第28章 相似三角形 单元测试 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 沪教版九上相似三角形单元卷，120分钟150分，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合三星堆徽章、黄金矩形等文化与生活情境，适配单元复习，发展几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题24分|中点性质、比例线段、位似周长比|第6题结合正五边形五角星，渗透黄金三角形性质| |填空题|12题48分|位似面积、黄金分割、矩形相似判定|第7题以三星堆徽章设计考位似面积计算，体现文化传承| |解答题|7题78分|位似作图、相似证明与计算、网格探究|21题黄金矩形联系建筑美学，23题网格作图发展空间观念，25题综合相似与几何推理，培养逻辑思维|

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年九上单元测试—相似三角形 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：沪教版2024九年级上册第28章—相似三角形 一、单选题（共24分） 1．（本题4分）如图，在中，若点、分别是、的中点，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理判定且，从而证得，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 【详解】解：点、分别是、的中点， 为的中位线， ，， ， ， ， ． 2．（本题4分）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 3．（本题4分）如图，在中，是边上的中线，点在线段上，且，过点作，交于点，若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 先由三角形的中线得到，再证明，即可求解． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（本题4分）如图，已知五边形，以P点为位似中心画出五边形，使五边形与五边形位似，相似比为2．若五边形的周长为26，则五边形的周长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形的性质的应用，直接利用位似图形的周长比等于位似比即可得到答案． 【详解】解：∵五边形与五边形的位似比为2； ∴五边形与五边形的周长比为2； ∵五边形的周长为26， ∴五边形的周长为13， 故选D． 5．（本题4分）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质及平行线分线段成比例定理，逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴， ∴，， 故选项B正确； ∵，， ∴， 故选项D正确； ∵，， ∴， ∴， 故选项C错误． 6．（本题4分）已知顶角为的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握正五边形的性质得出为黄金三角形是解题的关键． 先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果． 【详解】解：如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， 设 ， 黄金三角形的底与腰之比为， 在中，， 即， 解得， 即 ， 五边形是正五边形， ，正五边形内角和， ， ， ， 则 ， ， 则， 为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即， ， 故选：A． 二、填空题（共48分） 7．（本题4分）如图，某文创店以三星堆博物馆“黄金面具”为主题，设计了一款边长为的正方形纪念徼章．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徼章．若以顶点A为位似中心进行位似变换，对应边的比，则纪念徽章的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似多边形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到正方形正方形，且相似比为，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为， ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形正方形，且相似比为， ∴正方形与正方形的面积比为， ∵正方形的面积为， ∴正方形的面积为， 故答案为：． 8．（本题4分）已知，那么______． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的求值，掌握比例的性质是解题关键．由已知条件可得，将所求分式拆项，再通过有理数运算求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 9．（本题4分）如图，，，，则的长为__________． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确计算是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理直接求出即可． 【详解】解：，，， ，即， ， 故答案为：． 10．（本题4分）已知点P是线段的黄金分割点，且，则线段的长为________． 【答案】4 【分析】本题考查了黄金分割点．根据黄金分割点的定义，较长线段与整个线段的比值等于黄金比，把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， 即， ∴， 解得， 故答案为：4． 11．（本题4分）如图，是的边上一点，连接，过上的点作，交于点，过点作交于点．已知，则的长为____________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理先得到，进而得到，据此代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．（本题4分）如图，与交于点O，且，若，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，证明，根据相似三角形的性质得出，根据比例的性质得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（本题4分）如图，矩形矩形，已知，，，则的长为_______． 【答案】10 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟知似多边形对应边的比相等是解题的关键．利用相似多边形对应边的比相等求解即可． 【详解】解：∵矩形∽矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 14．（本题4分）如图是两个形状相同的举重图案，则的值是___________．    【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 根据相似多边形的性质：对应线段的比等于相似比列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 故答案为：． 15．（本题4分）如图，矩形 在矩形 内， 与 ， 与 之间的距离都为 ， 与 ， 与 之间的距离都为 ，已知，，当 ______时，矩形矩形． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似多边形对应边成比例． 先根据题意得出，，再根据相似的性质得出，即可解答． 【详解】解：∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ∴， ∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ， ∴， ∵矩形矩形， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 16．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，且，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点O，且矩形的周长是矩形周长的，则点B的对应点的坐标是______． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似多边形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到矩形矩形，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案． 【详解】解：∵矩形与矩形位似， ∴， ∵矩矩形的周长是矩形周长的， ∴矩形与矩形的相似比为， ∵矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，且，， ∴， 如图： ∴点的坐标为或，即或． 故答案为：或． 17．（本题4分）已知为的三边，且，则__________． 【答案】1 【分析】此题主要考查了比例线段，依据，即可得出，再根据a、b、c为的三边，可得，进而得到． 【详解】解：∵， ∴，，， 可得， ∴， ∵a、b、c为的三边， ∴， ∴． 故答案为：1． 18．（本题4分）如图，正方形中，分别在边上，相交于点，若，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，过点作，交于点，可得四边形是矩形，即得，由得，设，则，即得到，，得到，再根据即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共78分） 19．（本题10分）网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为． (1)以点为位似中心，把按放大，请在轴的左侧，画出放大后的． (2)点的对应点的坐标是__________，点的对应点的坐标是__________． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2)； 【分析】（1）位似中心为点，根据位似比，连接，，，并反向延长一倍，在轴的左侧，即可求解； （2）根据题意求出点，的坐标，再根据位似比，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵点的坐标为， ∴点， ∵按放大得到， ∴点的对应点的坐标为：；点的对应点的坐标为：． 故答案为：；． 20．（本题10分）已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查比例的性质，掌握其性质及计算方法是关键． （1）根据比例的性质，设，代入计算即可； （2）根据题意，设，代入计算得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意，设， ∴． （2）解：由题意，设，则， ∴， ∴． 21．（本题10分）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是． 22．（本题10分）如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）直接利用两边成比例，夹角相等的两个三角形相似判定即可； （2）先利用相似性质得出，再分别在两个直角三角形和中，利用角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 23．（本题12分）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画一个格点，使它与相似，面积之比是． (2)在图②中画一条格点线段，交于点P，使． 【答案】(1) 解：如图，为所作的图形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，且相似比为， ∴． (2) 解：如图，为所作的线段． 连接，如图 由图可知， ∴． 【分析】本题考查了格点作图，相似三角形的判定与性质，平行线间线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）取的中间格点E，连接，即可解答； （2）取格点C，D，连接，交于点P，且满足，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 24．（本题12分）中，，点在边上，且． (1)求证：； (2)若面积，面积，求． 【答案】(1) 证明：， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 先利用平行线分线段成比例得到，再结合已知得到，从而得到，从而证明四边形为平行四边形，即可得出结论； 先证明得到，推出，再证明，得到，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2） ， ， ，， ， ， , ，即， ， 又， ， ． 25．（本题14分）如图1，在和中，点在内，，，连接，和，与相交于点． (1)求证：； (2)已知，，如图2，当三点共线时， 求的值： 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即； (2)2； 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）先证明，得出，，则，，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）①证明，得出，证明，得出，根据（1）中，，得出，得出，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又，， ∴； 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年九上单元测试一相似三角形 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他 答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3.作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：沪教版2024九年级上册第28章一相似三角形 一、单选题（共24分) 1,(本题4分)如图，在△M C中，若点D、E分别是B、4C的中点，5，则a() ,则 D B A.2 B.3 C.4 D.6 2.(本题4分)四条线段a、b、c、d是成比例线段，其中a=3、b=2、c=6,则d的值为() A.3 B.4 C.6 D.7 3.(本题4分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点G在线段AD上，且AG=2DG,过点G 作GE∥BC,交AC于点E,若BC=8,则GE的长为() E D A.2 B.3 c. D.3 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 4.(本题4分)如图，已知五边形ABCDE,以P点为位似中心画出五边形AB'C"DE',使五边形 ABCDE与五边形A'B'C'D'E位似，相似比为2.若五边形ABCDE的周长为26，则五边形AB'C'D'E'的周 长为() A.10 B.11 C.12 D.13 5.(本题4分)如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E,连接BE、CD相交于点 F,则下列等式中不成立的是() D B AD AE A.DB EC B. DE DF BC FC DE AD EF AE C.BC BD D.BF AC 5-1 6.(本题4分)已知顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为2，如图正五边形 ABCDE BE=2 的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知 5,则DE的长为() B G 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 5-V5 5+5 A.5-V5 B.5+5 C.2 D.2 二、填空题（共48分） 7.(本题4分)如图，某文创店以三星堆博物馆“黄金面具”为主题，设计了一款边长为3cm的正方形 纪念徼章ABCD.为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徼章ABCD',若以顶点A为位似中心进行 位似变换，对应边的比AB:AB'=3:5,则纪念徽章AB'CD'的面积是 D D A B x-3 2x-y= 8.(本题4分)已知y4,那么x 9.(本题4分)如图，a∥b∥c'BC=3?EF DE=2,则AB的长为 A 10.(本题4分)已知点P是线段MW的黄金分割点，且 MP=25-2(MP>PN）,则线段MN的长为 11.(本题4分)如图，D是△ABC的边BC上一点，连接AD,过AD上的点E作EF川BD,交AB于点 P,过点p作GAC交BC于点G.已知%-号BG=4,则CG的K为 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 AC 1 0A+AC+OC 12.(本题4分)如图，AB与CD交于点O,且AC∥BD,若BD2,则OB+BD+OD一· 13.(本题4分)如图，矩形ABCD∽矩形EFGH,己知AB=3,BC=5,EF=6,则FG的长为 H D 14.（本题4分)如图是两个形状相同的举重图案，则x的值是 -16cm F10cm- xcm 15,(本题4分)如图，矩形A'B'CD'在矩形ABCD内，CD与CD,AB与AB之间的距离都 为1，AD与AD,BC与B'C'之间的距离都为x,己知AB=30,BC=20,当x=时， 矩形ABCD∽矩形A'B'C"D'. D D A B B 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 16.(本题4分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的项点A在y轴上，顶点C在x轴上，且 A(0,4)C(6,0) .己知矩形O4BC与矩形OABC位似，位似中心是原点O,且矩形OAB'C的周长是矩 1 形OABC周长的2，则点B的对应点B'的坐标是」 A B C x 2a=2b=2C-k,则k= 17.(本题4分)已知a,b,c为AABC的三边，且b+ca+ca+b 18.(本题4分)如图，正方形ABCD中，E,F分别在边AD,CD上，AE,BE相交于点G,若 GF AE=3ED,DF=CF,则AG的值是一· E D 三、解答题（共78分） 19.(本题10分)网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题.如图， △1BC的顶点都在网格点上，点B的坐标为-2,1) 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 (I)以点O为位似中心，把△ABC按l:2放大，请在y轴的左侧，画出放大后的△DEF. (2)点B的对应点E的坐标是 点C的对应点F的坐标是 20.(本题10分)己知a:b:c=1:2:3. a-b+c (1)求代数式a+b+c的值. (2)若a+2b-c=10,求a,b,c的值. √5-1 21.(本题10分)宽与长的比是2的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.世界 各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农 神庙.如图乙所示，若黄金矩形的长AD=2,求该黄金矩形的宽AB是多少？ D 图甲 图乙 AB AC 22.(本题10分)如图，在Rt△4BC中，∠ACB=90,D是边AB上一点，且ACAD, (I)求证：△ACD∽△ABC (2)若∠A=60°，AD=2,求AB的长 23.(本题12分)图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D 均在格点上.在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 留必要的作图痕迹 B 图① 图② (I)在图①中以线段AD为边画一个格点△ADE,使它与△ABC相似，面积之比是1：4， AP 1 ②)在图②中画一条格点线段CD:交4B于点P,使PB3: AD BF 24.(本题12分)AABC中，DE∥BC,点F在BC边上，且AB=BC, D B F (I)求证：EF‖AB, ②若△1DE面积8 nS△ADE=4△EFC 面积c=9.Sc ,求 25.(本题14分)如图1，在△ABC和△ADE中，点E在△ABC内，BA=BC,DA=DE,∠ADE=∠ABC, 连接EC,EB和BD,DE与AB相交于点O, 图1 图2 (I)求证：△DBAAECA: (2)已知AE=2,AC=4,如图2，当DE、C三点共线时， 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 OB 求OD的值：