精品解析：广东汕头市潮阳区民兴学校2025-2026学年第二学期七年级数学素养训练（一）

2025-2026学年度第二学期 七年级数学素养训练（一） 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各图中，与是内错角的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是运动员投掷实心球的场景，投掷结束后，测量员选长度作为运动员的成绩，其中蕴含的数学依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4. 如图，，，则的度数是（ ） A. 73° B. 83° C. 77° D. 87° 5. 对假命题“若，则”举一个反例，符合要求的反例可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图所示，一只电子猫从点出发，沿北偏东方向走了到达点，再从点向南偏西方向走了到达点，那么的度数为( )． A. B. C. D. 7. 一把直尺和一个含角的三角板按如图所示方式叠合在一起，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图①，是一款护眼灯的实物图，图②为示意图，其中，垂足为B，可绕点A旋转，可绕点D旋转．当时，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是一块太阳能电池板，其表层是用于减少反射的光伏玻璃．太阳光线射向光伏玻璃，在玻璃表面点B处发生反射和折射现象，反射光线为，折射光线在太阳能电池板表面的点D处发生反射现象，反射光线从玻璃表面的点E处射出，形成光线．已知，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，ABCD，平分，平分，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确结论有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 6 D. 2 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图所示，小明在两块含角的直角三角板的边缘画直线和，得到，这是根据________，两直线平行． 12. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，若，则_____度． 13. 为倡导绿色出行，某市在地铁口设置了共享单车服务．图①是某款共享单车的实物图，图②是其结构示意图．和与地面平行，，．当平行于支撑杆时，的度数为____________． 14. 如图，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板和，将三角板沿直线l向左平移到如图所示的位置，使点E落在上的点处，点P为与的交点．图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为______． 15. 如图（1）所示为长方形纸带，将纸带第一次沿EF折叠成图（2），再第二次沿BF折叠成图（3），继续第三次沿EF折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住整个过程共折叠了11次，问图（1）中的度数______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. 运动会上裁判员使用的某品牌遮阳伞如图①所示，图②是其剖面图，已知平分与，，求证：． 17. 补全下面推理过程：生活中常见的一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，平行于地面，求的度数． 解：如图，过点作， ∵， ∴（①________）（②________）， ∴（③________）（④________）， ∵， ∴（⑤________）（⑥________）， ∵， ∴（⑦________）， ∴， ∴⑧（________）°． 18. （1）已知射线，如图①，过点，作．试说明：． （2）如图②，已知射线，．判断与的位置关系，并说明理由． （3）根据以上探究，你发现了什么结论？请写出来． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，点D，E在边上，点F在边上，点H在边上，，且． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 20. 按要求画图：已知点P、Q分别在的边OA，OB上（如图所示）： （1）①画线段PQ；②过点P作OB的垂线PE，垂足为E；③过点Q作OA的平行线（M在上，N在下）． （2）在（1）的情况下，若，求．（不使用三角形的内角和为180°） 21. 已知：如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC． （1）试说明：ABCD； （2）如果∠AGE+∠AHF=180°，那么∠B=∠C吗?请说明理由； （3）在（2）的条件下，若∠BFC-20°=3∠C，求∠AHB的度数． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能． 【问题初探】 （1）如图1，，，求证：． 【拓展探究】 （2）在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． 【迁移应用】 （3）路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则__________； （4）一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数． 23. 如图①是某校艺术节搭建的舞台．从上面看，舞台上面有三根铁架，且三根铁架在同一平面内．如图②，是两根互相平行的铁架，且铁架与两边的铁架，互相垂直，在两个铁架的处分别设置了一盏可以沿着水平面不断匀速旋转的射灯，灯光打开时，处光线射向点处光线与的夹角为．两灯同时开始旋转，光线绕射灯顺时针旋转．光线绕射灯逆时针旋转．当两灯射出的光线与铁架重合时立即反向旋转．旋转中常常出现交叉照射．若点处射出的光线每秒旋转，点处射出的光线每秒旋转，设旋转时间为秒． （1）当旋转时间为秒时，求的度数； （2）如图③，若两灯射出的光线，第一次与边相交于一点时，此时，请求出旋转时间的值； （3）当旋转时间秒时，直接写出时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期 七年级数学素养训练（一） 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，逐项进行分析即可得． 【详解】解：A.不能通过平移得到，故A不符合题意； B.不能通过平移得到，故B不符合题意； C.不能通过平移得到，故C不符合题意； D.能通过平移得到，故D符合题意． 故选：D． 2. 下列各图中，与是内错角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了内错角的判断，熟练掌握以上知识是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断． 【详解】解：由内错角的定义可知：只有选项D中的与是内错角． 故选：D． 3. 如图是运动员投掷实心球的场景，投掷结束后，测量员选长度作为运动员的成绩，其中蕴含的数学依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题的关键是正确理解点到直线的距离． 根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：运动员投掷实心球，测量成绩的方法蕴含的数学依据是垂线段最短， 故选：． 4. 如图，，，则的度数是（ ） A. 73° B. 83° C. 77° D. 87° 【答案】C 【解析】 【分析】求出∠5=∠2，根据平行线的判定得出a∥b，根据平行线的性质得出即可． 【详解】解：如图， ∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠5＝180°， ∴∠2＝∠5， ∴a∥b， ∴∠4＝∠6， ∵∠3＝104°， ∴∠6＝180°﹣∠3＝77°， ∴∠4＝77°， 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能正确利用定理进行推理是解此题的关键． 5. 对假命题“若，则”举一个反例，符合要求的反例可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的命题和定理，根据条件，把数值代入计算，判断即可． 【详解】解：A、，但，故符合反例要求，符合题意； B、，故不符合反例要求，不符合题意； C、，且，故不符合反例要求，不符合题意； D、，故不符合反例要求，不符合题意； 故选A． 6. 如图所示，一只电子猫从点出发，沿北偏东方向走了到达点，再从点向南偏西方向走了到达点，那么的度数为( )． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，判断出，再根据，求出． 【详解】解：如图：， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题主要考查了方向角、平行线的性质、角的加减等知识点，熟悉方向角的定义及角的加减是解答本题的关键． 7. 一把直尺和一个含角的三角板按如图所示方式叠合在一起，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角的和差关系，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 直接利用“两直线平行，同位角相等”结合平角即可求解． 【详解】解：如图：由题意得：， ， ∵， ∴ ， ∵， ， 故选：B． 8. 如图①，是一款护眼灯的实物图，图②为示意图，其中，垂足为B，可绕点A旋转，可绕点D旋转．当时，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意，结合图形，得到，，代入已知条件中，，即可得到结果． 【详解】解：如图，过A点作， ， ∴， ， ， ， 即， ，， ， 故选：C． 9. 如图是一块太阳能电池板，其表层是用于减少反射的光伏玻璃．太阳光线射向光伏玻璃，在玻璃表面点B处发生反射和折射现象，反射光线为，折射光线在太阳能电池板表面的点D处发生反射现象，反射光线从玻璃表面的点E处射出，形成光线．已知，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质． 由平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， 故选：D． 10. 如图，ABCD，平分，平分，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确结论有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 6 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直得到， 根据平行线的性质得到；判断①；由角平分线的定义得到，，根据垂直的定义得到，判断②；由平行线的性质和角平分线可得，即可得到，再根据角平分线求出判断③；根据垂直的定义得到，求得，根据角的和差得到，等量代换得到，判断④；根据角平分线可以求出根据角的和差得到判断⑤；根据,判断⑥． 【详解】解： ∵ ∴ ∵， ∴， 所以①正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 所以②正确； ∵ABCD，， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 所以③错误； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； 所以④正确； ∵，平分， ∴， 又∵ ∴， ∴ 所以⑤正确； ∵, ∴， 所以⑥正确． 正确的有个 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图所示，小明在两块含角的直角三角板的边缘画直线和，得到，这是根据________，两直线平行． 【答案】内错角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据“内错角相等，两直线平行”判断即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：内错角相等． 12. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，若，则_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得，再利用补角的性质即可得到答案． 【详解】解：由题可得图如下： ∵ ∴ ∵，， ∴， 故答案为：． 13. 为倡导绿色出行，某市在地铁口设置了共享单车服务．图①是某款共享单车的实物图，图②是其结构示意图．和与地面平行，，．当平行于支撑杆时，的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键．由平行线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， 故答案为： 14. 如图，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板和，将三角板沿直线l向左平移到如图所示的位置，使点E落在上的点处，点P为与的交点．图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，由平移的性质得到，则，再根据图形之间的关系，结合三块阴影部分的面积之和为6，进行求解即可． 【详解】解；由平移的性质可得， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 如图（1）所示为长方形纸带，将纸带第一次沿EF折叠成图（2），再第二次沿BF折叠成图（3），继续第三次沿EF折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住整个过程共折叠了11次，问图（1）中的度数______． 【答案】##15度 【解析】 【分析】根据最后一次折叠后恰好完全盖住；整个过程共折叠了11次，可得与重合，依据平行线的性质，即可得到的度数． 【详解】解：设，则， ∵折叠11次后与重合， ∴， 如图（2），∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. 运动会上裁判员使用的某品牌遮阳伞如图①所示，图②是其剖面图，已知平分与，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据，可得，再由平分，平分，可得，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键． 17. 补全下面推理过程：生活中常见的一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，平行于地面，求的度数． 解：如图，过点作， ∵， ∴（①________）（②________）， ∴（③________）（④________）， ∵， ∴（⑤________）（⑥________）， ∵， ∴（⑦________）， ∴， ∴⑧（________）°． 【答案】；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；垂直的定义；； 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵， ∴，（垂直的定义） ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；垂直的定义；；． 18. （1）已知射线，如图①，过点，作．试说明：． （2）如图②，已知射线，．判断与的位置关系，并说明理由． （3）根据以上探究，你发现了什么结论？请写出来． 【答案】 （1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）． 理由如下：∵， ∴． ， ∴， ∴． （3）如果两个角相等或互补且一边平行，则另一边也平行 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定和性质即可得到结论； （2）根据平行线的判定和性质即可得到结论； （3）由（1）、（2）的结论即可得到结果． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）由（1）（2）可得，如果两个角相等或互补且一边平行，则另一边也平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，点D，E在边上，点F在边上，点H在边上，，且． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得，结合已知可得，即可根据平行线的判定证明结论； （2）根据平行线的性质得，结合角平分线的定义，得到，再结合（1）中的结果，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 平分， ， 由（1）知， ． 20. 按要求画图：已知点P、Q分别在的边OA，OB上（如图所示）： （1）①画线段PQ；②过点P作OB的垂线PE，垂足为E；③过点Q作OA的平行线（M在上，N在下）． （2）在（1）的情况下，若，求．（不使用三角形的内角和为180°） 【答案】（1） 解：①连接PQ，如图，线段PQ即为所求． ②如图，直线段PE即为所求． ③如图，直线MN即为所求． （2）50° 【解析】 【分析】（1）①连接PQ即可；②利用直角三角板画垂线即可；③利用直尺和直角三角板画OA的平行线MN即可； （2）过点P作，根据平行线的性质求出∠APF=∠AOE=∠MQB=40°，∠FPE=∠PEO=90°，然后根据平角定义即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴∠AOE=∠MQB， 又∠MQB=40°， ∴∠AOE=40°， 如图，过点P作， ∴∠APF=∠AOE=40°，∠FPE=∠PEO， 又PE⊥OB， ∴∠PEO=∠FPE=90°， ∴∠OPE=180°-∠APF-∠FPE=180°-40°-90°=50°． 【点睛】本题考查了基本作图，平行线的性质等，添加辅助线PF是解第2问的关键． 21. 已知：如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC． （1）试说明：ABCD； （2）如果∠AGE+∠AHF=180°，那么∠B=∠C吗?请说明理由； （3）在（2）的条件下，若∠BFC-20°=3∠C，求∠AHB的度数． 【答案】（1）见解析 （2）∠B=∠C，理由见解析 （3）∠AHB=40°． 【解析】 【分析】（1）由对顶角相等可得∠AGE=∠DGC，从而可得∠AEG=∠C，则可判定ABCD； （2）由平角的定义可得∠AGE+∠EGH=180°，从而可求得∠EGH=∠AHF，则可判定ECBF，则有∠B=∠AEG，从而可求证； （3）由（2）得BFEC，则有∠BFC+∠C=180°，从而可求∠C的度数，再利用平行线的性质即可求∠AHB的度数． 【小问1详解】 证明：∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC， ∴∠AEG=∠C， ∴ABCD； 【小问2详解】 证明：∵∠AGE+∠EGH=180°，∠AGE+∠AHF=180°， ∴∠EGH=∠AHF， ∴ECBF， ∴∠B=∠AEG， ∵ABCD， ∴∠C=∠AEG， ∴∠B=∠C； 【小问3详解】 解：∵∠BFC-20°=3∠C， ∴∠BFC=3∠C+20°， ∵ECBF， ∴∠BFC+∠C=180°， ∴3∠C+20°+∠C=180°， ∴∠C=40°， ∴∠AEG=∠C=40°， ∴∠AGE=∠AEG=40°， ∵ECBF， ∴∠AHB=∠AGE=40°． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚角之间的关系． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能． 【问题初探】 （1）如图1，，，求证：． 【拓展探究】 （2）在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． 【迁移应用】 （3）路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则__________； （4）一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数． 【答案】（1）证明：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下， 如图所示，过点作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）．（4） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； （2）过点作，，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （3）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． （4）过点作，得到，再求出，最后根据得到，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图所示，的顶点分别为， 依题意，，作，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （4）如图所示，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵底部支架与吊线平行， ∴， ∴， ∴． 23. 如图①是某校艺术节搭建的舞台．从上面看，舞台上面有三根铁架，且三根铁架在同一平面内．如图②，是两根互相平行的铁架，且铁架与两边的铁架，互相垂直，在两个铁架的处分别设置了一盏可以沿着水平面不断匀速旋转的射灯，灯光打开时，处光线射向点处光线与的夹角为．两灯同时开始旋转，光线绕射灯顺时针旋转．光线绕射灯逆时针旋转．当两灯射出的光线与铁架重合时立即反向旋转．旋转中常常出现交叉照射．若点处射出的光线每秒旋转，点处射出的光线每秒旋转，设旋转时间为秒． （1）当旋转时间为秒时，求的度数； （2）如图③，若两灯射出的光线，第一次与边相交于一点时，此时，请求出旋转时间的值； （3）当旋转时间秒时，直接写出时的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意得出，过点作，进而根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）设射线交于点，分两种情况讨论，当时，顺时针旋转，当时，逆时针旋转，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 如图，过点作， ∴． ∵, ∴． ∴． 又∵， ∴． 解得：, 【小问3详解】 解：如图，设射线交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，顺时针旋转， ∴， ∴， 解得：． 当时，逆时针旋转， ∴， ∴， 解得：． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $