14.3 角的平分线 题型专练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦八年级上册14.3角的平分线，系统梳理角平分线的性质、判定及综合应用，衔接全等三角形知识，构建从基础到综合的学习支架，为后续复杂几何证明奠定基础。 资料通过分层题型设计，典型例题与举一反三结合，融入尺规作图与实际应用，如“修建水井”问题，培养几何直观、推理能力与应用意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生强化练习、弥补知识盲点。

人教版（2024）八年级上册 14.3 角的平分线 题型专练 【题型1】角平分线的性质 【典型例题】如图，在△ABC中，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，若△ABC的周长为12cm，△ABC的面积为18cm2，则ED的长为（　　） A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 【举一反三1】如图，在中，为的平分线，于点E，，，则的面积为（   ） A.16 B.10 C.8 D.4 【举一反三2】如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，CD=5，CE=3，则点E到BC的距离为 A.2    B.3    C.5    D.8 【举一反三3】如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为     ． 【举一反三4】如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证EB=FC. 【题型2】角平分线的判定 【典型例题】小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是 A.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C.三角形的三条角平分线交于一点 D.三角形三边的垂直平分线交于一点 【举一反三1】在△ABC中，O是△ABC内的一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A=40°，则∠BOC的度数为（    ） A.110° B.120° C.130° D.140° 【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.组成∠E的平分线 D.组成∠E的平分线所在的直线(E点除外) 【举一反三3】点到的三边，，的距离相等，则点的位置在        ． 【举一反三4】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF 求证：AD平分∠BAC． 【题型3】角平分线性质与判定的综合 【典型例题】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D．若AB=m，CD=n，则△ABD的面积等于（　　） A.1mn B.mn C.2mn D.mn 【举一反三1】如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E，EG⊥BC于G，下列结论正确的是（　　） A.∠C=∠ABC B.BA=BG C.AE=CE D.AF=FD 【举一反三2】如图，中，点，分别是，延长线上一点，，的平分线，交于点，连接，过点作，，垂足分别是点，，则，，之间的数量关系是     ． 【举一反三3】如图，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=__________． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点D到AB，AC的距离相等，求证：BD=CD. 【举一反三5】如图所示，D，E在∠BAC两边上且AD＝AE，AG是∠BAC内部的一条射线且AG⊥DE于点F， （1）求证AG平分∠BAC； （2）分别作∠BDE和∠CED的平分线，相交于P，求证：P在∠BAC的平分线AG上． 【题型4】三角形内角平分线与外角平分线的综合 【典型例题】如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A=40°，则∠BOC的度数为(　　) A.110° B.120° C.130° D.140° 【举一反三1】三角形内到三边的距离相等的点是(　　) A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.以上均不对 【举一反三2】如图，的平分线与的平分线相交于点P．若点P到的距离为3，则点P到的距离为（   ） A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三3】如图，在的外角的平分线上任取一点P，作于E，于F，则      ． 【举一反三4】（教材改编）如图，△ABC的角平分线BM，CN 相交于点P.求证: （1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等； （2）△ABC的三条角平分线交于一点． 【举一反三5】（教材改编）如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P.求证： （1）点P到三边AB，BC，CA 所在直线的距离相等； （2）点P在∠A的平分线上. 【题型5】与尺规作图相关的角平分线性质与判定 【典型例题】如图，直线，直线分别与相交于点A，B．小宇用尺规作图法按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交于点C，交于点D；②分别以C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点F．若，则的度数为（　　）    A. B. C. D. 【举一反三1】如图，直线相交于点O，，根据图中的尺规作图痕迹，则的度数是（    ）    A.64° B.56° C.58° D.45° 【举一反三2】如图，在中，，以点A为圆心，任意长度为半径画弧，交，于点D，E，再分别以点为圆心．大于为半径画弧．两弧在内交于点，作射线交边于点，若，，则的面积为（   ） A.13 B.15 C.26 D.30 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D.若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是　　　　. 【举一反三4】如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2，AD=4MD，则AM=　　　　.  【举一反三5】如图，已知OA和OB两条公路，以及C，D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等，即PC=PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等.(不写作法，保留作图痕迹) 【举一反三6】已知：如图相交于点O，，，平分交于点E，平分交于点F．    (1)请用尺规作图补出图中的线段（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：． 【题型6】角平分线性质与判定的实际应用 【典型例题】青山村计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是，那么这口水井到土地边沿的距离是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图所示，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，C村的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知C村在∠BAD的角平分线上，村庄C到公路l1的距离为4km，则C村到公路l2的距离是（　　） A.3km B.4km C.5km D.6km 【举一反三2】如图，l1，l2，l3三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，则可供选择的地方有　　　　处. 【举一反三3】(教材改编)如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建? 【举一反三4】图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长． 人教版（2024）八年级上册 14.3 角的平分线 题型专练（参考答案） 【题型1】角平分线的性质 【典型例题】如图，在△ABC中，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，若△ABC的周长为12cm，△ABC的面积为18cm2，则ED的长为（　　） A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 【答案】C 【解析】解：过E作EF⊥AC于F，EG⊥AB于G， ∵AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC， ∴EG＝EF＝ED， ∵△ABC的面积＝△EBD的面积+△AEF的面积+△AEB的面积， ∴BC•ED+AC•EF+AB•EG＝18， ∴（BC+AC+AB）•DE＝18， ∵△ABC的周长为12cm， ∴BC+AC+AB＝12， ∴， ∴DE＝3cm． 故选：C． 【举一反三1】如图，在中，为的平分线，于点E，，，则的面积为（   ） A.16 B.10 C.8 D.4 【答案】C 【解析】解：如图，过点D作于， ∵为的平分线，于，于，， ∴， ∵， ∴． 【举一反三2】如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，CD=5，CE=3，则点E到BC的距离为 A.2    B.3    C.5    D.8 【答案】A 【解析】如图，过点E作EF⊥BC于点F，因为CD=5，CE=3， 所以DE=CD-CE=5-3=2，因为CD是AB边上的高，所以ED⊥AB，因为BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC， 所以EF=DE=2，即点E到BC的距离为2. 【举一反三3】如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为     ． 【答案】2 【解析】解：如图，过点作于点， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【举一反三4】如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证EB=FC. 【答案】证明：∵AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB、DF⊥AC， ∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°， 在Rt△BED和Rt△DFC中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴EB=FC． 【题型2】角平分线的判定 【典型例题】小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是 A.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C.三角形的三条角平分线交于一点 D.三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【解析】∵两把长方形直尺完全相同， ∴点P到尺子两边距离相等，即点P到∠AOB的两边距离相等， ∴OP平分∠AOB，依据是角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 【举一反三1】在△ABC中，O是△ABC内的一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A=40°，则∠BOC的度数为（    ） A.110° B.120° C.130° D.140° 【答案】A 【解析】∵点O到△ABC三边的距离相等， ∴点O是三条角平分线的交点， ∴BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACB的平分线， ∴∠CBO=∠ABO=∠ABC， ∠BCO=∠ACO=∠ACB， ∴∠A=40°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A =180°-40°=140°， ∴∠OBC+∠OCB =（∠ABC+∠ACB） =×140° =70°， ∴∠BOC=180°-70°=110°． 【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.组成∠E的平分线 D.组成∠E的平分线所在的直线(E点除外) 【答案】D 【解析】∵AB=CD，S△PAB=S△PCD，∴点P到直线AB，CD的距离相等.∴点P在组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)上. 【举一反三3】点到的三边，，的距离相等，则点的位置在        ． 【答案】的平分线和的平分线的交点上 【解析】解：点到，的距离相等， 平分， 点到，的距离相等， 平分， 点的位置在的平分线和的平分线的交点上． 【举一反三4】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF 求证：AD平分∠BAC． 【答案】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴点D在∠BAC的平分线上（角平分线的判定定理） ∴AD平分∠BAC． 【题型3】角平分线性质与判定的综合 【典型例题】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D．若AB=m，CD=n，则△ABD的面积等于（　　） A.1mn B.mn C.2mn D.mn 【答案】B 【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E．∵∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，CD=n， ∴DE=CD=n，∵AB=m，∴△ABD的面积是：AB•DE=mn．故选B． 【举一反三1】如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E，EG⊥BC于G，下列结论正确的是（　　） A.∠C=∠ABC B.BA=BG C.AE=CE D.AF=FD 【答案】B 【解析】解：∵∠BAC=90°，AD是斜边上的高，AD是∠ABC的平分线，∴AE=EG，在Rt△ABE和Rt△GBE中，，∴Rt△ABE≌Rt△GBE（HL），∴BA=BG．故选B． 【举一反三2】如图，中，点，分别是，延长线上一点，，的平分线，交于点，连接，过点作，，垂足分别是点，，则，，之间的数量关系是     ． 【答案】 【解析】解：如图所示，过点作， 平分，，， ， 又平分， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， 同理可证， ， ， ． 【举一反三3】如图，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=__________． 【答案】150° 【解析】解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∴AD是∠BAC的平分线，∵∠BAC=40°， ∴∠CAD=∠BAC=20°，∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°.故答案为150°． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点D到AB，AC的距离相等，求证：BD=CD. 【答案】证明　∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵点D到AB，AC的距离相等， ∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD， 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD△ACD(ASA)， ∴BD=CD. 【举一反三5】如图所示，D，E在∠BAC两边上且AD＝AE，AG是∠BAC内部的一条射线且AG⊥DE于点F， （1）求证AG平分∠BAC； （2）分别作∠BDE和∠CED的平分线，相交于P，求证：P在∠BAC的平分线AG上． 【答案】证明：（1）∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∵AG⊥DE， ∴∠AFD＝∠AFE＝90°， 在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（AAS）， ∴∠DAF＝∠EAF， ∴AG平分∠BAC； （2）过P作PG⊥DE，PH⊥AB，PM⊥AC，如图， ， ∵DP平分∠BDE，EP平分∠CED， ∴PQ＝PH，PQ＝PM， ∴PH＝PM， ∴点P在∠HAM的平分线上． ∵AG平分∠BAC， ∴点P在∠BAC的平分线AG上． 【题型4】三角形内角平分线与外角平分线的综合 【典型例题】如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A=40°，则∠BOC的度数为(　　) A.110° B.120° C.130° D.140° 【答案】A 【解析】如图，过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别是D，E，F，∵点O到△ABC三边的距离相等， ∴OD=OE=OF， ∴BO，CO都是△ABC的角平分线， ∴∠CBO=∠ABO=∠ABC， ∠BCO=∠ACO=∠ACB， ∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°， ∴∠CBO+∠BCO=70°， ∴∠BOC=180°-70°=110°. 【举一反三1】三角形内到三边的距离相等的点是(　　) A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.以上均不对 【答案】C 【举一反三2】如图，的平分线与的平分线相交于点P．若点P到的距离为3，则点P到的距离为（   ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】解：过点作于点，于点，于点F， ∵的平分线与的平分线相交于点P， ∴， ∴， 即点P到直线的距离为3． 【举一反三3】如图，在的外角的平分线上任取一点P，作于E，于F，则      ． 【答案】 【解析】解：∵平分，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【举一反三4】（教材改编）如图，△ABC的角平分线BM，CN 相交于点P.求证: （1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等； （2）△ABC的三条角平分线交于一点． 【答案】证明： （1）如图，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE， 同理 PE=PF， ∴PD=PE=PF， 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. （2）由（1）得，点P到边AB，CA的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上， ∴△ABC的三条角平分线交于一点. 【举一反三5】（教材改编）如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P.求证： （1）点P到三边AB，BC，CA 所在直线的距离相等； （2）点P在∠A的平分线上. 【答案】证明：（1）如图，过点P作PM⊥AD于M，作PN⊥BC于N，作PH⊥AE于H， 又∵BF是∠CBD的平分线，CG是∠BCE的平分线， ∴PM=PN，PN=PH， ∴PM=PN=PH， 即点P到三边AB，BC，AC所在直线的距离相等． （2）∵PM⊥AD于M，PH⊥AE于H， 且PH=PM， ∴点P在∠A的平分线上. 【题型5】与尺规作图相关的角平分线性质与判定 【典型例题】如图，直线，直线分别与相交于点A，B．小宇用尺规作图法按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交于点C，交于点D；②分别以C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点F．若，则的度数为（　　）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴， 由题意得：平分， ∴， 故选：B． 【举一反三1】如图，直线相交于点O，，根据图中的尺规作图痕迹，则的度数是（    ）    A.64° B.56° C.58° D.45° 【答案】C 【解析】解：由题意得 是平角的角平分线， 是的角平分线，， ，， ． 故选：C． 【举一反三2】如图，在中，，以点A为圆心，任意长度为半径画弧，交，于点D，E，再分别以点为圆心．大于为半径画弧．两弧在内交于点，作射线交边于点，若，，则的面积为（   ） A.13 B.15 C.26 D.30 【答案】B 【解析】解：如图，过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴的面积为． 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D.若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是　　　　. 【答案】15 【解析】如图，过点D作DQ⊥AC于点Q， 由作图知，CP是∠ACB的平分线， ∵∠B=90°，BD=3， ∴DQ=DB=3， ∵AC=10， ∴S△ACD=AC·DQ=×10×3=15. 【举一反三4】如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2，AD=4MD，则AM=　　　　.  【答案】6 【解析】作图可知，BP平分∠ABC， ∵AD是边BC上的高，MN⊥AB，MN=2， ∴MD=MN=2， ∵AD=4MD， ∴AD=8， ∴AM=AD-MD=6. 【举一反三5】如图，已知OA和OB两条公路，以及C，D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等，即PC=PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等.(不写作法，保留作图痕迹) 【答案】解　如图，点P为所作. 【举一反三6】已知：如图相交于点O，，，平分交于点E，平分交于点F．    (1)请用尺规作图补出图中的线段（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：． 【答案】（1）解：根据尺规作图，画图如下：    则线段即为所求． （2）证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， 在与中， ， ∴． 【题型6】角平分线性质与判定的实际应用 【典型例题】青山村计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是，那么这口水井到土地边沿的距离是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：三角形闲置土地如图所示，    由题意，设点P到，，的距离为h， ∵， ∴， 又∵的周长为，即， ∴， ∴， 即这口水井到土地边沿的距离是． 【举一反三1】如图所示，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，C村的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知C村在∠BAD的角平分线上，村庄C到公路l1的距离为4km，则C村到公路l2的距离是（　　） A.3km B.4km C.5km D.6km 【答案】B 【解析】解：∵C村在∠DAB的平分线上，C村到公路l1的距离为4km，∴C村到公路l2的距离也是4km．故选B． 【举一反三2】如图，l1，l2，l3三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，则可供选择的地方有　　　　处. 【答案】4 【解析】如图所示，这个超市可以在△ABC三条角平分线的交点P1处及任意两外角的平分线的交点P2，P3，P4处，共4个地方. 【举一反三3】(教材改编)如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建? 【答案】解：如图所示，度假村的位置有1处， 点O处就是度假村的修建位置． 【举一反三4】图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长． 【答案】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下： 在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）． ∴∠DAF＝∠EAF， ∴AP平分∠BAC． （2）如图，过点P作PG⊥AC于点G． ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB， ∴PG＝PQ＝6． ∵S△ABC＝S△ABP+S△APC＝AB•PQ+AC•PG， ∴AB×6+×9×6＝60． ∴AB＝11． 学科网（北京）股份有限公司 $