专题04 全等三角形性质和判定的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建全等三角形综合应用体系，通过分类讨论、动态转化等策略培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|判定（SSS/SAS等）+性质导边角+隐含条件挖掘|从基础判定到性质应用，构建“判定-性质-应用”逻辑链| |题型归纳|5类（每类1典例+3变式）|多解问题分类讨论顶点顺序，多结论问题逐一验证，动点最值转化线段，综合问题逆推全等条件，新定义问题转化边角关系|从单一到综合，从静态到动态，覆盖全等三角形核心考法| |压轴挑战|14题|综合运用全等与几何变换、函数思想解决复杂问题|衔接中考命题趋势，提升知识迁移与创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04全等三角形性质和判定的五类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形性质和判定求解的多解问题 题型二、全等三角形性质和判定求多结论问题 题型三、 全等三角形性质和判定求动点中的最值问题 题型四、全等三角形性质和判定的综合问题 题型五、全等三角形性质和判定的新定义型综合问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：涉及边角对应关系证明、线段或角相等、图形变换（平移旋转翻折）中的全等。 -解题方法：判定用SSS、SAS、ASA、AAS、HL(Rt△)：性质用于导边导角：找隐含条件（公共边、 对顶角、等角加减)。 -易错提醒：SAS中夹角必须是对应边夹角；判定时误用SSA;对应顶点未对准致边角错配。 同题型归纳 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形性质和判定求解的多解问题 典例1(26-27八年级上海暑假作业)如图在四边形ABCD中，AD川BC,BC=AD=8cm.点F从点B 出发，沿线段BC以4cm/s的速度持续作往返运动，点E从点A出发沿线段AD方向以2cm/s的速度运动， 当点E到达点D时，E、F两点同时停止运动，记EF与AC的交点为G,若E、F两点同时出发，则当 △AGE≌aCGF时，点E运动时间t= 秒 1/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 题型模版 1.特征：已知两边一角或两角一边，但对应顺序未定，导致多个满足全等的三角形。 2方法：分类讨论对应顶点顺序（如SAS、ASA、AAS),按不同情况分别作图或列方程求解并验证。 变式1-1(25-26七年级下陕西西安期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm,BC=18cm. 动点P从点A出发沿A→C的路径向终点C运动：动点O从点B出发沿B→C→A的路径向终点A运动. 点P和点Q分别以每秒2cm和6cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动.在 某时刻，过点P和点Q分别作PE⊥MN于点E,QF1MN于点F,则点P的运动时间为s时， △PEC,△QFC 与 全等」 变式1-2(25-26七年级下陕西西安阶段检测)如图，AB=10,∠A=∠B,AC=8.点P在线段AB上从 点A向点B运动，点Q从点B出发沿着射线BD的方向运动.若△ACP与△BP9全等，则AP的长为 P 变式1-3(25-26七年级下福建漳州期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,直线 I经过点C且与边AB相交（不经过点A,B),动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点 Q 从点B出发沿 →C→A D 路径向终点A运动.点P和点的速度分别为 1cm/s 2cm/s 和，两点同时出发 并开始计时，当点P到达终点B时计时结束.在某时刻分别过点P和点作PE⊥I于点E,F1I于点F, 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设运动时间为秒，则当t= 秒时，△PEC与△QFC全等（不考虑P、O重合的情况）· 题型二、全等三角形性质和判定求多结论问题 典例2(25-26七年级下江西抚州期末)如图，AC=BC,∠ACB=90°，AE平分∠BAC,交BC于点D, BF⊥AE,交AC延长线于F,且垂足为E,则以下结论：①AD=BF;②CD=CF;③AC+CD=AB； ④AD=2BE.正确的个数是个. E D 题型模版 1特征：题干给出多个结论，需判断正误，常综合全等判定与性质进行推理论证。 2方法：先找全等三角形，利用判定定理(SAS、ASA等)证明，再由全等性质（对应边角相等）逐一验 证各结论。 变式2-1(25-26八年级上全国期末)如图，在梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平 分∠ADC,下列说法：①∠CDE=60:②DE1AE:@AD<CD+AB:@Sm-,其中正确 的是 （填序号) 3/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 变式2-2(2025八年级上湖北武汉·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△4CB的角平分线 AD,BE相交于点P,过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H.给出下列结论：① ∠APB=135S°：②D=PF+PE,③△PDH是等腰直角三角形： S形E=2m.其中正确的有 D 变式2-3(25-26八年级上：吉林长春期末)如图，在△ABC中，AD为中线，过B作BE⊥AD于点B,过C 作CF⊥AD于点P.在DA延长线上取一点G,连接GC,使∠G=∠BAD 给出下面四个结论： ①BE=CF: ②AG=3DE: ③△ABE≌△GCF； SMD+S.CDF=S.GCF ④ 上述结论中，正确结论的序号有 G 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、全等三角形性质和判定求动点中的最值问题 典例3(25-26七年级下·甘肃张掖期末)如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,△ABC的面积为6，BD 平分∠ABC.若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 M 题型模版 1特征：动点运动中构造全等三角形，求线段或面积最值，常结合二次函数或几何不等式。 2方法：利用全等转化线段（如等量代换），将最值化为二次函数顶点或垂线段最短，结合动点范围求解。 变式3-1(25-26八年级上湖北武汉期末)如图，在△ABC中，AC=6,∠BAC=90°，E,D分别为边AB,AC 上的动点，且5=CD,连 BD,CE.当CE+BD取最小值时， SABDC+SARC= E 变式3-2(25-26七年级下陕西汉中·期末)如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,AF是 △ABD的中线，动点G在BC边上，连接DG.若AB=6,△ABF的面积是3，则DG的最小值为 5/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3-3(25-26八年级上浙江杭州阶段检测)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5,AC=12, BC=I3,BD平分∠ABC交AC于点D,点E,F分别是BD,AB上的动点，则： (1)AD的长为 (2)AE+EF的最小值为 题型四、全等三角形性质和判定的综合问题 典例4(25-26七年级下·河南平顶山期末)如图所示，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接 DE并延长至点F,使得∠ADF=∠F,连接CF. (1)你认为AD与CF相等吗？并说明理由； (2)若BE⊥AC,BD=2,CF=3,求BC的长 题型模版 1.特征：综合运用全等判定(SSS、SAS、ASA、AAS、L)与性质（对应边角相等）解决复杂几何证明 或计算。 2方法：从结论出发逆推需证的全等，再结合已知条件选择适当判定定理，由全等得对应关系完成证明。 变式41(25-26七年级下江西景德镇期末)如图，△ABD和△AEC都是等腰三角形，AB=AD, AC=AE,∠DAB=∠CAE.连接BC,DC与BE相交于点O 6/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：CD=BE: (2)试说明：∠DOE与∠CAE的数量关系. 变式42(25-26七年级下·福建漳州期末)如图，在△ABC中，D,E分别是BC,AC边上的中点，AD 与BE交于点O B D 备用图 (1)若 S.ABC=20 ,求 (2)求证： SAA0B=2S△B0D (3)点F在线段CD上（点F不与点C,点D重合），连接FE并延长FE到点G,连接AG,若AD平分四 边形ABFG的面积.求证：AG∥BC 变式43(25-26七年级下·广东河源期末)问题情境：己知射线AB和射线CB相交于点B.且AB=CB. 点D在射线CB上，作射线AD,在射线AD上取一点E,连接CE,BE,使∠AEC=∠ABC, B 图1 图2 图3 (1)如图1，∠A与∠C的数量关系为 (2)如图2，当点D在CB延长线上，∠AEC=∠ABC=90°时. ①根据要求作图：在射线AD上取一点F,使AF=CE,连接BF. ②求∠AEB的度数： (3)如图3，当 ∠AEC=∠ABC=a(90°<a<180) ,请直接写出∠AEB的度数（用合“的式子表示） 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五、全等三角形性质和判定的新定义型综合问题 典例5(25-26七年级上·山东济宁·期中)定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三 角形”、 D D B E 图1 图2 (一)性质探究：如图1，在△ABC中，D是AB边上的一点，那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”.求 SACD =SRCD 证： (二)知识应用：如图2，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，点F在AD上，AF=BE,AE与BF 交于点O (1)请说出△AOB所有的朋友三角形，并说明理由： (2)连接OD,若△AOF和△DOF是“朋友三角形”则四边形CDOE的面积为 题型模版 1特征：引入新概念（如“等补点”），将全等与定义结合，求值或证明，重理解与迁移。 2方法：透彻理解新定义，将其转化为全等条件（如边角关系），选择合适的判定定理证明或列方程求解。 变式5-1(25-26八年级上·福建龙岩·期中)【定义】我们把三角形被一边上的中线分成的两个三角形叫做 “友好三角形”， 【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等. 【理解】如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且 SACD=SBCD 8/17 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【应用】如图2，△ACD和△BCD是“友好三角形”，AC‖BE,AB与CE相交于点D. (I)求证：△BCD和△BED是“友好三角形”； (2)若△ACD的面积为1，点P是直线AB上的一动点，连接CP,PE,当图中出现一个三角形和△ABC是 “友好三角形”时，求出此时△PBE的面积. 【类比学习】根据上面学习知识的活动与经验，回答下面问题： (3)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰 △ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=- B 图1 图2 备用图 变式5-2(25-26八年级上广东江门阶段检测)(1)理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫 做偏等积三角形. 如图1，在△ABC中，AB=10,AC=6,BC=9 ①若P是B上一点， AQ-5△CAQ,△CBg ,则 与 偏等积三角形（填“是”或“不是”）： ②若P为AC上一点，当AP的长为时，△ABP与△CBP是偏等积三角形： (2)运用定义：如图2，D为BC上一点，△ABD与△ACD是偏等积三角形，AB=4,AC=12,且线段 AD的长为偶数，则AD的长为一； D 图1 图2 (3)拓展加深： 9/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①如图3，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90(0°<∠BCE<90) 求证：△ACD与△BCE是偏等积三角形： ②如图4，△ABC与△ADE是偏等积三角形，AB=AE,AC=AD,求证：∠BAC+∠DAE=I80°， A B 图3 图4 变式5-3(23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段检测)【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A,B分别在射线PM,PN上，过点A垂直PM的直线与过点B垂直PN的直线 交于点Q,则我们把∠A0B称为∠APB的“边垂角”. 【迁移运用】 图1 图2 图3 图4 (I)如图I,CD,BE分别是△ABC的两条高，两条高交于点F,根据定义，我们知道∠DBE是∠DCE的 “边垂角”或∠DCE是∠DBE的“边垂角”，∠DAE的“边垂角”是_； (2)若∠AQB是∠APB的“边垂角”，则∠AB与∠APB的数量关系是_： (3)若∠ACD是∠ABD的“边垂角”，且AB=AC. ①如图2，己知∠B=∠C,BD交AC于点E,点C关于直线BD对称点为点F,连接AF,EF,且 ∠CAF=45°，∠BAC=90°，求证：BE=CF+CE: 对于上述问题，小明有这样的想法：在BD上截取BH=CF,连接AH,如图3.你明白小明的做法吗？接 下来请你求证BE=CF+CE, ②如图4，若CD+BD= 2,直接写出四边形ABDC的面积. 10/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 一、单选题 1.(25-26七年级下陕西汉中期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，过点D作 DE⊥BC,过点E作EF⊥AB,交BC的延长线于点F,AB=EF.若DE=4,BF=8,则CF的长是 () B A.3 B.4 C.5 D.6 2.(25-26七年级下山东枣庄·阶段检测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm,BC=3cm, CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2Cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD 于点F,当点E运动()s时，CF=AB D E B A.2 B.6 C.2或6 D.2或5 3.(25-26七年级下山东济南阶段检测)如图，己知Rt△ACB,∠ABC=90°，AB=BC=5,点D,E 分别是AB,BC边上的动点，满足AD=BE,连接AE,CD,则AE+CD取得最小值时，线段AD的长 为(). 11/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B A号 17 c.5 D.2 4.(25-26七年级下甘肃酒泉期末)如图，在△ABC中，AB>AC,D,E分别是BC,AB上的点，AD 平分∠BAC,CE⊥AD于点F,G为AD的中点，延长BG交AC于点H.下列结论正确的有() D ①线段AD是△ACE的高：②△ABG与△BDG的面积相等；③AB-AC=BE;④ ∠CBE+∠BCE+∠EAD=90° A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 5.(25-26八年级上陕西延安期末)如图，在△ABC中，∠ABC=62°，BD平分∠ABC交AC于点D,P 为线段BD上一动点，为边AB上一动点，当AP+P巴的值最小时，∠APO的度数为. 6.(25-26八年级上浙江丽水期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=BC,BD平分∠ABC,过点A 作AE⊥BD,交BD的延长线于点E,若AE=4,则BD的长为一 12/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 7.(25-26七年级下四川期中)如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为BC边上一点， AD⊥DE且AD=DE,连接EB交AC延长线于F,且B为线段EF的中点，若BD=2,AF=14,则 △ABC面积为 D B 8.(25-26七年级下·陕西西安期中)如图，在长方形ABCD中，AB=CD=10,BC=12,∠B=∠C=90° 点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动：点从点B出发，以每秒2个单位 长度的速度沿BC向点C匀速运动；点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿CD向点D运动.连 接P吧，R吧.三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其他点也停止运动，若在某一时刻，△PBQ与 △QCR 全等，则a的值为 D B 三、解答题 9.(25-26七年级下陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，点F在边AB上，且∠ACF=∠B,AD平分 ∠BAC交CF于点D,DE∥CB交AB于点E. 13/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)△AED与△ACD全等吗？请说明理由； (2)若CF=7,AC=8,AF=5,求△DEF的周长. 10.(25-26七年级下·江西景德镇期末)晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因 而有了“风筝”的名字.如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中AC,BD是风筝的支架且AC⊥BD」 AD=CD.AB=CB D (I)求证：△AOD≌△COD: (2)若A0=25cm,BD=72cm,求四边形ABCD的面积. 11.(25-26七年级下·上海虹口期末)如图，已知A为线段EB上一点，在△ABC中，AB=AC,在 △AED中AE=AD,且∠BAC=∠EAD,连接BD、CE,BD分别交CE、AC于点F、N,CE交AD于 点M. D M E B (I)求证：△ABD≌AACE； (2)如果∠CAD=100°，求∠DFE的度数. 12.(25-26八年级上·甘肃平凉期中)在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用 已有经验，对“兄弟三角形”进行研究，新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟 三角形”. 14/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (I)操作判断：如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点.请直接写出线段BD 与CE之间的数量关系：一 (2)性质探究：如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，D,E均在△ABC外， 连接BD、CE,试说明(I)中BD和CE之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程. 13.(25-26七年级下·宁夏银川期末)如图，在△ABC中，AD为高，BD=AD,AC=18.点E为AC上 的一点，CE=4,连接E,交AD干点O,OD=CD 2 备用图 (1)判断BE与AC的位置关系，并说明理由： (2)有一动点Q从点A出发沿射线AC以每秒6个单位长度的速度匀速运动，设点Q的运动时间为t秒 ①AQ= (用含t的代数式表示)，BO=」 ②当△BO0的面积为27时，请求出t的值： (3)在(2)的条件下，动点P从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度向终点B匀速运动，P、Q两点同 时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线BC上的一点，且 CF=AO,△AOP,△FCQ ,当 与 全等时，请直接写出t的值。 15/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.(25-26七年级下·陕西咸阳期末)【问题提出】 (I)如图I,在△ABC中，AD是边BC上的中线，点E,F分别在AB,CD上，连接EF,与AD交于点G SMEG=SADGF△BEF S 的面积记为，四边形 ACFE 的面积记为8，则8与8之间的数量关系是 D 图① (2)如图2，在四边形ABCD中，CD‖AB,G是边AD的中点，连接CG并延长，交BA的延长线于点E, 取EB的中点F,连接CF.CF平分四边形ABCD的面积吗？请说明理由： 图② 【问题解决】 (3)如图3，某商场计划在一块三角形空地ABC中举办户外促销活动，点E在空地的边AC上，点F,H, D在空地的边BC上，现有甲、乙两个品牌入驻，划定四边形AHFE是甲品牌的活动场地，△DEF是乙品 牌的活动场地，且两个品牌活动场地的面积相等.已知EF处加装了围栏，AH=CH=CE=I0m, △ABH,△CDE分别是甲、乙品牌的货物存储区，点H,D是存储区入口，且BH=CD, ∠HED=∠CAH.求围栏端点F与存储区入口D之间的距离DF. 16/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BH F D 图③ 17/17 专题04 全等三角形性质和判定的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形性质和判定求解的多解问题 题型二、全等三角形性质和判定求多结论问题 题型三、全等三角形性质和判定求动点中的最值问题 题型四、全等三角形性质和判定的综合问题 题型五、全等三角形性质和判定的新定义型综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及边角对应关系证明、线段或角相等、图形变换（平移/旋转/翻折）中的全等。 - 解题方法：判定用SSS、SAS、ASA、AAS、HL（Rt△）；性质用于导边导角；找隐含条件（公共边、对顶角、等角加减）。 - 易错提醒：SAS中夹角必须是对应边夹角；判定时误用SSA；对应顶点未对准致边角错配。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形性质和判定求解的多解问题 典例1（26-27八年级·上海·暑假作业）如图在四边形中，，．点F从点B出发，沿线段以的速度持续作往返运动，点E从点A出发沿线段方向以的速度运动，当点E到达点D时, E、F两点同时停止运动，记与的交点为G．若E、F两点同时出发，则当时，点E运动时间___________秒． 【答案】或4 【分析】分两种情况讨论：当点F沿方向运动时，当点F沿方向运动时，根据△AGE≌△CGF，得到方程，解方程即可得到结论． 【详解】解：点E的运动时间为（秒）， 点F从点B运动点C的时间为（秒）； 根据题意得，， 当点F沿方向运动时，即，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点F沿方向运动时，即，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点E运动时间t或4秒． 题型模版 1.特征：已知两边一角或两角一边，但对应顺序未定，导致多个满足全等的三角形。 2.方法：分类讨论对应顶点顺序（如SAS、ASA、AAS），按不同情况分别作图或列方程求解并验证。 变式1-1（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 【答案】2或 【分析】根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即， ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图2， ， ． 综上所述，点运动时间为2或，与全等． 变式1-2（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，，，．点在线段上从点向点运动，点从点出发沿着射线的方向运动．若与全等，则的长为________． 【答案】 或 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，已知，则点与点是对应顶点，分两种情况讨论：一是，二是，设，则，根据对应边相等列出方程求解即可． 【详解】解：设， 点在线段上，， ， 与全等，且， 分两种情况讨论：①当时， ， ，解得，即； ②当时， ， 解得即， 综上所述，的长为或． 变式1-3（25-26七年级下·福建漳州·期中）如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当_________秒时，与全等（不考虑、重合的情况）． 【答案】2或12 【分析】分两种情况讨论：点Q在上，点P在上；Q与A重合，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图，点Q在上，点P在上， 由题意得，，， ∵，， ，， ∵，， ， ， ， 当时，则， ∴，解得：． ②如图，当Q与A重合时， 由题意得，，， ， ∴， 当，则，即，解得：． 综上所述：当秒或12秒时，与全等． 题型二、全等三角形性质和判定求多结论问题 典例2（25-26七年级下·江西抚州·期末）如图，，，平分，交于点，，交延长线于，且垂足为，则以下结论：①；②；③；④．正确的个数是________个． 【答案】 【分析】利用证明，根据全等三角形的性质即可判断；利用证明，推出，，即可判断；由，，即可判断． 【详解】解：，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，；正确； 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，正确； ， ， 又， ，正确； 综上，都正确，正确的个数是个． 题型模版 1.特征：题干给出多个结论，需判断正误，常综合全等判定与性质进行推理论证。 2.方法：先找全等三角形，利用判定定理（SAS、ASA等）证明，再由全等性质（对应边角相等）逐一验证各结论。 变式2-1（25-26八年级上·全国·期末）如图，在梯形中，，E是的中点，平分，下列说法：①；②；③；④，其中正确的是__________填序号 【答案】②④/④② 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线及掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．过点E作于点F，证明，得到，，，再证明，得到，，由此判断③错误；根据判断②正确；根据全等三角形的性质及，得到，由此判断④正确；题中无条件证明，故①错误． 【详解】解：过点E作于点F，则， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 故③错误； ∵， ∴，即， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴，即， 故④正确； 题中无条件证明， 故①错误； 正确的有②④． 故答案为：②④． 变式2-2（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．给出下列结论：①；②；③是等腰直角三角形：④．其中正确的有_______． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，利用三角形的内角和定理和角平分线的定义可判断①；证明，推出，再证明，推出即可判定②；得，即可判定③；证明得可判断④． 【详解】解：①在中，， ∴， 又∵，分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ②∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，而P与不一定相等，故②不正确； ∵，， ∴，，，故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ，故④正确； 故答案为①③④． 变式2-3（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，为中线，过B作于点E，过C作于点F．在延长线上取一点G，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据题意证得，根据全等三角形的性质可得、，从而可判断①正确；再证明，根据全等三角形的性质可得，从而判断③正确，②错误；由，结合以上结论可判断④正确． 【详解】解：为中线， ， 、， ， 在和中， ， ， 、， 故①正确； 在和中， ， ， 故③正确，符合题意； ， ， ， 故②错误； 、， ， 为中线， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 题型三、全等三角形性质和判定求动点中的最值问题 典例3（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 【答案】3 【分析】在上取点，使得，连接、，过点作于点，利用三角形面积公式求出，再证明，得到，则当、、三点共线，且时，有最小值为的长，即可得解． 【详解】解：如图，在上取点，使得，连接、，过点作于点， 在锐角三角形中，，的面积为6， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线，且时，有最小值为的长， 的最小值为3． 题型模版 1.特征：动点运动中构造全等三角形，求线段或面积最值，常结合二次函数或几何不等式。 2.方法：利用全等转化线段（如等量代换），将最值化为二次函数顶点或垂线段最短，结合动点范围求解。 变式3-1（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． 【答案】18 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，添加辅助线构造全等三角形，利用两点之间线段最短得到取最小值时点的位置是解题的关键． 如图，在下方作，且使得，则，，可证得，则，，进而可知当点在上时，取得最小值，此时，，即可求解． 【详解】解：如图，在下方作，且使得，则，， 又∵， ∴，则， ∴，则， 即，当点在上时，取得最小值， 此时，， 故答案为：18． 变式3-2（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的角平分线，于点，是的中线，动点在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 【答案】2 【分析】因为是的中线，所以和面积相等，可先求出的面积．已知的面积和的长度，结合，用三角形面积公式可求出的长度．因为是角平分线，根据角平分线的性质，点D到和的距离相等，可得D到的距离等于．因为G在上，根据垂线段最短，的最小值即为D到的距离． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵ ，，， ∴ ， 解得． ∵ 是的角平分线， ∴点到的距离等于． 又∵点在上， ∴的最小值就是点到的距离， 即． 变式3-3（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，，平分交于点D，点E，F分别是，上的动点，则： （1）的长为______； （2）的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，借助面积法列方程求解． （1）过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，再根据列方程求出的长； 过点作交于点，作交于点，此时有，利用面积法列方程求出的长度即为的最小值． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作，   平分交于点， ， ， ， ，，， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作交于点，作交于点，连，   平分交于点， 点与点关于对称， 在中，， ， ， 解得：， 由“两点之间线段最短”知，的最小值为， 故答案为：． 题型四、全等三角形性质和判定的综合问题 典例4（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图所示，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)你认为与相等吗？并说明理由； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)，理由如下： 因为点为中点， 所以． 在和中， ， 所以， 所以； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，进行解答即可； （2）根据全等三角形的判定与性质、垂直的定义，进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， 所以， 所以． 因为是的中点，， 所以， ． 又因为， 所以， 所以． 题型模版 1.特征：综合运用全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与性质（对应边角相等）解决复杂几何证明或计算。 2.方法：从结论出发逆推需证的全等，再结合已知条件选择适当判定定理，由全等得对应关系完成证明。 变式4-1（25-26七年级下·江西景德镇·期末）如图，和都是等腰三角形，，，．连接，与相交于点． (1)求证：； (2)试说明：与的数量关系． 【答案】(1)证明：， ，即， 在和中， ， ， ； (2)，理由如下， 如图，设和相交于点， 由（1）可知，， ， 又， ， ， ， ． 【分析】（1）根据证明，即可证得结论； （2）设和相交于点，由得到对应角相等，继而根据三角形内角和定理得到，从而得到． 【详解】（1）略； （2）略． 变式4-2（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，分别是，边上的中点，与交于点． (1)若，求； (2)求证：； (3)点在线段上（点不与点，点重合），连接并延长到点，连接，若平分四边形的面积．求证：． 【答案】(1)10； (2)分别是边上的中点， 分别是的中线，． 如下图，连接， ，， ． ， ， ； ∴. (3)证明：连接， 是边上的中点， ， ， 平分四边形的面积， ， ， ． 是边上的中点， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【分析】（1）先求出，根据三角形的面积公式可得答案； （2）由三角形面积和中线的性质，先证，再根据中线的性质，证，即可得答案； （3）由三角形面积、三角形的中线、平分四边形的面积，证明，再证，得，再证，得，即可得答案． 【详解】（1）解：是边上的中点， ； （2）略； （3）略． 变式4-3（25-26七年级下·广东河源·期末）问题情境：已知射线和射线相交于点B．且．点D在射线上，作射线，在射线上取一点E，连接，，使． (1)如图1，与的数量关系为________； (2)如图2，当点D在延长线上，时． ①根据要求作图：在射线上取一点F，使，连接． ②求的度数； (3)如图3，当，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①如图， ② (3)或 【分析】（1）利用三角形内角和定理即可得出答案； （2）①按要求作图即可； ②先证得，得出，，则，进而得出，再根据角的和差即可求解； （3）分两种情况：当点D在线段上时；当点D在的延长线上时；在射线上取一点F，使，连接，先证明，可得：，，再由等腰三角形性质即可求得答案． 【详解】（1）解：如图， ∵，， 又∵，， ∴； （2）解：①略 ②由（1）得，由①得， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：分以下两种情况： 当点D在线段上时，如图，在射线上取一点F，使，连接， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； 当点D在的延长线上时，在射线上取一点F，使，连接，如图， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 题型五、全等三角形性质和判定的新定义型综合问题 典例5（25-26七年级上·山东济宁·期中）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”． （一）性质探究：如图1，在中，D是边上的一点，那么和是“朋友三角形”．求证：． （二）知识应用：如图2，正方形的边长为4，点在上，点F在上，，与交于点O． （1）请说出所有的朋友三角形，并说明理由； （2）连接，若和是“朋友三角形”则四边形的面积为___________． 【答案】 （一）∵和是“朋友三角形”， ∴为的中点， ∴， 设到的距离为， ∴，， ∴． （二）（1）的朋友三角形是与，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴与、是“朋友三角形”． （2）8 【分析】本题考查全等三角形的证明及性质，能够理解题干涉及的新定义是解题关键； （一）根据“朋友三角形”得到为的中点，再通过中线的性质可证； （二）（1）先证得，进而得到，再通过平行线性质和角度等量代换可得到，进而，同理可得，再通过“朋友三角形”定义即可求解；（2）通过“朋友三角形”定义得到，再通过三角形面积公式算出，再通过面积的和差关系即可求解． 【详解】解：（一） 略 （二）（1） 略 （2）∵和是“朋友三角形”，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：引入新概念（如“等补点”），将全等与定义结合，求值或证明，重理解与迁移。 2.方法：透彻理解新定义，将其转化为全等条件（如边角关系），选择合适的判定定理证明或列方程求解。 变式5-1（25-26八年级上·福建龙岩·期中）【定义】我们把三角形被一边上的中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 【理解】如图1，在中，是边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且． 【应用】如图2，和是“友好三角形”，，与相交于点D． （1）求证：和是“友好三角形”； （2）若的面积为1，点P是直线上的一动点，连接，当图中出现一个三角形和是“友好三角形”时，求出此时的面积． 【类比学习】根据上面学习知识的活动与经验，回答下面问题： （3）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值 ． 【答案】（1）证明：∵和是“友好三角形”， ∴D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的边上的中线， ∴和是“友好三角形”； （2）2或4； （3）或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质及等腰三角形的性质等知识，理解题中新概念是解题的关键． （1）由题意得点D是的中点，再证明，得，从而可证结论成立； （2）分两种情况：当点P在线段的延长线上时；当点P在线段的反向延长线上时；利用“友好三角形”的意义即可求解； （3）分是顶角与底角两种情况考虑，利用三角形内角和求出底角或顶角即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：当点P在线段的延长线上时，如图2， 当时，和是“友好三角形”, ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在线段的反向延长线上时，如图3， 当和是“友好三角形”时,则， ∴， ∴， ∴； 综上，的面积为2或4； （3）解：当是顶角时，则底角为， ∴； 当是底角时，则顶角为， ∴； 综上，k的值为或； 故答案为：或． 变式5-2（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 如图1，在中，，，． ①若是上一点，，则与______偏等积三角形（填“是”或“不是”）； ②若为上一点，当的长为______时，与是偏等积三角形； （2）运用定义：如图2，为上一点，与是偏等积三角形，，，且线段的长为偶数，则的长为______； （3）拓展加深： ①如图3，，，． 求证：与是偏等积三角形； ②如图4，与是偏等积三角形，，，求证：． 【答案】（1）①是；②3； （2）6； （3）①与是偏等积三角形． 理由：如图3， ， ， ， ， ， ，， 与不全等， 作于点F，交的延长线于点G，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形． ②作，交的延长线于点，作于点， ∵与是偏等积三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟练掌握新定义，合理添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． （1）根据三角形的中线平分面积，结合新定义进行求解和判断即可； （2）过C作交的延长线于E，根据与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，则有，再证明，得，再根据三角形的三边关系可知，进而可求解； （3）①先证明，再由，，说明与不全等，作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，即可解答． ②作，交的延长线于点，作于点，根据新定义，推出，证明，得到，进而得到． 【详解】解：（1）①∵点是上一点，且， 又∵， ∴， 即：为的中点， ∴为的中线， ∴， ∵， ∴不全等， ∴与是偏等积三角形； 故答案为：是； ②∵三角形的中线平分三角形的面积， ∴当为的中线时，与是偏等积三角形，此时； 故当时，与是偏等积三角形； 故答案为：3； （2）如图2，过C作交的延长线于E， 与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 线段的长为偶数， ； （3）①略 ②略 变式5-3（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】    (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ； (3)若是的“边垂角”，且． ①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：； 对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证． ②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) ①延长交于点， 是的“边垂角”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ；    ② 【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）①延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论； ②连接，过点作与延长交于点，根据等腰三角形性质证明即可得到答案． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：①略． ②连接，过点作与延长交于点， 是的“边垂角”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ．    压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，点在边上，过点作，过点作，交的延长线于点，．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】证明，得到，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（     ）时，． A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 【答案】D 【分析】设点E运动时间为，则，分两种情况求解：①当点从点B出发，向点左侧移动时；②当点从点B出发，向点右侧移动时，利用全等三角形的性质分别求出的长，即可得解． 【详解】解：设点E运动时间为，则， ①如图，当点从点B出发，向点左侧移动时， 为边上的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，解得：； ②如图，当点从点B出发，向点右侧移动时， 同理可证，， ， ， ，解得：, 综上可知，当点E运动或时，． 3．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图：过点A作且，连接交于，证明可得，从而将转化为，根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值．易证，再利用全等三角形的性质以及线段的运算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作且（点F在下方），连接交于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∴取得最小值时，线段的长为． 4．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，D，E分别是，上的点，平分，于点F，G为的中点，延长交于点H．下列结论正确的有（     ） ①线段是的高；②与的面积相等；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①三角形的高是顶点向对边所作垂线段，是的高；②点为的中点，底边在同一直线上，等高且等底，故面积相等；③平分角且，可证三角形全等，得到，代入线段差即可推出；④利用外角性质将得，结合直角三角形两锐角互余，等量代换可证三个角相加等于。 【详解】解：①于点， 线段为△的高， 故结论①不正确，不符合题意； ②点为的中点， ， △的边上的高与△的边上的高相同， 与△面积相等， 故结论②正确，符合题意； ③平分， ， 于点， ， 在△和△中， ， ， ， ， 故结论③正确，符合题意； ④， 于点， ， ， 故结论④正确，符合题意； 结论正确的有3个． 二、填空题 5．（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，平分交于点，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为___________． 【答案】/62度 【分析】在上截取，连接，证明，得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵，平分交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点A、P、E在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小， 此时，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】通过线段的转化及垂线段最短是解决此类问题常用的方法． 6．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 【答案】8 【分析】延长交于点F，证明，得，再证明，得，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 7．（25-26七年级下·四川·期中）如图，直角三角形中，，点为边上一点，且，连接交延长线于，且为线段的中点，若，，则面积为______． 【答案】 【分析】过点作的延长线于点，可证，得，，再证，得，，即得，设，则，进而利用列出方程求出的值即可求解． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴． 8．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动；点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其他点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为________． 【答案】2 或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据的条件，再根据对应边的不同，分两种情况讨论：①，②，分别计算出t的值，进而得到a的值． 【详解】解：设运动的时间为t， ， 要使，根据对应边不同，分两种情况讨论： ①当时， ， ； ②当时， ， ； 综上所述， a的值为：2或． 三、解答题 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)，理由如下： ， ∴ ， ， ∴， 平分 ， ∴， ， ∴； (2)10 【分析】（1）先根据平行线的性质以及已知条件证明，再由证明即可； （2）利用全等三角形的性质把线段进行转换，即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， ， ∴， ， ∴的周长为． 10．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中，是风筝的支架且，，． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】本题考查垂线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据垂线的定义得到，再利用等腰三角形的性质得到，利用“”的判定方法进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，进而求出长，利用四边形的面积等于进行求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）知，， ， ， 四边形的面积为： ． 11．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知为线段上一点，在中，，在中，且，连接、，分别交、于点、，交于点． (1)求证：； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明； （2）根据全等三角形的性质和三角形的外角计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究，新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断：如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：____． (2)性质探究：如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，均在外，连接，试说明（1）中和之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程． 【答案】(1) (2) 依然成立，理由如下： 和互为“兄弟三角形”， ，，， ， 即， ， ． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过和互为“兄弟三角形”，得出，，，从而证明，即可得出答案； （2）通过和互为“兄弟三角形”，得出，，，从而证明，即可完成证明； 【详解】（1）解：和互为“兄弟三角形”， ，，， ， 即， ， ， 故答案为：； （2）略 13．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，为高，，．点E为上的一点，，连接，交于点O，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)有一动点Q从点A出发沿射线以每秒6个单位长度的速度匀速运动，设点Q的运动时间为t秒． ①_______（用含t的代数式表示），_______； ②当的面积为27时，请求出t的值； (3)在（2）的条件下，动点从点O出发沿线段以每秒2个单位长度向终点B匀速运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线上的一点，且，当与全等时，请直接写出t的值． 【答案】(1)解：，理由如下： 在中，为高， ， 又∵，， ∴， ， ，， ， ； (2)①；②或； (3) 的值为或． 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，即可求解； （2）①根据路程等于速度乘以时间，求出，由全等三角形的性质可得；②由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形的判定列出等式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①由题意，， 由（1）可知，， ∴； ②由①知， ，， ，， 由（1）可知，， 在射线上， ∴，， ， 解得：或； （3）解：， ， 、当点在线段延长线上时，如图3， ， ， ， 当时，， 此时，，解得：； 、当点在线段上时，如图4，   ， ， ， 当时，， 此时，，解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或． 14．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】 (1)如图1，在中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，的面积记为，四边形的面积记为，则与之间的数量关系是____________； (2)如图2，在四边形中，，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，取的中点，连接．平分四边形的面积吗？请说明理由； 【问题解决】 (3)如图3，某商场计划在一块三角形空地中举办户外促销活动，点在空地的边上，点，，在空地的边上，现有甲、乙两个品牌入驻，划定四边形是甲品牌的活动场地，是乙品牌的活动场地，且两个品牌活动场地的面积相等．已知处加装了围栏，，，分别是甲、乙品牌的货物存储区，点，是存储区入口，且，．求围栏端点与存储区入口之间的距离． 【答案】(1) (2)平分四边形的面积，理由如下： 点是的中点， ， ． 点是的中点， ． 在和中， ． ． ． 平分四边形的面积． (3) 【分析】（1）根据是边上的中线，得出，结合图形，即可得出； （2）先证明得出，则，即可得出结论； （3）证明得出，同理可得平分四边形的面积，进而可得的长． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； （2）略 （3）解：， ，． ， ． ，， ． ，， ． ，，，． ． ， ． ． ， ． ． ． ． 由题意得，平分四边形的面积， ． ． 即围栏端点与入口之间的距离为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $