第26章 二次函数单元测试卷2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为人教版九年级上册二次函数单元测试卷，以真实情境与梯度设计为特色，覆盖定义、图像性质、实际应用等核心知识，适配单元复习，提升数学建模与问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义（第1题）、图像与性质（第3题）|基础概念辨析，结合图像分析| |填空题|5/15|抛物线平移（第13题）、函数值比较（第12题）|聚焦性质应用，强化几何直观| |解答题|8/75|实际应用（第7题直播带货、第19题投壶轨迹）、综合探究（第23题含参数最值）|情境真实（如直播带货），分层设计（基础计算到创新应用），体现模型意识与推理能力|

绝密★启用前 二次函数单元测试卷 （人教版） 考试范围：九年级上册第26章全部内容；考试时间：90分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．若是关于x的二次函数y＝（a+3）x|a|﹣1﹣x+1，则a的值是（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣3或3 2．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则y＝cx2+ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．已知抛物线y＝（x+3）2，下列结论错误的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣3 C．抛物线的顶点坐标为（3，0） D．当x＜﹣10时，y随x的增大而减小 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 3 … y … 3 4 3 0 ﹣12 … 下列说法错误的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线x＝﹣1 C．2a+c＝0 D．b2﹣4ac＞0 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2），且对称轴为直线x＝1，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 6．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列说法正确的是（　　） A．当m＝1时，函数图象的对称轴是直线x＝2 B．函数的最小值为m2﹣4 C．若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在函数图象上，则y1＞y2 D．若函数图象与x轴只有一个公共点，则m＝﹣4 7．“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　） A．w＝（99﹣x）[300+3（x﹣50）] B．w＝（x﹣50）[300+3（x﹣99）] C．w＝（x﹣50）[300+3（99﹣x）] D．w＝（x﹣50）[300﹣3（99﹣x）] 8．一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4 9．已知二次函数y＝﹣5x2+bx+2（b为常数），当x＜0时，y的值随x值的增大而增大，则下列结论一定正确的是（　　） A．b＞0 B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．该函数的最大值大于2 D．方程﹣5x2+bx+2＝0有两个不相等的实数根 10．如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S（米）关于行驶时间t（秒）的函数图象． ①匀速行驶阶段：汽车从点A出发，以v0的速度沿AB方向匀速行驶，2秒后到达点C． ②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点D处停止，这个过程中S与t满足关系：（a为常数且a≠0）． 下列选项中正确的是（　　） A．v0＝60米/秒 B．汽车行驶总时间为10秒 C．a＝6 D．n＝150米 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣7与y轴交点坐标为　 　． 12．若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝2x2﹣4x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．（按从小到大表示） 13．将抛物线y＝x2+2的图象先向上平移4个单位再向右平移3个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为　 　． 14．把二次函数y＝x2﹣2x+4变形为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则h+k的值为　 　． 15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x﹣3的图象如图所示．P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，点G为y轴上一动点，过点E作∠EGC＝30°，设点P的横坐标为m，则的最大值为　 　 ． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（7分）在画二次函数y＝x2+bx+c的图象时，列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 m n ﹣3 0 … （1）直接写出b、c、m、n的值： b＝　　 ；c＝　　 ；m＝　　 ；n＝　　 ； （2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势． 17．（7分）如图，抛物线y＝x2+bx与直线y＝kx+2相交于点A（﹣2，0）和点B． （1）求b、k的值和顶点坐标； （2）求点B的坐标，并结合图象直接写出不等式kx+2≤x2+bx的解集． 18．（8分）数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式x2﹣x﹣6＞0，我们构造函数y＝x2﹣x﹣6，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为（﹣2，0）和（3，0），结合图象易得不等式x2﹣x﹣6＞0的解集为x＞3或x＜﹣2，同时易知函数与x轴交点的横坐标﹣2和3为方程x2﹣x﹣6＝0的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： （1）不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为　 　； （2）对任意实数b，关于x的一元二次方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 19．（9分）投壶是中国古代宴饮时的一种投掷游戏．在一次科技展上，机器人和人们展开了一场现代科技与古代智慧的投壶挑战赛，如图1，在一次投壶中，机器人和张兴站在投壶点向同一方向进行投壶，分别在点D，F处放置壶．如图2，以水平地面为x轴，以投壶点为原点O，过点O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．其中张兴箭矢的运动轨迹和机器人箭矢的运动轨迹L2均为抛物线形．已知机器人投壶时箭矢的出手点B距离地面1.2m，当箭矢在与出手点水平距离0.8m处时达到最高点，此时箭矢距离地面2m．其中壶口与地面的距离CD＝EF＝0.2m． （1）求机器人箭矢的运动轨迹L2所在抛物线的函数表达式； （2）若张兴所投箭矢恰好投入壶口C，且OF＝2OD，请你通过计算说明机器人此次投壶能否恰好投入壶口？ 20．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）与y轴交于点A，将三个边长均为1的小正方形按如图所示位置摆放，且正方形均水平放置． （1）求出b，c的值； （2）若将小正方形AOBC沿x轴向左平移，使点C落在抛物线上，求平移的距离． 21．（10分）【问题情境】城市人行天桥的顶棚常采用轻盈美观的抛物线形钢结构骨架，既为行人遮风挡雨，又与城市景观融合．如图是其横截面的示意图，其中顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以水平面为x轴，垂直于水平面的立柱OD为y轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点D离水平面的距离OD为3米，已知顶部骨架抛物线的最高点到OD的水平距离为2米，离水平面的距离为3.5米． 请尝试解决以下问题： 【数学建模】 （1）设顶棚骨架上某处离水平面的距离为y（米），该处离支架OD的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式； 【实践探究】 （2）在顶棚骨架上找一点Q，使得该点到水平面的距离为米，求该点到支架OD的水平距离； 【拓展应用】 （3）为了顶棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段AB，AC，EF组成，点F在线段AB上，EF∥OD．为不影响行人通行，将点A到水平面的距离定为2米，求支架EF的最大长度． 22.（12分）综合与实践：制作一个长方体礼盒． 素材：一张矩形卡纸（长为30cm，宽为24cm，如图①）． 【实验操作】 操作一：如图②，将矩形卡纸剪去两个完全相同的小正方形和两个完全相同的矩形； 操作二：如图③，将剩余部分卡纸以矩形ABCD为底面（阴影部分）折成一个长方体礼盒（接缝处忽略不计）． 【问题解决】 设剪去的小正方形边长为xcm． （1）长方体礼盒底面长AB为　 　 cm，宽BC为　 　 cm（用含有x的式子表示）； （2）若礼盒的底面积为140cm2，求x的值； （3）是否存在x，使礼盒的侧面积最大？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 23．（12分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）． （1）求该二次函数的表达式； （2）已知点M（m，n）在该二次函数的图象上，当﹣2≤m＜2时，求n的取值范围； （3）当t≤x≤t+1时，二次函数的最大值为2t，求出t的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 二次函数单元测试卷 （人教版） 考试范围：九年级上册第26章全部内容；考试时间：90分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．若是关于x的二次函数y＝（a+3）x|a|﹣1﹣x+1，则a的值是（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣3或3 【答案】C 【解析】解：根据二次函数定义可得：， 由|a|﹣1＝2，得|a|＝3， 即a＝3或a＝﹣3， 又∵a+3≠0， ∴a≠﹣3， ∴a＝3． 故选：C． 2．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则y＝cx2+ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左边可得a、b同号，故b＜0， 所以y＝cx2+ax+b的图象大致是：抛物线开口向上，图象与y轴的负半轴相交，对称轴在y轴右边，故选项B符合题意． 故选：B． 3．已知抛物线y＝（x+3）2，下列结论错误的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣3 C．抛物线的顶点坐标为（3，0） D．当x＜﹣10时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】解：∵y＝（x+3）2， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，0）， ∴当x＜﹣3时，y随x的增大而减小， ∴当x＜﹣10时，y随x的增大而减小； 故C错误，符合题意，ABD正确，不符合题意， 故选：C． 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 3 … y … 3 4 3 0 ﹣12 … 下列说法错误的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线x＝﹣1 C．2a+c＝0 D．b2﹣4ac＞0 【答案】C 【解析】解：将点 （﹣1，4），（1，0），（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3， ∵a＝﹣1＜0， ∴函数图象的开口向下，则选项A正确； 将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3化成顶点式为y＝﹣（x+1）2+4， ∴函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，则选项B正确； 又∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3， ∴2a+c＝2×（﹣1）+3＝1，则选项C错误； b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×3＝16＞0，则选项D正确， 故选：C． 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2），且对称轴为直线x＝1，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1， ∴由对称轴公式可得 ，即b＝﹣2a， 由条件可得， 解得 ， ∴该二次函数的解析式为． 故选：A． 6．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列说法正确的是（　　） A．当m＝1时，函数图象的对称轴是直线x＝2 B．函数的最小值为m2﹣4 C．若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在函数图象上，则y1＞y2 D．若函数图象与x轴只有一个公共点，则m＝﹣4 【答案】C 【解析】解：对二次函数配方得：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4＝（x﹣m）2+m﹣4， ∵a＝1＞0， ∴抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，m﹣4）； 判断选项A：∵当m＝1时，对称轴为直线x＝1≠2， ∴A错误； 判断选项B：∵a＝1＞0， ∴当x＝m时，函数取得最小值为m﹣4≠m2﹣4， ∴B错误； 判断选项C：点A（m﹣2，y1）到对称轴x＝m的距离为|（m﹣2）﹣m|＝2，点B（m+1，y2）到对称轴的距离为|（m+1）﹣m|＝1； ∵抛物线的开口向上，点离对称轴越远，函数值越大，2＞1， ∴y1＞y2，∴C正确； 判断选项D：若函数图象与x轴只有一个公共点，则一元二次方程x2﹣2mx+m2+m﹣4＝0的判别式Δ＝0；∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2+m﹣4）＝﹣4m+16＝0，解得m＝4≠﹣4， ∴D错误，故选：C． 7．“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　） A．w＝（99﹣x）[300+3（x﹣50）] B．w＝（x﹣50）[300+3（x﹣99）] C．w＝（x﹣50）[300+3（99﹣x）] D．w＝（x﹣50）[300﹣3（99﹣x）] 【答案】C 【解析】解：设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元）， ∵每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件， ∴每件电子产品售价为x（元）时，销售量为[300+3（99﹣x）]件， ∴w与x之间的函数解析式为w＝（x﹣50）[300+3（99﹣x）]， 故选：C． 8．一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4 【答案】D 【解析】解：观察图象得，当x＜﹣1或x＞4时，二次函数的图象在一次函数y1＝mx+n（m≠0）图象的上方， 即当x＜﹣1或x＞4时，ax2+bx+c＞mx+n， ∴x＜﹣1或x＞4． 故选：D． 9．已知二次函数y＝﹣5x2+bx+2（b为常数），当x＜0时，y的值随x值的增大而增大，则下列结论一定正确的是（　　） A．b＞0 B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．该函数的最大值大于2 D．方程﹣5x2+bx+2＝0有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】解：在二次函数y＝﹣5x2+bx+2 中，a＝﹣5＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∵当x＜0时，y随x的增大而增大， ∴对称轴，可得b≥0． 对于A，b可以等于0，故A错误； 对于B，顶点横坐标为，顶点纵坐标为，顶点在第一象限或y轴正半轴，不可能在第四象限，故B错误； 对于C，函数的最大值为顶点纵坐标，当b＝0时，最大值为2，不满足最大值大于2，故C错误； 对于D，方程﹣5x2+bx+2＝0 的判别式Δ＝b2﹣4×（﹣5）×2＝b2+40， ∵b2≥0，∴Δ＝b2+40＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确， 故选：D． 10．如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S（米）关于行驶时间t（秒）的函数图象． ①匀速行驶阶段：汽车从点A出发，以v0的速度沿AB方向匀速行驶，2秒后到达点C． ②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点D处停止，这个过程中S与t满足关系：（a为常数且a≠0）． 下列选项中正确的是（　　） A．v0＝60米/秒 B．汽车行驶总时间为10秒 C．a＝6 D．n＝150米 【答案】D 【解析】解：由题意可知，v030（米/秒），故A错误； 汽车从A出发到D停止，共行驶2+6＝8（秒），故B错误； 把（2，60）和v0＝30代入Sat2+（v0+10）t﹣10得： 60a×4+40×2﹣10， 解得a＝5，故C错误； 把（8，n），a＝5，v0＝30代入Sat2+（v0+10）t﹣10得： n5×82+40×8﹣10＝﹣160+320﹣10＝150，故D正确， 故选：D． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣7与y轴交点坐标为　 　． 【答案】（0，﹣16）． 【解析】解：当x＝0，y＝﹣（0﹣3）2﹣7＝﹣9﹣7＝﹣16， 故抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣7与y轴交点坐标为（0，﹣16）． 故答案为：（0，﹣16）． 12．若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝2x2﹣4x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．（按从小到大表示） 【答案】y3＜y2＜y1． 【解析】解：由抛物线解析式可知：图象开口向上；对称轴为直线． 分别计算三个点的横坐标到对称轴x＝1的距离： 点A（﹣6，y1）：|﹣6﹣1|＝7， 点B（﹣2，y2）：|﹣2﹣1|＝3， 点C（2，y3）：|2﹣1|＝1， ∵开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且1＜3＜7， ∴y3＜y2＜y1． 故答案为：y3＜y2＜y1． 13．将抛物线y＝x2+2的图象先向上平移4个单位再向右平移3个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为　 　． 【答案】（3，6）． 【解析】解：原抛物线y＝x2+2的顶点坐标为（0，2）， 先向上平移4个单位，顶点纵坐标加4，得到顶点坐标为（0，6）， 再向右平移3个单位，顶点横坐标加3，得到新的顶点坐标为（3，6）， 故答案为：（3，6）． 14．把二次函数y＝x2﹣2x+4变形为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则h+k的值为　 　． 【答案】4． 【解析】解：y＝x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3， ∵二次函数y＝x2﹣2x+4变形为y＝a（x﹣h）2+k的形式， ∴h＝1，k＝3， ∴h+k＝1+3＝4． 故答案为：4． 15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x﹣3的图象如图所示．P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，点G为y轴上一动点，过点E作∠EGC＝30°，设点P的横坐标为m，则的最大值为　 　 ． 【答案】4． 【解析】解：如图，作EH⊥y轴于点H， 令y＝x2+2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，0）， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 将A（﹣3，0）和C（0，﹣3）代入，得：， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3； ∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为（m，m2+2m﹣3），点E的坐标为（m，﹣m﹣3）， ∴PD＝﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣2m+3，ED＝﹣（﹣m﹣3）＝m+3，EH＝﹣m， ∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m ∵∠EGC＝30°， ∴， ∴， ∴的最大值为4． 故答案为：4． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（7分）在画二次函数y＝x2+bx+c的图象时，列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 m n ﹣3 0 … （1）直接写出b、c、m、n的值： b＝　　 ；c＝　　 ；m＝　　 ；n＝　　 ； （2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势． 【答案】（1）2，﹣3，﹣3，﹣4； （2） 观察图象可知，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 【解析】解：（1）当x＝﹣3和x＝1时，y＝0， ∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3， ∴b＝2，c＝﹣3， ∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，﹣4）， ∴n＝﹣4， ∴当x＝﹣2和x＝0时的函数值相同，为﹣3， ∴m＝﹣3； 故答案为：2，﹣3，﹣3，﹣4； （2）描点、连线得到二次函数的图象如下： 观察图象可知，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 17．（7分）如图，抛物线y＝x2+bx与直线y＝kx+2相交于点A（﹣2，0）和点B． （1）求b、k的值和顶点坐标； （2）求点B的坐标，并结合图象直接写出不等式kx+2≤x2+bx的解集． 【答案】（1）b＝2，k＝1，抛物线的顶点坐标为（﹣1，1）； （2）点B坐标为（1，3），x≤﹣2或x≥1． 【解析】解：（1）将点A坐标代入y＝x2+bx和y＝kx+2得， ， 解得， 所以抛物线的解析式为y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1， 则抛物线的顶点坐标为（﹣1，1）； （2）由（1）知，一次函数的解析式为y＝x+2． 由x2+2x＝x+2得， x＝1或x＝﹣2， 当x＝1时，y＝1+2＝3， 所以点B坐标为（1，3）． 由函数图象可知， 当x≤﹣2或x≥1时，一次函数的图象不在二次函数图象的上方，即kx+2≤x2+bx， 所以不等式kx+2≤x2+bx的解集为x≤﹣2或x≥1． 18．（8分）数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式x2﹣x﹣6＞0，我们构造函数y＝x2﹣x﹣6，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为（﹣2，0）和（3，0），结合图象易得不等式x2﹣x﹣6＞0的解集为x＞3或x＜﹣2，同时易知函数与x轴交点的横坐标﹣2和3为方程x2﹣x﹣6＝0的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： （1）不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为　 　； （2）对任意实数b，关于x的一元二次方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】（1）﹣1≤x≤3； （2）0＜a＜1． 【解析】解：（1）解不等式﹣x2+2x+3≥0，我们构造函数y＝﹣x2+2x+3， 作出它的图象如图所示，可知它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0）和（3，0）， 结合图象可知不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为﹣1≤x≤3； 故答案为：﹣1≤x≤3； （2）∵对于任意实数b，关于x的方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根， ∴方程ax2+bx+b﹣1＝0恒有两个不等实数根对任意的b恒成立． ∴b2﹣4a（b﹣1）＞0对任意的实数b恒成立． 令y＝b2﹣4a（b﹣1）＝b2﹣4ab+4a，则有（﹣4a）2﹣4×4a＜0，即a2﹣a＜0． 令y＝a2﹣a作出其函数图象如图所示， 对任意实数b，关于x的一元二次方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根，当a2﹣a＜0时，实数a的取值范围为0＜a＜1． 19．（9分）投壶是中国古代宴饮时的一种投掷游戏．在一次科技展上，机器人和人们展开了一场现代科技与古代智慧的投壶挑战赛，如图1，在一次投壶中，机器人和张兴站在投壶点向同一方向进行投壶，分别在点D，F处放置壶．如图2，以水平地面为x轴，以投壶点为原点O，过点O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．其中张兴箭矢的运动轨迹和机器人箭矢的运动轨迹L2均为抛物线形．已知机器人投壶时箭矢的出手点B距离地面1.2m，当箭矢在与出手点水平距离0.8m处时达到最高点，此时箭矢距离地面2m．其中壶口与地面的距离CD＝EF＝0.2m． （1）求机器人箭矢的运动轨迹L2所在抛物线的函数表达式； （2）若张兴所投箭矢恰好投入壶口C，且OF＝2OD，请你通过计算说明机器人此次投壶能否恰好投入壶口？ 【答案】（1）L2所在抛物线的函数表达式为； （2）机器人此次投壶能恰好投入壶口． 【解析】解：（1）由题意得，抛物线L2的顶点为（0.8，2）， ∴可设L2所在抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣0.8）2+2， 又∵此时图象过点B（0，1.2）， ∴1.2＝a（0﹣0.8）2+2， ∴0.64a＝﹣0.8，则， ∴L2所在抛物线的函数表达式为； （2）由题意，设OD＝d，则OF＝2d， ∴壶口C的坐标为（d，0.2）， ∴壶口E（2d，0.2）， ∴， ∴2d﹣0.8＝±1.2， ∴d＝1（负值舍去），∴OD＝1，OF＝2.2． 又∵将x＝2代入L2的表达式：y＝﹣5（2﹣0.8）2+2＝﹣5×1.44+2＝﹣1.8+2＝0.2， ∴此时y＝0.2，与壶口E的高度EF＝0.2相等， ∴机器人此次投壶能恰好投入壶口． 20．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）与y轴交于点A，将三个边长均为1的小正方形按如图所示位置摆放，且正方形均水平放置． （1）求出b，c的值； （2）若将小正方形AOBC沿x轴向左平移，使点C落在抛物线上，求平移的距离． 【答案】（1）； （2）． 【解析】解：（1）由题意可得：， 解得：； （2）由（1）可知：， 由图可知：C（﹣1，1） 将小正方形AOBC沿x轴向左平移，点C的纵坐标不变，仍为1 将y＝1 代入抛物线解析式可得：， 解得：或x＝0（与点A重合舍去）， ∴平移后点C落在抛物线上的坐标为， ∴平移距离为． 21．（10分）【问题情境】城市人行天桥的顶棚常采用轻盈美观的抛物线形钢结构骨架，既为行人遮风挡雨，又与城市景观融合．如图是其横截面的示意图，其中顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以水平面为x轴，垂直于水平面的立柱OD为y轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点D离水平面的距离OD为3米，已知顶部骨架抛物线的最高点到OD的水平距离为2米，离水平面的距离为3.5米． 请尝试解决以下问题： 【数学建模】 （1）设顶棚骨架上某处离水平面的距离为y（米），该处离支架OD的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式； 【实践探究】 （2）在顶棚骨架上找一点Q，使得该点到水平面的距离为米，求该点到支架OD的水平距离； 【拓展应用】 （3）为了顶棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段AB，AC，EF组成，点F在线段AB上，EF∥OD．为不影响行人通行，将点A到水平面的距离定为2米，求支架EF的最大长度． 【答案】（1）； （2）该点到支架OD的水平距离为1米或3米； （3）支架EF的最大长度为1.125m． 【解析】解：（1）由题知，D（0，3），抛物线的顶点坐标为（2，3.5）， ∴y＝a（x﹣2）2+3.5， 代入点D（0，3）可得，3＝a（0﹣2）2+3.5，解得， ∴． （2）令，即（x﹣2）2＝1， 解得x1＝3，x2＝1， 答：该点到支架OD的水平距离为1米或3米； （3）由题知，A（0，2）， 当x＝4时，， ∴B（4，3）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入A（0，2），B（4，3）， 可得， 解得， ∴直线AB的解析式为， ∵， 设， ∵点F在线段AB上，EF∥OD， ∴， ∴， ， ， ∵0＜m＜4， ∴当m＝1时，EF有最大值1.125． ∴支架EF的最大长度为1.125m． 22.（12分）综合与实践：制作一个长方体礼盒． 素材：一张矩形卡纸（长为30cm，宽为24cm，如图①）． 【实验操作】 操作一：如图②，将矩形卡纸剪去两个完全相同的小正方形和两个完全相同的矩形； 操作二：如图③，将剩余部分卡纸以矩形ABCD为底面（阴影部分）折成一个长方体礼盒（接缝处忽略不计）． 【问题解决】 设剪去的小正方形边长为xcm． （1）长方体礼盒底面长AB为　 　 cm，宽BC为　 　 cm（用含有x的式子表示）； （2）若礼盒的底面积为140cm2，求x的值； （3）是否存在x，使礼盒的侧面积最大？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）（24﹣2x）；（15﹣x）； （2）x＝5； （3）存在x，使礼盒的侧面积最大，此时x＝6.5，理由见解析． 【解析】解：（1）由题意得：长方体礼盒底面长AB＝（24﹣2x）cm， 宽； 故答案为：（24﹣2x）；（15﹣x）； （2）由条件可得（24﹣2x）•（15﹣x）＝140， 解得：x1＝5，x2＝22（不合题意舍去）， （3）存在x，使礼盒的侧面积最大，理由如下： 设礼盒的侧面积为ycm2，由题意得： y＝2（24﹣2x）x+2（15﹣x）x ＝﹣6x2+78x ＝﹣6（x﹣6.5）2+253.5， ∵， 解得：0＜x＜12， ∴当x＝6.5时，y最大为253.5， 即存在x使礼盒的侧面积最大，此时x＝6.5． 23．（12分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）． （1）求该二次函数的表达式； （2）已知点M（m，n）在该二次函数的图象上，当﹣2≤m＜2时，求n的取值范围； （3）当t≤x≤t+1时，二次函数的最大值为2t，求出t的值． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3； （2）﹣5＜n≤4； （3）t＝﹣6或． 【解析】解：（1）由条件可得： ， 解得， ∴该二次函数表达式为 y＝﹣x2﹣2x+3． （2）由（1）得该二次函数表达式为 y＝﹣x2﹣2x+3， 对称轴x＝﹣1，函数图象开口向下， 在对称轴左侧 y 随 x 增大而增大，右侧 y 随 x 增大而减小， 点M（m，n）在该二次函数的图象，当﹣2≤m＜2时， ∴当m＝﹣1 时，n取得最大值为﹣1+2+3＝4． 当m＝﹣2时，n＝﹣4+4+3＝3； 当m＝2时，n＝﹣4﹣4+3＝﹣5， ∵m＜2， ∴n取不到﹣5， ∴n 的取值范围为﹣5＜n≤4， （3）二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，对称轴为x＝﹣1， 当t+1＜﹣1，即t＜﹣2时， 在t≤x≤t+1上，y 随 x 增大而增大， ∴当 x＝t+1，y有最大值为2t， ∴﹣（t+1）2﹣2（t+1）+3＝2t， 化简得t2+6t＝0，解得t＝﹣6或 t＝0（舍）， 当t≤﹣1≤t+1，即﹣2≤t≤﹣1时， 当 x＝﹣1时，y有最大值为2t， ∴﹣1+2+3＝2t，解得 t＝2，不符合题意，舍去， 当t＞﹣1时， 在t≤x≤t+1上，y 随 x 增大而减少， ∴当 x＝t，y有最大值为2t， ∴﹣t2﹣2t+3＝2t， 解得或 （舍），综上，t＝﹣6 或 ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★启用前 二次函数单元测试卷 (人教版) 考试范围：九年级上册第26章全部内容；考试时间：90分钟满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.请将答案正确填写在答题卡上 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.若是关于x的二次函数y=(a叶3)xa1-x+1,则a的值是() A.-3 B.2 C.3 D.-3或3 2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则y=cx2++b的图象大致是() o 3.己知抛物线y=(x+3)2,下列结论错误的是（ A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=-3 C.抛物线的顶点坐标为(3,0) D.当x<-10时，y随x的增大而减小 4.已知二次函数y=ax+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： 第1页（共9页） x … -2 -1 0 1 … 3 4 3 0 -12 … 下列说法错误的是() A.函数图象的开口向下 B.函数图象的对称轴是直线x=-1 C.2+c=0 D.b2-4ac>0 5.已知二次函数y=x+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,0)，(1,2)，且对称轴为直线x=1,则该二 次函数的解析式为() A.yx 3 B.y=22+x+2 .3 C.y=2x2-x+ 3 D.y=-x+号 6.已知二次函数y=x2-2x+m2+m-4(L是常数)，下列说法正确的是() A.当m=1时，函数图象的对称轴是直线x=2 B.函数的最小值为m2-4 C.若点A(-2,y1),B(+1,y2)在函数图象上，则y1>2 D.若函数图象与x轴只有一个公共点，则m=-4 7.“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费 提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理).经调查发现每件售价99元时，日销 售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件.已知每售出1件电子产品，该主 播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x(元)，主播每天的利润为（元），则w 与x之间的函数解析式为() A.1m=(99-x)[300+3(x-50)] B.w=(x-50)[300+3(x-99)] C.w=(x-50)[300+3(99-x)] D.1m=(x-50)[300-3(99-x)] 8.一次函数y1=x+n（≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式m+(b -m)x+c>n的解集为() 第2页（共9页） A.x<-1 B.x>4 C.-1<x<4 D.x<-1或x>4 9.已知二次函数y=-5x+bx+2(b为常数)，当x<0时，y的值随x值的增大而增大，则下列结论一定 正确的是() A.b>0 B.该函数图象的顶点位于第四象限 C.该函数的最大值大于2 D.方程-5x2+bx+2=0有两个不相等的实数根 10.如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S(米) 关于行驶时间t(秒)的函数图象， ①匀速行驶阶段：汽车从点A出发，以o的速度沿AB方向匀速行驶，2秒后到达点C. ②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点D处停止，这个过程中8与1满足关系：S-一+ (v0+10)t-10(a为常数且a≠0). 下列选项中正确的是() S(米 n--------- ① ② 60- 尘 D B 刹车点 停止点 02 8t(秒 图1 图2 A.0=60米/秒 B.汽车行驶总时间为10秒 C.a=6 D.n=150米 第3页（共9页） 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11.抛物线y=-(x-3)2-7与y轴交点坐标为 12.若点A(-6,y1),B(-2,y2),C(2,y3)在二次函数y=2x2-4x+m的图象上，则y1,y2,y3的 大小关系是 .(按从小到大表示) 13.将抛物线y=x+2的图象先向上平移4个单位再向右平移3个单位，得到新的抛物线的顶点坐标 为 14.把二次函数y=x2-2x+4变形为y=a(x-)2+k的形式，则什k的值为 15.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x-3的图象如图所示.P为第三象限内抛物线上一动点，作PD ⊥x轴于点D,交AC于点E,点G为y轴上一动点，过点E作∠EGC=30°，设点P的横坐标为m, 则PE+EG的最大值为 三.解答题（共8小题，共75分） 16.(7分)在画二次函数y=x2+bx+c的图象时，列表如下： … -3 -2 -1 0 1 y 0 n -3 0 … (1)直接写出b、c、、n的值： b=;c=；m=;n=— (2)在所给的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势， 9 6 分 、 42 43-210■ 2 第4页（共9页） 17.(7分)如图，抛物线y=x2+bx与直线y=+2相交于点A(-2,0)和点B. (1)求b、k的值和顶点坐标： (2)求点B的坐标，并结合图象直接写出不等式+2≤x2+bx的解集. 18.(8分)数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够 快速直观得到结论.在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”， 它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解 决很多一元二次方程和一元二次不等式问题. 【特例感知】 如解不等式x2-x-6>0,我们构造函数y=x2-x-6,作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为 (-2,0)和(3,0)，结合图象易得不等式x2-x-6>0的解集为x>3或x<-2,同时易知函数与x 轴交点的横坐标-2和3为方程x2-x-6=0的两个根. 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： (1)不等式-x2+2x+3≥0的解集为 (2)对任意实数b,关于x的一元二次方程x=x+（b什1)x+(b-1)恒有两个不等的实数根，求实 数a的取值范围. 03 第5页（共9页） 19.(9分)投壶是中国古代宴饮时的一种投掷游戏.在一次科技展上，机器人和人们展开了一场现代科技 与古代智慧的投壶挑战赛，如图1，在一次投壶中，机器人和张兴站在投壶点向同一方向进行投壶，分 别在点D,F处放置壶.如图2，以水平地面为x轴，以投壶点为原点O,过点O且垂直于x轴的直线 为y轴建立平面直角坐标系.其中张兴箭矢的运动轨迹L1:业=一化-0.2)2+1和机器人箭矢的运动 轨迹L2均为抛物线形.已知机器人投壶时箭矢的出手点B距离地面1.2，当箭矢在与出手点水平距离 0.8m处时达到最高点，此时箭矢距离地面2.其中壶口与地面的距离CD=EF=0.2m. (1)求机器人箭矢的运动轨迹L2所在抛物线的函数表达式； (2)若张兴所投箭矢恰好投入壶口C,且OF=2OD,请你通过计算说明机器人此次投壶能否恰好投入 壶口？ A 图1 图2 第6页（共9页） 20.(10分)如图，抛物线y=-x2+bx+c(b,c为常数)与y轴交于点A,将三个边长均为1的小正方形 按如图所示位置摆放，且正方形均水平放置. (1)求出b,c的值： (2)若将小正方形AOBC沿x轴向左平移，使点C落在抛物线上，求平移的距离. 21.(10分)【问题情境】城市人行天桥的顶棚常采用轻盈美观的抛物线形钢结构骨架，既为行人遮风挡雨， 又与城市景观融合.如图是其横截面的示意图，其中顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以水平面为x 轴，垂直于水平面的立柱OD为y轴建立平面直角坐标系，点B,E,D,C在顶棚抛物线形骨架上，且 点B到y轴的水平距离为4米，点D离水平面的距离OD为3米，已知顶部骨架抛物线的最高点到OD 的水平距离为2米，离水平面的距离为3.5米. 请尝试解决以下问题： 【数学建模】 (1)设顶棚骨架上某处离水平面的距离为y(米)，该处离支架OD的水平距离为x(米)，求y与x之 间的函数关系式： 【实践探究】 27 (2)在顶棚骨架上找一点Q,使得该点到水平面的距离为8米，求该点到支架OD的水平距离： 【拓展应用】 (3)为了顶棚顶部的稳固性，需要在棚项安装铝合金支架，支架可以看成是由线段AB,AC,EF组成， 点F在线段AB上，EF∥OD.为不影响行人通行，将点A到水平面的距离定为2米，求支架EF的最 大长度. 0 2 第7页（共9页） 22.(12分)综合与实践：制作一个长方体礼盒. 素材：一张矩形卡纸（长为30cm,宽为24c,如图①）. 【实验操作】 操作一：如图②，将矩形卡纸剪去两个完全相同的小正方形和两个完全相同的矩形： 操作二：如图③，将剩余部分卡纸以矩形ABCD为底面（阴影部分）折成一个长方体礼盒（接缝处忽 略不计). 【问题解决】 设剪去的小正方形边长为xc. (1)长方体礼盒底面长AB为c,宽BC为一c(用含有x的式子表示)： (2)若礼盒的底面积为140cm2,求x的值： (3)是否存在x,使礼盒的侧面积最大？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由. A D 24cm 底面 低瓦 B C B 30cm 图① 图② 图③ 第8页（共9页） 23.(12分)在平面直角坐标系中，己知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（-3,0)和点C(0,3). (1)求该二次函数的表达式： (2)已知点M(,n)在该二次函数的图象上，当-2≤<2时，求n的取值范围： (3)当t≤x≤t什1时，二次函数的最大值为2t,求出t的值. B 第9页（共9页）