1.3 集合的基本运算课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的交、并、补运算，涵盖全集、德·摩根定律及容斥原理，通过关联集合定义与表示等旧知搭建学习支架，引导学生从概念过渡到运算应用。 其亮点在于融入思维导图梳理知识，借助Venn图、数轴实现数形结合，例题分层（基础到拔高）并对接高考，培养数学眼光（几何直观）、思维（逻辑推理）与语言（符号图形表达），如用Venn图解析德·摩根定律，助力学生提升解题能力，教师可实现一体化教学。

高一数学●人教A版必修一 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 集合的基本运算 本节学习集合的交、并、补三种基本运算，理解全集与补集的含义，会借助维恩图处理集合运算，能够求解简单集合运算问题，体会数形结合的思想。 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括93张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 并集 1 并集的概念 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有（全部，一个不漏）属于 集合或属于集合 的元素组成的集合， 称为集合与的并集，记作 （仍是一个集合）（读作“并 ”）. （符号开口向上） ，或 4 知识剖析 并集概念中的“或”指的是只要满足其中 一个条件即可，符号语言“，或 ”包含三 种情况：“，但”； “，但 ”； “，且 ”.可用图1.3-1形象表示. 图1.3-1 2 并集的性质（此处是对教材第11页第一个【思考】的深挖.） 性质 说明 满足交换律. 任何集合与其本身的并集等于它本身. 任何集合与空集的并集等于它本身. 满足结合律. , 任何集合都是该集合与另一个集合的并集的子集. 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然. 由图形语言可得：（1）;（2） ;（真子集关系 时，反推不成立）（3）或 . 6 例1 ［教材改编P10例集合，0，，集合，2，，则集合 ( ) D A.， B.，0，1， C.，0，2， D.，0，1，2， 【解析】，0，1，2， ． 7 例2 ［教材改编P10例2］(2026·河北省唐山市期中)设集合 , ，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】在数轴上表示出集合,，如图1.3-5所示，则 . 图1.3-5 8 归纳总结 求两个集合的并集的方法 （1）对于有限集，可直接根据集合的并集定义求解，但由于集合中元素的互异性， 公共元素在并集中只能出现一次. （2）对于无限集，进行并集运算时，可借助数轴求解，注意两个集合的并集等于两 个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围. 9 知识点2 交集 1 交集的概念 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合且属于集合 的元素 组成的集合，称为集合与的交集，记作 （仍是一个集合）（读作“交 ”）. （符号开口向 下） ,且 10 知识剖析 1.交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中 的元素（即公共元素）. 2.交集概念中的“所有”两字不能省略，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同的元素 全部找出来. 3.当集合A和集合B没有公共元素时，不能说集合A与集合B没有交集，而是集合A与 集合B的交集为空集，即<m></m> . 11 2 交集的性质（此处是对教材第12页【思考】的深挖和拓展.） 性质 说明 满足交换律. 任何集合与其本身的交集等于它本身. 任何集合与空集的交集等于空集. 满足结合律. , 两个集合的交集是其中任一集合的子集. 任何集合同它子集的交集等于这个集合 的子集，反之亦然. , 满足分配律. 12 例3 ［教材改编P12 T1］(2026·山西省长治市期中)已知集合 ，0，1，2， ，，，1，3，，则 ( ) C A.， B.，1， C.，1， D.，0，1，2，3， 【解析】由题意可知，找到集合，中的公共元素 ，1，3， 可知，1， ． 13 例4 (2026·广东省江门市期末)已知集合, , 则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】在数轴上表示出集合， ,如图1.3-6所示， 图1.3-6 由图知 . 14 求两个集合的交集的方法 （1）对于有限集，逐个挑出两个集合的公共元素即可. （2）对于无限集，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的 相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍. 15 知识点3 全集与补集 1 全集的概念 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集， 通常记作 .（注意，通常也把给定的集合作为全集.研究的问题不同，全集也就不同） 16 2 补集的概念 自然语言 符号语言 图形语言 对于一个集合，由全集中不属于集合 的 所有元素（从全集中去掉所有属于 的元素） 组成的集合称为集合相对于全集 的补集,简 称为集合的补集，记作 . ,且 17 知识剖析 1.补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没有定义全集，则不存 在补集的说法；另一方面，补集的元素“逃不出”全集的范围. 2.补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的 前提是A为全集<m></m>的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的. 3.<m></m>表示一个集合，且<m></m>是<m></m>的一个子集. 4.<m></m>,若<m></m>，则<m></m>或<m></m>，二者必居其一. 18 3 全集与补集的性质 由全集与补集的概念及 图，我们可以得到如下性质. （1） ，, ； , . （2）若，则;反之，若，则 ，这可利用 得到. 两个等价转化： ; . （3）若，则;反之，若，则 . 19 例5 ［教材改编P13例5］(2026·安徽省六安市独山中学月考)设集合 ，1,2,3,4, ,,3，,则 ( ) C A. B. C.，2, D.,1，2,3,4， 【解析】因为集合,，3,，所以 . 例6 若全集，则集合的补集 为( ) C A. B. C. D. 【解析】借助数轴（如图1.3-7）易得 . 图1.3-7 20 求集合补集的策略 （1）若所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定 义来求解.另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助 图来求解. （2）若所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知 集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解. 21 知识点4 德·摩根定律与容斥原理深挖点 1 德·摩根定律教材深挖 德·摩根定律是对教材第13页【练习】第3题的挖掘. 设集合为全集，，为 的子集，则有 （1） ; （2） . 这一结论也称为德·摩根定律. 22 下面用图形解释. （交之补等于补之并）， 利用 图表示如图1.3-2所示. （有限集的混合运算可用 图解决） 图1.3-2 23 图1.3-3 （并之补等 于补之交）， 利用 图表示如图1.3-3所示. 24 2 容斥原理教材深挖 容斥原理是对教材第15页【阅读与思考】的拓展. 如果用表示有限集合 中元素的个数,则有如下结论： （1） ; 这一结论,在计数上称为容斥原理.用 图解释,如图1.3-4（1）（2）所示. 图1.3-4 （2） . 25 例7 ［教材改编P13 T1］设集合,2，3,4，5,，，2，, ，4， ，则 ( ) D A.，3，4， B.，2，4，5， C. D. 【解析】方法1：，5， ， ，2， ， 故 . 方法2：根据题意易得,故 . 26 例8 为了解某市市民在阅读报纸方面的情况，某单位调查了500位市民，调查结果显 示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人，其中两种都订的有150人（假定只有 这两种报纸）.则至少订一种报纸的有_____人，有____人不订报纸. 481 19 【解析】方法1：设是调查的500位市民，是订阅日报的人 ， 是订阅晚报的人，则,, . 是至少订一种报纸的人，则 . 是不订报纸的人，则 . 27 图1.3-8 方法2：设不订报纸的有 人，如图1.3-8所示， 则由图可得， ，解 得 , ,则至少订一种报纸的有481人. 图中元素的个数加括号表示 28 方法帮丨解题突破 题型1 集合间的运算 类型1 交、并、补运算 例9（1）(2026·山东省德州市期末)设集合，，，0，， ， 0，，，则 ( ) D A. B.， C.，， D.，，0， 【解析】由题可得， ， 则，，0， ． 29 （2）(2026·四川省绵阳市期中)设全集，，0，1，2，3， ，集合 ，，，则 ( ) A A.，2， B.，，2， C.，，0，2， D. 【解析】集合，0，1，2，3，，所以 ， 则，2， ． 30 有限集（或离散型无限集）间的运算，直接利用定义求解，而连续 型无限集间的运算，则借助数轴进行求解. 31 例10 ［教材改编P14 T4］已知全集，集合 , ，求,,, . 32 图1.3-9 【解析】如图1.3-9，在数轴上表示集合，， （【警示】 在结合数轴求解时，要注意端点的“实”与“虚”，以及等号的 取与不取问题）. , , 或 ， 或 . 所以或 ， , 或 . 33 类型2 利用 图求集合 图1.3-10 解题依据: 图表示集合的混合运算 如图1.3-10，集合，将全集 划分成了四部分，分别 为①②③④，这四部分的并集为全集 ，其中任意两部 分都没有公共元素. 其中①表示；②表示 ；③表示 ；④表示 . 所以由图可以得到 ， ， （德·摩根定 律）. 34 例11 (2026·天津市第五十七中月考)已知全集为，，0， ， ，则图1.3-11中阴图1.3-11影部分表示的集合是( ) B A. B., C. D.,0, 【解析】因为，所以，因为,0, ，所以 ，,0,1,，而阴影部分表示的集合是 且 ，则图中阴影部分表示的集合是, ，故选B. 35 例12 ［教材改编P14 T6］(2026·湖北省华中科技大学附属中学周测)已知全集 取不大于20的质数，，是的两个子集，且， ， ，，，，则集合 ________________， _________________． ，5，11， ，11，13， 36 37 【解析】全集取不大于20的质数，3，5，7，11，13，17， ， 由，，可知，，这说明元素2,17既不属于 ， 又不属于 . 由，，可知元素3,5属于集合，但不属于集合 . 由，，可知元素7,19属于集合，但不属于集合 . 故剩余元素11,13既属于集合，又属于集合 ，检验可知符合题意. 38 图1.3-12 画出 图，如图1.3-12所示. 故由图可知，5，11，， ，11，13， ． 39 解题时，可以利用 图表示集合的交、并、补运算的结果，确 定某部分区域表示的集合与已知中的哪些集合有关，是在已知集合内还是在已知集 合外，如果在已知集合外，则与该集合的补集有关，然后利用集合间的交集、并集、 补集运算确定所求的集合. 40 解题通法 解决集合运算问题的方法 1.解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求 时，先求 出，再求交集；求时，先求出 ，再求补集.常用的两个技巧如下： （1）活“性”减“量”：灵活利用交集与并集以及补集的运算性质简化运算，特别是 德·摩根定律，即, . （2）借“形”助“数”：在进行集合的运算时要尽可能地借助 图和数轴使抽象问题 直观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍. 2.当集合是用列举法表示时（如数集），可以通过列举集合的元素得到所求的集合； 当集合是用描述法表示时（如不等式形式表示的集合），则可运用数轴求解． 41 图1.3-13 练变式1 [多选题](2026·广东省惠州市正弘实验学校月考)图 1.3-13中阴影部分用集合符号可以表示为( ) AD A. B. C. D. 【解析】在阴影部分区域内任取一个元素，则 或 ，所以阴影部分所表示的集合为 ， 再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为 ，所以选项A,D正确，选项B,C不正确. 42 练变式2 已知全集，1，2，3，，集合，1，，， ，则集合 ( ) C A. B. C. D. 【解析】方法1：因为，，1， ，所以A错误； 因为，1，3， ，所以B错误； 因为，， ，所以C正确； 因为，1，，1，， ，所以D错误． 方法2：画出图，如图D 1.3-1所示， . 图D 1.3-1 43 练变式3 (2026·四川省广元外国语学校月考)已知全集为，集合， 满足 ，则下列运算结果为 的是( ) D A. B. C. D. 【解析】画出图，如图D 1.3-2. ，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ， ，故C不符合题意，D符合题意． 图D 1.3-2 44 题型2 集合运算的参数问题 例13 若,,，,,，，则 ____. 【解析】由可知，则或，解得或 （【明易错】必须检验集合元素是否满足互异性）. ①当时， , 集合中元素不满足互异性，故舍去 ; ②当时，,,，,4,， ，满足题意; ③当时，,9,，,,，此时， ，这与 矛盾（与集合运算有关的参数问题，不只要检验互异性，还要注意题干 其他条件的检验），故舍去 . 综上可知， . 45 例14 (2026·河南省尉氏三中开学考试)设集合 , ,则使成立的实数 的取值集合为( ) C A. B. C. D. 【解析】由，得，即 ，则 （1）当 时，，解得；（【明易错】虽然集合 表示一个 明确的不等式解集，但它仍有可能为空集，不能漏解）（2）当 时， 解得 . 综合（1）（2）可知,使成立的的取值集合为 . 46 例15 (2026·福建省龙岩第一中学月考)设集合 ， ，且 ，则实数 的取值范围为___________. 思路1： （直接法） 由求,根据 结合数轴建立 的不等关系. 思路2： （转化法）等价转化为即可得 的取值范围. 47 【解析】方法1：（直接法） 由 ，得 ， 因为， ， 结合数轴（如图1.3-14）得，即 ． 图1.3-14 所以实数的取值范围为 . 48 图1.3-15 方法2：（转化法） 由 可知 . 又 ， ，结合数轴 （如图1.3-15）得，即 ． 所以实数的取值范围为 . 49 解题通法 求集合运算中参数的思路 1.将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举，则 可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴 得到不同集合之间的关系. 2.将集合之间的关系转化为方程（组）或不等式（组）是否有解,及若有解应满足什 么条件的问题. 3.解方程（组）或解不等式（组）来确定参数的值或范围. 50 集合运算求参时的注意点 ①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性，在求解含参数的 集合问题时，要注意这一隐含的条件. ②由集合的运算转化为集合间的关系时，注意集合是否为空集，常见的转化如下， 利用 图（如图1.3-16）可直观理解： 图1.3-16 ; ; ; . 51 练变式4 (2026·河北省承德市月考)设集合 ， . 【答案】集合， . （1）若，求实数 的值; 【答案】，，将代入 中的方程， 得，或 . 当时，， ，满足条件； 当时， ，也满足条件. 综上可得，的值为或 . 52 （2）若，求实数 的取值范围； 【答案】， . 对于集合中的方程，当，即 时， （根与系数的关系）,满足条件； 当，即时， ,满足条件； 当，即时， 才满足条件， 即此时 值不存在. 综上可知，的取值范围是 ． 53 （3）若，求实数 的取值范围. 【答案】,, . ①当，即时， ，满足条件; ②当,即时，, ，不满足条件； ③当,即时，此时只需且 即可, 将代入中的方程，得 ， 将代入中的方程，得 ， 且且 . 综上可知，的取值范围是或或 或 或 }. 54 题型3 补集思想的应用——正难则反 例16 若三个关于的方程， ， 中至少有一个方程有实根，则实数 的取值范围为_______________ ________． 或} 55 56 【解析】方法1：若方程 有实根， 则，解得 , 故方程有实根时的取值集合 }． 若有实根，则,解得 ， 故方程有实根时的取值集合 ． 若有实根，则,即，解得或 ， 故方程有实根时的取值集合或 ． 综上所述，满足题意的的取值范围是或 }. 方法2：设已知的三个方程都无实根，此时的取值范围为集合 , 57 则解得 . 所以 }. 故三个方程中至少有一个有实根的的取值范围为的补集，即 或 }． 当直接处理问题包含多类情况时,可从反面出发，利用补集思想求 解，避繁就简. 解题通法 补集思想及运用补集思想解题的步骤 1.补集思想 “正难则反”的策略运用的就是补集思想，如已 知全集，求子集，若直接求 有困难，可先 求，再由，求 ． 2.解题的步骤 第一步：否定已知条件，考虑反面问题. 第二步：求解反面问题对应的参数范围. 第三步：取反面问题对应的参数范围的补集． 59 练变式5 (2026·湖南省衡阳市期中)已知集合或 , ，若 ，则实数 的取值范围为______________________ ____. 或} 图D 1.3-3 【解析】已知或, ,我 们不妨考虑当 时 的取值范围（正难则反），在数轴 上表示出集合， ，如图D 1.3-3所示. 由得 故或 ， 即 时，的取值范围为或 . 故 时，的取值范围为或 }. 60 题型4 集合运算中的创新型问题 类型1 新定义问题 图1.3-17 例17 (2026·福建省福州市期中)对于集合，，定义 的运算结果为图1.3-17中阴影部分表示的集合，定义 .若 ， ，则 ( ) C A. B. C.或 D.或 61 【解析】因为 （图中阴影部分表示的含义），所以 ， ， 所以或 . 62 类型2 结构不良试题 （1）问题分析 结构不良试题实质上是一种特殊的开放题，即题目的条件不完备，需要考生自行补 充条件才能解答的试题.为了便于阅卷，结构不良试题一般提供了一组备选条件 （一般为三个），由考生自主选择其中一个或两个进行解答. 63 （2）问题解决 求解此类试题的常见方法： （1）先定后动——先分析题干中所给的固定的已知条件，条件较多且复杂时就进行 等价转换（化简、变形等）； （2）先动后定——观察分析备选条件，选择一个自己较为熟悉的、有把握的条件入 手，与固定的已知条件结合即可进行作答. 例18 [新考法·结构不良]在，， 这三个条 件中任选一个，补充到下面问题中.若问题中的实数存在，求 的取值范围；若问题 中的实数 不存在，请说明理由. 已知集合，，是否存在实数 ，使得__ __？ 64 【解析】选①. 或 ， 由得, ， 当 时，，解得 ； 当 时，或 解得 . 综上，存在实数，使得，且的取值范围为或 . 选②. 或，由，得 ， 65 所以 该不等式组无实数解， 所以不存在实数，使得 . 选③. 由可知 ， 当 时，，解得 ； 当 时，解得 . 综上，存在实数，使得，且 的取值范围为 }. 新考法数学建模 例19 (2026·陕西省西北工业大学附属中学月考)某班有36名同学参加数学、物理、化 学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的 人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小 组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有___人． 8 67 第一步：将自然语言翻译成数学符号语言. 自然语言 数学符号语言 某班有36名同学参加数学、物 理、化学课外探究小组 设参加数学、物理、化学课外探究小组的人员构成 的集合分别为,,,则 每名同学至多参加两个小组 参加数学、物理、化学小组的 人数分别为26,15,13 ，， 同时参加数学和物理小组的有 6人，同时参加物理和化学小 组的有4人，问同时参加数学 和化学小组的有多少人 ， ，设 68 图1.3-18 第二步：用数学知识求解. 将上述条件标在图（如图1.3-18）中，利用 图建立 关于 的方程. 由全班共36名同学参加课外探究小组可得 ， 解得 . 第三步：作答. 还原为实际问题的解释，即同时参加数学和化学小组的有8 人． 69 练变式6 [教材改编P35 T11,新情境·数学建模](2026·安徽省合肥市第七中学月考)学 校举办运动会时，高一（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人 参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参 加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，则只参加趣味比赛一项 的有___人． 6 【解析】因为同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，其中同时参加三项比赛的有2人， 所以有3人只参加田径与球类两项比赛， 同理有2人只参加田径与趣味两项比赛． 70 图D 1.3-4 因此，只参加田径比赛一项的有 （人），作 出 图，如图D 1.3-4所示， 设只参加趣味比赛的有人，只参加球类比赛的有 人，同时参 加趣味与球类两项比赛的有 人， 根据题意，可得解得 即只参加趣味比赛一项的有6人． 71 高考帮丨考向追踪 考向1 集合间的基本运算 例 20 （1）(2025· 全国一卷)已知集合是小于9的正整数， ，则 中元素的个数为( ) C A.0 B.3 C.5 D.8 【解析】，,故，故 中有5个元素. 故选C. （2）(2025· 全国二卷)已知集合,0,1,2,，,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由题可得,0，，所以 ,故选D. 72 （3）(2025·天津)已知全集，集合, ，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由题可得，所以 ，故选D. （4）(2024·全国甲卷)已知集合，2，3，4，5，， ，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】，,则 .故选D. 73 例 21 (2023·全国甲卷)设全集，集合, , ，},则 ( ) A A.,} B., } C.,} D. 【解析】 ,,1,4,7,10,, ,,2,5,8,11,，所以 , ， ,1,2,4,5,7,8,10,11，,所以 ,,0,3,6,9, ，其元素都是3的倍数, 即, }. 74 例 22 (全国乙卷)已知集合,,, },则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】方法1:在集合中，令，则 （被4除余1） ， 而集合中，（被2除余1），所以必有，所以 . 方法2: ,,,1,3,5,， ,,1,5,，观察可知， ，所以 . 75 练习帮丨分层巩固 A 基础练丨知识测评 建议时间：30分钟 1.(2026·江苏省苏州实验中学调研)已知集合, ,那 么集合 等于( ) C A. B.或 C. D. 图D 1.3-1 【解析】在数轴上表示出两个集合，如图D 1.3-1所示，由图可 知 .故选C. 76 2.(2026·四川省阆中中学校月考)设全集,,0,1,,集合 , ,则 ( ) C A.,,1, B.,, C., D. 【解析】，则，，，则 ， ，，1， , ，，0，1，，， ．故选C. 77 图1.3-1 3.(2026·福建省漳州市期末)已知全集,集合 ,0,1,2, ,或 ,则图1.3-1中阴影部分表示的集合为 ( ) A A. B., C. D.,0,1, 【解析】由图可知阴影部分对应的集合为 , 集合,0,1,2,，或 , ，即 . 78 4.(2026·河南省内乡县高级中学测试)已知集合,2,3,4,, ,记 ,且 ．则下列等式成立的是( ) C A. B. C., D. 【解析】，4，3， ， 则，1，2，3，4， ，故A错误； ，4， ，故B错误； ， ，故C正确； ，故D错误． 故选C． 79 5.［新情境·数学建模］某校计划面向高一学生开设“科技与创新”“人文与阅读”两类 选修课.为了解学生对这两类选修课的兴趣，对高一某班共46名学生进行调查，发现 喜欢“科技与创新”类的学生有34名，喜欢“人文与阅读”类的学生有18名，两类均不 喜欢的有6名，则只喜欢“科技与创新”类选修课的学生人数为( ) B A.34 B.22 C.12 D.6 图D 1.3-2 【解析】设两类均喜欢的有 名， 则由题意结合图D 1.3-2可得， ， 解得，故 ．故选B. 80 6.［多选题］ 已知全集,,3,5, , ,8,9, ,则下列选项正确的为( ) CD A., B. 的子集的个数为1 024个 C.,1,3,4,5,6, D. 的非空真子集的个数为6 【解析】，1，2，3，4，5，6，7，8，9， ， 又，3，5，，，8，9， ， 所以，4，，，1，3，4，5，6，， 的子集的个数为 ，的非空真子集的个数为 ，C，D正确． 故选 . 81 7.设,,若,则实数 ____. 【解析】，， , 又,,故 . 82 8.(2026·河南省叶县高级中学摸底考试)设集合 , , ． （1）若,求实数 的值； 【答案】因为，所以 ， 所以2，3是方程 的两个根， 由根与系数的关系可知解得 . 83 （2）若 且 ,求实数 的值． 【答案】, ， 因为 且 ， 所以，， ， 所以解得 . 84 B 综合练丨高考模拟 建议时间：25分钟 9.(2026·天津市耀华中学期中)设集合,集合 , ,若 ,则实数 的取值范围为( ) D A. B.或 C.或 D.或 85 【解析】当，即时， ，此时 ，符合题意； 当，即时， ， 由 ，得或 ， 解得或 . 综上，实数的取值范围为或 . 86 10.［新定义·偶集合］ (2026·山东省莱州市第一中学月考)若集合满足： ,若 ,则,则称集合是一个“偶集合”．已知集合 , ,那么下列集合中为“偶集合”的是( ) D A. B. C. D. 【解析】，因为，但 ，故A错误； ，因为，但 ，故B错误； ，所以 ，不符合题意，故C错误； ，所以，满足若 ，则 ，所以 是一个“偶集合”，故D正确.故选D． 87 11.［多选题］ (2026·广东省深圳市第七高级中学期中)已知 为全集，则下列可以推 出 的是( ) AB A. B. C. D. 【解析】由可得，可得 ，故A符合题意，而C不符合 题意. 当 时，如图D 1.3-3（1）所示， ； 图D 1.3-3 当时，如图D 1.3-3（2）所示， . 故B符合题意，D不符合题意.故选 . 88 12.已知,,,,,,,且 ,其中 ,若,,,且 的所有元素之和为56，则 ___. 8 89 【解析】由，得， ， ，即，，，， . （1）若，， ， 此时，，，即 ， ，，从而，， ， 则 ， 即，或，与 矛盾． （2）若，则，, , ，即 ， 90 ，，从而，， ， 由题意得，，即，或 ， 而与矛盾，， . ，，，，， ， 将，，代入上式，得到 ， 解得或（舍去）， ． 13.(2026·江苏省锡东高级中学期中)已知集合, 或 ． （1）当时，求 ； 【答案】当时， , 因为或,所以 , 故 . 92 （2）若,求 的取值范围． 【答案】由（1）知 , 若,则 . 当 时，则,解得 ,满足题意; 当 时，由题意可得解得 ． 综上所述，的取值范围为 ． 93 $