13.3 三角形的内角与外角--导学案--2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“三角形的内角和外角”，核心知识点包括三角形内角和定理及外角性质。课堂导入从回忆内角和定理切入，通过三种作平行线的证法引导学生推理证明，衔接直角三角形锐角互余性质，再过渡到外角的定义与性质探究，构建从已知到未知的学习支架。 资料特色在于注重培养学生数学思维与几何直观，通过多种证法引导推理意识，例题练习分层设计，从基础角度计算到综合五角星角度求和，结合外角拼凑验证等探究活动，提升抽象能力与应用意识，助力学生理解知识本质并学会用数学语言表达。

13.3 三角形的内角和外角 知识框架： · 三角形的内角 · 三角形的外角 1、 内角 回忆：三角形三个内角的和等于180°（三角形内角和定理） 思考如何证明？ 已知：△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°． 证法１ 过A作EF∥BC， ∴∠B＝∠2（两直线平行，内错角相等）． ∠C＝∠1（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠2＋∠1＋∠BAC＝180°，∴∠B＋∠C＋∠BAC＝180°． 证法2 延长BC到D，过C作CE∥BA， ∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等）． ∠B＝∠2（两直线平行，同位角相等）． 又∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°，∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°． 证法3： 过A作AE∥BC， ∴∠B＝∠BAE（两直线平行，内错角相等）， ∠EAB＋∠BAC＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠B＋∠C＋∠BAC＝180°． 例题精析 例1 在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：4，求∠A，∠B，∠C的度数． 解：设每一份角为x°，则∠A＝2x°，∠B＝2x°，∠C＝4x°， 由三角形内角和定理，可得 2x＋2x＋4x＝180， 解得x＝22.5，2x＝2×22.5＝45，4x＝4×22.5＝90． 练习1 （1）在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝43°，则∠ACB＝_______，∠ACD＝_______． （2）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝_______． 思考：直角三角形（符号“Rt△”）的角有没有其他特殊的性质呢？ 在直角三角形ABC中，∠C＝90°，已知，∠A＋∠B＋∠C＝180°， 即∠A＋∠B＋90°＝180°，所以∠A＋∠B＝90°． 也就是说，直角三角形的两个锐角互余． 反之，有两个角互余的三角形是直角三角形． 例题精析 例2 如图∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E．∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ 解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC． 在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED． ∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE． 练习2 1、如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ 课堂练习1 1．如图，∠A＝40°，∠B＝53°，∠D＝67°，求∠E的度数． 2．如图，∠B＝40°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________． 3．如图所示，AD、AE分别为△ABC的高线和角平分线，且∠B＝35°，∠C＝45°，求∠DAE的度数． 4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE＝35°，则∠A的度数为（ ）． A．35° B．45° C．55° D．65° 作业1 1．如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是（ ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．在△ABC中，∠C＝40°，且∠B∶∠A＝4∶3，那么∠B的度数为（ ）． A．40° B．60° C．80° D．120° 3．已知三角形的一个内角是另一个内角的，是第三个内角的，则这个三角形各内角的度数分别为（ ）． A．60°，90°，75° B．48°，72°，60° C．48°，32°，38° D．40°，50°，90° 4．如果一个三角形的三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是（ ）． A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 5．如图所示，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（ ）． A．40° B．45° C．50° D．55° 6．已知∠A＝80°，∠B－∠C＝40°，则∠C＝________． 7．已知∠A＋∠B＝100°，∠C＝2∠A，则∠A＝________． 8．根据下列条件，判断△ABC是锐角三角形，直角三角形，还是钝角三角形． （1）∠A＝80°，∠B＝25°；（2）∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3； （3）∠A＝∠B＝∠C． 2、 外角 如图， 像这样三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． · 三角形的外角共有几个？6个 · 三角形的外角有什么特点？ ①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一条边； ③另一条边是三角形边的延长线． · 性质1：三角形的一个外角与它相邻的内角互补 （1）∠ACD与∠ACB的位置．（2）∠ACD与∠ACB有什么关系？ （3）∠ACD（外角）＋∠ACB（相邻的内角）＝________． 答案：（1）相邻（2）邻补角（3）180°． · 性质2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 （1）∠ACD与∠A，∠B的位置关系． （2）猜测∠ACD与∠A，∠B的大小会有什么关系？ （3）把△ABC的∠A，∠B剪下，拼凑在∠ACD上，观察会出现什么结果？ （4）如何来证明∠ACD＝∠A＋∠B． 证明：因为∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（三角形内角和定理）， 所以∠A＋∠B＝180°－__________． 又因为∠ACD＝180°－__________（平角的定义），所以__________＝____________． （5）选择．∠ACD ∠A（＞，＜）；∠ACD ∠B（＞，＜）． 例题精析 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解法1：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，∠ACD＝∠1＋∠2． ∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2（∠1＋∠2＋∠3）． 由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得 ∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°． 解法2：由∠BAE＋∠1＝∠CBF＋∠2＝∠ACD＋∠3＝180°，得 ∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝3×180°－（∠1＋∠2＋∠3）＝540°－180°＝360°． 解法3：过A作AG平行于BC，∴∠CBF＝∠BAG， ∠ACD＝∠EAG（两直线平行，同位角相等）． ∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝∠BAE＋∠BAG＋∠EAG＝360°． 结论：三角形外角的和等于360°． 课堂练习2 1．如图所示，在△ABC中，D是BC上任意一点，E是AD上任意一点，∠ADB是_____的外角，∠AEB是________的外角，∠CDA是________的外角． 2．如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝70°， 求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数． 3．在五角星图形中，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数． 作业2 1．三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是（ ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．下列叙述正确的是（ ）． A．三角形的外角等于两个内角的和 B．三角形的外角大于内角 C．三角形任何两个内角的和都等于第三个角的外角 D．三角形每一个内角都只有一个外角 3．下列说法正确的是（ ）． A．三角形的每一个外角都大于和它相邻的一个内角 B．三角形的一个外角可以等于和它相邻的一个内角 C．三角形的外角和等于180° D．三角形中至少有一个外角小于和它相邻的内角 4．在△ABC中，∠A，∠B的外角分别是120°，150°，则∠C＝（ ）． A．120° B．150° C．60° D．90° 5．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠5是∠1的（ ）． A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．6倍 6．三角形的外角都大于和它相邻的内角，则这个三角形是（ ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定 7．如图，∠1＝________． 8． 如图，试比较图中的两个角的大小：∠BAC________∠BEC． 9．如图，△ABC中，∠A＝80°，∠B、∠C的角平分线相交于点O，∠ACD＝30°，求∠DOB的度数． 检测2 1．如图，∠1是△ABC的一个外角，直线DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，∠1＝120°，则∠2的度数是______． 2．如图，已知∠1＝100°，∠2＝140°，那么∠3＝__________． 3．如图，在Rt△ADB中，∠D＝90°，C为AD上一点，则x可能是（ ）． A．10° B．20° C．30° D．40° 4．如图，已知AB∥CD，则（ ）． A．∠1＝∠2＋∠3 B．∠1＝2∠2＋∠3 C．∠1＝2∠2－∠3 D．∠1＝180°－∠2－∠3 5．在如图所示的五角星中，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的和． 答案 练习1： （1）82°，98°；（2）50°． 练习2 解：在Rt△ABC中，∠A＋∠2＝90°． ∵∠1＝∠2，∴∠A＋∠1＝90°，∴△ADE是直角三角形． 课堂练习1 1、解：在△ABC中，因为∠B＝53°，∠A＝40°， 所以∠ACB＝180°—∠A—∠B＝180°—40°—53°＝87° ∠DCE＝∠ACB＝87°（对顶角相等）． 在△DCE中，∠E＝180°—∠D—∠DCE＝180°—67°—87°＝26° 2、280°． 3、解：在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝45°，∴∠BAC＝＝100°． 又∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝＝50°．∴∠CAD＝90°－45°＝45°， ∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝50°－45°＝5°． 4、 C 作业1 1．A． 2．C． 3．B． 4．B． 5．A．6．30°．7．40°． 8．（1）∵∠A＝80°，∠B＝25°，∴∠C＝＝75°（三角形内角和定理）． ∵∠A是最大角且为锐角，∴△ABC是锐角三角形． （2）设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x， ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形内角和性质），即x＋2x＋3x＝180°， 解得x＝30°．∴最大角∠C＝3x＝3×30°＝90°．故△ABC是直角三角形． （3）设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝6x，∴x＋2x＋6x＝180°，∴x＝20°， ∴最大角∠C＝6x＝6×20°＝120°．∴△ABC是钝角三角形． 课堂练习2 1、答案：△ACD，△DBE，△DBE或△ABD． 2、解：（1）因为∠ADC是△ABD的外角，所以∠ADC＝∠B＋∠BAD＝80°． 又∠B＝∠BAD，所以∠B＝80°×＝40°． （2）在△ABC中，因为∠B＋∠BAC＋∠C＝180°， 所以∠C＝180°－∠B－∠BAC＝180°－40°－70°＝70° 3、解：因为∠A＋∠C＝∠EFG，∠B＋∠D＝∠EGF，∠EGF＋∠EFG＋∠E＝180°． 所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°． 作业2 1．C． 2．C． 3．B． 4．D． 5．C． 6．A．7．130°．8．＜． 9．∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO＝∠CBO，∠BCD＝∠ACD＝30°． 又∵∠A＝80°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACD－∠BCD＝40°． ∴∠CBO＝∠ABC＝×40°＝20°．∴∠DOB＝∠CBO＋∠BCD＝50°． 检测2 1．30°．点拨：因为∠1＋∠ACB＝180°，∠1＝120°，所以∠ACB＝60°．又因为DE∥BC，所以∠AED＝∠ACB＝60°．在△ADE中，∠A＋∠2＋∠AED＝180°，∠A＝90°，所以∠2＝180°－90°－60°＝30°． 2．60°．点拨：∠4＝180°－∠1＝180°－100°＝80°，∠5＝180°－∠2＝180°－140°＝40°．由三角形内角和定理，得∠3＝180°－∠4－∠5＝180°－80°－40°＝60°． 3．B．点拨：因为∠ACB是△BDC的一个外角，所以6x应该大于90°且小于180°．因只有20°在此范围内，所以x可能是20°，故选B． 4．A．点拨：因为AB∥CD，所以∠3＝∠ABD．因为∠1＝∠2＋∠ABD，所以∠1＝∠2＋∠3 5．解：如图所示，因为∠1是△BDF的一个外角，所以∠1＝∠B＋∠D． 同理：∠2＝∠C＋∠E． 在△AGF中，因为∠A＋∠1＋∠2＝180°， 所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°． 学科网（北京）股份有限公司 $