江苏省镇江市扬中市第二高级中学2026-2027学年第一学期高二数学暑期自主学习检测

**基本信息** 聚焦高二数学核心内容，以折扇文化情境、立体几何动态问题等设计，检测暑期自主学习效果，衔接开学教学，体现空间观念与运算能力的培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、线面关系等|如第1题复数为实数的条件，注重概念辨析| |多选题|3/18|三角形性质、向量命题|如第9题三角形多命题辨析，考查推理能力| |填空题|3/15|二面角、扇形向量|第13题折扇扇形向量取值，体现文化传承| |解答题|5/77|四棱锥证明与体积、函数不等式|第18题递进考查立体几何综合，第19题函数与三角结合，培养模型意识|

江苏省扬中市第二高级中学2026-2027上学期高二数学暑期自主学习检测 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数z满足，则z为实数的一个充分条件是 （ B ） A. B. C. D. 2．设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是 （ C ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3．化简： （ C ） A. 1 B. C. D. 2 4．如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为 （ B ） A. 50 B. 80 C. 86 D. 110 【详解】因为在中，是上的两个三等分点，， 所以， ， 所以 .故选：B 5．如图，在多面体中，，且，，F在上，要使平面，则的值为 （ B ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【详解】连接相较于点，连接， 因为，且，，所以， 因为平面，平面，平面平面，所以， 所以. 故选：B. 6．已知向量的最小值为 A． B． C． D． （ D ） 7．如图，圆台的上底面半径，下底面半径，一球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则该球的表面积为 （ B ） A． B． C． D． 8．在中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是 （　A　） A. B. C. D. 【详解】解：因为，由正弦定理得，由余弦定理得，即，由正弦定理得，又，所以，所以， 又，，则，所以或，即或（舍去），则，所以解得，则．所以，， ，即的取值范围是．故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解决关键是得到，从而利用确定角B的范围，由此得解. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是 （ ABD ） A. 若，则 B. 若，，且该三角形有两解，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则为锐角三角形 【详解】因，所以，由正弦定理，可知，故A正确； 如图， ，，且该三角形有两解，所以，即， 故B正确；由正弦定理可得，，即，所以，因为，所以或，即或，所以三角形为等腰或直角三角形，故C错误；因为 ，且，所以，即为锐角，所以为锐角三角形，故D正确.故选：ABD 10．下列关于平面向量的说法中，正确的有 （ BD ） A．若平面向量满足，则 B．若向量满足 C．若四边形为圆的内接四边形，且，则的最大值为3 D． 已知向量满足，则上的投影向量的坐标为 11．如图，在棱长为的正方体的中点，为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是 （ AD ） A．当点为中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积为 B．异面直线所成的最大角为 C．不存在点 D． 三棱锥的体积为定值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知二面角的大小为，二面角内一点到平面的距离分别为3和5，则的距离为 . 13．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图其展开几何图是如图的扇形，其中，，4，点在上包含端点，则的取值范围是___________． 【详解】设是的中点，连接， 由于，所以三角形和三角形是等边三角形， 则四边形是菱形，则， ，由于，所以， 所以，所以的取值范围是,故答案为： 14. 如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于，两点，且，，若直线的斜率为，则______________________． 【详解】由题意得，，，则直线的倾斜角为，，即， 则，则， ，，， 又，，则， 结合，解得，故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．设复数（其中），. （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求. 15．解：（1）由已知， 是实数， ，即， . （2）， 由于是纯虚数，，解得， 则. . 16．的内角的对边分别为，已知为锐角， （1）求； （2）若，且边上的高为，求的面积． 16．解：（1）， ， 由余弦定理，得，代入上式得， ，由正弦定理， ，又，即， ，角为锐角，； （2）将代入余弦定理得：， 化简得，， 如图，为等腰三角形，又边上的高， 则在中，，， 在中，由正弦定理，即， . 17．在中，，边上的两条中线，相交于点，若. （1）用表示； （2）求； （3）若，求四边形的面积. 17．解：（1）因为为边上的中线，所以 因为为边上的中线，所以 （2）因为 所以 因为 所以设 所以 所以 又因为 所以 （3） 已知，设，结合， ，代入得： 解得 则 因为是重心,则 所以，同理 18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面． （1）证明：； （2）若平面，求三棱锥的体积； （3）若二面角的平面角为，求． 18．解：（1）因为平面平面，平面平面， ， 平面， 平面， 又平面， （2）平面，平面， 平面平面（其中点是的交点亦是中点）， ，可知N为中点， 而，，， 所以， 因为，， 所以， 因为平面，平面， 所以， 所以， 所以， 在三角形中，，由余弦定理有， 结合，解得， . （3）由题意知平面，过点N作平行线交于点H，面，再作（K为垂足）， 为二面角的平面角，， 由（2）可知，所以三角形是等腰直角三角形，同理三角形也是等腰直角三角形， 从而， 在三角形中，， 所以， 而，所以， 不妨设，， 则且，， . 19. 已知， （1）若，求的值； （2）在三角形ABC中，若，求的最大值； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 19．解：（1）函数, 因为，所以， 所以， . （2）由， 而，可得，即， 所以， 因为，所以, 则， 故当时，取最大值，最大值为． （3）由（1）可知: , 令，因为，所以，从而， 则即为：在上恒成立， 所以在在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立． 所以，即实数a的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2026-2027上学期高二数学暑期自主学习检测 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数z满足，则z为实数的一个充分条件是 （ ） A. B. C. D. 2．设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是 （ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3．化简： （ ） A. 1 B. C. D. 2 4．如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为 （ ） A. 50 B. 80 C. 86 D. 110 5．如图，在多面体中，，且，，F在上，要使平面，则的值为 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 6．已知向量的最小值为 A． B． C． D． （ ） 7．如图，圆台的上底面半径，下底面半径，一球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则该球的表面积为 （ ） A． B． C． D． 8．在中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是 （　 　） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是 （ ） A. 若，则 B. 若，，且该三角形有两解，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则为锐角三角形 10．下列关于平面向量的说法中，正确的有 （ ） A．若平面向量满足，则 B．若向量满足 C．若四边形为圆的内接四边形，且，则的最大值为3 D． 已知向量满足，则上的投影向量的坐标为 11．如图，在棱长为的正方体的中点，为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是 （ ） A．当点为中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积为 B．异面直线所成的最大角为 C．不存在点 D． 三棱锥的体积为定值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知二面角的大小为，二面角内一点到平面的距离分别为3和5，则的距离为 . 13．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图其展开几何图是如图的扇形，其中，，4，点在上包含端点，则的取值范围是___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于，两点，且，，若直线的斜率为，则______________________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．设复数（其中），. （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求. 16．的内角的对边分别为，已知为锐角， （1）求； （2）若，且边上的高为，求的面积． 17．在中，，边上的两条中线，相交于点，若. （1）用表示； （2）求； （3）若，求四边形的面积. 18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面． （1）证明：； （2）若平面，求三棱锥的体积； （3）若二面角的平面角为，求． 19. 已知， （1）若，求的值； （2）在三角形ABC中，若，求的最大值； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $