第二十八章相似三角形 单元测试卷 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学相似三角形单元测试卷，覆盖比例线段、相似判定与性质、位似变换等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查抽象能力、几何直观与推理意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|比例性质、相似图形判定、位似坐标|结合图形变换（如向外扩张问题）考查概念辨析，体现空间观念| |填空题|6/18|平行线分线段成比例、相似周长比、位似面积比|融入无人机测绘情境（第13题），培养数据意识与应用意识| |解答题|8/72|黄金分割计算与作图、相似证明与计算、格点相似变换|设计格点三角形相似作图（第22题）、动态比例问题（第24题），综合考查推理能力与创新意识|

第二十八章相似三角形单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可根据已知条件得到a和b的关系，再通过代入或比例变形判断各选项是否成立． 【详解】解：∵，， ∴， 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：代入得左边，仅当时等式成立，不是恒成立，C错误； 选项D：将等式交叉相乘得 ， 展开得， 化简得，与已知条件一致，等式恒成立，D正确． 2．已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【答案】D 【分析】根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算出线段d的所有可能值，即可判断出不可能的取值． 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 3．下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，即对应角相等、对应边成比例的图形相似，结合各类图形的性质，逐个判断选项即可． 【详解】解：选项A：∵两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，∴两个矩形不一定相似，A不符合题意． 选项B：∵等腰直角三角形的三个内角固定为，，，对应角一定相等，且对应边一定成比例，∴两个等腰直角三角形一定相似，B符合题意． 选项C：∵的角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，会导致两个三角形对应角不一定相等，∴两个三角形不一定相似，C不符合题意． 选项D：∵两个菱形的对应角不一定相等，∴两个菱形不一定相似，D不符合题意． 4．下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 5．如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴相似三角形对应边成比例可得，故选项A错误； 相似三角形对应角相等可得，故选项B错误； 相似三角形面积比等于相似比的平方可得，故选项C错误； 相似三角形周长比等于相似比可得，故选项D正确． 6．如图，在中，，点是边的中点，于点，若，，则的长为（　） A． B．4 C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点包括直角三角形的勾股定理、三角形中位线的判定与性质．运用勾股定理是解题的关键．先通过勾股定理求出的长度，再结合是中点、的条件，判定为的中位线，进而利用中位线性质求出的长度． 【详解】解：在中，由勾股定理： ， ， , ∴， 点是的中点，即： ， ，即：点是的中点， 是的中位线 故选：B． 7．已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知条件，两边同时加上，可推出，也就是两个三角形已经有一组对应角相等了，再根据相似三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； B．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； C．∵的两组对应边，不是和的夹边，∴不能判定两个三角形相似； D．∵，且夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，∴． 8．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵， ∴． 9．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为2，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图2的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为2，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形以及相似多边形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据相似三角形的判定可得甲对，根据相似多边形的判定可得乙错，由此即可求解． 【详解】解：甲：如图所示， ∴，， ∴，故甲对； 乙：如图所示，设， ∴，， ∵， ∴原矩形与新矩形不相似，故乙错； 综上所述，甲对，乙错， 故选：A ． 10．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作轴于点，轴于点，证明， 然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点分别作轴于点，轴于点，   ∴， ∵以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且把的边长放大到原来的2倍， ∴点在一条直线上， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点B的坐标是，点的坐标是， ∴， ， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，理解并熟练运用基本性质定理是解题关键． 直接根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．，且，则的长为___________． 【答案】 【详解】解：， ， ∵， ， 解得： 13．为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，先计算数字模型中四边形的周长，再结合比例尺代表进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 14．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 【答案】 9 【分析】根据位似图形的性质得到，由求出位似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解： ， ， 与是以点为位似中心的位似图形， ，， ∴， ∴， ， 的面积是4， ， ． 15．如图，设是已知线段，经过点作，使；连接，在上截取；在上截取，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与比例线段的计算，解题的关键是通过勾股定理求出线段长度，再推导比例关系． 设，利用垂直关系得，由勾股定理求；结合求出，进而得，最后计算． 【详解】解：，， ． 由勾股定理得： ； ， ； ； ； 故答案为∶ 16．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则________． 【答案】 【分析】证明得出，证明得出，进而求出结论． 【详解】解：， ． ， ． ， ， ， ． 与等高， ． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．（1）已知线段的长为2，是的黄金分割点，求的长； （2）求作线段的黄金分割点，要求尺规作图，且使. 【答案】（1）或； （2）如图，点是线段的一个黄金分割点. 【分析】（1）根据黄金分割点的定义，知可能是较长线段，也可能是较短线段；所以或； （2）过点B作，使，连接，在上截取，在线段上截取，则点P是线段的一个黄金分割点． 【详解】解：（1）由于为线段的黄金分割点， 则， 或； （2）略 【点睛】考查了黄金分割点的概念．特别注意这里的可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值进行计算． 18．如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ∴， 即， 解得：． 19．如图，四边形四边形． (1)求：______； (2)求边、的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用相似四边形对应角相等得出、，结合四边形内角和为，减去其余三个内角即可求出； （2）根据相似多边形对应边成比例列式求出、即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴，， ∴； （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得，． 20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)以点为位似中心，在轴的左侧将放大得到，使得，在网格中画出图形； (2)在网格中，画出绕原点顺时针旋转的． 【答案】(1) 如图，如图所示； (2) 即为所求． 【分析】本题考查作图-位似变换、作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质、位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 21．如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ∵四边形内角和为， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明，再由证明，从而得到，则可证； （2）先求出再利用求出，求出两个三角形的相似比和的面积，利用相似三角形面积之比等于相似比求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由（1）知， 由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ． 22．如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【答案】(1)如图，即为所求作，； (2)如图，即为所求作，． 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可得，进而计算的面积， （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可得，进而计算的周长． 【详解】（1）解：作略， 的面积为； （2）解：作略， ∵，面积之比为， ∴和的相似比为， ∵，，， ∴，，， ∴的周长． 23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别是，，．将向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，其中点、、分别为点、、的对应点． (1)请在平面直角坐标系中画出； (2)若点在轴上，且以、、为顶点的三角形的面积是，请求出点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)或 【分析】（1）先根据平移的性质确定点、、的对应点、、，然后再顺次连接即可； （2）设，则，再根据三角形的面积公式列绝对值方程求得p的值即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图： ， 点到轴的距离为3． 设，则， 以为顶点的三角形的面积是3， ，即，解得：， 点的坐标为或． 24．如图，在中，为的中点，为上一点，的延长线交于．已知，，． (1)求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)10； (2)． 【分析】（1）利用勾股定理可求，则即可求； （2）连接，设，则利用等高三角形的面积比等于底之比可表示，又可知，利用等比性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， 为中点 ； （2）解：连接， 设， ， ， ， 且与同高， ， 为中点，与同高， ， ， 与同高，与同高， ， 由等比性质： ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十八章相似三角形单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.已知2a=3b,则下列各式成立的是() a 2 a+b 5 a+14 c.b+13 a+33 A.6=3 B.b=3 D.6+22 2.已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d,使得这四条线段成比例， 这条线段的长度不能是() A.2 B.4.5 C.18 D.8 3.下列图形一定相似的是() A,两个矩形 B.两个等腰直角三角形 C.有一个角是50°的两个等腰三角形 D.两个菱形 4.下列条件中，不能判定△ABC∽△AB'C'的是() ABBC AC A.∠A=∠A,∠B=∠B B.4B-BC-AC AB BC AB AC C.AB=BC,且∠B=∠B D.AB=AC,且∠C=∠C 5.如图，△ABC∽△DEF,AB:DE=1:2,则下列结论一定成立的是() E BC 1 ∠的度数1 A.DF2 B.∠D的度数2 S.ARC=1 C.AnC=1 C.S.DEF2 D.C.DEF 2 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=9O°，点D是边AB的中点，DE⊥BC于点E,若 AB=10,BC=6,则DE的长为() 试卷第1页，共3页 234 A B.4 C.10 D.V51 7.已知，如图∠DAB=∠CAE,下列条件中不能判断△DAE∽△BAC的是() AD DE AD AE A.∠D=LB B.∠E=∠C C.ABBC D.AB AC 8.如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，且A、B、C、D分别与E、F、G、H 对应，则∠D的度数为() 809 H 人709 A.100° B.110° C.120° D.130° 9.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为2，则新三 角形与原三角形相似， 乙：将矩形按图2的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为2，则新矩形与 原矩形相似。 对于两人的观点，下列说法正确的是() 2个 2 图1 图2 试卷第2页，共3页 A.甲对，乙错B.甲错，乙对 C.甲乙都对 D.甲乙都错 10.如图，△MBC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是 -1,0) 以点C为位似 中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C,并把△ABC的边长放大到原来的2倍. 点B的坐标是 2 则点B的对应点B的坐标是() B.(6-) c.(3,-) D.(1,-3) 二、填空题（每题3分，共18分） AB 3 11.如图，直线1I,I,分别交直线m,n于点A,B,C,D,B,R,BC5,DF=16 ,则EF的长为 12.△ABC∽△DEF,且AB=10cm,BC=1lcm,DE=5cm,则EF的长为 13.为调查某住宅区的实际lm占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）· 其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物 体（如图3）构成相似图形.在本次测绘中，设定数字模型上的lm代表实际距离50m. 技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形ABCD各边长度分别为AB=4Cm, 试卷第3页，共3页 BC=5cmCD=7cm,D1=4.5cm,则该住宅区实际边界四边形 BCD 的周长是 m. D A B A B 图1 图2 图3 14.如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA:AD=2:I,且△ABC 的面积是4，则△DEF的面积是 D 15如图，设B是已知线段，经过点g作BD1AB·使D=号：态接D4:在DM上 BC 截取DE=DB:在AB上截取AC=AE,则AB的值是 D E 16知图，D、B分别是△1BC的边4BBC上的点， DEIl AC SADOE SACOA=1:16 若 SABDE SACDE= 则 试卷第4页，共3页 三、解答题（每题9分，共72分） 17.(1)已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长： (2)求作线段AB的黄金分割点P,要求尺规作图，且使AP>PB. L A 6 18.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若∠A=40°，∠B=65°， ∠AED=75° (I)求证：△ADE一△ABC: (2)已知AD:BD=2:3,AE=5,求AC的长， 19.如图，四边形ABCD∽四边形A'B'CD' D D 6 /140° 人62° 759 11 (1)求：a= (2)求边x、y的长度. 20.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系 0,2) 后，△ABC的顶点均在格点上，点4的坐标为 试卷第5页，共3页 -- _r B '0 ()以点B为位似中心，在y轴的左侧将△ABC放大得到△ABC,使得AC AC=2,在网格中 画出图形： (②在网格中，画出△1BC绕原点O顺时针能转90°的△4B,G 的 2L.如图，在△ABC中，AB=AC,E,F分别是边AB,BC上的点，连接CE,AF, 相交于点D,已知BF=CF,∠B+∠EDF=180° D B F (I)求证：△ABF∽aCBE: (2)若BC=6,AF=6,求△BCE的面积. 22.如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶 点处)， B 图1 (I)在图2中画出一个格点△4BG,使△4BC一△ABC,周长之比为2：L,并直接写出 试卷第6页，共3页 △AB,C 的面积 图2 (2)在图3中画出一个格点 4B,C使△4BC,△1BC 面积之比为2：1，并直接写出 △A,B,C 的周长 图3 23。如图，在平面直角坐标系中，1BC的顶点4，B,C的丝标分别是4-)，民4)， (1,1) 将△MBC向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△4B,G,其中点 A B C 分别为点1、B、C 的对应点 -5-4-3-2-10 12 445 》 试卷第7页，共3页 (1)请在平面直角坐标系中画出△4BC: (2)若点P在'轴上，且以O、B、P为顶点的三角形的面积是3，请求出点P的坐标. 24.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD上一点，BE的延长线交AC于F.已 知AD=4,AB=3,∠BAD=90° (1)求BC的长； (2)若AE=1,求AF:FC的值. 试卷第8页，共3页