第26章 二次函数 整合复习与对接中考（分层作业本）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

第二十六章整合复习与对接中考 阶关联知识整合练 1.已知抛物线y=-x2+2x+3. (4)若x1=-1,y1-y2=3,求该二次函数的表 (1)该抛物线开口向，对称轴是 达式； 与x轴有 个交点，交点坐标是 与y轴的交点坐标是 有最 (填“大”或“小”)值，最 值 为 ,顶点坐标为 (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛 物线； (5)【拓展设问】若a>0且x,≤x≤x2时，该二 次函数的最大值与最小值的差为1，点M,N在 (3)当x≤0时，y随x的增大而 最大 二次函数图象的对称轴的异侧，直接写出a的 值为 ；当0<x≤4时，y的取值范围是 取值范围。 (4)若抛物线经过点(-2，a)和(-1，b),则 a b:若抛物线经过点(-3，m)和(4，n), 则mn.(填“>”“<”或“=”) 2.点M(x1,y1),N(x2,y2)都在二次函数y=ax2 4ax+4a-1的图象上，且x2-x1=2, (1)将该二次函数的表达式化为顶点式 是 (2)该二次函数的图象的对称轴为 顶点坐标为 (3)若该二次函数的图象经过点(4,1) ①直接写出该二次函数的表达式； ②若0<<1，则y1y2;(填“>”“<”或 “=”)》 ③若y,=y2,求点M的坐标 55 二阶 广西中考抢先练 考点1二次函数的图象和性质 4.（2025崇左校级月考)将抛物线y=x2-2平移 1.（2025河池一模)剪纸是我国的民间传统艺 后得到抛物线y=x2+2x-2,以下平移方式正确 术，能为节日增加许多喜庆的氛围.剪纸中有 的是 () 种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛 A.向左平移1个单位长度，向上平移1个单位 物线上，体现了一种曲线美.如图是利用“抛物 长度 B.向右平移1个单位长度，向上平移1个单位 线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直 长度 角坐标系，使外轮廓上的A,B,C,D四点落在 C.向左平移1个单位长度，向下平移1个单位 抛物线y=ax2+c上，则下列结论正确的是 长度 D.向右平移1个单位长度，向下平移1个单位 长度 考点3二次函数与一元二次方程 5.（2025南宁青秀区校级月考)若抛物线y=x2+ bx的对称轴是x=2,则关于x的方程x2+bx=0 的解为 () A.ac<0 B.ac=0 A.x1=0,x2=2 B.x1=0,x2=4 C.ac>0 D.ac≥0 C.x1=2,x2=4 D.x1=0,x2=-4 2.（2025梧州藤县期中)在同一平面直角坐标系 6.(2025百色田阳区期中)若二次函数y=2x2- 中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx的 x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 图象可能是 考点4二次函数的最值探究 7.(2024广西)课堂上，数学老师组织同学们围 绕关于x的二次函数y=x2+2ax+a-3的最值问 ) 题展开探究 【经典回顾】求二次函数最值的方法 (1)老师给出a=-4,求二次函数y=x2+2ax+ a-3的最小值 ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出 此时的y值 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求 考点2二次函数的图象变换 出对应的函数在x取何值时，y的最小值.记录 3.(2025玉林期中)将抛物线y=x2-4向左平移 结果，并整理成下表： 3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所 a -2 0 ) 得抛物线的解析式为 ( A.y=(x+3)2+3B.y=(x-3)2+1 y的最小值 -9 -3 -15 C.y=(x+3)2+1D.y=(x+3)2-1 注：*为②的计算结果 56 X 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数：9.(2025来宾象州县一模)为有效地应对高楼火 知识，观察表格，谈谈你的发现.” 灾，某消防中队进行消防技能比赛.如图，在一 甲同学：“我发现，老师给了α值后，我们只要 个废弃高楼距地面10m的点A和15m的点B 取x=-a,就能得到y的最小值.” 处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而 方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分.第 变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减 一次灭火时站在水平地面的点C处，水流从C 小，所以我猜想y的最小值中存在最大值.” 点射出恰好到达点A处，且水流的最大高度为 (2)请结合函数解析式y=x2+2ax+a-3,解释 16m,水流的最高点到高楼的水平距离为4m, 甲同学的说法是否合理？ 建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度 (3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确， y(m)与水流到高楼的水平距离x(m)之间满 请求出此最大值：若不正确，说明理由. 足二次函数关系 (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的 解析式； (2)待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D (水流从D点射出)处进行第二次灭火，若两 次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请 判断水流是否能到达点B处，并说明理由， 4 考点5二次函数的实际应用 8.(2024广西)如图，壮壮同学投掷实心球，出手 (点P处)的高度0P是4m,出手后实心球沿 段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 5m,高度是4m.若实心球落地点为M,则 OM= m. 0 3 m 57.AB2=4+22=20,BC2=42+82=80,AC2=102=100 小专题8二次函数中的动点问题 .AC2=AB2+BC2,.∠ABC=90°， 如解图，过点C作CM∥AB,过点A作 1 (2)一次 AM∥BC,则四边形ABCM是矩形， (3)解：.AP=tcm,∴.CP=(6-t)cm, .'X8-xA=xc-xm,Y8-YA=Yc-ym, 4 设M(m,n), CQ=31 em, B 则4-0=0-m,0-(-2)=8-n, s=x(6-x4 2+4=- .m=-4,n=6,.M(-4,6). 2 3 -36 3.解：存在以AB为边的四边形ABQP为菱形.理由如下： ①当m<0时， 3<0,0≤1≤6， ·四边形ABQP为菱形，A(-m,0),B(0,m), S的最大值为6. .AP=AB=-√2m,AP∥QB, 2.（1)证明：△ABC是等边三角形， .∠A=∠B=60°，AB=AC. ∴.P(-m,-√2m)或P(-m,2m), (AD=BE. 4 1 4 -2m=-3m-3m或5m=-3m2-3m, :AD=CF,.AF=BD.在△ADF和△BED中 ∠A=∠B, AF=BD, 解得m=0(不合题意，舍去)或m=32-4(不合题意，舍 ∴.△ADF≌△BED(SAS). 去)或m=-32-4: (2)解：如解图，分别过点C,F作CH⊥AB, ②当m>0时，同理可得P(-m,-√2m), FG1AB,垂足分别为H,G, 4 在等边三角形ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC= AC=4,.CH=23, 解得m=0(不合题意，舍去)或m=3√2-4。 综上所述，m的值为-32-4或32-4. SSc=)AB·CH=4月 4.解：(1)抛物线y=-x2+2x+c与x轴交于点A(3,0), AD的长为x, H ∴.-9+6+c=0,解得c=3. .'.AD=BE=CF=x, 该抛物线的对称轴为x= 2 2x(-1)1 六F=4-x,iFG= 2(4-x). (2)存在 .·y=-x+2x+3,.C(0,3), Saw-AD FG5 4(4-), 设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)， 由(I)可知△ADF≌△BED,同理可证，△BED≌△CFE, 把A(3.0),C(0,3)分别代人，得3%+=0， b=3, SAAOF=SAWDE=SACE(4-) 帝公 ”.直线AC的解析式为y=-x+3, y=5aac-35A4oe=45-3 4x(4-x) 352-33x+45. 4 设D(t,-t+3), .·点B与点A(3,0)关于直线x=1对称， (3)解：由(2)可得30，质数图象的对称轴为 .B(-1,0),AB=3-(-1)=4, -35 =2,且0≤AD≤4. 当AB为正方形ABDE的边时，如解图， 2+ 则BD=AB,BD⊥AB,AE=AB,AE⊥AB, 4 .-t+3=4,解得t=-1, ∴.当0≤AD≤2时，△DEF的面积随AD的增大而减小：当 .D1(-1,4),E(3,4): 2<AD≤4时，△DEF的面积随AD的增大而增大. 当AB为正方形ADBE的对角线时，如 D 26.3二次函数与一元二次方程 解图，设AB交DE于点F 1.C 则DE⊥AB,EF=DF=AF=BF= 2.(1)x1=1,x2=3(2)x1=x2=2(3)x1=0,x2=4(4)C 3.x=-24.m≥-45.-1<x<2x<-1或x>2 6=2,-+3=2,解得=1，.D,(1,2), 6.-3<x<17.C E2(1,-2) 综上所述，点E的坐标为(3,4)或(1，-2). 8C9-3(答案不唯-）10.4111或-号 参考答案 12.(1)m的取值范围为m≤2 (2)解：设种植乙种水稻x亩，总收益为y元 8 ①当x≤100时，y=800(400-x)+1200x=400ax+320000. (2)m=3,此二次函数的图象与y轴的交点坐标为(0,1)， 400>0,.当x=100时，y有最大值，最大值为360000： 与x轴的交点坐标为(20)和(1,0)。 ②当x>100时，y=800(400-x)+[1200-2(x-100)]x= -2x2+600x+320000=-2(x-150)2+365000, 13.(1)证明：对于y=x2-(m-2)x+m-3, -2<0,∴.当x=150时，y有最大值，最大值为365000. ∵4=[-(m-2)]2-4(m-3)=m2-4m+4-4m+12=m2-8m .·365000>360000, +16=(m-4)2≥0. .当种植乙种水稻150亩，甲种水稻250亩时，总收益最 无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点. 大，最大总收益为365000元. (2)解：设抛物线与x轴的交点坐标分别为(a,0),(b,0). 第3课时抛物线形问题 由题意，得1a-b1=4,a+b=m-2,ab=m-3, 1.C2.9.6 (a-b)2=16,.(a+b)2-4ab=16, 3.解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+6(a≠0).由已知可 .(m-2)2-4(m-3)=16,解得m=0或8. 得，点D的坐标为(4,2)，且在此抛物线上，.2=a×42+6, 26.4实际问题与二次函数 第1课时运动类问题、面积问题 解得。=一子地物线的解折式为)=一子+6 1.451350 (2)不能.理由如下：当=±1.4时y=-子+6=551. 1 2.(1)小球的运动时间是4s时，小球回落到地面. (2)圆圆的说法不对.理由略 :5.6>5.51,.这辆货运卡车不能从正中间通过该隧道. 3.C4.C5.D6.107.② 4.C5.D6.0.3 7.解：(1)设y关于x的函数表达式为y=aax2+bx+c(a≠0)，根 数空 据题意，得抛物线过(0,10)和(3,7)，对称轴为x=1, (2)当点E为AB的中点时，矩形CDEF的面积最大. [c=10, a=-1 9(1)隧道截面的面积S=(分-4)产+16r(0<4). 则9n+36+c=7, 解得b=2, b -=1 c=10. 2a (2)隧道截面的面积S的最大值为25.5m2. 10.解：(1)由题意，得AB=xm,∴.BC=(28-x)m. y关于x的函数表达式为y=-x2+2x+10. (2)根据题意，得x≥6，且28-x≥15，.6≤x≤13. (2)在y=-x2+2x+10中，令y=0,得0=-x2+2x+10, 假设花园的面积能为192m2,则x(28-x)=192, 解得x=√11+1或x=-√11+1（舍去）， 解得x=12或x=16（不合题意，舍去)， .运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（√T+ .花园的面积能为192m2,此时x的值为12 1)m. (3)根据题意，得S=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+ 8.解：(1)符合要求.理由如下：由题意可得，函数图象的顶点 196(6≤x≤13). 坐标为(0.5,2.25)， .-1<0,抛物线的对称轴为x=14, ∴.可设函数解析式为y=a(x-0.5)2+2.25(a≠0)， ·.当6≤x≤13时，S随x的增大而增大， 函数图象过点(0,2)，∴.a(0-0.5)2+2.25=2, .当x=13时，S取得最大值，最大值为-(13-14)2+196 解得a=-1, =195. .函数解析式为y=-(x-0.5)2+2.25, 第2课时最大利润问题 令y=0,则-(x-0.5)2+225=0,解得x=2或x=-1(舍去)， 1.C2.B .小张同学设计的水池符合要求 3.（1)w与x之间的函数关系式为0=-2x+340x-12000. (2)令y=1.25,则-(x-0.5)2+2.25=1.25, (2)当这种绿茶的销售单价是85元/千克时，该茶庄这种 绿茶在这段时间内的销售利润最大，最大利润是2450元. 解得x=1.5或x=-0.5(舍去)， 4.3505.(1)120655 .为了不影响水流，圆形集水槽的半径不能超过1.5m. 6.当每副春联的售价定为35元时，日销售利润最大，最大日 第二十六章整合复习与对接中考 销售利润是2250元 一阶关联知识整合练 7.5 1.(1)下x=12(-1,0)和(3,0)(0,3)大大4 8.（1)y与x之间的函数关系式为y=-40x+680. (1,4)(2)略.(3)增大3-5≤y≤4(4)<< (2)当每袋棕子的售价定为12.5元时，所获日销售利润最 2.(1)y=a(x-2)2-1(2)x=2(2,-1) 大，最大日销售利润是810元. 9.(1)1000 (3)①解：该二次函数的表达式为y=)-2x+山，②> 参考答案 ③解：y1=y2,.M,N两点关于直线x=2对称 (2)不能.理由如下： .1+x2=4x2-x1=2,.x2=3,x1=1. 由题意，得消防员第二次灭火时水流所在抛物线是由第一 次抛物线向左平移2个单位长度得到的， 将x=1代人y=2-2x+1,得y三2》 .消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式 点M的坐标为(1,2)” 1 y、 8(x-4+2)2+16=-3 8(x-2)2+16. (4)解：x1=-1,x2-x1=2,.2=1 令x=0,则y=- 1629 3 2 15 将x,=-1,x2=1分别代人y=a(x-2)2-1, 2 得y=91-1,%=a-1,y,-y2=8a=34=3 .消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过B(0,15), 1 水流不能到达点B处 该二次函数的表达式为y骨子+了 综合与实践 1.解：(1)建立合适的平面直角坐标系如解图. 5)解a≤1 抛物线顶点在y轴上， 【解法提示】a>0,.二次函数的图象开口向上.由(2)可 .设y=aa2+k, 知，二次函数图象的顶点坐标为(2，-1).又：点M,N在二 AB=6m,AB的垂直平分线与抛 次函数图象的对称轴的异侧，x,-x,=2,.点M在对称轴的 物线交于点P,与AB交于点O, .A(-3,0),B(3.0) 左侧，点N在对称轴的右侧，∴.当1≤x≤x2时，函数在x= 由题意可知，CD=4.5m, D Bx 2处取得最小值-1：当x1≤x≤x2时，函数的最大值与最 小值的差为1，.当x≤x≤x,时，函数的最大值为0.①若 0D=1.5m,.C(1.5,4.5), y1≥y2,则2-x1≥x2-2,即2-x1≥x+2-2,解得x1≤1，.0< 将A,C的坐标分别代人y=ar+6,得0=9咖6， x,≤1.：函数的最大值为y=a(x,-2)2-1=0,a= (4.5=1.52a+k, 2 (t,-2)心4a≤1：②若1<，则2-x1<,-2,即2-1<， 1 1 a=- 解得 3 +2-2,解得x1>1,.1<x,<2.:函数的最大值为y=a(x2 k=6 2)2-1=a-1=04= ∴.抛物线的函数表达式为y= x2“年<a<1.综上所述a的取值 6 .顶点为P(0,6),.0P=6m 范围为 <a≤1. 二阶广西中考抢先练 （2)当=168时.-子+6=168解得=》 1A2B3.D4C5.B6.m≤8 最大宽度为95-（-95)-18518x1,4145m 5 5 5 5 7.解：(1)①y=x2-8x-7. ∴他们最多能站5m宽才不会被水淋到. ②当x=4时，y有最小值16-32-7=-23. 2.解：(1)设二次函数的解析式为y=at+bt+c, (2)合理.理由如下： 由条件可得： y=x2+2ax+a-3=(x+a)2-a2+a-3. 1c=0, a=-3, :1>0,∴.函数有最小值，当x=-a时，y取得最小值， a+b+c=27, 解得b=30, 故甲同学的说法合理 9a+3b+c=63, c=0. (3)正确.理由如下： ∴.二次函数的解析式为y=-32+30, 当x=-a时，y=-a2+a-3,:-1<0,.y有最大值 (2)y=-32+30t=-3(t-5)2+75, 当a=时，y取最大值，最大值为-+3=- 答：汽车司机踩下刹车后，5s时汽车完全停下。 2 42 4 (3)由题意，得汽车开始刹车后行驶的距离y=65+7=72(m), 8灯 令72=-32+30L. 3 解得1=4,2=6（不符合题意，舍去）. 9.解：(1)由题意，得抛物线的顶点坐标为(4,16)， 答：在汽车刹车过程中，经过4s汽车超过测速仪且与测速 ∴.可设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+16. 仪相距7m. 3 将点A(0,10)代人，得10=a(0-4)2+16,a=- 3.解：(1)由表格可得，最大销售额为512元，则顶点坐标为 81 (16,512) .消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为y= g4*16 设y=a(x-16)2+512. 将(17,510)代人得a(17-16)2+512=510,解得a=-2, 参考答案 .销售额y(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式13.解：(1)由题意可得s=60,是正比例函数. 为y=-2(x-16)2+512. (2)由题意可得)=20，是反比例函数 (2)①由(1)得y=-2(x-16)2+512=-2x2+64x, x 则g=二=-2x+64=-2x+64, (3)由题意可得)y=6000-200040 ,是反比例函数 .销售数量q(个)与销售单价x(元/个)之间的关系式为g 14y=300 =-2x+64. 当x=18时，销售利润为(18-8)×(-2×18+64)=280（元）. 27.2反比例函数的图象和性质 ②设销售此款环保帆布包的销售利润为心元. 第1课时反比例函数的图象和性质 由①得，销售数量q(个)与销售单价x(元/个)之间的关系 1.A2.D3.C4.>5.C6.B7.A 式为q=-2x+64, 8.(1)k=-8. .1w=y-8(-2x+64)=-2x2+64x-8(-2x+64)=-2x2+80x- (2)函数图象位于第二、四象限，画图略。 512=-2(x-20)2+288, (3)点B(分-16)在这个反比例函数的图象上，点C(-3. ·此款环保帆布包的销售利润w是销售单价x的二次 5)不在这个反比例函数的图象上. 函数 9.010.2 .-2<0,且8<20<32 11.2(答案不唯一)12.-42 .当x=20时，w取得最大值， 13.m=2. “.当该环保帆布包的销售单价为20元/个时，销售利润 6 最大 14.(1)y关于x的函数解析式为y= 第二十七章反比例函数 (2)①2≤a<3. 27.1反比例函数的概念 ②证明：b=1-a,.-a=b-1. ·点B在第二象限， 1.D2.C3.C4.A5.C ∴.b>0,.b-1>-1,2b>0, 6.解：(1)自变量的取值范围为x≠0. .->-1,∴.2b-a>-1. √51 15.D (2)当x=-25时，y= -25 -2 第2课时反比例函数图象和性质的综合运用 （3)令y=-3,则5-3，解得x=-5 1.B2.D3.34.A5.D6.-4<x<0或x>3 7.（1)一次函数的解析式为y=x+1, 7.解：由题意，得V=Sh=360(定值)， 6 反比例函数的解析式为y=一 六S与h成反比例关系S=360 (2)S△ABc=5. :当游泳池的体积V一定时，它的底面积S是高度h的反 8.C9.-610.B11.k>k>k1 12.(1)y=-9 2 比例函数，且这个函数的比例系数是360， 3+1 当h=4m时，S=360 90(m2). (2)当y>y,时，自变量x的取值范围为-3<x<0或>2 9 4 8解：(1)设反比例函数的解析式为y=女（≠0），把x=-1。 15 (3)S0B=4 y=2代人得k=-2y=-2 13.16 小专题9反比例函数中系数k的几何意义 (2-3214-42号 1.62.3变式33.-6 9.A10.A11.-1 4.k=-4. 12.(1)y=12 5.A6.A7.-3 8.△ABC的面积为5. (2)解：当x=7.5时，=1 751.6； 27.3实际问题与反比例函数 300 1.y= 当)=75时，2-75，解得=1.6， 2400 ..当相邻两边中的一条边的长为7.5m时，另一条边的长 2.(1)y与x之间的函数关系式为y= 为1.6m. (2)销售单价应定为160元. 参考答案