2026年南京市新高二数学秋季开学分班仿真模拟练习卷

**基本信息** 2026年南京高二开学数学自测卷，以复数、三角函数、立体几何等核心知识为载体，通过基础题与综合题梯度设计，结合“青春筑国防”情境，考查数学抽象、逻辑推理与空间想象素养，适配开学分班分层教学需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数（1）、解三角形（2）、向量（4）|基础概念辨析，如复数虚部定义、正弦定理应用| |多选|3/18|三角函数（10）、解三角形（11）|多维度辨析，如三角恒等式正误判断、锐角三角形性质探究| |填空|3/15|向量投影（12）、复数方程（13）|关键能力计算，如向量投影向量求解、实系数方程虚根应用| |解答|5/77|立体几何（19）、统计（18）|综合应用，如立体几何动态最值问题、结合国防知识的统计方差计算|

参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 2 3 4 5 6 7 8 B D D C 0 C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BCD ABC AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2030 12 1313 13.3 14. v10 6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 【详解】(1)因为c11a,设c=ā=（亿，-）（元为实数）， 则=V2+(-)=32,所以v2=3V2,2=3,=±3 所以当=3时，c=(3,-3):当元=-3时，=(-3,3) 故向量c的坐标为：c=(3,-3),或c=（-3,3). (2)设6=(xy),则5=V2+y=1,即x+y=1① 因为i1(a-2b),所以a:(a-2b)=aa-2a.i=0, 所以+(2）-21x+(-1)y)=0, 所以2-2(x-y)=0,即x-y=1② 由②得y=x-1,代入①：x2+(x-1)2=1, 所以2x2-2x=0,即2x(x-1)=0,解得x=0或x=1, 1/5 若x=0,则y=-1,此时b=(0,-1): 若x=1,则y=0,此时b=(1,0) 故6的坐标为：b=(0,-1),或b=(1,0) 16.(15分) 【】o2+ be可化为2+cC-d-5bc, 2 15 由余弦定理得cosA=+c2-d c5, =2 2be 2bc 4 4e0,对÷s4=-osA=h- 5 1 4=4 (2)设∠ACD=0,由∠BCD=2∠ACD可得∠BCD=20, 2c 2c CD 中，由正弦定理得3-CD,得3sin9T,可得C=6sin0, △ADC sine sinA 4 CD 在 中，由正弦定理得3=CD,可得c=3sin20 ABCD sin20 sinB CD sinB 3sin20 6sinecose 可得simB =6sin0,得 =6sin0, sinB 又因为sin8>0,所以sinB=cos0, 又由B0为能角，得m8=m行-0)得8-号0，可得B+0- 2 又由4+B+C-x得4+号0+30=元，可得∠8CD=20-受4， 所以cos∠BCD=cos20=co号0=m1= 1 4 as20=2as0-1得2os0-1分因为p为能角：所以m0-0 又由 即snB=n号-0=cas0=o 4 2/5 17.(15分) 【详解】(1)z-2=a-1+(1+a)i. 则名-2在复平面对应的点坐标为(a-1,1+a),乙-2在复平面对应的点落在第一象限， 「a-1>0 1+a>0解得a> (2),乙=a+i是方程x2-2x+2=0的根， 则(a+i2-2(a+i)+2=0,即(a2-2a+1)+(2a-2)i=0, [a2-2a+1=0 所以 2a-2=0·解得 9a=1 (3)因为名=2，则a=1.于是名=1+i, 代入2子+m%+n,得1+i)2+m(1+i)+n, 即(m+m)+(2+m)i是实数， ∴2+m=0,解得m=-2. 18.(17分) 【详解】(1)根据频率分布直方图的性质，可得10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1, 解得a=0.03 (2)由频率分布直方图得，前3组数的频率为10×(0.005+0.01+0.02)=0.35， 前4组数的频率为10×(0.005+0.01+0.02+0.03)=0.65 因此第50百分位数在第4组即区间70,80)上， 0.50-0.35m-70 设第50百分位数为m,则满足0.65-0.3580-70，解得m=75 (3)样本数据在区间[50,60)的个数为0.1×200=20，在区间[60,70)上的个数为0.2×200=40， 20 所以两组数据的总平均数而=20+40× 55+,40x64=61. 20+40 315 n20[6+65-61]00[5+6-6创j]-=2,解得话=3 又由20+400 19.(17分) 【详解】(1)取PC中点，连接D :E为线段AD的中点，G0/BC,G0=2BC, 2 DE∥ BC,DE-7BC.DE GO.DE-GQ: ∴四边形EGOD为平行四边形，∴.EG∥DO, ·EGt平面PCD,DOc平面PCD .EG∥平面PCD. G B (2)①取CD的中点M,连接BM,FM, F为PC中点，：MF∥ .F-1. ·∠BFM就是异面直线BF和PD所成的角或所成角的补角. 平面PAD⊥平面ABCD, 平面PADn平面ABCD=AD,PE⊥AD,，ADc平面ABCD, PE⊥平面ABCD,BEC平面ABCD,PE⊥BE ~菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°， ,APAD与△ABDABCD是全等的正三角形， :M、E分别为CD、AD的中点， .PE=BE=BM=√3， .在Rt△PBE中，PB=VPE2+BE2=V6, 在RtaPBC中，PC=VPB2+BC2=V10, BF=PC、VIo 2 2 4/5 中，cos∠BMF=MF2+BF2-BM:1+-3 2 10 在 2MF.BF 2x1x10 20： △BMF 2 D :D以 A - B ②AD⊥PE,AD⊥BE,PEBE=E.PE,BEC平面PBE, ∴.AD⊥平面PBE, 又：E为线段AD的中点， :DH=AH, :DH+FH=AH+FH, 要使DH+FH最小只需AF最短即可，即为A点到面PCD的距离h. 在△PDC中，PC=V10,PD=PC=2, 在RtANFC中，cos∠FCW=FC-FC NC 4 Vp-ACD=VA-PCD, 2 xhx 5 2，h=2G5 5 2V15 :DH+FH的最小值为 5/5 2026年南京市秋季高二年级开学分班自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数对应的点分别是，则向量对应的复数的虚部为（     ） A． B． C． D． 2．的内角所对的边分别为，若，则为（    ） A． B．或 C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量与向量的夹角为，且，则（   ） A． B． C．2 D． 5．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD的面积为（      ）    A．2 B． C．3 D． 6．已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（   ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有无数条直线与平面平行 D．平面内有两条相交直线与平面平行 7．已知三棱锥中，平面，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，“六芒星”是由两个边长为6的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C．在复平面内所对应的点位于第二象限 D． 10．已知，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 11．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则角B的取值范围是 D．若为锐角三角形，则的最小值为1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______. 13．已知实系数一元二次方程有虚根，则__________. 14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，求的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若是单位向量，且，求的坐标． 16．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.    (1)求的值； (2)如图，D为AB上的一点，且，若，B为锐角，求，的值. 17．已知复数，，（，是虚数单位）． (1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值； (3)若，且是实数，求实数的值． 18．为增强中学生国防观念，提升青少年爱国情怀与国防素养，某市高中举办了“青春筑国防”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数分成六组：，…，，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本数据的第50百分位数； (3)已知落在内样本数据的平均数是55，方差是6；落在内样本数据的平均数是64，方差是，且这两组数据的总方差是22，求落在内样本数据的方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，和，，，记总体的样本平均数为，样本方差为，则 19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是正三角形，为线段的中点. (1)若中点为，求证：平面； (2)若平面平面，点为平面上的动点， ①当点恰为中点时，求异面直线与所成角的余弦值； ②若点是平面内的动点，求的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年南京市秋季高二年级开学分班自测卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数对应的点分别是，则向量对应的复数的虚部为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据复数与复平面内点的对应关系确定点、坐标，再利用向量坐标运算求出坐标，进而得到其对应复数，最后根据虚部定义求出虚部. 【详解】复数对应点，复数对应点， ， 向量对应的复数为， 复数的虚部是虚数单位的系数（不含），因此虚部为. 2．的内角所对的边分别为，若，则为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理可得，，即， 因为，所以， 故. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过凑角的方法，将未知角转化为已知角，利用三角函数关系计算即可． 【详解】因为， 且， 所以． 4．已知向量与向量的夹角为，且，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】应用数量积定义计算求解. 【详解】向量与向量的夹角为，且，则. 5．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD的面积为（      ）    A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由斜二测画法还原图形，根据梯形的面积计算，可得答案. 【详解】由斜二测画法还原图形可得下图：    则，，，，， 所以梯形的面积为. 故选：C. 6．已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（   ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有无数条直线与平面平行 D．平面内有两条相交直线与平面平行 【答案】D 【分析】由面面平行的判定定理即可判断. 【详解】对于A：平面内有一条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于B：平面内有两条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于C：平面内有无数条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于D：平面内有两条相交直线与平面平行，则，面面平行判定定理， 故选：D 7．已知三棱锥中，平面，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三棱锥补成直三棱柱， 为所求异面直线与所成角，然后在中，应用余弦定理求解即可. 【详解】由平面，将三棱锥补成直三棱柱（如图）， ∵，∴为所求异面直线与所成角． ∵平面，，，， ∴在中，，，， ∴. 故选：C. 8．如图，“六芒星”是由两个边长为6的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正三角形的性质确定几何基底，根据“六芒星”的性质计算，利用投影的性质计算的范围，进而利用计算求解． 【详解】已知正三角形边长为6，则中心点到顶点距离， 已知，是相邻顶点，故， 则， 动点在“六芒星”上，则在方向的投影范围为， 故， 故． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C．在复平面内所对应的点位于第二象限 D． 【答案】BCD 【详解】化简复数 选项A：的虚部为，不是，A错误； 选项B：复数的共轭复数为，的共轭复数为，B正确； 选项C：对应复平面内的点为，横坐标负、纵坐标正，位于第二象限，C正确； 选项D：先求， ， ， ，D正确. 10．已知，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于AB：根据两角和差的正弦公式计算判断；对于C：切化弦求解判断；对于D根据两角和的正切公式化简结合选项C判断. 【详解】对于AB：因为，， 所以，， 故AB正确； 对于C：因为，故C正确； 对于D： ，故D错误； 故选：ABC. 11．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则角B的取值范围是 D．若为锐角三角形，则的最小值为1 【答案】AB 【分析】对于A,由题意可得，从而可求出、及的值，再根据余弦函数的性质即可判断；对于B，将代入，得，，再结合，求解后即可判断；对于C，根据题意，列出不等式组求解即可判断；对于D，结合C可得，从而得，再结合对勾函数的性质求解即可. 【详解】解：对于A，因为， 所以， 所以，， 所以 ，， 又因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 所以当时，则有，， 又因为，， 所以， 所以为直角三角形，故B正确； 对于C，当为锐角三角形时， 则有，解得，故C错误； 对于D，当为锐角三角形时，由C可知， 所以， 所以， 令， 因为在上单调递减， 所以， 即，故D错误. 故选：AB. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______. 【答案】 【详解】因为，，则，， 则向量在向量上的投影向量为. 13．已知实系数一元二次方程有虚根，则__________. 【答案】 【详解】因为实系数一元二次方程有虚根， 所以，所以， 所以，解得. 14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，求的最大值为________． 【答案】 【分析】先利用条件消去，结合余弦定理和面积公式将目标式转化为关于的函数，再通过换元转化为二次函数的最值问题求解. 【详解】由条件，得. 由余弦定理，. 三角形面积，故. 由，代入的表达式， 得 因此，. 令，则， 代入得 设（），则， 代入分子得 故. 令，则. 设（），则， 这是开口向下的二次函数，对称轴为. 当时，取得最大值，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若是单位向量，且，求的坐标． 【答案】(1)，或. (2)，或. 【分析】（1）先由向量共线设，再用模长公式列方程求参数，进而得到的坐标； （2）先设的坐标，利用单位向量模长为 1 和向量垂直的数量积为 0 列方程组，代入消元求解坐标即可. 【详解】（1）因为，设（为实数）， 则 ，所以 所以当时，；当时，. 故向量的坐标为：，或. （2）设，则，即 ①； 因为，所以， 所以， 所以，即 由②得 ，代入①：， 所以，即，解得 或 ， 若，则，此时； 若，则，此时. 故的坐标为：，或. 16．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.    (1)求的值； (2)如图，D为AB上的一点，且，若，B为锐角，求，的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由已知等式结合余弦定理求出，再由同角公式可得； （2）分别在和中由正弦定理得，，得，得，得，再根据，得，得，再根据二倍角公式和诱导公式可求出. 【详解】（1）可化为， 由余弦定理得， ∵，∴. （2）设，由可得， 在中，由正弦定理得，得，可得， 在中，由正弦定理得，可得， 可得，得， 又因为，所以， 又由为锐角，得，得，可得， 又由，得，可得， 所以， 又由，得，因为为锐角，所以， 即.    17．已知复数，，（，是虚数单位）． (1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值； (3)若，且是实数，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据复数的减法运算和几何意义建立关于a的不等式组，解之即可求解； （2）将代入方程，根据相等复数的条件建立关于a的方程组，解之即可求解； （3）由共轭复数的概念与运算求出a，结合复数的有关概念即可求解. 【详解】（1）∵， 则在复平面对应的点坐标为，在复平面对应的点落在第一象限， ∴，解得． （2）∵是方程的根， 则，即， 所以，解得． （3）因为，则．于是， 代入，得， 即是实数， ，解得． 18．为增强中学生国防观念，提升青少年爱国情怀与国防素养，某市高中举办了“青春筑国防”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数分成六组：，…，，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本数据的第50百分位数； (3)已知落在内样本数据的平均数是55，方差是6；落在内样本数据的平均数是64，方差是，且这两组数据的总方差是22，求落在内样本数据的方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，和，，，记总体的样本平均数为，样本方差为，则 【答案】(1) (2)75 (3)3 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1，即可求得的值； （2）先计算各组的频率，判断第50百分位数所在的组，然后根据第50百分位数前的频率为0.5计算. （3）先计算样本数据在区间和区间上的个数，再计算总体样本平均数为，代入样本方差计算公式求解. 【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，可得， 解得. （2）由频率分布直方图得，前3组数的频率为， 前4组数的频率为， 因此第50百分位数在第4组即区间上， 设第50百分位数为m，则满足，解得. （3）样本数据在区间的个数为，在区间上的个数为， 所以两组数据的总平均数， 又由，解得． 19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是正三角形，为线段的中点. (1)若中点为，求证：平面； (2)若平面平面，点为平面上的动点， ①当点恰为中点时，求异面直线与所成角的余弦值； ②若点是平面内的动点，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②. 【详解】（1）取中点，连接， 为线段的中点，， ； 四边形为平行四边形，， 平面平面 平面. （2）①取的中点，连接， 为中点，， 就是异面直线和所成的角或所成角的补角. 平面平面， 平面平面，平面, 平面平面， 菱形的边长为， 与是全等的正三角形， 分别为的中点， ， 在中，， 在中，， ， 在中，； ②,平面， 平面， 又为线段的中点， ， ， 要使最小只需最短即可，即为点到面的距离. 在中，， ， 在中，， ， ，， 的最小值为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $