2026—2027学年北师大版八年级上学期期中数学调研自测试题

**基本信息** 本试卷覆盖勾股定理、一次函数、坐标系等八年级上册核心知识，A卷夯实基础（如选择1-8题），B卷提升能力（如22题蚂蚁最短路径），通过文创雪糕利润（16题）等情境化设计，培养模型意识与空间观念，适配期中检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|勾股定理（1题）、坐标系（3题）|基础概念辨析，如3题考查坐标轴上点的特征| |填空题|10题40分|一次函数（11题）、无理数比较（9题）|13题结合数轴与矩形，渗透几何直观| |解答题|8题78分|方程应用（16题）、几何综合（24题）|16题以文创雪糕为背景，体现应用意识；24题通过等腰直角三角形旋转，考查推理能力|

2026—2027学年北师大版八年级上学期数学期中调研自测试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（　　） A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝4，b＝5，c＝6 2．下列说法中正确的是（　　） A．0.25的平方根是0.5 B．没有立方根 C．0的平方根和立方根都是0 D．3 3．在平面直角坐标系中，点（0，﹣2）在（　　） A．x轴上 B．y轴上 C．第三象限 D．第四象限 4．若一次函数y＝2x+b的图象经过点（2，3），则b的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．7 5．如图，在△ABC中，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点D，已知AC＝13，BC＝11，AD＝12，则AB的长度为（　　） A．15 B．16 C．18 D．20 6．已知实数a，b满足|b﹣2|＝0，那么点P（a，b）的坐标为（　　） A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，2） D．（3，﹣2） 7．小红同学误将点A的横纵坐标次序颠倒，写成A（a，b），另一学生误将点B的坐标写成关于y轴对称点的坐标，写成B（﹣b，﹣a）；则A，B两点原来的位置关系是（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．A和B重合 D．以上都不对 8．如图，一直线与两坐标轴分别交于A（5，0）、B（0，5）两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长是（　　） A．5 B．7.5 C．10 D．25 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．比较大小： 　　 5（填“＞”“＜”或“＝”）． 10．已知点P（2m+4，m﹣1）在第一象限，到x轴的距离为2，则m＝　　 ． 11．若直线y＝kx+b与x轴的交点坐标为（﹣3，0），则关于x的方程kx+b＝0的解是_________． 12．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝12，CD＝13，且∠B＝90°，则图中的凹四边形DABC的面积为 　　 ． 13．如图，长方形ABCD中，AB在数轴上，AB＝3，BC＝1，若以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M的表示的数为___________-． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．计算：（1）； （2）． 15．如图，在离水面高8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问此时船与岸边的距离比原来近了多少米？（假设绳子是直的） 16．最近，很多景区推出了颜值和文化气息兼具的“文创雪糕”，已知某商店用7070元购进了350支将军俑雪糕和280支骑士俑雪糕，每支将军俑雪糕比骑士俑雪糕进价多4元． （1）求将军俑雪糕和骑士俑雪糕的进货单价； （2）若商店按原进价再次购进这两种雪糕共160支，每支将军俑雪糕、骑士俑雪糕的售价分别是16元，15元，设第二次购进将军俑雪糕x支，这两批雪糕所获总利润为w． ①请求出w关于x的函数关系式； ②若这两批雪糕全部售完且最终获利3528元，则第二次购进骑士俑雪糕的数量是多少？ 17．已知点P（2a﹣3，a+6），解答下列各题． （1）点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）点Q的坐标为（3，3），直线PQ∥y轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2027+2026的值． 18．如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E． （1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°； （2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．已知点A（﹣3，2m﹣2）在x轴上，点B（n+1，4）在y轴上，则点C（m，n）在第 　　 象限． 20．若a、b是实数，且，则|a|的值是 　　 ，a+b的值是 　　 ． 21．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使点B的对应点落在对角线AC上的点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为___________. 22．如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 　　 cm． 23．如图，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于点A，B，已知点P（﹣1，0），点M，N分别是直线AB，y轴上的动点，则MN+NP的最小值为 　　 ． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°． （1）连接BQ，求证：△APC≌△BQC； （2）问线段PA、PB、PC三者之间的数量关系？并证明结论． 25．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OC，OA分别与x轴，y轴重合，已知点A（0，a），C（b，0），且a，b满足关系式|8﹣a|+（b+6）2＝0，若动点P从点A出发，沿着A﹣B﹣C的方向以每秒2个单位长度的速度运动到点C，设点P的运动时间为t． （1）点B的坐标为 　　 ； （2）用含t的代数式表示线段BP的长； （3）若点D的坐标为（0，2），则在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得S△BPDS长方形ABCO，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax经过点A（﹣2，4），且与x轴交于点B，直线y2＝bx与直线AB交于点C，已知点C的横坐标为1，点D是y轴上一点，且满足S△CODS△BOC． （1）求直线AB和直线OC的表达式； （2）求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，已知M为直线AB上一点，过点M作y轴的平行线交y2＝bx于点N，当MN＝OD时，求点M的坐标． 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（　　） A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝4，b＝5，c＝6 【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故选项错误； B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故选项错误； C、32+42＝52，能构成直角三角形，故选项正确； D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故选项错误． 故选：C． 2．下列说法中正确的是（　　） A．0.25的平方根是0.5 B．没有立方根 C．0的平方根和立方根都是0 D．3 【解答】解：A.0.25的平方根是±0.5，故选项错误； B．有立方根，故选项错误； C．0的平方根和立方根都是0，故选项正确； D.3，选项错误． 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，点（0，﹣2）在（　　） A．x轴上 B．y轴上 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：在平面直角坐标系中，点（0，﹣2）在y轴上． 故选：B． 4．若一次函数y＝2x+b的图象经过点（2，3），则b的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．7 【解答】解：∵一次函数y＝2x+b的图象经过点（2，3）， ∴3＝4+b，解得b＝﹣1． 故选：A． 5．如图，在△ABC中，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点D，已知AC＝13，BC＝11，AD＝12，则AB的长度为（　　） A．15 B．16 C．18 D．20 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠D＝90°， 在Rt△ACD中，AC＝13，AD＝12， ∴CD， ∵BC＝11， ∴BD＝BC+CD＝11+5＝16， 在Rt△ABD中，AB， 故选：D． 6．已知实数a，b满足|b﹣2|＝0，那么点P（a，b）的坐标为（　　） A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，2） D．（3，﹣2） 【解答】解：∵|b﹣2|＝0， ∴3+a＝0，b﹣2＝0， 解得：a＝﹣3，b＝2， ∴点P（a，b）的坐标为（﹣3，2）， 故选：A． 7．小红同学误将点A的横纵坐标次序颠倒，写成A（a，b），另一学生误将点B的坐标写成关于y轴对称点的坐标，写成B（﹣b，﹣a）；则A，B两点原来的位置关系是（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．A和B重合 D．以上都不对 【解答】解：∵小红同学误将点A的横纵坐标次序颠倒，写成A（a，b）， ∴A点的正确坐标为（b，a）， ∵另一学生误将点B的坐标写成关于y轴对称点的坐标，写成B（﹣b，﹣a）， ∴B点的正确坐标为（b，﹣a）， ∴A，B两点原来的位置关系是关于x轴对称， 故选：A． 8．如图，一直线与两坐标轴分别交于A（5，0）、B（0，5）两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长是（　　） A．5 B．7.5 C．10 D．25 【解答】解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b， 把点A（5，0）和点B（0，5）代入得： ， 解得：， 即直线AB的解析式为：y＝﹣x+5， 设点P的横坐标为m（0＜m＜5）， 则点P的纵坐标为﹣m+5， 则长方形的长和宽分别为：m，﹣m+5， 长方形的周长为：2（m﹣m+5）＝10， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．比较大小： 　＜　 5（填“＞”“＜”或“＝”）． 【解答】解：∵，20＜25， ∴． 故答案为：＜． 10．已知点P（2m+4，m﹣1）在第一象限，到x轴的距离为2，则m＝　3　 ． 【解答】解：∵点P（2m+4，m﹣1）在第一象限，且到x轴的距离是2， ∴m﹣1＝2， 解得：m＝3， 故答案为：3． 11．若直线y＝kx+b与x轴的交点坐标为（﹣3，0），则关于x的方程kx+b＝0的解是x＝﹣3　 ． 【解答】解：∵直线y＝kx+b与x轴的交点坐标为（﹣3，0）， ∴关于x的方程kx+b＝0的解是：x＝﹣3． 故答案为：x＝﹣3． 12．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝12，CD＝13，且∠B＝90°，则图中的凹四边形DABC的面积为 　24　 ． 【解答】解：连接AC，如图所示： ∵∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，且AB＝3，BC＝4， ∴根据勾股定理得：AC5， 又∵AC2+AD2＝52+122＝25+144＝169，CD2＝132＝169， ∴AC2+AD2＝CD2， ∴∠CAD＝90°，即△ACD为直角三角形， 则图中的凹四边形DABC的面积S＝S△ACD﹣S△ABCAC•ADAB•BC＝30﹣6＝24． 故答案为：24． 13．如图，长方形ABCD中，AB在数轴上，AB＝3，BC＝1，若以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M的表示的数为 　1　 ． 【解答】解：∵AB＝3，BC＝1， ∴AC， ∵点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M， AM＝AC， ∵A点表示﹣1， ∴M点表示的数为：1， 故答案为：1． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．计算：（1）； （2）． 【解答】（1）解：＝32＝2； （2）解：原式＝9﹣5﹣（3﹣21）＝4﹣4+2＝2． 15．如图，在离水面高8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问此时船与岸边的距离比原来近了多少米？（假设绳子是直的） 【解答】解：在 Rt△ABC中， ∵∠CAB＝90°，BC＝17m，AC＝8m， ∴． 依题意得CD＝17﹣1×7＝10m． 在 Rt△CAD中，， DB＝15﹣6＝9m． 答：船离岸边距离比原来近了9m． 16．最近，很多景区推出了颜值和文化气息兼具的“文创雪糕”，已知某商店用7070元购进了350支将军俑雪糕和280支骑士俑雪糕，每支将军俑雪糕比骑士俑雪糕进价多4元． （1）求将军俑雪糕和骑士俑雪糕的进货单价； （2）若商店按原进价再次购进这两种雪糕共160支，每支将军俑雪糕、骑士俑雪糕的售价分别是16元，15元，设第二次购进将军俑雪糕x支，这两批雪糕所获总利润为w． ①请求出w关于x的函数关系式； ②若这两批雪糕全部售完且最终获利3528元，则第二次购进骑士俑雪糕的数量是多少？ 【解答】解：（1）设骑士俑雪糕进价为x元/支，则将军俑雪糕进价为（x+4）元/支， 依题意得：350（x+4）+280x＝7070， 解得x＝9， 此时x+4＝9+4＝13， 答：骑士俑雪糕进货单价为9元，将军俑雪糕进货单价为13元； （2）①根据题意，可得w＝（16﹣13）（350+x）+（15﹣9）（160﹣x+280）＝3690﹣3x， ∴w关于x的函数关系式为w＝﹣3x+3690； ②将w＝3528代入w＝3690﹣3x， 解得x＝54， 160﹣54＝106（支）， 答：第二次购进骑士俑雪糕106支． 17．已知点P（2a﹣3，a+6），解答下列各题． （1）点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）点Q的坐标为（3，3），直线PQ∥y轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2027+2026的值． 【解答】解：（1）∵点P（2a﹣3，a+6）在x轴上， ∴a+6＝0， 解得：a＝﹣6， ∴2a﹣3＝2×（﹣6）﹣3＝﹣15， ∴点P的坐标（﹣15，0）； （2）∵点Q的坐标为（3，3），直线PQ∥y轴， ∴2a﹣3＝3， 解得：a＝3， ∴a+6＝3+6＝9， ∴点P的坐标为（3，9）； （3）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴3﹣2a＝a+6， 解得：a＝﹣1， ∴a2025+2026＝（﹣1）2027+2026＝﹣1+2026＝2025． 18．如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E． （1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°； （2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，CD＝4，CE＝3， ∴AC＝6，BC＝8， ∵AB＝10， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠C＝90°； （2）解：∵∠C＝90°，AD＝6，BE＝8， ∴AC2+CD2＝AD2，BC2+CE2＝BE2， ∵AD、BE分别为边BC、AC的中线， ∴CDBC，CEAC， ∴AC2+（BC）2＝36，BC2+（AC）2＝64， ∴AC2BC2＝100， ∴AC2+BC2＝80， ∴AB4． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．已知点A（﹣3，2m﹣2）在x轴上，点B（n+1，4）在y轴上，则点C（m，n）在第 　四　 象限． 【解答】解：∵A（﹣3，2m﹣2）在x轴上， ∴2m﹣2＝0，即m＝1； ∵点B（n+1，4）在y轴上， ∴n+1＝0，即n＝﹣1； ∴点C（m，n）的坐标为（1，﹣1），即在第四象限． 故答案为：四． 20．若a、b是实数，且，则|a|的值是 　4　 ，a+b的值是 　﹣3或5　 ． 【解答】解：由题意可知：b﹣1≥0，2﹣2b≥0， 故b＝1， ∴|a|＝0+0+4＝4， ∴a＝±4， 当a＝4时， a+b＝4+1＝5， 当a＝﹣4时， a+b＝﹣4+1＝﹣3． 所以a+b＝﹣3或5， 故答案为：4，﹣3或5． 21．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使点B的对应点落在对角线AC上的点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为______6_____. 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝8， ∴BC＝8， ∵△AEF是△AEB翻折而成， ∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形， ∴CE＝8﹣3＝5， 在Rt△CEF中，CF4， 设AB＝x， 在Rt△ABC中， AC2＝AB2+BC2， 即（x+4）2＝x2+82， 解得x＝6． 故答案为：6． 22．如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 　15　 cm． 【解答】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′C，则A′C即为最短距离， ∵底面周长为18cm， ∴A'D＝9cm， ∴A′C2＝A′D2+CD2， ＝92+122， ＝225， ∴CA′＝15cm， 答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的是15cm； 故答案为15． 23．如图，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于点A，B，已知点P（﹣1，0），点M，N分别是直线AB，y轴上的动点，则MN+NP的最小值为 　2　 ． 【解答】解：作点P（﹣1，0）关于y轴对称的点Q，则的坐标为（1，0），过点Q作QM⊥AB于M，交y轴于点N， ∴NP＝NQ， 此时MN+NP＝MN+NQ＝MQ的值最小， ∵直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴A（﹣3，0），B（0，3）， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， ∴△AMQ是等腰直角三角形， ∴MQAQ（3+1）＝2， ∴MN+NP的最小值为2． 故答案为：2． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°． （1）连接BQ，求证：△APC≌△BQC； （2）问线段PA、PB、PC三者之间的数量关系？并证明结论． 【解答】（1）证明：∵△PCQ是等腰直角三角形，∠PCQ＝90°， ∴PC＝QC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACP＝∠BCQ＝90°﹣∠PCB， 在△APC和△BQC中， ， ∴△APC≌△BQC（SAS）． （2）解：PA2+PB2＝2PC2， 证明：∵PC＝QC，∠PCQ＝90°， ∴PQ2＝PC2+QC2＝2PC2， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC＝45°， ∵△APC≌△BQC， ∴∠A＝∠CBQ＝45°，AP＝BQ， ∴∠PBQ＝∠ABC+∠CBQ＝90°， ∴AP2+BP2＝BQ2+BP2＝PQ2， ∴PA2+PB2＝2PC2． 25．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OC，OA分别与x轴，y轴重合，已知点A（0，a），C（b，0），且a，b满足关系式|8﹣a|+（b+6）2＝0，若动点P从点A出发，沿着A﹣B﹣C的方向以每秒2个单位长度的速度运动到点C，设点P的运动时间为t． （1）点B的坐标为 　（﹣6，8）　 ； （2）用含t的代数式表示线段BP的长； （3）若点D的坐标为（0，2），则在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得S△BPDS长方形ABCO，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵|8﹣a|+（b+6）2＝0， 又∵|8﹣a|≥0，（b+6）2≥0， ∴a＝8，b＝﹣6， ∴A（0，8），C（﹣6，0）， ∵四边形ABCO是长方形， ∴B（﹣6，8）； 故答案为：（﹣6，8）； （2）当0≤t＜3时，PB＝6﹣2t，当3≤t≤7时，PB＝2t﹣6； （3）如图，当点P在线段AB上时，（6﹣2t）×66×8， ∴t＝1． 当点P在线段BC上时，（2t﹣6）×66×8， ∴t＝5． 综上所述，满足条件的t的值为1或5． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax经过点A（﹣2，4），且与x轴交于点B，直线y2＝bx与直线AB交于点C，已知点C的横坐标为1，点D是y轴上一点，且满足S△CODS△BOC． （1）求直线AB和直线OC的表达式； （2）求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，已知M为直线AB上一点，过点M作y轴的平行线交y2＝bx于点N，当MN＝OD时，求点M的坐标． 【解答】解：（1）把A（﹣2，4）代入y1＝ax得： 4＝﹣2a， 解得a， ∴直线AB的表达式为y1x， 在y1x中，令x＝1得y＝2， ∴C（1，2）， 把C（1，2）代入y2＝bx得： 2＝b， ∴直线OC的表达式为y2＝2x； （2）在y1x中，令y＝0得x＝4， ∴B（4，0），OB＝4， ∴S△BOC4×2＝4， ∵S△CODS△BOC， ∴S△COD＝2， ∴OD×1＝2， ∴OD＝4， ∴点D的坐标是（0，4）或（0，﹣4）； （3）如图： 设M（m，m），则N（m，2m）， ∵MN＝OD， ∴|（m）﹣2m|＝4， 解得m或m， ∴点M的坐标为（，3）或（，1）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $