第17章因式分解单元测试 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 八年级数学上册因式分解单元测试卷，全面覆盖因式分解定义、公式应用、方法拓展（如十字相乘、待定系数法），通过基础巩固与创新应用分层设计，情境化问题（密码解码、地砖面积）渗透数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|因式分解定义、平方差公式、完全平方公式|结合矩形周长面积考代数变形（第5题），密码解码情境（第7题）体现应用意识| |填空题|10/20|公因式、分解因式、代数式求值|坐标系作图结合角平分线性质（第16题），培养几何直观| |解答题|6/56|提公因式法、公式法、十字相乘法、待定系数法|材料阅读题（21-23题）引入姬曼定理等拓展方法，数形结合题（24题）强化模型意识，分层考查推理能力|

八年级数学上册因式分解单元测试卷（一） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列多项式中，能运用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，边长为，的矩形的周长为，面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 7．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … … 明文 … 中 爱 国 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ） A．我爱中国 B．美丽中国 C．我爱美丽 D．中国美丽 8．如图1，用1块正方形地砖铺在正方形的台面上，未能完全覆盖．如图2，用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，会有一部分超出台面，超出台面部分的面积为．若地砖与台面的边长均为整数（单位：），则台面与这种型号的地砖边长相差（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9.多项式的公因式是__________． 10．分解因式：________． 11．把多项式分解因式的结果是_____． 12．一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：___________． 13．因式分解： ______ 14．将因式分解的结果为，那么“”表示的数是_______． 15．计算：_____ ． 16．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点，若点的坐标为，则代数式的值为_____． 17．若实数a，b满足，则代数式的值为_______________． 18．若实数满足，则代数式的值为______． 三、解答题（本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）因式分解： (1) (2) 20．（6分）观察下面的等式：，，，，…． (1)尝试：___________． (2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 21．（4分）材料：如何将型的式子分解因式呢？ 我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：． 例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为______________； (2)若利用十字相乘法可分解为（a，p均为整数），求a和p的值． 22．（10分）请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 23．（14分）1637年笛卡尔（R．Descartes，1596-1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 解：观察可知：当时，原式． 原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为，则， ， 等式两边同次幂的系数相等， 则有：，解得． ． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知． 当________时，原式． 所以原式可分解为________与另一个整式的积． 若设另一个整式为，则________，________． (2)已知多项式（为常数）有一个因式是， 求另一个因式以及的值． 下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程． 请帮小明完成他的解答过程． 解：设另一个因式为，则． … (3)已知二次三项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为________，的值为________． 24．（14分）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题． 从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如：． 拆项法：例如：． (1)利用分组分解法，因式分解； (2)利用拆项法，因式分解； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． (3)根据图1，多项式可以因式分解为___________； (4)根据图2，若，，求的值． 参考答案 1．C 【分析】根据因式分解的定义解答． 【详解】解：中不是整式，故A选项不符合题意； 是整式乘法计算，故B选项不符合题意； 是因式分解，故C选项符合题意； 不是分解为整式的乘积形式，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查因式分解的定义：将一个多项式写成几个整式的积的形式叫做将多项式分解因式，熟记定义是解题的关键． 2．C 【分析】本题考查平方差公式因式分解的概念，掌握平方差公式的适用条件是解题关键． 根据平方差公式的结构特征，逐一判断多项式是否符合“二项式、两项符号相反、且两项均能表示为某个整式的平方”的条件． 【详解】解：可用平方差公式因式分解的结构是：二项式，两项符号相反，且两项均为平方形式， 选项：，两项符号相同，不符合； 选项：，非平方项，不符合； 选项：，符合平方差公式，可分解为； 选项：，两项符号相同，不符合． 故选：． 3．D 【分析】根据完全平方公式的结构特征，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A、∵不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，故 A错误． B、不符合完全平方公式结构，无法用完全平方公式因式分解，故B错误． C、的一次项不是两个平方项底数乘积的倍，不符合完全平方公式结构，故C错误． D、，符合完全平方和公式结构，可分解为，故 D正确． 4．C 【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 5．A 【分析】根据矩形的周长公式和面积公式分别求出与的值，再代入计算即可． 【详解】解：矩形的周长为，面积为， ，， ， ∴． 6．B 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 7．A 【分析】先对密文用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，再对应密码表得到明文即可． 【详解】解：， ， ， ∵8对应明文“我”， 对应明文“爱”， 对应明文“中”， 对应明文“国”， ∴组合后明文可为“我爱中国”． 8．B 【分析】设正方形地砖的边长为，正方形台面的边长为，根据用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，超出台面部分的面积为，得到，进而得到，再根据地砖与台面的边长均为整数结合，可得，解方程组即可解答． 【详解】解：设正方形地砖的边长为，正方形台面的边长为， 根据题意，得，则， ∵地砖与台面的边长均为整数，且， ∴， 解得， 则， ∴台面与这种型号的地砖边长相差． 9． 【分析】本题根据公因式的定义，先计算多项式各项系数的最大公约数，再提取各项共有的相同字母的最低次幂，两者乘积即为所求公因式． 【详解】解：， 因此多项式的公因式为． 10． 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 11． 【分析】此题考查了分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．（答案不唯一） 【分析】根据平方差公式或完全平方公式等知识解答即可． 【详解】解：∵，因式分解后有一个因式为， ∴这个多项式可以是（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解此题的关键． 13． 【分析】首先提取公因式，再利用公式法分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 14． 【分析】设方框表示的数为，将因式分解的结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解：设“”表示的数是， 根据题意得 ， ， , ． 15． 【详解】解 ． 16．4 【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得，然后再整理可得答案． 【详解】解：由作图知点P位于第二象限角平分线上， 则， 则， 则． 17．6． 【分析】将所求代数式中的因式分解，再把代入，化简即可． 【详解】解：， 把代入得， 再把代入得； 故答案为：6． 【点睛】本题考查了求代数式的值和因式分解以及整式计算，解题关键是熟练利用因式分解把所求代数式变形，然后整体代入求值． 18． 【分析】本题主要考查了求代数式的值，因式分解的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据，可得，从而得到，再把原式变形为，然后代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2024 19．(1) (2) 【分析】（1）先提取公因数，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ． 20．(1)6 (2)n (3) 证明： ． 【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果； （2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案； （3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，， 故答案为：6； （2）由题意得：， 故答案为：n； （3）略 【点睛】此题考查了数字类的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，平方差公式，正确理解题意，发现式子的变化特点是解题的关键． 21．(1) (2) 【分析】（1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：由题意得， 均为整数， ， ． 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）设，原式可化为，再进一步求解即可； （2）把原式化为，再进一步求解即可； （3）把原式化为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设， ； （2）解： （3）解： ． 23．(1)；；； (2)解：设另一个因式为，则， 展开右侧：， 左右两边同次项系数相等：， 由得， ∴另一个因式为 代入：， ∴另一个因式为，． (3) ； 【分析】（1）先代入整数试根找到使原式等于0的值，确定一次因式，再展开等式右侧多项式，对比等式两边同次幂系数列方程组，解方程组得到、即可； （2）先设出二次因式，展开右侧乘积式，根据左右两边同次项系数相等列出三元一次方程组，依次求出、，再计算的值，写出另一个因式即可； （3）先设出另一个一次因式，展开等式右侧多项式，对比一次项系数求出未知常数，确定另一个因式，再根据常数项等量关系求出的值即可． 【详解】（1）解：原式：， 试根：代入，， 当时，原式， 原式可分解为与另一个整式的积， 设， 展开右侧：， 对比系数：， 解得：，， 故答案为：；；；． （2）略． （3）设 展开右侧：， 对比一次项系数：，得， ∴另一个因式为， 常数项关系：， 代入，得， 解得． 24．(1) (2) (3) (4)12 【分析】（1）根据题干中提供的信息利用分组分解法即可； （2）根据题干中提供的信息利用拆项法分解因式即可； （3）结合图形可得大长方形的面积等于内部所有小图形的面积之和，从而利用因式分解得出结果； （4）根据图形可得出，结合已知条件可得到，由图形边长的实际意义可知，a，b，c均为正数，从而求得结果． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：由图1可知，大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的总面积为， ∵大长方形的总面积等于内部所有小图形的面积之和，即， 两个表达式对应同一个图形的面积， ∴因式分解结果为． （4）解：由图2可知，大正方形的总面积等于内部所有小图形的面积之和， ∴， ∵，， ∴， 由图形边长的实际意义可知，a，b，c均为正数， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $