斜率定值问题、三角形面积定值问题、三角形面积范围问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

斜率定值问题、三角形面积定值问题、三角形面积范围问题专项训练 斜率定值问题、三角形面积定值问题、三角形面积范围问题专项训练 考点目录 斜率定值问题 三角形面积定值问题 三角形面积范围问题 考点一 斜率定值问题 例1．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆，其离心率为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A和B，求直线HA，HB的斜率之和； (3)过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值． 例2．（25-26高二上·山西运城·阶段练习）已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 例4．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知是双曲线的左、右顶点，，点在上． (1)求的方程； (2)是左支上一点（异于点），设直线交直线于点，连接，直线与的另一个交点为，设直线的斜率分别为． （i）证明：为定值； （ii）直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标，若不过，请说明理由． 变式1．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹为曲线. (1)当时，求点的坐标； (2)求曲线的方程，并说明它是什么曲线；如果将双曲线推广到双曲线，你能得到什么相应的结论?（只需写出推广的结论，不需要证明）. (3)设点，若过点的直线与曲线的右支交于、两点，证明：直线和直线的斜率乘积为定值． 变式2．（2025·四川成都·模拟预测）在直角坐标系中，设为抛物线：（）的焦点，为抛物线上位于第一象限内的点.当时，有. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线的另一个交点为，点，在直线上的射影分别为点，，过点且与垂直的直线与直线相交于点，证明：是线段的中点； (3)设过定点的直线与抛物线交于，两点.若，且，两点的横坐标均与点的横坐标不相等，试判断直线，的斜率之积是否为定值.如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请求出其取值范围. 变式3．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 变式4．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知点为圆与轴负半轴的交点，为圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，反向延长至点，使得 (1)令点的轨迹为曲线，求曲线的方程： (2)连接交圆于点另外点，若求直线的方程； (3)已知点直线交曲线于另外一点，记直线的斜率为，直线的斜率为求的值. 考点二 三角形面积定值问题 例1．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知椭圆C：（）的长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过右焦点F且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△OAB的面积. 例2．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，且经过点，右焦点到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过且与双曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的面积. 例3．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知椭圆的离心率为，长轴的长为8． (1)求椭圆的方程； (2)，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且在轴上方，若直线的倾斜角为，，求的面积． 例4．（25-26高二上·辽宁朝阳·月考）在平面直角坐标系中，直线与曲线有且仅有一个公共点. (1)求的方程； (2)过的直线与另交于点，若，求的面积. 变式1．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆E的方程； (2)若A，B是椭圆E上两点，且线段AB的中点坐标为， ①求直线AB的方程． ②求的面积． 变式2．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线与交于M，N两点，且点为线段MN的中点，求的面积． (3)若直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点，满足，试探究与的关系. 变式3．（2025·贵州六盘水·模拟预测）设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于，两点，已知点，当直线垂直于轴时，. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线过点，求的面积； (3)若直线平分，求直线的斜率. 考点三 三角形面积范围问题 例1．（25-26高二上·宁夏银川·月考）已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，过点的直线与椭圆交于不同两点A，B，证明：； (3)过点斜率为的直线，与椭圆相交于不同两点E，F，设点关于原点的对称点为，求面积的最大值. 例2．（25-26高二上·浙江丽水·期中）已知双曲线的渐近线方程是，且过点. (1)求的标准方程； (2)，分别为双曲线的左、右顶点，，分别为的左、右焦点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知. （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求面积的取值范围. 例3．（25-26高二上·上海松江·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：，过右焦点F作两条相互垂直的弦，设中点分别为． (1)写出椭圆右焦点F的坐标及该椭圆的离心率； (2)证明：直线MN必过定点，并求出定点坐标； (3)若弦的斜率均存在，求面积的最大值． 变式1．（2025·江苏·模拟预测）已知椭圆C的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，右焦点F为，且经过． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过F作不与坐标轴平行的直线交曲线C于A，B两点，过点A，B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D，E，直线与直线相交于P点． ①求证：点P的横坐标为定值； ②求面积的最大值． 变式2．（2025·浙江台州·模拟预测）已知双曲线的离心率为，且过点，渐近线分别为，，其中经过第一、三象限. (1)求双曲线的渐近线的方程； (2)设动点在第一象限内，且不在直线上，过点分别作的平行线，交轴于，两点，且，为坐标原点. ①求动点的轨迹方程； ②求面积的最小值. 变式3．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知动点与两个顶点，的距离之比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程； (2)已知，过直线上的动点（）分别作圆的两条切线，（，为切点），与交于点. （i）证明直线的方程为，并判断直线是否过定点； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标和面积最大值；若不存在，请说明理由. 变式4．（2025·云南大理·模拟预测）已知椭圆（）的左右焦点分别为，，离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点C，D和E，F.若M，N分别是线段CD和EF的中点. （ⅰ）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由. （ⅱ）求面积的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $斜率定值问题、三角形面积定值问题、三角形面积范围问题专项训练 斜率定值问题、三角形面积定值问题、三角形面积范围问题专项训练 考点目录 斜率定值问题 三角形面积定值问题 三角形面积范围问题 考点一 斜率定值问题 例1．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆，其离心率为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A和B，求直线HA，HB的斜率之和； (3)过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，则， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由（1）得，直线的斜率， 所以直线的斜率之和为. （3）由直线过点，且交椭圆于两点，得直线的斜率存在， 当直线的斜率为0时，其方程为，不妨令点，由（2）知； 当直线的斜率不为0时，设其方程为，， 由消去并整理得， ，解得或，， 因此 ， 所以为定值. 例2．（25-26高二上·山西运城·阶段练习）已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立方程，消去x可得， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. 例3．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知是双曲线的左、右顶点，，点在上． (1)求的方程； (2)是左支上一点（异于点），设直线交直线于点，连接，直线与的另一个交点为，设直线的斜率分别为． （i）证明：为定值； （ii）直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标，若不过，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）因为，所以，则双曲线， 又因为点在C上，所以，解得， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）由题意可知：，， 设，，， 则，，即， 且，， 可得， 又因为，则， 所以，为定值； （ii）设直线的方程为，， 联立方程，消去x得， 则， 由（ⅰ）可知，， 即， 即， 整理可得，解得， 所以直线：过定点． 变式1．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹为曲线. (1)当时，求点的坐标； (2)求曲线的方程，并说明它是什么曲线；如果将双曲线推广到双曲线，你能得到什么相应的结论?（只需写出推广的结论，不需要证明）. (3)设点，若过点的直线与曲线的右支交于、两点，证明：直线和直线的斜率乘积为定值． 【答案】(1)或 (2)； (3)证明见解析 【详解】（1）根据题意， 则，， ，， 解得， 当时，，， 解得，此时， 当时，，， 解得，此时， 当时，点的坐标为或； （2），， ，，即， 故，即，其中， 故过点且与直线垂直的直线为， 可得，， ，， 故点的轨迹方程为， 其轨迹为：双曲线（去掉两个顶点）， 如果推广到一般的等轴双曲线，点的轨迹方程为. （3）证明：由题可知直线的斜率不为零，设，， ，， ，，， ， ，解得， ， ， 所以直线和直线的斜率乘积为定值．    变式2．（2025·四川成都·模拟预测）在直角坐标系中，设为抛物线：（）的焦点，为抛物线上位于第一象限内的点.当时，有. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线的另一个交点为，点，在直线上的射影分别为点，，过点且与垂直的直线与直线相交于点，证明：是线段的中点； (3)设过定点的直线与抛物线交于，两点.若，且，两点的横坐标均与点的横坐标不相等，试判断直线，的斜率之积是否为定值.如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请求出其取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是定值 【详解】（1）由，得， 为抛物线上位于第一象限内的一点， 设，，则，即， 由题知，，解得， 抛物线的方程为； （2）由上可知，点的坐标为， 若直线的斜率不存在，则直线垂直于轴，是与轴的交点，显然是的中点， 若直线的斜率存在，易知该直线斜率不为0，可设直线的方程为，      联立整理得， 设点，的坐标分别为，，则， 则，的坐标分别为，， 直线的方程为，于是点的坐标为， ，，三点在同一直线上，，是线段的中点； （3）可设（）， 由上可得，， 由，得，解得， 点的坐标为，由题意得直线必不垂直于轴， 可设，联立 整理得， 其中恒成立， 设，， 由韦达定理，有，， 进而得， ， ， 综上可得，直线，的斜率之积为定值. 变式3．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. （2）（i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形，    由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 变式4．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知点为圆与轴负半轴的交点，为圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，反向延长至点，使得 (1)令点的轨迹为曲线，求曲线的方程： (2)连接交圆于点另外点，若求直线的方程； (3)已知点直线交曲线于另外一点，记直线的斜率为，直线的斜率为求的值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）设，则，    由即，得， 又因为在圆上，所以曲线. （2）    因为的斜率不为0，故设直线的方程为：， 由，得， 所以， 由，得， 所以. 由得， 所以，即，解得 所以直线的方程为：或 （3）因为直线的斜率存在且不为0， 故设直线的方程为：,    由，得， 由，得且， ，又， 所以， 又， 所以. 考点二 三角形面积定值问题 例1．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知椭圆C：（）的长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过右焦点F且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△OAB的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由长轴长得，离心率得，则， 故椭圆标准方程为. （2）右焦点，直线的斜率为，方程为. 联立，消去得，， 设，，则，. . 的面积.    例2．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，且经过点，右焦点到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过且与双曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设，则， 易知双曲线的一条渐近线的方程为， ， 将的方程中得，解得， ∴双曲线的方程为. （2）由（1）得，显然直线的斜率存在且不为0， 设，直线的方程为， ， ，即， 联立，得， 则， ， 则， 消去整理得，即， ∴直线的方程为. （3）不妨设，由（2）知， 则， 点到直线的距离， . 例3．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知椭圆的离心率为，长轴的长为8． (1)求椭圆的方程； (2)，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且在轴上方，若直线的倾斜角为，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则的离心率为， 又长轴的长为8，即，则，，， 所以椭圆的方程为． （2），设，， 又，则为锐角，且， 在中，， 即，即①， 又，即②， 由①②解得，， 所以的面积为．    例4．（25-26高二上·辽宁朝阳·月考）在平面直角坐标系中，直线与曲线有且仅有一个公共点. (1)求的方程； (2)过的直线与另交于点，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）联立，得， 其中， 解得（舍）或， 故的方程为. （2）此时由可解得，而，故， 所以的斜率， 故的斜率，所以，即， 联立，可得，解得， 故， 而， 故的面积.    变式1．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆E的方程； (2)若A，B是椭圆E上两点，且线段AB的中点坐标为， ①求直线AB的方程． ②求的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆E的方程为， （2）①设， 由A，B是椭圆E上两点得，， 两式相减得，即， 因为线段AB的中点坐标为，所以， 所以，即， 所以直线AB的方程为，即； ②由得，， 则， 所以， 点O到直线AB的距离， 所以． 变式2．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线与交于M，N两点，且点为线段MN的中点，求的面积． (3)若直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点，满足，试探究与的关系. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题知，椭圆右顶点坐标为，抛物线开口向右， 所以，故，即， 所以抛物线的方程为； （2）如图，由题意，设， 代入抛物线方程，可得， 两式相减可得，即， 由可得，故， 又由点为线段的中点且点在抛物线内， 所以直线的方程为，即. 联立，得，其中， 故， 所以， 又因为到直线的距离， 所以的面积. （3）由（1）得，直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点， 则直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，，， 则，因为，所以，， 因为点在上，所以，即，所以． 由，可得，， 因为点在上，所以，即，所以． 由，得， 因为，，所以，即． 变式3．（2025·贵州六盘水·模拟预测）设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于，两点，已知点，当直线垂直于轴时，. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线过点，求的面积； (3)若直线平分，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，则， 由，则当直线垂直于轴时，， 则，解得， 故抛物线的标准方程为； （2）由，则，设、， 此时， 联立，消去得，， 有，， 则， 点到直线的距离， 则； （3）由题意可得直线斜率不为，则可设， 联立，消去得，， 有，， 由直线平分，则，则， 设、分别为、到直线的距离，则， ，即， 则，， 又，， 则有，又，， 则有， 由、在直线两侧，则， 即有， 化简得， 即，解得， 故直线的斜率. 考点三 三角形面积范围问题 例1．（25-26高二上·宁夏银川·月考）已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，过点的直线与椭圆交于不同两点A，B，证明：； (3)过点斜率为的直线，与椭圆相交于不同两点E，F，设点关于原点的对称点为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【详解】（1）椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍， ， 又点在椭圆上，， 即联立，解得， 故椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，则过点的直线为，则直线与椭圆交于不同两点，此时不满足，故舍掉， 当直线的斜率存在时，则设过点的直线为，即， 设，联立，得， 由韦达定理得， 又点，， ， 又， 故 . （3） 关于原点的对称点为， 为中点，, 设过点斜率为的直线的方程为，即， 设，联立，得， 由韦达定理得， 又， 令，则，， ， 利用均值不等式可得，当且仅当时，等号成立， 又在上单调递增，， . 例2．（25-26高二上·浙江丽水·期中）已知双曲线的渐近线方程是，且过点. (1)求的标准方程； (2)，分别为双曲线的左、右顶点，，分别为的左、右焦点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知. （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，（ii） 【详解】（1）设双曲线的方程为， 因为双曲线过点， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）（i）设直线的方程为，，， 又，， 所以 同理，， 所以，所以， 由消去得，， 所以， 所以， 整理，得， 即 整理，得， 解得或， 当时，直线过点，不合题意，舍去， 当时，直线过点，满足题意， 所以直线过点. （ii）因为， 又，所以， 由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直， 得，令， 则，， 因为在上单调递减， 所以， 所以得的取值范围是.    例3．（25-26高二上·上海松江·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：，过右焦点F作两条相互垂直的弦，设中点分别为． (1)写出椭圆右焦点F的坐标及该椭圆的离心率； (2)证明：直线MN必过定点，并求出定点坐标； (3)若弦的斜率均存在，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）设椭圆的长半轴的长为，短半轴的长为，焦距为， 由椭圆的方程，可得，可得， 所以，即右焦点的坐标为，离心率， 所以椭圆右焦点的坐标为，离心率. （2）证明：当直线的斜率存在且不为时， 设直线的方程为， 设联立， 整理可得：， 可得，， 所以的中点， 同理可得的坐标，即， 当，的横坐标不相等时，则， 所以的方程为， 整理可得 所以直线恒过定点. 当，的横坐标相等时，，即时，则轴， 且此时的方程为，显然也过， 当的斜率为时，直线的方程为， 当的斜率不存在时，直线的方程为， 可证得直线必过定点. （3）由（2）可得直线必过的定点， 可得 ， 设，则， 在上单调递减，所以， 所以面积的最大值为. 变式1．（2025·江苏·模拟预测）已知椭圆C的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，右焦点F为，且经过． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过F作不与坐标轴平行的直线交曲线C于A，B两点，过点A，B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D，E，直线与直线相交于P点． ①求证：点P的横坐标为定值； ②求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， ，已知，则， 因为椭圆过点，代入方程得到， 联立方程解得， 所以椭圆方程为. （2）    ①设直线的方程为 ， ， 联立方程得到 ， 易知 ， ； 直线的方程为，直线的方程为； 联立方程， 解得； 所以点P的横坐标为定值3. ② ， 而，所以，则 ， 令 ，则，所以 当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为. 变式2．（2025·浙江台州·一模）已知双曲线的离心率为，且过点，渐近线分别为，，其中经过第一、三象限. (1)求双曲线的渐近线的方程； (2)设动点在第一象限内，且不在直线上，过点分别作的平行线，交轴于，两点，且，为坐标原点. ①求动点的轨迹方程； ②求面积的最小值. 【答案】(1)； (2)①；②. 【详解】（1）由，得， 因此，； （2）①过点且与平行的直线方程为：， 过点且与平行的直线方程为：， 求得， 所以动点的轨迹方程为， ②在中，因为， 所以要使的面积最小，只要使点到直线的距离最短， 设过点且与平行的直线， 又因为点在点轨迹的渐近线的下方， 所以当直线与曲线相切的时候，点到直线的距离最短， 联立，消去得， ，解得， 当时，求得，不满足条件， 当时，求得，符合题意， 易求得点到直线的距离为，且， 因此，面积的最小值为. 变式3．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知动点与两个顶点，的距离之比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程； (2)已知，过直线上的动点（）分别作圆的两条切线，（，为切点），与交于点. （i）证明直线的方程为，并判断直线是否过定点； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标和面积最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，过定点；（ii）存在，，最大值为1 【详解】（1）设，由题， 整理得，即； （2）（i）设，，易知为曲线C的圆心， 由与圆相切，可得直线的法向量为，    因此的方程为， 整理得，由在圆上得， 因此的方程为， 同理可得的方程为， 由两切线交于点，可得，这说明，在直线上， 因此直线的方程为，直线过定点； （ii）由，是圆的切线可得，因此为的中点， 由可得，在以为直径的圆上运动，该圆的圆心为，， 当位于点时，的面积最大，为， 此时，故，即， 因此存在使得面积最大，最大值为1. 变式4．（2025·云南大理·模拟预测）已知椭圆（）的左右焦点分别为，，离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点C，D和E，F.若M，N分别是线段CD和EF的中点. （ⅰ）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由. （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）直线MN过的定点为.（ⅱ）. 【详解】（1）解：因为椭圆的离心率，且过点， 可得且，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：（ⅰ）由（1）知，椭圆，可得， 设直线的方程为，的方程为，且，， 联立方程组，整理得， 所以，， 因为为的中点，所以，， 即，同理可得， 直线MN的方程为，即， 所以直线MN过的定点为. （ⅱ）由MN过的定点为， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的面积最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $