专题02三角形的内角与外角精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦三角形内角与外角核心知识，系统梳理内角和定理、直角三角形性质与判定、外角定义及性质，构建从内角和到特殊三角形再到外角应用的递进学习支架，涵盖直接计算、方程思想、外角转化、折叠问题等角度计算方法。 资料通过重点辨析与常见错误提示培养学生推理意识，分基础到拔高的题型设计结合方程思想、外角转化等解题思路提升模型意识与运算能力，强调规范几何推理书写发展数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题02三角形的内角与外角精讲学案 核心立意： 掌握三角形内角和定理，熟练开展角度计算；理解三角形外角定义与性质，分清内角与外角；掌握直角三角形的性质与判定；会用方程、外角转化进行角度推导；规范几何推理书写，提升倒角题型解题能力。 三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180，与三角形大小、形状无关。 直角三角形 ①性质：直角三角形两个锐角互余，两锐角相加为90； ②判定：有两个角互余的三角形是直角三角形； ③记法：Rt。 三角形外角定义： 三角形一边与另一边延长线组成的角；一个三角形共有6个外角，同一顶点的两个外角相等。 外角性质1： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 外角性质2： 三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角。 三角形外角和： 每个顶点取一个外角，外角和等于360。 角度计算常用方法： ①直接利用内角和计算； ②角度存在比例、倍数关系，设未知数列方程； ③借助外角转化角度； ④折叠问题抓住折叠前后对应角相等。 考试提醒：几何大题不能只写结果，必须规范书写∵∴推理步骤。 重点辨析 ①三角形内角和恒为180，不受三角形形状大小影响； ②外角求和，只能加不相邻的内角，不含相邻内角； ③两锐角互余，只适用于直角三角形； ④分清：内角和180，外角和360； ⑤同一顶点的两个外角大小相等，读题看清题意。 ①运用外角性质时，忽略“不相邻”条件； ②混淆互余、互补，错记直角三角形两锐角和为180； ③遇到角度比例、倍数，不会使用方程思想解题； ④混淆内角和与外角和，错记外角和为180； ⑤识图出错，找错外角以及它对应的内角； ⑥只算出角度结果，缺少几何推理步骤，造成考试扣分。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形内角和定理的证明 ★★ 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 ★★ 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 ★★★ 题型四 三角形折叠中的角度问题 ★★★ 题型五 三角形内角和定理的应用 ★ 题型六 直角三角形的两个锐角互余 ★ 题型七 锐角互余的三角形是直角三角形 ★★ 题型八 三角形的外角的定义及性质 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一：三角形内角和定理的证明 解题思路：①作平行线辅助线，将三角形三个内角转移拼凑成平角180；②常用两种做法：过顶点作对边平行线、延长一边再作平行线；③利用平角定义完成定理证明。 1．如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了_________． 【答案】三角形内角和等于180° 【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答． 【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向， ∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数， ∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C， ∵笔尖方向变为点B到点A的方向， ∴旋转角度之和为180°， ∴这种变化说明三角形内角和等于180°． 故答案为：三角形内角和等于180°． 【点睛】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键． 2．李想同学想知道三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三角形三个内角拼在一起，若顶点重合、相邻边重合且组成平角，则验证了内角和为． 【详解】解：验证三角形内角和，需将三个内角拼在一起组成平角， ∵平角等于， ∴ 正确的拼法应使三个角的顶点重合，相邻边重合，且三个角之和构成平角， A选项拼法中角未紧密拼接，错误，该选项不符合题意； B选项拼法中边未重合，错误，该选项不符合题意； C选项拼法中角未构成平角，错误，该选项不符合题意； D选项拼法中三个角顶点重合，相邻边重合，构成平角，正确，该选项符合题意． 3．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意， ②∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故②符合题意， ③∵， ∴， ∵， ∴，故③符合题意， ④， ， 不能证明“三角形的内角和等于”故④不符合题意， 故选：A． 题型二：与平行线有关的三角形内角和问题 解题思路：①利用平行线性质，得到同位角、内错角相等，进行角的转化；②结合三角形内角和180；③代入已知角度，求出未知角。 4．如图所示，在中，，，，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】先根据三角形内角和定理求出，根据平行线的性质得出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在中，，，平分，交于，，交于点，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质；根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6．如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案． 【详解】解：设， ∵将沿翻折， 使得点B落在 处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折，使得点C 落在处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．如图，直线，，．若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作，利用平行线的判定和性质，求解即可； 【详解】解：过点B作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵，． ∴， ， ∴； 题型三：与角平分线有关的三角形内角和问题 解题思路：①根据角平分线，得到分成的两个小角相等；②结合三角形内角和定理列式；③有角度倍数关系时，可设未知数列方程求解。 8．如图，在中，，是的角平分线且，相交于点O，，求的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算． 【详解】解：∵，是的角平分线， ， ． ， ． 9．如图，在中，，平分交于点，，交于点．若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，掌握平行线传递角的关系、角平分线对角度的分配，以及三角形内角和的应用是解题的关键． 先利用平行线内错角相等的性质得到，再根据角平分线的定义求出，最后用三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴ 在中，，根据三角形内角和为：． 故答案为：． 10．如图所示，在中，点在延长线上，平分，平分，在射线上，平分，若，则_______；_______． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义、平角的定义、三角形内角和定理． 根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和定理求出，最后根据三角形内角和定理求出的度数；根据角平分线的定义得到，，继而得到，再利用平角的定义得到，进而根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵点在延长线上， ∴， ∴， ∴， ∵，在射线上， ∴， ∴． 11．如图，在中，，点在右侧，连接、，设，过作于点，点在内部，且平分，延长至点，使，则可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 ，利用“8字模型”表示出 ，进而表示出 和 ，最后利用三角形内角和及对顶角相等建立与的关系即可. 【详解】解：设， 平分， ， 设与交于点，在和中，， ， ， ， ， ， ， 共线， ， 设交于点 ， 在中，， 又， 在中，， ， . 题型四：三角形折叠中的角度问题 解题思路：①抓住折叠核心：折叠前后对应角大小相等；②找出图中全部相等的角；③结合内角和或者外角性质，列等式计算角度。 12．如图，将纸片沿折叠，点的对应点为．若，则___________°． 【答案】68 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，对顶角，熟练掌握折叠的性质解题的关键．由折叠的性质得，，，根据三角形内角和，，求得，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，，， 根据对顶角相等，， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：68． 13．如图，将沿着折叠，使点与点重合，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿着折叠，使点与点重合， ∴， ∴． 故选：A． 14．将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用平行线性质和折叠性质证得，结合直角三角形两锐角互余构建方程求解． 【详解】解：设． ， ． 由折叠性质知，． ． ． ． ， ． 在中，， ，即， 解得． ，故C正确． ，故B错误．． ． ，故D错误． ，故A错误． 15．如图，在三角形中，，，，点D在上运动，E是上一定点，将三角形沿所在直线折叠，点A的对应点为F，当时，的度数为______． 【答案】或 【分析】分两种情况：当点在的右边时，当点在的左边时，分别利用平行线的性质求出的度数，再结合折叠的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当点在的右边时，如图所示， ∵，， ， ， 将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ，，， ， ， ， ； ②当点在的左边时，如图， ，， ， 将沿所在直线折叠，点的对应点为点， ，， ， ∴， ； 综上所述，为或． 题型五：三角形内角和定理的应用 解题思路：①已知两个角，直接用180减去两角求第三个角；②遇到角度比例、倍数关系，设未知数；③根据内角和为180建立方程求解。 16．已知的三个内角分别是、、，若，，则________°． 【答案】 80 【详解】解：∵三角形内角和为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 17．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，撕掉的角的度数是（     ） A．10° B．40° C．50° D．80° 【答案】C 【分析】本题目考查三角形内角和定理，根据三角形内角和为即可求出撕掉的角的度数． 【详解】根据三角形内角和定理，三角形撕掉的角的度数是：． 18．如图所示，，则的度数为__度． 【答案】250 【分析】设交于点G，交于点K，交于点H，根据三角形内角和定理以及邻补角的性质可得，，再由，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点G，交于点K，交于点H， ∵， ∴， 同理， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 19．将每一个内角都是的五边形按如图所示方式放置，若直线，则和的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，与交于点，根据平行线的性质推出，，再根据三角形内角和推出和的数量关系即可． 【详解】解：如图，过点作，与交于点， ∵，， ∴， ∴，， ∴, 在中，， ∴， 整理得． 题型六：直角三角形的两个锐角互余 解题思路：①直角三角形中，两个锐角相加等于90；②已知一个锐角，用90减去已知角，得到另一个锐角。 20．中，，，则______． 【答案】60 【分析】直角三角形两锐角互余，即，结合条件，通过等量代换建立方程即可求出． 【详解】解：是直角三角形，， ， 又，即， 将代入得：， 解得：． 21．如图所示，工地地面的钢架直线与轨道直线形成的夹角．为了加固钢架，施工队需要在支点处焊接一根支撑柱连接轨道，为节省钢材，要让支撑柱用料最短，则支撑柱与钢架形成的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短和直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：要让支撑柱用料最短，那么支撑柱应垂直于轨道直线， ∴， ∵， ∴． 22．如图，在直角三角形与直角三角形中，，比大，则________． 【答案】/度 【分析】根据比大，并结合它们互余可求出，再根据直角三角形的两锐角互余求出，，再由角的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴． 23．如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， 又 ∵是的角平分线， ， ． 题型七：锐角互余的三角形是直角三角形 解题思路：①在同一个三角形中，计算得出两个内角相加等于90；②直接判定该三角形为直角三角形；③推理过程要写清两角互余的条件。 24．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据三角形内角和定理，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，对四个选项逐一分析，再判断是否存在的角． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； ，仅知道一个角为，无法确定是否存在的角（如等边三角形三个角均为）， 不能判定△ABC为直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 25．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 26．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各条件进行分析判断即可． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， ∴不能判定为直角三角形． ∴ 能判定的条件是． 故选：A． 题型八：三角形的外角的定义及性质 解题思路：①分清外角以及它不相邻的两个内角（易错点：不能用相邻内角）；②外角等于两个不相邻内角之和；③外角大于任意一个不相邻内角，用于倒角计算角度。 27．如图，在中，，点在的延长线上，，则_____． 【答案】 【分析】利用三角形外角性质直接算出答案． 【详解】解：， ． 28．如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 29．如图，已知，则，，的数量关系为_____． 【答案】 【分析】延长交于点，利用平行线的性质得出内错角相等，再结合三角形外角的性质即可得出三个角之间的数量关系. 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ， 是的外角， ， . 30．如图，中，的平分线与外角的平分线交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质、角平分线的定义，利用角平分线性质和外角性质推导角之间的数量关系即可． 【详解】解：的平分线与外角的平分线交于点， ，， 是的外角， ，即， 又是的外角， ， ， ，即， ． 解答题 1．如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且． (1)请证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：是的角平分线， ， 又是的高线， ， 又， ， ， 即； (2)． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形的性质． 根据角平分线的定义可知，根据垂直的定义可知，所以可得：，等量代换可得：，根据三角形内角和定理可证； 根据，可知，又因为，所以可得：，等量代换可得：，从而可求的度数． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由可知， ， ， 即， ． 2．如图，B，F，E，C在同一条直线上，，若，求证：． 【答案】证明：，，，， ， ∴． 【分析】根据三角形内角和定理并结合题意得出，再结合平行线的判定定理即可得证． 【详解】略． 3．如图所示，在中，是高，是角平分线且交于点，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理求得，再利用垂直的定义结合三角形的内角和即可得到结论； （2）根据三角形的内角和和角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， 又∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 4．如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图1，，点、点分别为、上的点．射线从顺时针旋转至停止，射线从逆时针旋转至便立即回转．若射线的旋转速度为秒，射线的旋转速度为秒，且，满足．射线、射线同时转动与停止，设射线运动时间为． (1)求、的值； (2)若射线与射线交于点，当，求的值； (3)如图2，射线（点在点的左侧）从顺时针旋转，速度为秒，且与射线、射线同时转动与停止．若，则当为何值时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）由绝对值的非负性和偶次方的非负性得方程组，解方程组即可； （2）分交点在线段的两侧进行讨论，得 和 ，分别列出关于的方程，解出方程即可； （3）三条射线所在的直线能围成直角三角形可分类讨论：当时，射线从逆时针旋转至，当时，射线从开始顺时针旋转，当时，射线从顺时针旋转至停止．再分别考虑是哪两条直线垂直构成直角三角形． 【详解】（1）∵，， 解得， ，； （2）由题意知当运动的时间为时， ， ， 如图，当点在线段的右侧时，过点作，则， ，， ， 即 解得； 如图，当点在线段的左侧时，同理可得 解得； 综上可得，或． （3）， 当时，射线从逆时针旋转至，当时，射线从开始顺时针旋转，当时，射线从顺时针旋转至停止． 由题意知当运动的时间为时， ， ， ， ①当直线垂足为，即时，为直角三角形，如图所示，点在线段右侧时，则 解得 ②当直线垂足为，即时，为直角三角形，如图所示，点在线段左侧时，则 解得 当时，，， ， ， ， ，不能构成三角形， 不符合题意； ③当直线垂足为，即 时，为直角三角形，如图所示， ， ，则 解得 由题意知当运动的时间为时， ， ， ， ④当直线垂足为，即 时，为直角三角形，如图所示， ， ，则 解得 ⑤当时，直线与直线重合，，为直角三角形． 综上所述，当或或或时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 6．综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，若，则_____． (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．其中，求的度数用表示． (3)如图3，平分外角，平分外角．试确定与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：结论：；理由如下： ∵平分外角，平分外角， ，， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，即可得出答案； （3）根据三角形外角的性质和角平分线的定义，求出，，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵、分别平分和， ∴，（角平分线的定义）， ∵（三角形内角和定理）， ∴ ． 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， 即， ∴； （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02三角形的内角与外角精讲学案 核心立意： 掌握三角形内角和定理，熟练开展角度计算；理解三角形外角定义与性质，分清内角与外角；掌握直角三角形的性质与判定；会用方程、外角转化进行角度推导；规范几何推理书写，提升倒角题型解题能力。 三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180，与三角形大小、形状无关。 直角三角形 ①性质：直角三角形两个锐角互余，两锐角相加为90； ②判定：有两个角互余的三角形是直角三角形； ③记法：Rt。 三角形外角定义： 三角形一边与另一边延长线组成的角；一个三角形共有6个外角，同一顶点的两个外角相等。 外角性质1： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 外角性质2： 三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角。 三角形外角和： 每个顶点取一个外角，外角和等于360。 角度计算常用方法： ①直接利用内角和计算； ②角度存在比例、倍数关系，设未知数列方程； ③借助外角转化角度； ④折叠问题抓住折叠前后对应角相等。 考试提醒：几何大题不能只写结果，必须规范书写∵∴推理步骤。 重点辨析 ①三角形内角和恒为180，不受三角形形状大小影响； ②外角求和，只能加不相邻的内角，不含相邻内角； ③两锐角互余，只适用于直角三角形； ④分清：内角和180，外角和360； ⑤同一顶点的两个外角大小相等，读题看清题意。 ①运用外角性质时，忽略“不相邻”条件； ②混淆互余、互补，错记直角三角形两锐角和为180； ③遇到角度比例、倍数，不会使用方程思想解题； ④混淆内角和与外角和，错记外角和为180； ⑤识图出错，找错外角以及它对应的内角； ⑥只算出角度结果，缺少几何推理步骤，造成考试扣分。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形内角和定理的证明 ★★ 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 ★★ 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 ★★★ 题型四 三角形折叠中的角度问题 ★★★ 题型五 三角形内角和定理的应用 ★ 题型六 直角三角形的两个锐角互余 ★ 题型七 锐角互余的三角形是直角三角形 ★★ 题型八 三角形的外角的定义及性质 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一：三角形内角和定理的证明 解题思路：①作平行线辅助线，将三角形三个内角转移拼凑成平角180；②常用两种做法：过顶点作对边平行线、延长一边再作平行线；③利用平角定义完成定理证明。 1．如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了_________． 2．李想同学想知道三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（     ） A． B． C． D． 3．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 题型二：与平行线有关的三角形内角和问题 解题思路：①利用平行线性质，得到同位角、内错角相等，进行角的转化；②结合三角形内角和180；③代入已知角度，求出未知角。 4．如图所示，在中，，，，则的度数是________． 5．如图，在中，，，平分，交于，，交于点，则的大小是（   ） A． B． C． D． 6．如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则______． 7．如图，直线，，．若，则等于（     ） A． B． C． D． 题型三：与角平分线有关的三角形内角和问题 解题思路：①根据角平分线，得到分成的两个小角相等；②结合三角形内角和定理列式；③有角度倍数关系时，可设未知数列方程求解。 8．如图，在中，，是的角平分线且，相交于点O，，求的度数（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，平分交于点，，交于点．若，则的度数是_____． 10．如图所示，在中，点在延长线上，平分，平分，在射线上，平分，若，则_______；_______． 11．如图，在中，，点在右侧，连接、，设，过作于点，点在内部，且平分，延长至点，使，则可表示为（     ） A． B． C． D． 题型四：三角形折叠中的角度问题 解题思路：①抓住折叠核心：折叠前后对应角大小相等；②找出图中全部相等的角；③结合内角和或者外角性质，列等式计算角度。 12．如图，将纸片沿折叠，点的对应点为．若，则___________°． 13．如图，将沿着折叠，使点与点重合，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 15．如图，在三角形中，，，，点D在上运动，E是上一定点，将三角形沿所在直线折叠，点A的对应点为F，当时，的度数为______． 题型五：三角形内角和定理的应用 解题思路：①已知两个角，直接用180减去两角求第三个角；②遇到角度比例、倍数关系，设未知数；③根据内角和为180建立方程求解。 16．已知的三个内角分别是、、，若，，则________°． 17．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，撕掉的角的度数是（     ） A．10° B．40° C．50° D．80° 18．如图所示，，则的度数为__度． 19．将每一个内角都是的五边形按如图所示方式放置，若直线，则和的数量关系是（     ） A． B． C． D． 题型六：直角三角形的两个锐角互余 解题思路：①直角三角形中，两个锐角相加等于90；②已知一个锐角，用90减去已知角，得到另一个锐角。 20．中，，，则______． 21．如图所示，工地地面的钢架直线与轨道直线形成的夹角．为了加固钢架，施工队需要在支点处焊接一根支撑柱连接轨道，为节省钢材，要让支撑柱用料最短，则支撑柱与钢架形成的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 22．如图，在直角三角形与直角三角形中，，比大，则________． 23．如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型七：锐角互余的三角形是直角三角形 解题思路：①在同一个三角形中，计算得出两个内角相加等于90；②直接判定该三角形为直角三角形；③推理过程要写清两角互余的条件。 24．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 25．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 26．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 题型八：三角形的外角的定义及性质 解题思路：①分清外角以及它不相邻的两个内角（易错点：不能用相邻内角）；②外角等于两个不相邻内角之和；③外角大于任意一个不相邻内角，用于倒角计算角度。 27．如图，在中，，点在的延长线上，，则_____． 28．如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 29．如图，已知，则，，的数量关系为_____． 30．如图，中，的平分线与外角的平分线交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 解答题 1．如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且． (1)请证明：； (2)若，求的度数． 2．如图，B，F，E，C在同一条直线上，，若，求证：． 3．如图所示，在中，是高，是角平分线且交于点，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 4．如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 5．如图1，，点、点分别为、上的点．射线从顺时针旋转至停止，射线从逆时针旋转至便立即回转．若射线的旋转速度为秒，射线的旋转速度为秒，且，满足．射线、射线同时转动与停止，设射线运动时间为． (1)求、的值； (2)若射线与射线交于点，当，求的值； (3)如图2，射线（点在点的左侧）从顺时针旋转，速度为秒，且与射线、射线同时转动与停止．若，则当为何值时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 6．综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，若，则_____． (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．其中，求的度数用表示． (3)如图3，平分外角，平分外角．试确定与的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $