第26章 二次函数 单元易错题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以典例引领二次函数易错点，针对训练覆盖图像性质、平移、最值等核心题型，知识逻辑从概念理解到综合应用，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例|3个|含图像性质应用、平移综合、大小比较，突出易错点|从图像参数求解到性质综合，构建“概念-运算-应用”逻辑链| |针对训练|23题|选择/填空/解答结合，覆盖顶点、平移、最值及实际应用|从基础性质辨析到动态最值探究，强化推理意识与应用能力|

学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！苍之穹 精之品 2026-2027学年九年级数学第26章单元易错经典题 —二次函数 （典例引领＋针对训练） 典例01：二次函数的图像与性质 1．如图，梯形的顶点都在抛物线上，且轴．点的坐标为，点的坐标为． (1)求a，b的值． (2)求，两点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为，点的坐标为 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）分别将和的坐标代入解析式即可； （2）由抛物线的对称性和、的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ． 点在第三象限， ． 当时，， ． 综上：． （2）解：轴， 点与点，点与点的纵坐标相同． 关于轴对称， 点的坐标为，点的坐标为． 典例02 二次函数的图像平移问题与开口，对称轴等综合 2．把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1) ； ； ； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 【答案】(1)，， (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，最大值为 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据平移规则，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象，进行求解即可； （2）根据顶点式的图象和性质，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象， ∴； ∴，，； （2）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，当时，函数有最大值为． 典例03 依据二次函数的图像进行大小比较 3．已知二次函数 (1)完成下表，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； x … 0 … y … 4 … (2)结合图象，若点均在该二次函数的图象上，请比较和的大小． 【答案】(1) 解：完成表格，如下： x … 0 … y … 4 1 0 1 4 … 在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，如下图： (2) 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，图象法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线即可； （2）根据函数图象，可得该二次函数的对称轴是直线，从而得到关于对称轴的对称点坐标是，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图象可知，该二次函数的对称轴是直线， ∴关于对称轴的对称点坐标是， 又∵抛物线的开口向上， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵点在该二次函数的图象上，， 针对训练 4．二次函数图象的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式，直接读出、的值，得到顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴，， ∴图象的顶点坐标为． 5．当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 根据各类函数的增减性规律判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴当时，随的增大而减小，故A错误； ∵在中，，图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故B正确； ∵在中，， ∴随的增大而减小，故C错误； ∵在中，，图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D错误； 故选：B． 6．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，则得到的新二次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 直接运用二次函数图像的平移规律解答即可． 【详解】解：由平移规律可得：将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得的函数图象的表达式为：． 故选：A． 7．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图像的对称轴是直线 B．顶点坐标 C．当，取得最大值，且最大值为6 D．图像开口向上 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键；根据二次函数顶点式的性质，a的符号决定开口方向，h和k确定顶点坐标和对称轴，然后问题可求解． 【详解】解：由二次函数可知：，开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴当，取得最大值，且最大值为6； ∴选项A、B、D错误；C正确； 故选C． 8．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． 由二次函数开口方向、与y轴交点位置，对称轴位置即可解答． 【详解】解：由题意知，二次函数开口向下，故， 与y轴交于正半轴，故， 对称轴在y轴右侧，则， ． 故选：C． 9．已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线的性质（顶点式与增减性），涉及知识点：抛物线的顶点式、对称轴、增减性．解题方法是先确定抛物线的对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合抛物线的开口方向判断函数值大小；解题关键是利用“开口向上时，点到对称轴的距离越远，函数值越大”的规律，易错点是距离计算错误． 【详解】∵抛物线解析式为， 当时，； 当时，； 当时，； ∴，，， 故． 故选：D． 10．已知二次函数 （m为常数）在自变量x满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为6，则m的值为 （    ） A．0或 B．0或6 C．2或 D．2或6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质（顶点式、x的范围内的最值），解题的关键是根据对称轴与自变量x的范围的位置关系分情况讨论． 由二次函数开口向上，对称轴为，顶点纵坐标为2（最小值），但题目中最小值为6，故对称轴不在这个范围内；分（时取最小值）和（时取最小值）两种情况，代入函数求并验证． 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴为，顶点纵坐标为2． ∵时，的最小值为， ∴不在这个范围内． ①当时，时取最小值，代入得， 即， 解得或（舍去）． ②当时，时取最小值，代入得， 即， 解得（舍去）或． 综上，或6， 故选：B． 11．已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】∵开口向下，顶点为，对称轴为y轴，最大值为9， ∴在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而减小； ①当时，当时，y随的x增大而增大， 那么时取得最小值，时取得最大值， 最小值为，最大值为， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程- ， 解得， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； ②当时， 此时 时取得最大值，时取得最小值， 最大值为9，最小值为， 此时最大值与最小值的差为12， 符合题意； ③当时， 此时时取得最大值，时取得最小值， 最大值为9，最小值为， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程， 解得， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去． ∴综上，得到n的取值范围为：． 故选：B． 12．将抛物线向左平移个单位，得到的新抛物线的解析式为________． 【答案】（或） 【分析】先确定原抛物线的顶点坐标，根据平移规律得到平移后的顶点坐标，再利用顶点式写出新抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 向左平移个单位后顶点的横坐标变为，纵坐标不变， 即平移后的顶点坐标为， ∴新抛物线的解析式为（或）． 13．将抛物线向右平移5个单位长度后，得到的抛物线的表达式是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握平移规律是解题的关键．根据平移规律：左加右减，进行解题即可． 【详解】解：将抛物线向右平移5个单位长度，得到的新抛物线表达式为 ． 故答案为：． 14．已知二次函数，当时，y的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且，开口向上 当时，， ∵对称轴在范围内， ∴y的最小值为 当时， 当时， ∴的取值范围为 故答案为：． 15．抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键． 根据所给抛物线的解析式即可得解． 【详解】解：由题意得，的顶点坐标为． 故答案为：． 16．将抛物线向左平移个单位，向下平移个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”进行解答即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，所得解析式为；再向下平移个单位，所得解析式为， 故答案为：． 17．将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 将抛物线向下平移个单位后，得到新抛物线，其与轴有公共点等价于对应二次方程有实数根，因此判别式大于等于零，由此列不等式求解的取值范围． 【详解】将抛物线 向下平移 个单位长度后，得到新抛物线的表达式为 ， 平移后的抛物线与轴有公共点，即方程 有实数根， 因此判别式 ， 计算判别式：， 由，得，解得． 故答案为：． 18．二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象的位置关系，解题的关键是理解二次函数与一次函数的大小关系是解题的关键．根据二次函数图象与一次函数图象的位置关系求解即可． 【详解】解：二次函数和一次函数的图象交于点和， 两函数交点的横坐标分别为， 观察图象可得，当时，二次函数图像位于一次函数的图象的上方（包括重合），即满足：． 故答案为：． 19．已知，设函数．直线与函数，的图象分别交于点．若，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可． 【详解】解：函数图象的对称轴分别为直线：，，， 联立与，，解得， 即与的交点的横坐标为， 同理可得，与的交点的横坐标为2， 如图， 由图可知，当时，， 故答案为：． 20．已知抛物线，求该抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标和对称轴、二次函数的性质等知识点，将抛物线解析式化成顶点式是解题的关键． 先将抛物线解析式化成顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解： 该抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 21．在同一坐标系中画出和的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标． 【答案】 如图： 的图象向上平移1个单位得的函数图象； 的对称轴是y轴，顶点坐标是； 的对称轴是y轴，顶点坐标是． 【分析】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的平移性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出函数经过点；函数经过点；再描点，然后依次用光滑的曲线连接，得出它们的图象，然后结合平移的性质以及函数图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】解：令时，则，； 令时，则，； 令时，则，； 即函数经过点； 即函数经过点； 再描点，然后依次用光滑的曲线连接 22．已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】(1)； (2)点B不在此抛物线中； (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，涉及到待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及二次函数的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，此题难度不大． 把点代入抛物线中求得a的值，即可求得此抛物线的解析式； 把代入此函数解析式即可判断； 把代入抛物线的解析式中求得x的值即可． 【详解】（1）抛物线经过点， 把点代入抛物线中：， ， 此抛物线的函数解析式为：； （2）当时，， 点不在此抛物线上； （3）此抛物线上一点的纵坐标为， 把代入此抛物线中得：， ， 此抛物线上纵坐标为的点的坐标为或． 23．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日--14日在哈尔滨举行，本届赛会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，其中亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚冬会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价，现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天销售量为y个． (1)写出y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W关于x的函数表达式； (3)零售店定价为多少时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)，（，x为整数） (2) (3)定价56元，最大利润2112元 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数关系式，求一次函数关系式，求二次函数的最大值． （1）根据原来每天的销售量加上增加的个数可得关系式，并写出自变量的取值范围； （2）根据总利润等于单件利润乘以销售量可得关系式； （3）将二次函数关系式配方得出顶点式，再结合二次函数图象的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：，且； （2）解：， 所以函数关系式为； （3）解：， ∵，且x为整数， ∴当时，最大值为2112， 此时定价为. 所以当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润为2112元． 24．已知抛物线开口向下． (1)求m的值； (2)若点在抛物线上，且，试比较与的大小． 【答案】(1)m的值为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为抛物线开口向下，得，，即可作答． （2）先得出抛物线的对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，又因为在抛物线上，且，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线开口向下， ∴， ∴，， ∴（舍去）；， ∴m的值为． （2）解：∵抛物线开口向下 ∴抛物线的对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∵点在抛物线上，且， ∴ 25．已知抛物线的图象经过坐标原点O，并与x轴交于点． (1)求此抛物线的解析式 (2)利用配方法或公式法将函数写成顶点式，并写出顶点坐标、对称轴和最值 (3)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标 【答案】(1) (2)顶点式为；顶点坐标为；对称轴为直线；函数的最小值为，无最大值． (3)和 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用配方法把解析式化为顶点式即可得到答案； （3）根据三角形的面积公式得到，据此求出点B的纵坐标，进而可求出点B的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过坐标原点，并与x轴交于点， ∴ ， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴函数开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值，最小值为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，解得或， 当时，，此时方程无解， ∴点B的坐标为和． 26．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴交直线于点，求的周长最大值及此时点的坐标； (3)设，（）为抛物线上两点，在中的最大值为，最小值为．若存在某个，使得，请求出的取值范围． 【答案】(1) (2)的周长最大值为， (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解函数解析式，二次函数的图象与性质，线段最值问题等知识点． （1）由待定系数法求解即可； （2）先求出直线，然后证明出为等腰直角三角形，，则，那么的周长，设，则，则，那么当时，有最大值，故当取到最大值时，的周长最大值； （3）可得抛物线对称轴为直线，开口向下，顶点为，然后分三种情况：①当点在对称轴左侧时，，即；②当点在对称轴右侧时，；③当点在对称轴左侧，点N在对称轴右侧时，利用二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． ∴将点，代入， 则， 解得， ∴抛物线表达式为； （2）解：设直线， ∴将点，代入得，， 解得， ∴直线， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∵轴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴的周长， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴当取到最大值时，的周长最大值； （3）解：， ∴抛物线对称轴为直线，开口向下，顶点为， ①当点在对称轴左侧时，，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 要使，则，结合， ∴的取值范围是； ②当点在对称轴右侧时，， ∴， ∵，， ∴ ∴， 要使，则，结合， ∴的取值范围是； ③当点在对称轴左侧，点N在对称轴右侧时， 当时，取得最大值为4，故， ∵， ∴， 令，解得或 ∴抛物线与轴交点为，，即时，， ∴在范围内，则， 结合，故的取值范围是， 综上所述：的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！苍之穹 精之品 2026-2027学年九年级数学第26章单元易错经典题 —二次函数 （典例引领＋针对训练） 典例01：二次函数的图像与性质 1．如图，梯形的顶点都在抛物线上，且轴．点的坐标为，点的坐标为． (1)求a，b的值． (2)求，两点的坐标． 典例02 二次函数的图像平移问题与开口，对称轴等综合 2．把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1) ； ； ； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 典例03 依据二次函数的图像进行大小比较 3．已知二次函数 (1)完成下表，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； x … 0 … y … 4 … (2)结合图象，若点均在该二次函数的图象上，请比较和的大小． x … 0 … y … 4 1 0 1 4 … 针对训练 4．二次函数图象的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 6．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，则得到的新二次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 7．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图像的对称轴是直线 B．顶点坐标 C．当，取得最大值，且最大值为6 D．图像开口向上 8．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 9．已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 10．已知二次函数 （m为常数）在自变量x满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为6，则m的值为 （    ） A．0或 B．0或6 C．2或 D．2或6 11．已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．将抛物线向左平移个单位，得到的新抛物线的解析式为________． 13．将抛物线向右平移5个单位长度后，得到的抛物线的表达式是______． 14．已知二次函数，当时，y的取值范围是________． 15．抛物线的顶点坐标是_____． 16．将抛物线向左平移个单位，向下平移个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是______． 17．将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 18．二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是___________． 19．已知，设函数．直线与函数，的图象分别交于点．若，则的取值范围是___________ 20．已知抛物线，求该抛物线的顶点坐标和对称轴． 21．在同一坐标系中画出和的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标． 22．已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 23．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日--14日在哈尔滨举行，本届赛会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，其中亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚冬会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价，现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天销售量为y个． (1)写出y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W关于x的函数表达式； (3)零售店定价为多少时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 24．已知抛物线开口向下． (1)求m的值； (2)若点在抛物线上，且，试比较与的大小． 25．已知抛物线的图象经过坐标原点O，并与x轴交于点． (1)求此抛物线的解析式 (2)利用配方法或公式法将函数写成顶点式，并写出顶点坐标、对称轴和最值 (3)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标 26．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴交直线于点，求的周长最大值及此时点的坐标； (3)设，（）为抛物线上两点，在中的最大值为，最小值为．若存在某个，使得，请求出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $