专题14.3 角的平分线（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦角的平分线核心知识点，构建从尺规作图（含作法及SSS全等原理）到性质（角平分线上的点到两边距离相等）、判定（到两边距离相等的点在角平分线上），再到证明几何命题步骤的学习支架，形成完整知识脉络。 资料含思维导图辅助梳理，通过即学即练与题型示例，培养几何直观（尺规作图）、推理能力（性质判定证明）和应用意识（如加油站位置问题）。课中助力分层教学，课后变式题与练习题可帮助学生巩固，有效查漏补缺。

专题14.3角的平分线 教学目标 1.掌握尺规作图法作一个角的平分线． 2.了解作一个角的平分线（尺规作图法）的作图原理． 3.掌握角平分线的性质及判定． 4.运用角平分线的性质及判定解决问题． 5.初步掌握证明一个几何命题的一般步骤． 教学重难点 1.重点 （1）掌握尺规作图法作一个角的平分线； （2）掌握角平分线的性质及判定． 2.难点 （1）运用角平分线的性质及判定解决问题； （2）初步掌握证明一个几何命题的一般步骤． 知识点01 作已知角的平分线 1. 用尺规作已知角的平分线 已知：． 求作：的平分线． 作法： （1）以点O为圆心，适当长为______作弧，交于点M，交于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于______的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C． （3）作射线．射线即的平分线． 2. 作图依据 证明：如图，连接，，由作图过程可知，，． 在和中， ∵， ∴， ∴，即是的平分线． 【即学即练】 1．如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点D（保留作图痕迹，不写作法）． 2．如图，在中，，． （1）尺规作图：分别作、的平分线相交于点P； （2）在（1）的条件下，求的度数． 知识点02 角平分线的性质 1. 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的____________ ． 2. 几何语言 如图所示， ∵平分，于点E，于点F， ∴． 【即学即练】 1．如图，在中，，是的平分线，若，，则点D到的距离是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，若，，则点F到的距离为（    ） A．3 B．4 C．2.5 D．2 3．如图，平分，P是上一点，于点H，Q是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点03 角的平分线的判定 1．角的平分线的判定 角的内部到__________________的点在角的平分线上． 2．几何语言 如图所示， ∵于点E，于点F，且， ∴点P在的平分线上． 3．角的平分线的判定的证明 已知：如图所示，，，． 求证：点P在的平分线上． 证明：∵，， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上． 【即学即练】 1．如图，在中，，点D是边上一点，连接，于点E，，若，则的度数为___________． 2．如图，、分别是的外角、的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在的平分线上；②；③点P到、、的距离相等．则正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．如图，在中，，点B在边上，点D在边上，连接、，过点D作于点F，，．求证：是的平分线． 题型01 角平分线性质的应用 【典例1】如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【典例2】如图，在中，和的平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为______． 【典例3】如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． （1）符合要求的位置有__________个； （2）请你找出所有加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； （3）你的作图依据是__________． 【变式1】 如图，在中，点D在边上，连接，，平分交于点I，于点H，若，，，则的长为_____． 【变式2】如图，在中，，分别平分，，于点D．若，的面积是50，则的周长为____． 【变式3】 某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点M，交于点N，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 题型02 角平分线判定与性质的综合应用 【典例1】 如图，分别以的边，为直角边，向外作等腰直角三角形，，连接，，，交于点F，连接．下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C．平分 D． 【典例2】如图，O是的两外角平分线的交点．有下列结论：①；②点O到，的距离相等；③点O到的三边所在直线的距离相等；④点O在的平分线上．其中正确的个数是__________． 【典例3】如图，在中，，点D、E分别在边、上，，作于E，交边于F，． （1）求证：平分； （2）求证：． 【变式1】如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】 如图，在中，，点D在外，，且平分．以下结论：①平分的外角；②；③平分；④；其中正确的结论是______（填写序号）． 【变式3】如图，已知于点D，于点E，，相交于点F，． （1）写出图中所有全等三角形并证明； （2）求证：点F在的平分线上． 1．如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧交于点F，作射线交边于点M，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，是中的角平分线，于点E，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 4．如图，线段，，分别是的角平分线、中线和高线，则下列结论中错误的是（    ） A．点D到和的距离相等 B． C． D． 5．如图，点O在一块直角三角板上，其中，于点M，于点N，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．已知点P是三角形的两条角平分线的交点，关于这个点，下列说法正确的是（    ） A．到三角形的三个顶点的距离相等 B．到三角形三边的距离相等 C．不一定在第三个角的平分线上 D．与顶点的连线垂直于该顶点的对边 7．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 8．如图，在中，．平分，于点H，若，，则______． 9．如图，D、E、F分别是三边上的点，平分，，，E是的中点，若的面积为，则的面积为_____； 10．如图，点P是内部的一点，点P到三边，，，的距离，，则的度数为_______________． 11．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 12．如图，在中，其内角和外角的角平分线，交于点O，过点O作，交的延长线于点E，连接，若，则的度数为__________． 13．如图，平分，平分，求证：平分． 14．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，，，且，求的面积． 1．如图，在和中，，，，，连接、交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论个数有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论： （1）恒成立； （2）的值不变； （3）四边形的面积不变； （4）的长不变． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为 ______． 4．如图1，在平面直角坐标系中，点，，且x，y满足． （1）求的面积； （2）如图2，以为斜边构造等腰直角，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． ①若平分，求证：； ②探究：连接，当点D在运动过程中，的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14.3角的平分线 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01作已知角的平分线 2.知识清单 知识点02角平分线的性质 知识点03角平分线的判定 角的平分线 题型01角平分线性质的应用 3.题型精讲 题型02角平分线判定和性质的综合应用 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.掌握尺规作图法作一个角的平分线。 2.了解作一个角的平分线（尺规作图法)的作图原理. 教学目标 3.掌握角平分线的性质及判定， 4.运用角平分线的性质及判定解决问题. 5.初步掌握证明一个几何命题的一般步骤. 1.重点 (1)掌握尺规作图法作一个角的平分线： (2)掌握角平分线的性质及判定 教学重难点 2.难点 (1)运用角平分线的性质及判定解决问题； (2)初步掌握证明一个几何命题的一般步骤. 1/41 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01作已知角的平分线 1.用尺规作已知角的平分线 己知：∠AOB 求作：∠AOB的平分线. 作法： (1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M,交OB于点N. (2)分别以点M,N为圆心，大于2 的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)作射线OC.射线OC即∠AOB的平分线. 0 B 2.作图依据 证明：如图，连接CM,CN,由作图过程可知，OM=ON,CM=CN, 在△OCM和△OCN中， OM=ON CM=CN 0C=0c :aOCM≌aOCN(SSS) :∠MOC=∠NOC,即OC是∠AOB的平分线. 2/41 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ A B 3/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练】 1.如图，在△ABC中，AB=BC.请用尺规作图法作∠ABC的平分线BD交边AC于点D(保留作图 痕迹，不写作法)· A B 【答案】作图见解析 【详解】如图，BD即为所作 D 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC」 B (1)尺规作图：分别作∠A、∠B的平分线相交于点P; (2)在(1)的条件下，求∠APB的度数. 【答案】(1)作图见解析：(2)∠APB=135° 【详解】(1)解：如图，点P即为所求作： (2)解：在△ABC中，∠ACB=90°， .∠CAB+∠CBA=90°， :∠A、∠B的平分线相交于点P, .∠PAB= ∠CAB,∠PBA=2 ∠CBA」 4/41 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ZP4B+∠PBA(ZCAB+∠CBAF4车 .:∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA)=135° 知识点02角平分线的性质 1.角的平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等， 2.几何语言 如图所示， :OM平分∠AOB,CE⊥OA于点E,CF⊥OB于点R, ..CE=CF A E M C B 【即学即练】 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=5,BD=3,则点D到AB的距 离是() A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】B 【详解】解：作DE⊥AB,如图所示： 5/41 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D :∠C=90°，AD是∠BAC的平分线， .DE=CD BC=5,BD=3, .DE CD=BC-BD=2. ∴.点D到AB的距离是2. 2.在RtAABC中，∠C=90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC,AB于D,E两点，再分别以 1 D,B为圆心，大于2DE的长为半径画弧，两弧交于点M,作射线4M交BC于点B,若BF=3” BC=5,则点F到AB的距离为() M B A.3 B.4 C.2.5 D.2 【答案】D 【详解】解：如图，过F点作FH⊥AB于H点， BF=3,BC=5, .FC=BC-BF=2, 由作图知，AF平分∠CAB, .∠C=90°， .FC⊥AC, .FH=FC=2. ∴点F到AB的距离为2 6/41 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 3.如图，OC平分∠AOB,P是OC上一点，PH⊥OB于点H,O是射线OA上的一个动点，若 PH=3,则PO长的最小值为() H 0 A.3 B.4 c.5 D.6 【答案】A 【详解】解：如图， H 当P0⊥OA时，PO有最小值， :OC平分∠AOB,PH⊥OB,PQ⊥OA, :PH=PO=3, :P长的最小值为3。 知识点03角的平分线的判定 1.角的平分线的判定 角的内部到角两边距离相等_的点在角的平分线上. 2.几何语言 如图所示， :PE⊥OA于点B,PF⊥OB于点F,且PE=PF, .点P在∠AOB的平分线上. 7/41 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Y E δ 0 ⊙ F 3.角的平分线的判定的证明 已知：如图所示，PE⊥OA,PF⊥OB,PE=PF. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明：PE⊥OA,PF⊥OB, .∠OEP=∠OFP=90° 在RtAOEP和RtAOFP中， OP=OP PE=PF :.RtAOEP≌RtsOFP(HL) .∠EOP=∠FOP, ∴点P在∠AOB的平分线上. Y E B 【即学即练】 1.如图，在△ABC中，∠B=90°，点D是AB边上一点，连接CD,DE⊥AC于点E,BD=DE, 若∠ACD=20°，则∠A的度数为°. E B 8/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】50 【详解】解：，BD=DE,∠B=90°，DE⊥AC, .CD平分∠ACB, .∠BCD=∠ACD=20°， .∠ACB=40°， :.∠A=90°-∠ACB=50° 2.如图，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠ECB的平分线.小明经过分析后，得出了以下结论： ①点P在∠BAC的平分线上：②BP=CP:③点P到AD、AE、BC的距离相等.则正确的是( ) B E A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】B 【详解】解：如图，作PF⊥AD,PM⊥BC,PN⊥AE, B C N :BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠ECB的平分线， .PF=PM,PM=PN, :.PF=PM=PN,③正确， 点P在∠BAC的平分线上，①正确， 对于②，缺乏足够的条件说明BP=CP」 3.如图，在△ACE中，∠E=90°，点B在边AE上，点D在边CE上，连接AD、BD,过点D作 DF⊥AC于点F,BE=CF,DB=DC.求证：AD是∠BAC的平分线. 9/41 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ E B 【答案】证明见解析 【详解】证明：：∠E=90°，DF⊥AC, .∠E=∠CFD=90°， BE=CF,DB=DC. .RtABDESRtACDF (HL). :DE DF, ∴.AD是∠BAC的平分线. 10/41 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01角平分线性质的应用 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB 山，心再分别以点，N为圆心，大太于)N的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线P交边； 于点D,点E在AB上.若AC=7,CD=3,AB=9,当DE长度最小时，△BDE的面积是() A.1 B.2 C.3 D.6 【答案】C 【详解】解：由垂线段最短可知，当DE⊥AB时，DE长度最小， M A E B 由作图过程可知AD平分∠BAC, ∠C=90°，CD=3, .DE CD=3, AD=AD. .RtACDSRtAAED(HL), .AE=AC=7, :BE=AB-AE=9-7=2, 六△BDE的面积是BE,DE=)×2x3=3. 11/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】如图，在△ABC中，∠ACB和∠BAC的平分线交于点O,AB=6cm,BC=8cm,△ABO 的面积为9cm,则△BOC的面积为一， 【答案】12cm 【详解】解：如图，过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,OP⊥AC于点P, M」 :OA平分∠BAC,OM⊥AB,OP⊥AC, ..OM=OP, :OC平分∠ACB,ON⊥BC,OP⊥AC, ..ON =OP, ..OM=ON. .o4B-OM=9cm' ×6×OM=9, .2 ..OM =3cm, ..ON =3cm, .BC=8cm, .5.woc-BC.ON-x8x3=12cm 2 12141 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【典例3】如图，三条公路两两相交于点A、B、C,现在要在公路边建一所加油站P,要求加油站P的位 置到三条公路的距离都相等 B (1)符合要求的位置有 个： (2)请你找出所有加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）： (3)你的作图依据是 【答案】(1)4；(2)作图见解析；(3)角平分线的判定定理 【详解】(1)解：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组） 的平分线交点到三角形三边的距离相等， 故符合要求的位置有4个： (2)解：如图所示，？、B、、P即为加油站的位置， (3)角平分线的判定定理 【变式1】如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD,CD=5BD,CI平分∠ACB交AD于点 Z,H⊥AC于点H,若BC=6,AC=8,SMBD=2,则H的长为一 B D 20 【答案】 13 13141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：过点I作E⊥BC于点E, H d BED C :CI平分∠ACB交AD于点I,IH⊥AC于点H, :IE =IH, CD=5BD,BC=6,S.4BD =2, :.CD-BC=5,Sm=5S,m=10 6 S.ACD=Sc+S.DCI:AC=8, C+CD:E-10 1 :)×8应+×5H 解得H=20 13· 【变式2】如图，在△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,OD⊥BC于点D.若OD=3, △ABC的面积是50，则△ABC的周长为一· 100 【答案】3 【详解】解：连接OA,过点O作OE⊥AB于点B,作OF⊥AC于点R,如图所示： 14141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,OD⊥BC于点D,OD=3, 故OF=OE=OD=3. OF.AC+OEAB+0D.BC-50, 2X3x(4C+AB+BC)=50, 解得4C+AB+BC=100 【变式3】某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带AB∥CD,绿化带MN交AB于 点M,交CD于点N,若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有 () C D A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 【答案】B 【详解】解：作∠AMN和∠CNM的平分线相交于B,过B作PE⊥AB于E,PF⊥MN于F, PG⊥CD于G, E M A P >P2 G/N D PE=PF=PG 即∠AMN和∠CNM的平分线的交点到AB、MN、CD距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件： 同理：∠BMW和∠DNM的平分线的交点到AB、MW、CD距离相等， 这两个角的平分线的交点满足条件 ·满足这条件的点有2个. 15141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型02角平分线判定与性质的综合应用 【典例1】如图，分别以△ABC的边AB,AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABD,ACE,连接 BE,CD,BE,CD交于点F,连接AF.下列结论中不一定成立的是() D A.∠DAF=∠DCA B.∠EFC=90° C.FA平分∠BFC D BE=CD 【答案】A 【详解】解：由题意得AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°， :.∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE,即∠DAC=∠BAE, 在△DAC和△BAE中， AD=AB ∠DAC=∠BAE, AC=AE ·.△DAC≌△BAE(SAS) .CD=BE,故D成立，不符合题意： :△DAC≌△BAE, .∠ADC=∠ABE. 设AD与BE交于点O,∠DAB=90°， :∠BOD=∠BAD+∠ABE=∠BFD+∠ADC .∠BFD=∠DAB=90°， .∠EFC=∠BFD=90°，故B成立，不符合题意： 过点A作AM⊥BE于点M,过点A作AW⊥CD于点N, 16141 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E M B .△DAC≌△BAE SAc=Sae即CD4N=EAM, 2 CD=BE .AM=AN,AM⊥BE,AN⊥CD, :.FA平分∠BFC,故C成立，不符合题意： 现有条件不足以证明∠DAF=∠DCA,故A不一定成立，符合题意. 【典例2】如图，O是△ABC的两外角平分线的交点.有下列结论：①OB=OC;②点O到AB,AC 的距离相等；③点O到△ABC的三边所在直线的距离相等；④点O在∠A的平分线上.其中正确的个数是 B 【答案】3 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于E,作OF⊥BC于R,作OG⊥AC于G, :点O是△ABC的两外角平分线的交点，OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥AC, ..OE=OF.OF=OG. ..OE=OF=OG :OE=OG,OE⊥AB,OG⊥AC, 17/41 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ ∴点O在∠A的平分线上，故②③④正确， 只有点F是BC的中点时，BO=CO,故①错误， 综上所述，说法正确的是②③④，有3个. 18/41 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例3】如图，在△ABC中，∠A=90°，点D、E分别在边AB、BC上，AD=CE,作EF⊥BC 于E,交边AC于F,DF=CF, (1)求证：BF平分∠ABC: (2)求证：BC+BD=2BE 【答案】(1)证明见解析：(2)证明见解析 【详解】(1)证明：，EF⊥BC,∠A=90°， .∠CEF=∠A=90°， 在Rt△ADF与Rt△ECF中， DF=CF AD=CE' ..RtAADFRtECF(HL), :AF=EF, :EF⊥BC,FA⊥AB, BF平分∠ABC (2)证明：在RtAABF与Rt△EBF中 BF=BF AF=EF' .RteABFRtAEBF (HL). .AB=BE, AD=CE. ·.AB-BD=BC-BE, .BE-BD=BC-AB. .BE-BD=BC-BE. .BC+BD=2BE 19141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】如图，四边形ABDC中，∠DAB=∠DAC=20°，∠ABD=114°，∠CBD=66°，则 ∠BCD的度数为() A.40° B.44° c.46° D.48° 【答案】B 【详解】解：如图，作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,DG⊥BC于G, B .∠DAB=∠DAC=20°， ∴AD平分∠BAC, :DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DF=DE, :∠ABD=114°， .∠EBD=180°-∠ABD=66°， .∠EBD=∠CBD. ∴BD平分∠CBE, :DE⊥AB,DG⊥BC, ..DG=DE, :DG=DF, :DF⊥AC,DG⊥BC, ∴.CD平分∠BCF, A∠BCD=∠BCF, .∠DAB=∠DAC=20°，∠ABD=114°，∠CBD=66° ·.∠BAC=∠DAB+∠DAC=40°，∠ABC=∠ABD-∠CBD=114°-66°=48°， 20141 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠BCF=∠BAC+∠ABC=40°+48°=88°， A∠BCD=∠BCF=44P 2 21/41 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，点D在△ABC外，∠BCD=135°，且BD平分 ∠ABC.以下结论：①CD平分△ABC的外角∠ACE;②∠BAC=2∠BDC:③AC平分∠BAD:④ ∠BDA=45°；其中正确的结论是 一（填写序号）. B 【答案】①②④ 【详解】解：①在Rt△ABC中，∠BCA=90°， :.∠ACE=180°-∠BCA=90°， :∠BCD=135°， .∠ACD=∠BCD-∠BCA=45° .∠ECD=∠ACE-∠ACD=90°-45°=45°， ,∠ACD=∠ECD=45°， .CD平分∠ACE, 即CD平分△ABC的外角∠ACE, 故结论①正确： ②：BD平分∠ABC, ∴设∠ABD=∠CBD=a, .∠ABC=2a, 在Rt△ABC中，∠BCA=90°， .∠BAC=90°-∠ABC=90°-2a, :∠ECD=45°，∠ECD是△CBD的外角， .∠ECD=∠CBD+∠BDC, ∴45°=a+∠BDC, .∠BDC=45°-a, .∠BAC=2∠BDC, 故结论②正确： ③过点D作DH⊥BE于点H,DF⊥AC于点F,DK⊥BA,交BA的延长线于点K,设BD与AC相 交于点P,如图所示： 22141 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B :BD平分∠ABC,CD平分△ABC的外角∠ACE, .DK=DH,DH=DF, ∴DK=DE 又：点D在∠KAC的内部， .AD是∠KAC的平分线， .∠BAC=90°-2a, :.∠KAC=180°-∠BAC=90°+2C, :∠CAD=号∠K4C=45°+a, .∠BAC≠∠CAD, ∴.AC不是∠BAD的平分线， 故结论③不正确： ④在Rt△BCP中，∠BPC=90°-∠CBD=90°-a, :∠APD=∠BPC=90°-a, 在AAPD中，∠BDA=180°-（∠CAD+∠APD)=180°-(45°+a+90°-a)=45°， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④. 【变式3】如图，已知BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE相交于点F,CF=BF. B N (1)写出图中所有全等三角形并证明： (2)求证：点F在∠A的平分线上 【答案】(I)△CDF≌aBEF,△ABD≌△ACE,证明见解析： 【详解】(1)解：△CDF≌△BEF,△ABD≌△ACE,证明如下： 23141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BD⊥AM,CE⊥AN, :.∠CDF=∠BEF=∠BDA=∠CEA=90°， ∠CDF=∠BEF=90° ∠CFD=∠BFE CF=BF :.aCDF≌aBEF(AAS), .DF =EF, :.DF+FB=EF+CF, 即DB=EC, ∠BDA=∠CEA=90° ∠A=∠A DB=EC :△ABD≌△ACE(AAS) (2)证明：由(1)知△CDF≌△BEF,可得FD=FE, 又：FD⊥AC,FE⊥AB, 点F在∠A的平分线上. 强化训练 基础自测 1.如图，利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，用到的三角形全等的判定方法是() A.SAS B.ASA c.SSS D.AAS 【答案】C 【详解】解：如图，连接CD,CE, 24/41 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 由作图得，OD=OE,DC=EC,OC=OC, .aOCD≌aOCE(SSS). :.∠DOC=∠EOC,即OC平分∠AOB ∴.用到的三角形全等的判定方法是SSS. 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC 于点D、B,再分别以点D、B为圆心，大于2DE长为半径作弧交于点卫，作射线BF交AC边于点M, 则∠BMC的度数为() M 人F D C EI B A.650 B.60° C.45° D.30° 【答案】A 【详解】解：，在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°， .∠ABC=180°-∠C-∠A=180°-90°-40°=50°， 根据题意可得BF平分∠ABC, :4CBM=∠48C=250, :.∠BMC=180°-∠C-∠CBM=180°-90°-25°=65° 3.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E,SABc=7,DE=2,AB=4,则 AC的长是() 25141 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B A.3 B.4 C.6 D.5 【答案】A 【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F,如图所示： B :AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, :DF =DE=2, :S。ABc=7,AB=4, DE+C.DF, 7=x4x2+540×2. 1 2 2 解得AC=3. 4.如图，线段AD,AE,AF分别是△ABC的角平分线、中线和高线，则下列结论中错误的是( ) ED FC A.点D到AB和AC的距离相等 B.∠BAC=2∠BAD C. SABc=2S。ACE D.AF>AD 【答案】D 【详解】解：，线段AD,AE,AF分别是△ABC的角平分线、中线和高线 ·.点D到AB和AC的距离相等，∠BAC=2∠BAD,SABC=2SACE,AF<AD, 26141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴错误的是选项D 5.如图，点O在一块直角三角板ABC上，其中∠ABC=30°，OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N, 连接OB.若OM=ON,则∠ABO的度数是() C A M B A.10° B.15° C.20° D.30° 【答案】B 【详解】解：ON⊥BC,OM⊥AB,OM=ON, ∴.BO是∠ABC的平分线： .∠ABC=30°， .∠AB0=5∠ABC=15° 2 6.已知点P是三角形的两条角平分线的交点，关于这个点，下列说法正确的是() A.到三角形的三个项点的距离相等 B.到三角形三边的距离相等 C.不一定在第三个角的平分线上 D.与顶点的连线垂直于该顶点的对边 【答案】B 【详解】解：，点P是两条角平分线的交点， ,点P是三角形的内心， .点P到三角形三边的距离相等，B正确，符合题意： A.内心到项点的距离不一定相等，故错误，不符合题意： C.三条角平分线必交于一点，因此点P一定在第三个角的平分线上，故错误，不符合题意： D.内心与顶点的连线不一定垂直于对边，故错误，不符合题意。 7.如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A,B,C,现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都 相等，△ABC内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有() 27141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 【答案】C 【详解】解： :△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，△ABC内部被河水填满无法施工， :.△ABC内角平分线的交点不满足条件： 如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点， 过点P作PE⊥AB,PD⊥BC,PF⊥AC, .PE=PF,PF=PD. .PE PF=PD. ∴，点P到△ABC的三边的距离相等， :∴，△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个： 综上，到三条公路的距离相等的点有3个 ∴.可供选择的地址有3个。 8.如图，在△ABC中，∠B=90°.AD平分∠BAC,DH⊥AC于点H,若BD:CD=2:3, BC=15,则DH=一 H D 【答案】6 【详解】解：BD:CD=2:3,BC=15, :BD=2BC=2x15=6 2 55 :∠B=90°，AD平分∠BAC,DH⊥AC, .DH =BD=6 28/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，AD平分∠BAC,CE=BF,∠BFD+∠C=180°，E 是AC的中点，若△DCE的面积为3cm,则△ABC的面积为： D 【答案】15cm2 【详解】解：如图：过点D分别作DG⊥AC于G,DH⊥AB于H, H B D :AD平分∠BAC, ,DG=DH.∠FAD=∠CAD wD S.CExDG,CE-8F 1 ∴SaD8r=ScE=3cm2. :E是AC的中点， :S。MDc=2S.pce=6cm2, :∠BFD+∠C=180°，∠BFD+∠AFD=180°， .∠AFD=∠C, AD=AD, .△ADF≌aADC(AAS), :.S。Aor=S。ADc-6cm2, .△ABC的面积为SADr+S.ADc+SDr=6+6+3=15cm2. 10.如图，点P是△ABC内部的一点，点P到三边AB,AC,BC,的距离PD=PE=PF, ∠BAC=80°，则∠BPC的度数为 29141 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B F 【答案】130° 【详解】解：点P到△ABC三边的距离PD=PE=PF, 在RtADBP和RtAFBP中， BP=BP PD=PF :.Rt△DBP≌RtAFBP(HL), .∠DBP=∠FBP, ∴.BP平分∠ABC, 同理，CP平分∠ACB, :∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB, 3 在△ABC中，根据三角形内角和定理：∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， 即∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°， :.∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=50°， .∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-50°=130° 30141 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 11.小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P,边OA与其中一把 直尺边缘的交点为C,点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是 C 678910 B 【答案】3cm 【详解】解：过P作PN⊥OB于N, A M 6 4 6 78910 由题意得：PM=PN,PC∥OB,PM⊥OA, :.PO平分∠AOB, .∠COP=∠NOP, PC∥OB .∠CPO=∠NOP, .∠COP=∠CPO. ..OC=PC. ,C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， .PC=5-2=3(cm), ∴.OC的长度是3cm. 31141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.如图，在△ABC中，其内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线BO,CO交于点O,过点O作 OE∥BC,交BA的延长线于点E,连接AO,若∠ACO=65°，则∠AOB的度数为， D B 【答案】25° 【详解】解：如图，过点O作OM⊥BD于点M,过点O作ON⊥BE于点N,过点O作OH⊥AC于点 H,设∠OBD=a. M D :C0平分∠ACD,∠AC0=65°， :.OH=OM,∠MC0=∠AC0=65°， :∠ACB=180°-∠MC0-∠AC0=180°-65°-65°=50°， :BO平分∠ABC, .ON=OM,∠OBE=∠OBD=a, .∠ABC=∠OBE+∠OBD=2a, :.∠EAC=∠ABC+∠ACB=2a+50°. .ON =OM,OH =OM, ..ON =OH .ON⊥BE,OH⊥AC, ∴点在O在∠EAC的角平分线上，即AO平分∠EAC, ÷∠E40=)∠E4C=)×(2a+50)=a+25, .∠AOB=∠EAO-∠ABO=a+25°-a=25°， 即∠40B的度数为25°. 32141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.如图，AO平分∠DAC,CO平分∠ACE,求证：BO平分∠EBD. 【答案】证明见解析 【详解】证明：过点O作OM⊥BD,ON⊥BE,OP⊥AC, A M 一D :AO平分∠DAC,CO平分∠ACE, ..OM=OP,ON=OP, :.OM=ON, ·.BO平分∠EBD 14.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作 EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF=50°，连接DE. B≤ D (1)求∠CAD的度数： (2)求证：DE平分∠ADC: (3)若AB=6,AD=4,CD=8,且SACD=12,求AABE的面积. 【答案】(1)∠CAD=40°；(2)证明见解析；(3)6 【详解】(1)解：：EF⊥AB,∠AEF=50°， .∠FAE=90°-50°=40°， :∠BAD=100°， :.∠CAD=180°-100°-40°=40°： 33141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：过点E作EG⊥AD于G,EH⊥BC于H, DH :∠FAE=∠DAE=40°，EF⊥BF,EG⊥AD, .EF =EG, :BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC, .EF =EH, .EG=EH, ÷.DE平分∠ADC: (3)解：S4cD=12, ∴.SADE+S.CDE= LAD-EG+CDEH=12. 即2×4xEG+)×8xEG=12, 2 解得EG=EH=2, EF=2, ∴SABE=ABEF=。x6×2=6 能力提升 1.如图，在△AOB和△D0C中，OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=110°，连接 AC、BD交于点M,连接OM.下列结论：①∠AMB=110°；②AC=BD:③OM平分∠AOD; ④MO平分∠BMC.其中正确的结论个数有()个. D B.3 C.2 D.1 34141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】解：：∠AOB=∠COD=110°. .∠AOB+∠AOD=∠AOD+∠COD 即∠AOC=∠BOD, 在△OAC和△OBD中， OA=OB ∠AOC=∠BOD, OC=OD .aOAC≌△OBD(SAS). :.∠OAC=∠OBD,AC=BD,所以②正确： 设BD与OA交于点N, :∠ANB=∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD, :.∠AMB=∠AOB=110°，所以①正确： 过O点作OE⊥AC于E,OF⊥BD于R,如图， ○ XM E .△OAC≌AOBD. 、.S.OAC=Sa08D AC=BD ..OE=OF, 、.MO平分∠BMC,所以④正确： 对于OM平分∠AOD,现有条件不足以证明， :.∠AOM≠∠DOM,所以③错误. 综上所述：正确的结论是①②④. 35141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋 转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论： M (I)PM=PN恒成立： (2)OM+ON的值不变： (3)四边形PMON的面积不变： (4)MN的长不变 其中正确的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】解：如图：如图作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F, N总 B :OP平分∠AOB, 2.PE=PF, 在Rt△PEO和Rt△PFO中， PO=PO PE=PF' .RtAPEORtAPFO(HL), ..OE=OF, :∠MPN与∠AOB互补， .∠MPN+∠AOB=180°， 36141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .:∠EPF+∠AOB=360°-∠PEO-∠PFO=180°， .∠EPF=∠MPN. .∠EPF-∠EPN=∠MPN-∠EPN, ∠MPE=∠NPF, 在△MPE和△NPF中， ∠MPE=∠NPF PE=PF ∠PEM=∠PFN .△MPE≌aNPF(ASA). :ME=FN,PM=PN,故(I)正确： :.OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE,即OM+ON的值不变，故(2)正确： △MPE≌△NPF(ASA),RtAPEO≌Rt△PFO(HL). S.POE =S.POF:SPME =S.PNF, :.S四边形PMON=SPOE+S,PME+SPOF-SPNE=2 SPOE,即四边形PMON的面积不变，故(3)正确： :∠AOB为定角， .∠MPN=180°-∠AOB,为定角， .PM=PN, .△PMN的形状确定， :PN的长度变化， ∴.MN的长度变化，故(4)错误： 综上所述，正确的有(1)、(2)、(3)，共3个. 3.如图，直线MN⊥PO,垂足为O,点A是射线OP上一点，OA=2,以OA为边在OP右侧作 ∠AOF=24°，且满足OF=4，若点B是射线ON上的一个动点（不与点O重合），连接AB.作 △AOB的两个外角平分线交于点C,在点B在运动过程中，当线段CF取最小值时，∠OFC的度数为 37141 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】69 【详解】解：如图，作CE⊥PO于E,CG⊥MN于G,CH⊥AB于H,连接OC, A M B :AC平分∠PAB,CE⊥PQ,CH⊥AB, .CE=CH, 同理可得，CG=CH, ..CE=CG. CE⊥PQ,CG⊥MW, :.OC平分∠AOB,即点C在∠AOB的平分线上， 240c-408=45, ,∠AOF=24°. .∠FOC=∠A0C-∠AOF=45°-24°=21°， 如图，作FC⊥OC于C',则CF≤CF,即CF的最小值为CF,此时点C与C重合， .∠FC'O=90°， .∠0FC=90°-∠F0C=90°-21°=69°. ∴.当线段CF取最小值时，LOFC的度数为69°， 38141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图1，在平面直角坐标系中，点A(x,0),B(0,y),且x,y满足x-6+(y-2)=0 D A x 图1 图2 备用图 (1)求△AOB的面积： (2)如图2，以AB为斜边构造等腰直角△ABC,点D是腰AC上的一点（不与A,C重合），连接BD, 过点A作AE⊥BD,垂足为点E ①若BD平分∠ABC,求证：AE=)BD, ②探究：连接CE,当点D在运动过程中，∠BEC的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值：若不 改变，求出这个定值 【答案】(1)6；(2)①证明见解析；②∠BEC的大小不变，总为45°，理由见解析 【详解】(1)解：：x-6+(0y-2)}2=0,x-6≥0,0y-2)2≥0， .x-6=0,y-2=0 解得：x=6,y=2 .A(6,0),B(0,2), ·。4OB的面积=2 ×6×2=6； (2)①证明：延长BC,AE,它们相交于点F,如图： y B E D A x :等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,且AE⊥BD, .∠AEB=90°， :'∠CBD+∠BDC+∠ACB=∠CAF+∠ADE+∠AEB=180 又：∠BDC=∠ADE, 39141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CBD=∠CAF, 在△BCD和△ACF中， 「∠CBD=∠CAF BC=AC ∠DCB=∠FCA :.△BCD≌△ACF(ASA), .BD=AF. :BD是∠ABC的角平分线， ∴.∠ABE=∠FBE, :AE⊥BD :.∠AEB=∠FEB=90°， 在△ABE和△FBE中， [∠ABE=∠FBE BE=BE ∠AEB=∠FEB .△ABE≌△FBE(ASA)J ·AE=FE,即AF=2AE, 6=如， ②∠BEC的大小不变，总为45°，理由如下： 作CM⊥BD,CN⊥AE,垂足分别是M,N,如图： t:N B ∴.∠BMC=∠ANC=90° 由①可知：∠CBD=∠CAE,AC=BC, 在△BCM和△ACN中， 40141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BMC=∠ANC ∠CBD=∠CAE, BC=AC .△BCM≌aACN(AAS), :.CM=CN,∠BCM=∠ACN, :.EC是∠MEN的角平分线， :∠BCM=∠ACN, .∠ACN+∠ACM=∠BCM+∠ACM=∠ACB=90°， :∠BEC=∠MEN=x90°=450. 2 2 41/41