1.3全等三角形的判定(6)直角三角形全等的判定课时作业 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 该同步练习聚焦“HL”判定定理，通过基础辨析、综合应用到拓展探究的三层设计，实现从单一知识点到多情境推理的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-3题）|HL判定直接应用|选择形式考查添加条件、判定依据，如第1题补全HL条件| |综合层（4-9题）|HL与其他判定结合|填空、证明题融合垂直、中线等条件，如第7题用HL证全等| |拓展层（10-12题）|跨情境综合应用|作图与证明结合（第10题）、中线与HL综合（第11题），培养模型意识|

1.3探索三角形全等的条件(6)---“HL”（课时作业） 1．（2026春•阜新期中）如图，点E，F在线段AC上，AE＝CF，AD⊥DF于点D，CB⊥BE于点B，要根据“HL”证明Rt△ADF≌Rt△CBE，则还需添加的一个条件是（　　） A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BE∥DF D．AD∥BC 2．（2025春•临川区校级月考）如图，AC＝BC，且∠D＝∠E＝90°，能保证Rt△ADC≌Rt△CEB成立的条件有（　　） ①∠ACB＝90°；②AD＝CE；③AC＝2AD；④CD＝BE． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第2题 第1题 3．（2025秋•黄浦区校级期中）综合实践课上，老师发给每人一张印有Rt△ABC的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与Rt△ABC全等的三角形．小张同学先画出了∠MB′N＝90°后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．HL 第3题 第4题 4．（2024秋•路桥区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB，垂足为点D，若AE＝BC，AD＝2BD，则△ABC和△AEC的面积之比为 　 　 ． 5．（2025秋•海淀区校级期中）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对△ABC及△A′B′C′对应的边或角添加等量条件（点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点）．某轮添加条件后，若能判定△ABC与△A′B′C′全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．如表记录了两人游戏的部分过程： 轮次 行动者 添加条件 1 甲 AB＝A′B′＝2cm 2 乙 BC＝B′C′＝4cm 3 甲 … 下列说法中所有正确的结论序号是 　 　 ． ①若第3轮甲添加AC＝A′C′＝5cm，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件∠C＝∠C′＝30°； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为∠A＝∠A′＝90°． 6．（2025秋•南岗区校级期中）如图，D为△BAC外角平分线上一点并且满足BD＝CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于点F，则下列结论中正确的是　 　　 ． ①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE； ③∠BDC＝∠BAC；④∠ABD＝∠BDE． 7． （2025秋•普陀区校级月考）如图，AB⊥AF，CD⊥DE，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF． 求证：Rt△ABF≌Rt△DCE． 8． （2026春•洋县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝∠BCA，点M为△ABC内部一点，连接AM、BM，且AM⊥BM，过点C作CN⊥BM交BM的延长线于点N，AM＝BN， 求证：MN＝AM﹣CN． 9．（2025秋•蛟河市期末）如图，AD，BC相交于点O，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN∥AM，与BC交于点N，BN＝CM．求证：∠B＝∠C． 10．（2024秋•合川区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°． （1）尺规作图：作AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，连接AD．（保留作图痕迹，不写作法，不用下结论）； （2）在（1）的条件下，若AD平分∠CAB．求证：AC＝2AB． 证明：∵DE为AC的垂直平分线 ∴DE⊥AC ∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC， ∵AD平分∠CAB ∴①　 　 在Rt△ABD与Rt△AED中 ∴Rt△ABD≌Rt△AED（② ） ∴③　 　 ∵DE为AC的垂直平分线 ∴AE＝④　 　 ∴AC＝2AB． 11．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AD与A′D′分别为BC，B′C′边上的中线，且AD＝A′D′，求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′． 12．（2025秋•两江新区期末）如图，AD是△ABC的中线，CF⊥AD，垂足为F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E．G是DA延长线上一点，连接CG． （1）求证：BE＝CF； （2）若CG＝AB，求证：AG＝2DE． 1.3探索三角形全等的条件(6)---“HL”（课时作业） 参考答案与试题解析 1．（2026春•阜新期中）如图，点E，F在线段AC上，AE＝CF，AD⊥DF于点D，CB⊥BE于点B，要根据“HL”证明Rt△ADF≌Rt△CBE，则还需添加的一个条件是（　A　） A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BE∥DF D．AD∥BC 2．（2025春•临川区校级月考）如图，AC＝BC，且∠D＝∠E＝90°，能保证Rt△ADC≌Rt△CEB成立的条件有（　C　） ①∠ACB＝90°；②AD＝CE；③AC＝2AD；④CD＝BE． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第2题 第1题 3．（2025秋•黄浦区校级期中）综合实践课上，老师发给每人一张印有Rt△ABC的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与Rt△ABC全等的三角形．小张同学先画出了∠MB′N＝90°后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是（　D　） A．SAS B．AAS C．SSS D．HL 第4题 第3题 4．（2024秋•路桥区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB，垂足为点D，若AE＝BC，AD＝2BD，则△ABC和△AEC的面积之比为 　3 　 ． 5．（2025秋•海淀区校级期中）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对△ABC及△A′B′C′对应的边或角添加等量条件（点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点）．某轮添加条件后，若能判定△ABC与△A′B′C′全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．如表记录了两人游戏的部分过程： 轮次 行动者 添加条件 1 甲 AB＝A′B′＝2cm 2 乙 BC＝B′C′＝4cm 3 甲 … 下列说法中所有正确的结论序号是 　①③　 ． ①若第3轮甲添加AC＝A′C′＝5cm，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件∠C＝∠C′＝30°； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为∠A＝∠A′＝90°． 6．（2025秋•南岗区校级期中）如图，D为△BAC外角平分线上一点并且满足BD＝CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于点F，则下列结论中正确的是　①②③　　 ． ①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE； ③∠BDC＝∠BAC；④∠ABD＝∠BDE． 7．（2025秋•普陀区校级月考）如图，AB⊥AF，CD⊥DE，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE． 证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， ∵BF＝BE+EF，CE＝CF+EF， ∴BF＝CE， ∵AB⊥AF，CD⊥DE， ∴∠A＝∠D＝90°（垂直的定义）， ∴△ABF与△DCE都为直角三角形， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）． 8．（2026春•洋县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝∠BCA，点M为△ABC内部一点，连接AM、BM，且AM⊥BM，过点C作CN⊥BM交BM的延长线于点N，AM＝BN，求证：MN＝AM﹣CN． 证明：∵在△ABC中，∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC， ∵点M为△ABC内部一点，AM⊥BM，CN⊥BM交BM的延长线于点N， ∴∠AMB＝∠N＝90°， 在Rt△ABM和Rt△BCN中， ， ∴Rt△ABM≌Rt△BCN（HL）， ∴BM＝CN， ∵MN＝BN﹣BM，且BN﹣BM＝AM﹣CN， ∴MN＝AM﹣CN． 9．（2025秋•蛟河市期末）如图，AD，BC相交于点O，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN∥AM，与BC交于点N，BN＝CM．求证：∠B＝∠C． 证明：∵AM⊥BC于点M，DN∥AM， ∴∠AMB＝∠DNC＝90°， ∵BN＝CM， ∴BN+MN＝CM+MN， ∴BM＝CN， 在Rt△ABM和Rt△DCN中， ， ∴Rt△ABM≌Rt△DCN（HL）， ∴∠B＝∠C． 10．（2024秋•合川区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°． （1）尺规作图：作AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，连接AD．（保留作图痕迹，不写作法，不用下结论）； （2）在（1）的条件下，若AD平分∠CAB．求证：AC＝2AB． 证明：∵DE为AC的垂直平分线 ∴DE⊥AC ∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC， ∵AD平分∠CAB ∴①　DE＝DB 　 在Rt△ABD与Rt△AED中 ∴Rt△ABD≌Rt△AED（②　HL　 ） ∴③　AB＝AE　 ∵DE为AC的垂直平分线 ∴AE＝④　EC 　 ∴AC＝2AB． 11．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AD与A′D′分别为BC，B′C′边上的中线，且AD＝A′D′，求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′． 证明：在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′（HL）， ∴CD＝C′D′， ∵AD与A′D′分别为BC，B'C'边上的中线， ∴CB＝C′B′＝2CD， 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（SAS）； 12．（2025秋•两江新区期末）如图，AD是△ABC的中线，CF⊥AD，垂足为F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E．G是DA延长线上一点，连接CG． （1）求证：BE＝CF； （2）若CG＝AB，求证：AG＝2DE． 证明：（1）∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵CF⊥AD，BE⊥AD， ∴∠E＝∠CFD＝90°， 又∵∠BDE＝∠CDF， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝CF； （2）∵CF⊥AD，BE⊥AD， ∴∠E＝∠GFC＝90°， 在Rt△ABE和Rt△GCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△GCF（HL）， ∴AE＝GF， ∴AE﹣AF＝GF﹣AF， ∴EF＝AG， ∵△BDE≌△CDF， ∴DE＝DF， ∴EF＝DE+DF＝2DE＝AG． ∴AG＝2DE 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $