第17章 因式分解 专题训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以“概念-方法-应用-思想”为主线，系统整合提公因式法、公式法等核心方法，通过几何直观与代数推理融合，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-2|因式分解定义/公因式确定|概念生成：从定义辨析到公因式本质理解| |基本方法|选择3/填空11-13|提公因式+公式法（先提后套）|方法构建：单一方法到组合应用| |综合应用|选择4/解答14-16|几何验证/分解彻底/配方求值|应用拓展：代数变形与几何意义结合| |数学思想|解答17|整体思想/十字相乘法|思想提升：具体方法到数学思维迁移|

第章 因式分解 专题训练 —学年人教版八年级数学上册 （范围：第十七章 因式分解　　时长：分钟　　满分：分） 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．下列等式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） ．　　． ．　　． ．多项式与的公因式是（　　） ．　　　　　　　．　　　　　　　．　　　　　　　． ．把分解因式，结果正确的是（　　） ．　　　　．　　　　　．　　　　． ．如图，从一个边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，把剩余部分沿虚线剪开，恰好拼成图的长方形．这一过程验证的等式是（　　） ．　　　． ．　　． ．若是一个完全平方式，则的值为（　　） ．　　　　　　　　　．　　　　　　　　　．或　　　　　　　．或 ．下列因式分解正确且彻底的是（　　） ．　　． ．　　． ．用因式分解计算的结果是（　　） ．　　　　　　　　．　　　　　　　　．　　　　　　　　． ．若，则的值为（　　） ．　　　　　　　　　．　　　　　　　　　　．　　　　　　　　　． ．已知，则的值为（　　） ．　　　　　　　　．　　　　　　　　．　　　　　　　　． ．计算的结果是（　　） ．　　　　　　　　．　　　　　　　　．　　　　　　　． 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．分解因式：． ．分解因式：． ．分解因式：． ．如图，大正方形的边长为，剪去的空白小正方形的边长为，则阴影部分的面积为（用含的式子表示）；若，则阴影部分的面积为． ．已知，则的值为． ．如图，的三边满足，则的形状是三角形． 三、解答题（本大题共小题，共分） ．（分）分解因式： ；　　． ．（分）分解因式： ；　　． ．（分）分解因式（注意分解彻底）： ；　　． ．（分）如图，一个边长为的正方形被分割成四块． 用两种不同的方法表示这个正方形的面积，并据此写出分解因式的结果； 利用完全平方公式计算：． ．（分）如图，是的三边长，且满足． 求的值； 若是等腰三角形，求的值． ．（分）【阅读与思考】对于形如的二次三项式，可以先把常数项分解成两个因数的积，并使恰好等于一次项系数，从而直接分解为．例如：． 如图，利用长方形的面积可以直观地解释这种分解方法． 请解答下列问题： 仿照上述方法分解因式：；； 若也能用上述方法分解为两个一次整式的积，直接写出的所有可能值； 利用整体思想分解因式：． 第章 因式分解 专题训练 —学年人教版八年级数学上册（参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ． 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆变形． 【详解】右边都不是积的形式（是整式乘法或部分分解），只有把多项式化成了两个整式的积．故选． 【评分标准】判断正确得分． ． 【分析】公因式是各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的积． 【详解】系数最大公约数为的最低次幂为的最低次幂为公因式为．故选． 【评分标准】判断正确得分． ． 【分析】首项为负时，一般先提出负号，使括号内首项为正． 【详解】．故选． 【评分标准】判断正确得分． ． 【分析】图中剩余部分（形）的面积为；图拼成的长方形长为，宽为，面积为． 【详解】剪拼前后图形面积不变，，这一过程验证了平方差公式．故选． 【评分标准】判断正确得分． ． 【分析】完全平方式形如，注意一次项系数有正负两种情况． 【详解】，中间项应为或．故选． 【评分标准】判断正确得分（漏一解只得分）． ． 【分析】因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【详解】．，原式分解不彻底；．，原分解错误；．，分解不彻底；．正确且彻底．故选． 【评分标准】判断正确得分． ． 【分析】先提公因式，再用平方差公式． 【详解】．故选． 【评分标准】提公因式得分，用平方差得分，结果得分，共分． ． 【分析】先把右边展开，再对照各次项系数． 【详解】．故选． 【评分标准】展开正确得分，得分，共分． ． 【分析】由先求出，再把整体代换求值． 【详解】，即，又．．故选． 【评分标准】求出得分，整体代换得得分，共分． ． 【分析】式子前面乘一个，即可连续使用平方差公式． 【详解】．故选． 【评分标准】补乘得分，连续用平方差得分，结果得分，共分． 二、填空题（每小题分，共分） ． 【分析】公因式为，用提公因式法． 【详解】． 【评分标准】结果正确得分． ． 【分析】先提公因式，再用完全平方公式，即"先提后套"． 【详解】． 【评分标准】提公因式得分，继续分解得分，共分． ． 【分析】先提公因式，再用平方差公式． 【详解】． 【评分标准】提公因式得分，公式分解得分，共分． ．； 【分析】阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，再用平方差公式分解后整体代入． 【详解】阴影． 【评分标准】表示出得分，用平方差分解得分，结果得分，共分． ． 【分析】把常数项拆成，配方成两个完全平方式的和，利用非负性求出． 【详解】．且，即． 【评分标准】配方正确得分，结果得分，共分． ．等边 【分析】移项配方，把条件转化为几个完全平方式之和为零，利用非负性得三边相等． 【详解】由，得，两边同乘并配方：，即．三项都是非负数，是等边三角形． 【评分标准】配方得分，结论得分，共分． 三、解答题（共分） ．（分） 【分析】公因式为；，用平方差公式． 【详解】； ． 【评分标准】每小题各分，方法正确得分，结果得分，共分． ．（分） 【分析】；． 【详解】； ． 【评分标准】每小题各分，识别公式得分，结果得分，共分． ．（分） 【分析】"先提后套"：先提公因式，再对括号内的式子用公式继续分解． 【详解】； ． 【评分标准】每小题各分，提公因式得分，公式分解得分，分解彻底得分，共分． ．（分） 【分析】正方形的面积既可整体表示，也可用四块面积之和表示，两种表示相等即得分解结果；中，凑成完全平方式． 【详解】整体表示：；分块表示：．两种表示方法相等，． ． 【评分标准】两种表示各得分，写出分解结果得分，共分；凑成完全平方式得分，结果得分，共分． ．（分） 【分析】把拆成，配方成两个完全平方式的和，利用非负性求；再按等腰三角形的腰分类讨论，并用三边关系检验． 【详解】，即．且，即． 若是等腰三角形，则或，即或．当时，三边为，满足三边关系；当时，三边为，满足三边关系．或． 【评分标准】配方得分，求出得分；分两类讨论各得分，无遗漏得分． ．（分） 【分析】把常数项分解成两数之积，使这两数的和等于一次项系数；中把按不同方式分解成两因数之积；把看作整体，设再套用阅读材料的方法． 【详解】，且； ，且． ，对应的一次项系数分别为的所有可能值为． 设，则原式，再把换回，得． 【评分标准】每小题分，共分；每写出一个的值得分，共分；设整体得分，分解得分，换回得分，共分，合计分． 学科网（北京）股份有限公司 $