第十四章《全等三角形》单元检测卷 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦全等三角形判定与性质，通过手工制作、游乐场滑梯等真实情境，设计基础证明、动态探究及跨情境应用问题，考查推理意识与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|SSS、SAS等判定，角平分线性质|结合手工制作（第1题）、模具碎片（第3题）等情境，考查直观判断与逻辑推理| |填空题|6/18|全等应用（测量距离）、动态全等（第16题）|设置池塘测量（第13题）、正方形滑动（第15题），体现应用意识| |解答题|9/72|综合证明、探究模型（第19题）、阅读理解（第25题）|包含游乐场滑梯计算（第18题）、四边形综合探究（第24题），梯度覆盖基础到创新应用|

第十四章《全等三角形》单元检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同 学制作的三角形中，和老师的三角形全等的是() 33° b甲33> 丙0339> 33°老师b p712 A.甲 B.乙 C.丙 D.乙和丙 2.如图所示，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点B,D,C在同一条直线上， 且AC=BE,AC⊥BE于点F,若AB=6,DE=9,则CD=() A A.3 B.6 C.7 D.9 3.如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就 可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是() ③ ② A.SSS B.AAS C.ASA D.SAS 4.如图，已知∠AOB,以点0为圆心，适当长为半径画弧，分别交边OA,OB于点C,D:以 点O为圆心，大于OC长为半径画弧，分别交边OA,OB于点E,F连接CF,DE,交点为 G,作射线OG.则下列结论一定正确的是() F B A.EC=EG B.CF⊥OA C.OG=EG D.∠AOG=∠BOG 5.如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD,垂足为F若∠ABC=30°，∠C=50°，则∠CDE 的度数为( ) D A.45° B.40° C.55° D.50° 6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,点E,G分别在边AB,AC上，连接 DE6DG,过D作DFLB于R已知DE=DG,5=24,Sm=16,则DEF的面积为 B D A.4 B.6 C.8 D.10 7.如图，在四边形ABCD中，BD是∠ADC的角平分线，F为AD上一点，连接CF,E为CF上 一点，BE=BA,且AD=CD+CE,若∠CBD=Oa,则∠AFC一定等于() A.180°-2a B.2a c.+60 D.45°+a 8.在数学活动课上，小明先以△ABC的顶点C为圆心任意长为半径作弧与AC,BC分别相交于 点B,F再分别以B,F为圆心，以大于2EF的长度为半径作弧，两弧在∠ACB内相交于点 D,作射线CD,BP⊥CD于点P,连接AP,如图所示.小明探究发现：当AB的长，且BC与 1C(8C>1C)的差都确定时，△MBP的面积存在最大值，则当4B=I2,BC-4C=4时， 的最大值为() A.6 B.10 C.12 D.24 9.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E在线段AD上，且DE=2AE,F是AD延长线上 一点，ED=DF,连接BE、CF、CE,G是EC的中点，连接BG,则下列结论错误的是 ) G D A.CF=BE B.S.ABC =2S.BEC C.S.ECF=S.BEC D.∠BEC+∠ECF=180° 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°， 过点A作AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥BC,垂足是C,交AF于点F,连接EF,下列 结论：①△ABD≌△ACF;②DE=EF;③若SDE=15,S△cEr=6,则S△MBC=36;④BD+CE=DE, 其中正确的是( D E A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11.如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，AC=BD,即可证明△ACB≌△BDA,全等的依据是 (用字母表示) D B 12.如图，RtAABCS≌RtAEBD,点E在线段BC上，AB=4,BD=6,则CE= E ■国 B D 13.如图，要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与AB垂直 的方向向东走20米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走20米到D处，在D处沿着 与BF垂直的方向再向南走27米，到达E处，使E与A,C在同一直线上，则可得A,B的距离 为 米. A B E 14.如图，△ABC的面积为16cm',BP平分∠ABC,过点A作AP⊥BP于点P,连接PC,则 △PBC 的面积为 cm2 15.如图，有两个同样大小的正方形纸片ABCD,EFGH,将正方形纸片EFGH沿着CB方向滑 动，CB和HE始终在同一直线上.连接DH并延长交GF于点M,连接AM,AH.若正方形 的边长为4，则△4AHM的面积为一· G M B E 16.如图，在△ABC中∠A=90°，AB=12cm,AC=5cm,过点B作BM⊥AB.动点E从A点出 发以3Cm/s的速度沿射线AB运动，动点D在射线BM上，随着E点的运动而运动，始终保持 ED=CB.若点E的运动时间为秒>0)，则当以RBD为顶点的三角形与△1BC全等时， t的值为 秒 M D ⊙ 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题， 每题12分；共9小题，共72分) 17.如图，CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D,且BC=CD. B C (1)求证：△ABC≌aADC; (2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积. 18.如图，乐童游乐场有一个两层型滑梯，小辰想知道滑梯EF的长度，工作人员说滑梯EF 的长度没有测量过，但告诉了小辰以下信息：在该滑梯中，AC⊥BF,ED⊥BF, AC=HD=EH=DF,AB=2DH,滑梯C的长度为， BC 13m ■ (1)请你根据工作人员给出的信息，帮小辰求出滑梯EF的长度； (2)两个滑梯BC和EF互相垂直吗，为什么？ 19.【综合与探究】 图1 图2 在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,连接AC,BD. (1)【模型呈现】如图1，A,O,D三点共线，试判断AC与BD的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设AC,BD相交于点P,AC,OB相交于点Q,若∠AOB=50°，求 ∠APD的度数. 20.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=12cm,BC=20cm,点P从点B出发，以2cm/s的速度 沿BC向点C运动（到点C停止运动），设点P的运动时间为t秒： D (1)BP=cm;PC=cm.(用含有t的代数式表示) (2)当t为何值时，△ABP≌aDCP? (3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发（到点D停止运动），以xcm/S的速度沿 D向点P运动，是香存在这样”的值，使得△BP与△POC金等？若存在，请求出的值：若 C 不存在，请说明理由. 21.综合与实践： >B ② ③ (I)【基础巩固】如图①，已知AB与EF相交于点G,∠A=∠B.G是AB的中点，求证： △AEG≌△BFG (2)【深入探究】如图②，在（1)的条件下，过点E,F分别作ED⊥AG于点D,FC⊥BG于 点C,若AD=DE.当ED=5cm,CG=2cm时，求AB的长. (3)【拓展探究】如图③，要测量河流AH的长，因为无法测河流附近的点A,可以在AH外任 取一点G,在AH的延长线上任取一点E,连结EG,HG,并且延长HG到点C,使GC=HG; 延长EG到点F,使GF=EG,连结FC并延长到点B,使B,G.A三点在同一条直线上，若测量 出BC=50m,则河流AH=50m,请说明理由. 22.如图，△ABC的外角∠ACD的角平分线CE与内角∠ABC的角平分线BE交于点E,点F在边 BA的延长线上，AE的延长线交边BC的延长线于点D,过点E作EH1BD于点以 E B (I)求证：AE平分∠CAF; (2)若∠BAC=30°，求∠BEC的度数； (3)若AB=6,AC=5,CD=8,且SAMe=12,求△ACD的面积. 23.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC.D是直线AB上任意一点，连接CD,过点C作 CE1GD,且CE=CD,过点E作EF11C,垂足为F莲接E,分别交1C,CD于点Mx D A E D M N M B 图1 图2 (1)如图1，当点D在线段AB上时，AD与CF相等吗？为什么？ (2)在(1)的条件下，若AB=6,AD=2. ①AM的长度为 ②设△BNC的面积为S,四边形ADNM的面积为S,则S-S2的值为； (3)如图2，当点D在线段BA的延长线上时，点M是线段BE的中点吗？说明理由. 24.综合探究 【初步探索】 G 图1 图2 图3 (I)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点， 且EF=BE+FD，探究图1中∠BAE,∠FAD,∠EAF之间的数量关系.小颖同学探究此问题的 方法是：延长FD到点G，使DG=BE.再连接AG，,先说明△ABE≌△ADG,再说明 △AEF≌△AGF ,可得出结论，他的结论应是 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的点， 且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立？请说明理由. 【拓展延伸】 (3)已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在 的爽长线上，如图3所示，仍然满足F=BG+FD,若C=62°，求B1的度数. CD 25.阅读以下材料，完成以下两个问题. 【阅读材料】已知：如图，△ABC(AB≠AC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D作DF∥BA 交AE于点F,DF=AC,求证：AE平分∠BAC. 结合此题，DE=EC,点E是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全 等，从而转移边和角.有两种考虑方法：①考虑倍长FE,如图(1)所示；②考虑倍长AE, 如图(2)所示 B D E G B D 图(1) 图(2) 图(3) (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明. (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角 三角形，∠BAE=∠CAF=90°，AE=AB,AC=AF,证明：AD⊥EF; (3)△ABC与△AEF面积之间的关系，并说明理由. 参考答案 一、选择题 1.D 解：由题意和图可知，甲同学制作的三角形与老师的三角形有两边和一角相等，但是角不是 两边的夹角，所以不能判定其全等； 乙同学制作的三角形与老师的三角形也是两边和一角相等，并且角是两边的夹角，所以两个 三角形全等； 丙同学制作的三角形与老师的三角形有两角一边对应相等，也可判定其全等， 所以，和老师的三角形全等的是乙和丙. 2.A 解：AC⊥BE, .∠AFB=90°， ∴.∠A+∠ABF=90°， .∠ABC=90°，即∠EBD+∠ABF=90°， ∴∠A=∠EBD, 在△ABC和△BDE中， ∠A=∠EBD ∠ABC=∠BDE=90° AC=BE △ABC≌△BDE(AAS) .'BD=AB=6,BC=DE=9. ∴.CD=BC-BD=9-6=3, 3.C 解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等 三角形的判定依据是ASA. 4.D .由作图可知OC=OD,OE=OF, ∴.CE=DF, 在aCOF和△DOE中， OC=OD ∠COF=∠DOE OF -OE ∴.aCOF≌aDOE(SAS), ∴.∠OFC=∠OED: 在△ECG和△FDG中， ∠EGC=∠FGD ∠CEG=∠DFG CE=DF ∴.△ECG≌aFDG(AAS) ..CG=DG 在△OCG和△ODG中， OG=OG OC=OD CG=DG ∴.△OCG≌aODG(SSS) ∴.∠COG=LD0G, ∴.∠AOG=∠BOG, 选项D正确. 5.D 解：∠ABC=30°，∠C=50°， ∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠C=100°， :BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD, :.∠ABD=∠EBD=)∠ABC=159,∠AFB=∠EFB=90 2 .∠ADB=180°-∠BAC-∠ABD=65°， BF =BF, :△MBF≌AEBF(ASA) .AB=EB, BD=BD, △ABD≌△EBD(SAS) ∴.∠EDB=∠ADB=65°， ∴.∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=50° 6.A 解：如图所示，过点D作DH⊥AC交AC于点H, D ,AD平分∠BAC,DF⊥AB,DH⊥AC, .∴∠FAD=∠HAD,∠AFD=∠AHD=90° ∠AFD=∠AHD ∠FAD=∠HAD 在 和 △ADF AADH 中，AD=AD :△1 DF2ADH(AAS) .S.ADF=S.ADH, ,AD平分∠BAC,DF⊥AB,DH⊥AC, ∴.DF=DH, DE=DG 在Rt△DEF和RtADHG中， DF=DH. Rt△DEF≌Rt△DGH(HL) .S.DEF=SDHG S.AED=S.ADF-S.DEF =16,S.ADG =S.4DH+S.DGH =24. S.ADF-S.DEF=16,S.4DG=S.4DF+S.DEF =24 解得心0rs4 7.A 解：如图，在AD上截取DK=CD,连接BK, B E ,BD是∠ADC的角平分线， ∴.∠CDB=∠KDB, 在△CDB和△KDB中， CD=KD I∠CDB=∠KDB BD=BD ACDB≌△KDB(SAS) ∴.BC=BK,∠CBD=∠KBD=a, AD=CD+CE, .CD+CE=DK+CE=DK+AK=AD ∴.CE=AK, 在△ABK和△EBC中， 「AB=BE BK=BC AK=CE' :△1BK≌△EBC(SSS) .∠ABK=∠EBC, ∴∠ABE=∠CBK=2a, 设∠CDB=∠KDB=B, .∠AKB=∠ECB=a+B, 在△BKD中，∠BKD=180°-∠KBD-∠KDB=180°-Q-B, .∴.∠AFC=360°-∠BKD-∠BCE-∠KBC =360°-(180°-a-B)-(a+B)-2a=180°-2a 8.C 解：由作图可知CD平分∠ACB,延长BP交CA的延长线于点M, D B .CD 、∠ACB BP⊥CD 平分 .∠BCP=∠MCP,∠BPC=∠MPC=90°， ..CP=CP, △BPC≌aMPC(A,S,A) :CB=CM,P为BM的中点， ，为 .·BC-AC=4 CM-1C=4,即W=4, :P为BM的中点， 1 S.-S. 在△ABM中，AM=4,AB=12, 当4BLM时，MBy的面积板大，景大值为24x12=24, Sm的最大值为2×24=12」 9.B 解：，AD是△ABC的中线， .BD=DC, 在△BED和△CFD中， BD=CD ∠BDE=∠CDF ED=DF ∴.△BED≌△CFD(SAS), ∴CF=BE,故A正确，不符合题意， .△BED≌△CFD, ∴.∠EBC=∠FCB, ∴.∠BEC+∠ECF =∠BEC+∠ECB+∠FCB =∠BEC+∠ECB+∠EBC =180° ,故D正确，不符合题意 S.ECF =SCFD+SEDCSBEC=SBED+SEDC .△BED≌△CFD, SABED=SACFD, .SsCr=Sc,故C正确，不符合题意； .AD是△ABC的中线， 1 .S.AD=S.ACD=7S.A0C DE =2AE, E-号40， 3 32 3 2 21 1 S.cOE-3.c.c=3.c, 2 S.we-.o+.cnc ScSc,故B错误，符合题意。 2 10.C 解：，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=45°， ∴.∠BAC=90°， ∴.∠BAD+∠DAC=90°， ,AF⊥AD, .∠CAF+∠DAC=90°， .∠BAD=∠CAF, .CF⊥BC, ∴.∠ACF=∠ACB=∠ABC=45°， 在△ABD和△ACF中， BAD=∠CAF AB=AC ∠ABD=∠ACF· :△MBD2a1CF(ASA）,故①正确： .AD=AF, .∠DAE=45°， .∠BAD+∠EAC=45°， ∴.∠FAE=∠CAF+∠EAC=∠BAD+∠EAC=45°， ∴.∠DAE=∠FAE, 在△ADE和△AFE中， 「AD=AF ∠DAE=∠FAE AE=AE .△ADE≌△AFE(SAS) ∴.DE=EF,故②正确； .△ABD≌△ACF,△ADE≌△AFE, .S.ADE=S.AFE,S.ABD=S.ACF,BD=CF,DE=EF, S.4C=SAD+ADE+SAEC=SADE+CEF=2SADE+SCEF .S.ADE=15,SACEF =6 .S△8c=36,故③正确； ,在aCEF中，CF+CE>EF, .∴.BD+CE>DE,故④错误， 综上，正确的是①②③. 二、填空题 11.HL 解：∠ACB=∠BDA=90°， ∴.△ACB和△BDA为直角三角形， 在Rt△ACB和Rt△BDA中， 「AC=BD AB=BA, △ACB≌△BDA(HL) 则全等的依据是HL. 12.2 解：：Rt△ABC≌Rt△EBD,AB=4,BD=6, ∴.BC=BD=6,BE=AB=4, ∴.CE=BC-BE=6-4=2, 13.27 解：由题意知：BC=DC=20m,∠ACB=∠ECD,∠B=∠CDE=90°， .RtaABC≌RtEDC(ASA) ∴.AB=ED=27 米 14.8 解：延长AP交BC于点D, B D .BP平分∠ABC, ∴∠ABP=∠DBP, .AP⊥BP, ∴.∠APB=∠DPB=90°， 「∠ABP=∠DBP BP=BP 在 和 中， △ABP DBP ∠APB=∠DPB' .△ABP≌ADBP(ASA) .AP=DP, 1 1 S.-.D S.ro-.c0, 1 1 ..S.Bc =16cm2 5e16=8m2】 15.8 解：，两个同样大小的正方形纸片ABCD,EFGH,正方形的边长为4， ∴.AD=CD=HG=4,∠C=∠G=∠EHG=∠CHG=90°， 1 SAu=CD:AD=7X4X4-8,CD/GH 2 2 .∠CDH=∠GHM, △CDH≌AGHM(ASA) .DH =HM, .根据等底等高可得SAw=S△MD=8. 717 16.3、3、8 解：CA⊥AB,BM⊥AB, ∴.∠CAB=∠DBE=90°， ①当E在线段AB上时， 如图：若BE=AC=5, M D N ED=CB, 、Rt△DEB≌RtABCA(HL) AE =3tcm, BE=AB-AE =(12-3t)cm 7 “12-3=5,解得：1=3； 若BE=AB=12,此时点E和点A重合，不符合题意； ②当E在线段AB延长线上时， 如图：若BE=AC=5, D A B E :RtDEB≌RtBCA(HL) ·.AE=3t=AB+BE=12+5=17cm, 3 3； 如图：若BE=AB=12, M C D B E ED=CB. Rt△DEB≌RtACBA(HL) .AE=3t=AB+BE=12+12=24cm, t=8 717 当I=3或3或8秒时，ADEB与ABCA全等. 三、解答题 17.(1)证明：CB⊥AB,CD⊥AD, .LB=∠D=90°， :在Rt△ABC和Rt△ADC中， 「AC=AC BC=DC, ,Rt△ABC≌Rt△ADC(HL) (2)解： ,Rt△ABC≌Rt△ADC(HL) .BC=DC=3. :∠B=90°， 5m=号48aC=4x3=6, 2 ∴.SRLSADC=SRLABC=6, .S四边形ABCD=SABc+S。ADc=6+6=12 18.(1)EH=DF,AB=2DH,DE=EH+DF=2DH .'AB=DE 在△ABC和△DEF中， AB=DE ∠CAB=∠FDE=90° AC=DF :△1BC≌aDEF(SMS) ∴.EF=BC=l3m, (2)解：BC⊥EF. 理由：延长BC交EF于点M, A .∠EDF=90°， ∴.∠DFE+∠DEF=90°. .△ABC≌aDEF(SAS) ∴.∠B=∠DEF, ∴.∠B+∠DFE=90°， ∴.∠BMF=90°， ∴.EF⊥BM. 19.(1)AC=BD,理由如下： .∠AOB=∠COD, ∴.∠AOB+∠COB=∠COD+∠COB ,.∠AOC=∠BOD. OA=OB ∠AOC=∠BOD 和 △AOC△BOD 中，oC=0D :.△10C≌aB0D(SMS) ∴.AC=BD. (2)解：由(1)可得， △AOC≌△BOD(SAS) ∴.∠OAC=∠OBD, 在△AO0和△BP2中，∠BQP=∠AQO,∠OAQ=∠QBP ∴.∠BPQ=∠AOQ=50° .∠APD=180°-∠BPQ=180°-50°=130° 20.(1)解：由题意得运动t秒，点P运动2tcm, .BP=2tcm PC=BC-BP=(20-2t)cm (2)解：四边形ABCD是长方形， ∴.∠ABP=∠DCP=90°AB=DC 要使△ABP≌aDCP,则有BP=CP,即2t=20-2t,解得t=5, 在△ABP和aDCP中， AB=DC ∠ABP=∠DCP BP=CP “当=5时， △ABP≌△DCP(SAS) (3)解：分以下两种情况： ①当AB=PC=12时，20-2t=12,解得t=4, ∴.BP=8PC=12 要使△ABP与△PQC全等，则有BP=CQ=8, C№-2 ..x= t 在△ABP和△PCQ中， AB=PC ∠ABP=∠PCQ BP=CO ·当x=2时， △ABP≌△PCQ(SAS) ②当BP=PC时，2t=20-2t,解得t=5, ∴.BP=PC=10 要使△ABP与△P2C全等，则有AB=CQ=12, C2=24 ..x= t 在△ABP和△QCP中， AB=OC ∠ABP=∠QCP BP=CP “当x=24时， △ABP≌aQCP(SAS) 21.(1)证明：，G是AB的中点， ∴.AG=BG, 在△AEG和△BFG中， 「∠A=∠B AG=BG ∠AGE=∠BGF' ·△AEG≌△BFG(ASA) 。 (2)解：在(1)的条件下，4G=BG,△MEG≌△BFG(ASA) .SAAEG-S△BFG, .ED⊥AG,FC⊥BG, 1 SAABG-2 ED-AG=SAnG-2 CF-BG, .'DE =CF, .∠AGE=∠BGF,∠EDG=∠FCG=90°， △EDG≌AFCG(AAS) ..DG=CG, .AD=DE,ED=5cm,CG=2cm .AD=DE=5cm,DG=CG=2cm, 、AB=2AG=2(AD+DG)=2×(5+2)=14cm (3)若测量出BC=50m,则河流AH=50m,理由如下： .GC=HG,GF=EG,∠HGE=∠CGF, .△HGE≌△CGF(SAS), .∠E=∠F,HE=CF, .∠E=∠F,GF=EG,∠AGE=∠BGF, ∴.△AGE≌△BGF(SAS), .AE=BF, .AE-HE =BF-CF, .'BC=AH, ∴.若测量出BC=50m,则河流AH=50m. 22.(1) 证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M,作EN⊥AC于点N, M 、E B H D B 平分∠ABC,EMLBF EH⊥BD ∴EM=EH .CE 、∠ACD EN⊥ACEH⊥BD 平分 ∴.EN=EH ∴.EM=EN 又·点E在∠CAF的内部， 1E平分2C1F (2)解：：∠ACD是△ABC的一个外角，BE为∠ABC的角平分线，CE为∠ACD的角平分线， ∠EBC=ABC,∠BD=ACD, 21 ·∠ECD=∠EBC+∠BEC∠ACD=∠ABC+∠BAC ∠BBC=∠BCD-∠EBC=∠4CD-∠ABO,∠BAC=∠ACD-∠ABC, 2BEc-5B4c=30=15 (3)解：由(1)已得：EM=EH=EN, 设EM=EH=EN=x, S△ABE=12 6x=12, 2 ∴.x=4 ∴.EM=EH=EN=4 CD =S.ACE+S.ECD=AC.EN+CD-EH =x5x4+)x8x4=26. 23.(1)解：AD=CF,理由如下： :∠A=90°， ∴.∠ADC+∠ACD=90°； .CE⊥CD, .LDCE=90°， .∠ACD+∠FCE=90°， ∴.∠ADC=∠FCE; .EF⊥AC, .∠EFC=90°=∠A, 又，CE=CD, .△ADC≌△FCE(AAS), .'AD=CF; (2)解：①由(1)得△ADC≌aFCE,CF=AD=2, ..FE=AC: AC=AB=6, ∴.AF=AC-CF=4,FE=AB, .EF⊥AC, ∴.∠EFM=∠A=90°， 又.∠AMB=∠FME, .△MMB≌FME(AAS) w=W=号护=2， ②由(2)①得AM=2=AD, 又：∠A=∠A,AB=AC, :△MBM≌AACD(SAS) .SABM=SAACD, .SA1BM-S边形ADNM=SACD-S四边形ADNM, 'SARDN SACMN, ..S-S3 =(S+S.CMN)-(S2+S.BDN) =S△BCM-S△MBM 方6x6-2 -×6×2 =6 ； (3)解：点M是线段BE的中点，理由如下： .∠BAC=90°， ∴.∠CAD=180°-∠BAC=90°， .∠ADC+∠ACD=90° CE⊥CD, .∠DCE=90°， .∠ACD+∠FCE=90°， .∠ADC=∠FCE, ,EF⊥AC, ∴.∠EFC=90°=∠A, 又CE=CD, ∴.△ADC≌△FCE(AAS) .'EF=AC, 又AC=AB, .'AB=EF, 又，∠BAM=∠EFM-90°，∠AMB=∠FME. ,△AMB≌△FME(AAS) ∴BM=EM, 点M是线段BE的中点. 24.(1)解：延长FD到点G,使DG=BE.再连接AG,如图1， .∠B=∠ADC=90°， ∴.∠ADG=90°=∠B, AB=AD, :△MBE≌aADG(6MS) ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG, ..EF BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF, AEFAGF(SSS) ∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF; (2)仍然成立，理由如下： 延长FD到点H,使得DH=BE,如图所示： H .∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， ∴.∠B=∠ADH, AB=AD, :.△1BE≌aADH(SAS) .∠BAE=∠DAH,AE=AH, .EF BE+FD=DH+FD=HF,AF AF, :.△1EF≌aAHF(SSS) ∴.∠EAF=∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF; (3)解：在DC的延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,如图所示： .∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， .∠ADC=∠ABE, .AB=AD, :△1DG≌aABE(SAS) ∴.AG=AE,∠DAG=∠BAE, EF BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF, 、△AEF≌△AGF(SSS) ∴.∠FAE=∠FAG, .∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， .2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360° ,2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360° 即2∠FAE+∠DAB=3600 FAE=180P7∠DAB ,∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ADC+∠DAB+∠BCD=360°，∠C=62°， ∴.∠DAB=180°-∠C=118°， :∠FAE=180°-×118°=1210 2 25.(1)方法①：证明：如图，延长FE至点G,使GE=FE,连接CG, B E G 在△DFE和△CGE中， DE=CE ∠DEF=∠CEG EF=EG ∴.△DFE≌aCGE(SAS) ∴.DF=CG∠DFE=∠G .DF=AC ..CG=AC ∴.∠CAG=∠G :DF∥AB ∴∠BAE=∠DFE ∴.∠BAE=∠CAG :AE平分 BAC 方法②：证明：如图，延长AE至点G,使GE=AE,连接DG, G 在△ACE和△GDE中， AE=GE ∠AEC=∠GED CE=DE ∴.△ACE≌AGDE(SAS) .AC=DG ∠CAE=∠G .DF=AC ..DG=DF .∠DFG=∠G :DF∥AB ∴.∠DFG=∠BAE ∴.∠BAE=∠CAE E平分B1C (2)如图，延长AD至点G,使GD=AD,连接BG, H D :AD是BC 边上的中线， .BD=CD 在△ACD和△GBD中， CD=BD ∠ADC=∠GDB AD=GD ∴.△ACD≌△GBD(SAS) .∴.BG=AC∠ACD=∠GBD .BG∥AC, .∠ABG+∠BAC=180°， AC=AF ..BG=AF :∠BAE=∠CAF=90° ∴.∠EAF=360°-∠BAE-∠CAF-∠BAC=180°-∠BAC .'∠ABG=∠ABC+∠GBD=∠ABC+∠ACD=180°-∠BAC ∴.∠EAF=∠ABG 在△AEF和△BAG中， 「AE=AB ∠EAF=∠ABG AF=BG ∴.△AEF≌△BAG(SAS) ∴.∠AEF=∠BAG, 设AD与EF交于点H, .∠BAE=90°， .∠BAG+∠EAH=90°， 又∠AEF=∠BAG, ∴.∠AEF+∠EAH=90°， .∠AHE=90°， 即AD⊥EF. (3)△ABC与△AEF面积相等，理由如下； 由(2)可知△ACD≌△GBD, S.ACD=S.GBD, S.4BC=S4D+S4CD S.40G=SABD+S.GBD, .SAABC=SAABG, 由(2)可知△AEF≌△BAG, .S.AEF=S.ARG, .S.AEF =S.ABC.