2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册第28章相似三角形单元测试卷

**基本信息** 聚焦相似三角形单元核心知识，通过基础巩固与实际应用结合的题型设计，适配单元复习，培养几何直观、推理能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|黄金分割（题1）、比例线段（题2）、相似判定（题3、9）、位似（题7）|结合自然美学（黄金分割）与图形性质辨析，夯实基础| |填空题|6/18|比例计算（题11）、位似面积（题12）、坐标位似（题13）、测量应用（题14）|融入生态保护（题14测河宽），体现数学语言表达现实| |解答题|8/72|相似证明（题18）、实际测量（题19旗杆/树高）、小孔成像模型（题20）|梯度设计，从基础计算到综合应用，培养推理与模型意识|

第28章相似三角形单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比.如图， 点B为AC的黄金分割点(AB>BC),若AC=50,则BC长为() A.75-25V5 B.50W5-50 c.25V5-25 D 25vV5+25 2.已知线段4、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d,使得这四条线段成比例， 这条线段的长度不能是() A.2 B.4.5 C.18 D.8 3.下列说法正确的是() A.两个直角三角形相似 B.两个等腰三角形相似 C.两个等腰直角三角形相似 D.有一个角是30°的两个等腰三角形相似 AE 2 4.如图，BCDE,AC=3,下列结论错误的是（) B AD2 S.ADE=2 A.△ADEP△ABCB.BD5 C.2BC=3DE D.S. 5.如图，小红利用标杆DE测量学校旗杆BC的高度，标杆DE高3m,测得AE=6m, BE=18m BC 则旗杆的高度是() 试卷第1页，共3页 D 63m 46mE 18m B A.9m B.12m c.18m D.24m 6.如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，且A、B、C、D分别与E、F、G、H 对应，则∠D的度数为() > 80° H A.100° B.110° C.120° D.130° 7.如图，以点C(0,1)为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC,则点A(2,-2) 的对应点D的坐标为() D 8.如图，EF是⊙O的直径，CD交⊙O于MN,H为MN的中点，EC⊥CD于点C, FD⊥CD于点D,则下列结论错误的是() 试卷第2页，共3页 D M EC OH A.CM=DN B.CH=HD C.OH⊥CD D.OH FD 9.如图，在中，E为边BC上一点.下列给出的条件不能判定△ABE∽△DEA的是 (). B E BE AE BE AB A.∠B=∠AED B.∠BAE=∠DECC.AEAD D.AE DE 10.如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△AB'C'的位置，如果点A恰好是△ABC 的重心，AB',AC分别与BC交于点M,N,那么△A'MN的面积与△ABC的面积之比 是() D A M 4 A.2 B D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11.如图，己知AC∥EF∥DB,AF:BF=2:3,CD=15,CE= 试卷第3页，共3页 OE 2 12.如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心.若EA3,四 边形ABCD的面积是100，则四边形EFGH的面积为 B D 13.如图，平面直角坐标系中，△AOD与△BOC是位似图形，位似中心为坐标原点O.已 知点A,B,D的坐标分别为 (6,3)B(2,1)D(9,-2 ,则点C的坐标为 14.要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”，如图，现在小明门前的小河清澈透明。 为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边P点处观察到一根柱子，再在他们 所在的这一侧岸上选点A和点B,使得B,A,P在同一条直线上，且与河岸垂直，随后 确定点C,点D,使BC⊥BP,AD⊥BP,由观测可以确定CP与AD的交点D.他们测 得AB=30m,BC=90m,AD=60m,从而确定河宽，他们测量的河宽为AP= m D B l5.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连接AE,过点D作DF⊥AE,垂足为点 F.若AB=6,BE=8,AD=12,则DF=」 试卷第4页，共3页 D B E 16.如图，己知△ABC∽△DEF,且相似比为k,那么直线'=a-K的图象必定经过 象限 D b+a a+c a c+b 三、解答题（每题9分，共72分) 17.己知线段a、b满足a:b=3:2,且a+2b=21」 (1)求a、b的值： (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值. AF CE 18.如图，AABC中，点D在边BC上，DE‖AB,DF∥AC·求证：FBAE· E B D 19.在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体 的高度 B A (1)第一小组的同学测得身高1.80米的小明影子长为2.7米，同一时刻，同一水平面上，测 试卷第5页，共3页 得校园内旗杆的影子长为15米，求旗杆的高度： (2)如图：第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树AB的高度，小丽在F处竖立了一根 标杆EF,小华从F处走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和树的顶端B在一条 直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC=1.6米，EF=2.4米，CF=2米，FA=18 米，点C、F、A在一条直线上，CD⊥AC,EF⊥AC,AB LAC,根据以上测量数据， 求出树AB的高度. 20.如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验， 并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端.”如图2，根 据小孔成像原理，蜡烛（竖直放置）的火焰AB经小孔O,会在光屏（竖直放置）上形成 倒立的像CD.已知火焰高度AB=3cm,小孔到光屏的距离10c,设小孔到蜡烛的距离为 x(cm),像CD的高度为y(cm),解答下列问题： 光屏 10cm 3cm B 小孔 图1 图2 (1)求y与x之间的函数关系式，并判断其属于什么函数？（不考虑x的取值范围） (2)要使像的高度y不小于5cm,则x的取值范围是 21.如图，已知四边形ABCD与四边形AB'CD相似，点A,B,C,D的对应点分别为 A,B,C,D' D 96 C 12 8 6 人60° 1 (1)求∠B的度数： (2)求边x,y的长度 22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，作AE⊥CD于点E, 试卷第6页，共3页 EF∥CB交BD于点F. D B (I)求证：△ACE∽△BAC; (②)若1C=io,CE= ,求EF的长 23.如图，平行四边形ABCD,连接AC,过点A分别作AM⊥BC,AN⊥CD,垂足分 别为M,N,连接MN」 D M 备用图 (I)求证：△ABM∽△ADW: (2)若AB=6,AM=5,AC=7,求MN的长. 24如图，在平面直角坐标系中，A4BC的顶点A,B,C的坐标分别是 4,-1)(34) (1,1) 将△1BC向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△4BG,其中点 AB C 分别为点A、B、C 的对应点 -2-10 12 试卷第7页，共3页 (1)请在平面直角坐标系中画出△4BC: (2)若点P在'轴上，且以O、B、P为顶点的三角形的面积是3，请求出点P的坐标. 试卷第8页，共3页 第28章相似三角形单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【答案】D 【分析】根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算出线段d的所有可能值，即可判断出不可能的取值． 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 3．下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 【答案】C 【分析】根据相似三角形对应角相等的要求，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A、两个直角三角形只有一组直角相等，其余两个锐角不一定对应相等， ∴两个直角三角形不一定相似，故A错误； B、两个等腰三角形的顶角、底角不一定对应相等， ∴两个等腰三角形不一定相似，故B错误； C、所有等腰直角三角形的三个角都为，，，对应角都相等， ∴两个等腰直角三角形相似，故C正确； D、有一个角是的等腰三角形，可以是顶角也可以是底角，两个三角形的内角不一定对应相等， ∴不一定相似，故D错误． 4．如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴，故A正确， ∴， ∴，，故B、C正确， ∴，故D错误． 5．如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 6．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵， ∴． 7．如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平移，位似比的意义，解答即可； 【详解】解：点为位似中心，将按相似比缩小，得到， 将点向下平移１个单位长度，得到位似中心为，点的对应点为，按相似比缩小，得到对应点， 再将点向上平移１个单位长度就得到点的对应点D的坐标为； 8．如图，是的直径，交于M、N，H为的中点，于点C，于点D，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理，平行线分线段成比例，进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵交于M、N，H为的中点， ∴，，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 无法得到； 故只有选项D错误． 9．如图，在中，为边上一点．下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴ ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， 又∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件无法证明， 故选项符合题意． 10．如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由重心的性质可得，由相似三角形的性质可得面积与的面积之比． 【详解】解：点恰好是的重心， ， 将沿边上的中线平移到的位置， ，， ， ， ，， ，， ， 面积与的面积之比． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，已知，，，______． 【答案】6 【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴． 12．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的面积是100，则四边形的面积为______． 【答案】 16 【分析】根据题意得出四边形与四边形相似，，确定，得出四边形的面积：四边形的面积， 即可求解． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心， 四边形与四边形相似，， ， ， 四边形的面积：四边形的面积， 四边形的面积． 13．如图，平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为坐标原点．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据位似三角形的性质求解即可． 【详解】与是位似图形，位似中心为坐标原点，点的对应点为， 位似比为， 点的对应点为点， ，， 点的坐标为． 14．要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 【答案】 【分析】由，得，则有，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴他们测量的河宽为． 15．如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【答案】 【分析】先利用矩形性质得到平行线与直角，推出一组等角，结合垂直得到另一组直角相等，证出与相似；再在直角三角形中用勾股定理算出斜边，最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴． 16．如图，已知，且相似比为，那么直线的图象必定经过________象限． 【答案】一、三、四 【分析】先根据相似三角形的性质得出，然后根据一次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，其相似比为k， ∴， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴直线的图象必定经过一、三、四象限． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：， 设，， ， ， 解得， ，； （2）线段是线段、的比例中项， ， 是线段，， ． 18．如图，中，点D在边上，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 【分析】由平行线分线段成比例即可证明． 【详解】略 19．在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． (1)第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为米，求旗杆的高度； (2)如图：第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点、、在一条直线上，，，，根据以上测量数据，求出树的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质． (1)设旗杆的高度为米，根据同一时刻影长与物体的实际高度成比例，可得，解方程求出的值即为旗杆的实际高度； (2)过点作，交于点，可知四边形是矩形，四边形是矩形，可证，根据相似三角形的性质可得，从而求出的长度，根据求出大树的高度． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为米， 根据题意可得：， 解得：， 答：旗杆的高度为米； （2）解：如下图所示，过点作，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 米，米，米， 米， 米， 米， ，， ， ， ， 解得：米， 米． 20．如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图2，根据小孔成像原理，蜡烛（竖直放置）的火焰经小孔，会在光屏（竖直放置）上形成倒立的像．已知火焰高度，小孔到光屏的距离10cm，设小孔到蜡烛的距离为x（cm），像CD的高度为y（cm），解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式，并判断其属于什么函数？（不考虑x的取值范围） (2)要使像的高度y不小于5cm，则x的取值范围是________． 【答案】(1)，其属于反比例函数 (2) 【分析】（1）根据小孔成像原理，蜡烛与像是平行的，易得，由对应高的比等于对应边的比，即，即可得相应反比例函数． （2）不小于5即，结合图象和反比例函数性质可得． 【详解】（1）解：由题意得， ， 根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得 ， 将代入上式得： ， 整理得， 即，属于反比例函数． （2）． 因为, 所以随增大而减小， 要使, 由函数图象得． 21．如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似四边形的性质，四边形的内角和，掌握相似四边形的性质是解题的关键． （）根据相似四边形的性质得到，再根据四边形的内角和即可求解； （）根据相似四边形的性质求解即可． 【小问1】 解：四边形与四边形相似， ， ． 【小问2】 解：∵四边形与四边形相似， ， ， 解得． 22．如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)， ， ， ， ，是的中线， ， ， ， 又， ． (2) 【分析】（1）先说明、，再利用直角三角形中线的性质以及等边对等角可得，即；再根据两种对应角相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）根据勾股定理可得，利用相似三角形的性质可求得． 再证明，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理，得，即， ， 由（1）知：， ， ， ． 是的中线， ， ．    ， ， ， ， ． 23．如图，平行四边形，连接，过点分别作，，垂足分别为，，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ． (2) 【分析】（1）利用平行四边形对角相等、垂直得直角相等，两角对应相等证三角形相似． （2）根据平行四边形的性质结合等角的余角相等等量代换证明，再由推出，进而证明，得到比例，代入数值计算． 【详解】（1）略 （2）解：已知四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）， ， ，即， ， ，即， ． 24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别是，，．将向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，其中点、、分别为点、、的对应点． (1)请在平面直角坐标系中画出； (2)若点在轴上，且以、、为顶点的三角形的面积是，请求出点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)或 【分析】（1）先根据平移的性质确定点、、的对应点、、，然后再顺次连接即可； （2）设，则，再根据三角形的面积公式列绝对值方程求得p的值即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图： ， 点到轴的距离为3． 设，则， 以为顶点的三角形的面积是3， ，即，解得：， 点的坐标为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $