直线上，AE=BC，且AE∥BC．添加一个条件　 　，使△AEF≌△BCD． 16．如图AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE.有下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD的面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE.其中正确的有________．(把正确结论的序号都填上) 17．如图所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，则∠DOC＝___． 18.如图，在与中，与相交于点M，，在不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母的情况下，要证明．需添加的一个条件是______．（答案不唯一） 19.如图是由4个全等的小正方形组成的网格，点、、、、都在格点上，则与的数量关系为__________． 20．如图，△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=40°，则∠DEF的度数是______. 三．解答题（共60分） 21.如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC的顶点均在格点上，点D是图③的一个格点.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法. (1)在图①中画△ECB,使△ECB≌△ABC; (2)在图②中画△FAC,使△FAC≌△BCA; (3)在图③中画△DGH,使△DGH≌△CBA. 22.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB = DE，AB∥DE，BE = CF． （1）求证：AC = DF； （2）若∠D = 65°，求∠EGC的大小． 23.如图,已知五边形ABCDE的各边都相等,各内角也都相等,点F,G分别在边BC,CD上,且FC=GD. (1)求证:△CDF≌△DEG. (2)求∠EHF的大小. 24.(1)如图1,CE与AB交于点E,AC=BC,∠1=∠2.求证:△ACE≌△BCE. (2)如图2,CD的延长线与AB交于点E,AD=BC,∠3=∠4,在CE上取CF=DE,连接BF.探究∠BEF与∠EFB的数量关系,并说明理由. 25. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AO平分∠BAC，交CD于点O，E为AB上一点，且AE=AC． （1）求证：△AOC≌△AOE；（2）求证：OE∥BC． 26.如图（1），AB = 7 cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC = 5 cm．点P在线段AB上以 2 cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t(s) （当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t = 1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB =∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． 27.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AC=AB=8,BC=6,D为AB的中点,点P在线段BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动.同时点Q在线段CA上以每秒a(a＞0)个单位的速度由点C向点A运动.设运动时间为ts(0≤t≤3). (1)线段PC=______________(用含t的代数式表示); (2)当点P,Q的运动速度相等,t=1时,△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； (3)若△BDP≌△CQP,求a的值. B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是( ) A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.①②③都带去 2. 如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（　　） A. ∠A=∠C B. ∠D=∠B C. AD∥BC D. DF∥BE 3. 如图，已知AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，则图中有多少对三角形全等（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．如图，已知∠1＝∠2，用“SAS”证△ABC≌△ABD，还需（　　） A．BC＝BD B．AC＝AD C．∠C＝∠D D．∠ABC＝∠ABD 5．如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　　） A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE 6.如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C， 连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定△ABC和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 7.据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”． 后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞． 在如图所示的“风筝”图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 8．如图，E是延长线上一点，已知，则图中全等三角形有（　 　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 9.如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则∠α+∠β=( ) A.60° B.75° C.90° D.100° 10已知：如图，△ABC，△ADE是等腰直角三角形，C，D，E三点在同一条直线上， 连接，以下四个结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共30分） 11．如图，，，能直接判定的方法是“ ”． 12. 已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝________. 13. 如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对. 14.如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则全等的三角形是___________________. 15．如图在与中，与相交于点M，，在不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母的情况下，要证明．需添加的一个条件是_____． 16．如图，在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，BC＝EF，根据（SAS）判定△ABC≌△DEF，还需的条件是　 　． 17．如图，在△ABC中AB＝6，BC＝7，AC＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为__________. 18.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且CD＝BE，BD＝CF．若∠EDF＝42°，则∠BAC的度数是 　　． 19、如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为______时，△ABP与△PCQ全等． 20、如图，在△ABC中，，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为____秒时，△PMC与△QNC全等． 三．解答题（共60分） 21．如图，在五边形ABCDE中，AB＝DE，AC＝AD. (1)请添加一个条件，可利用“SAS”判定△ABC≌△DEA，并说明理由； (2)在(1)的条件下，若∠CAD＝66°，∠B＝110°，则∠BAE的度数为_______． 22．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E，F分别在AB，BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF. (1)求证：∠D＝∠2； (2)若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数． 23．已知在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°. (1)如图①，当点D在AC上时，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出结论； (2)将图①中的△ADE的位置改变一下，如图②，其他条件不变，则线段BD，CE又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 24. 如图，两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形， 图中，B，C，E在同一条直线上，连结． （1）求证：． （2）指出线段和线段的关系，并说明理由． 25. 已知△ABC中，AC＝BC；△DEC中，DC＝EC；∠ACB＝∠DCE＝α， 点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE． （1）如图1，当α＝60°时， ① 求证：AD＝BE； ② 请求出∠AEB的度数； （2）如图2，当α＝90°时，请直接写出： ① ∠AEB的度数为 　 　； ② 若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，线段AF的长为　　 ． 26．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 27.为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试:如图①,在△ABC中,AD是BC边上的中线,延长AD到M,使DM=AD,连接BM. 【探究发现】 (1)如图①,AC与BM的数量关系是__________,位置关系是________________； 【初步应用】 (2)如图②,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围； 【探究提升】 (3)如图③,AD是△ABC的中线,过点A分别向外作AE⊥AB,AF⊥AC,使得AE=AB,AF=AC,延长DA交EF于点P,判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，并说明理由. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $