4.1函数 教学设计 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦八年级“函数”概念，通过摩天轮情境导入，结合图象与表格观察时间和高度的变量关系，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架，帮助学生理解函数定义及判断方法。 以生活实例（摩天轮、圆柱形堆放、热力学温度）为载体，通过图象、表格、关系式多形式呈现变量关系，培养抽象能力（数学眼光）和推理意识（数学思维），巩固练习覆盖三种表示方式强化模型意识（数学语言），助力学生感受数学与生活联系提升应用能力，也为教师提供丰富实例和清晰结构便于教学。

4.1 函数 课时：1 年级：八年级 教师： 日期： 一、教学目的 1. 理解函数的概念，能判断两个变量之间是否存在函数关系。 2. 能根据具体问题确定自变量的取值范围，并求函数值。 3.通过生活实例感受函数是刻画变量之间关系的常用模型，体会数学与生活的联系。 二、教学重点、难点 函数的概念；判断两个变量之间是否存在函数关系。 理解函数中“对于自变量每一个值，因变量有唯一值与之对应”的含义；确定自变量的取值范围。 三、教学过程 【环节一：导入新课】 函数是刻画变量之间关系的常用模型。什么是函数？它对应的图象有什么特点？我们能用函数解决现实生活中的哪些问题？ 情境一：摩天轮 你坐过摩天轮吗？想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离地面的高度是如何变化的？ 右图反映了一个摩天轮上某一点离地面的高度h（单 位：m）与旋转时间t（单位：min）之间的关系。 (1) 这个问题中有几个变量？ 变量：时间，高度，2 个变量 (2) 根据右图填写下表： t /min 0 1 2 3 4 5 h /m 3 13 36 47 36 13 (3) 对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？ (3) 确定。 【环节二：新课讲授】 操作·思考：圆柱形物体堆放随着层数的增加， 物体的总数是如何变化的？ （1）请填下表： 层数n 1 2 3 4 5 …… 物体总数y 1 3 6 10 15 …… （2）定的每一个层数n，物体总数y分别对应有几个值？ 对于给定的每一个层数n，物体总数y分别对应有一个值。 一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到-273.15℃，则气体的压强为零。热力学温度T（单位：K）与摄氏温度t（单位：℃）之间有如下数量关系：T=t+273.15，T≥0。 (1) 当t分别为-43℃,-27℃,0℃,18℃时，相应的热力学温度T是多少？ ， ， ， ， (2) 给定一个大于-273.15℃的t值，你都能求出相应的T值吗？ 只要，都可以求出唯一对应的。 思考·交流： 上面三个问题都研究了两个变量之间的关系，它们有什么相同点和不同点？ ①都有两个变量； ②给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值。 抽象概括，形成概念： 上面三个问题分别以图象、表格、关系式三种形式呈现了两个变量之间的关系，你能找出三者之间的共同点吗： 共同点：①都有两个变量；②给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值。 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数（function），其中x是自变量。 函数概念要点：①有两个变量；②当自变量给定时，因变量有唯一的值与之对应。 注意：①函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系；②表格、关系式、图象是函数的三种表示方式。 尝试·思考： 上述问题中，自变量能取哪些值？ 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值。 【环节三：巩固练习】 辨析概念，拓广应用： (1) 北京市某天气温的变化情况如图所示； (2) 在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍会滑行s m，有经验公式v²/300（其中v表示刹车前汽车的速度，单位：km/h）； (3) 在国内，将质量在100g以内的普通信函投寄到外埠，应付邮资见下表： 信件质量m/g 0＜m≤20 20＜m≤40 40＜m≤60 60＜m≤80 80＜m≤100 邮资y/元 1.20 204. 3.60 4.80 6.00 实例 描述 变量 是否是函数 自变量 因变量 自变量取值 温度问题 温度T随着时间t的变化而变化 温度T 时间t 是 t是自变量 T是因变量 0≤t≤24 刹车问题 滑行距离s随着刹车前汽车的速度v的变化而变化 滑行距离s 速度v 是 v是自变量 s是因变量 v>0 邮费问题 邮资y随着信件质量m的变化而变化 邮资y 质量m 是 m是自变量 y是因变量 0＜m≤100 应用举例： 一个水管以均匀的速度向容积为100m³的空水池中注水，注入的水量Q（单位：m³）与注水时间t（单位：min）之间的数量关系为Q=2t。求当t=5时，水池中注入的水量Q的值。写出自变量t的取值范围。 解：因为Q=2t，所以当t=5时，Q=2×5=10（m³）。因为水池的容积为100m³，故注水时间不能超过100÷2=50（min），所以0≤t≤50。 五、教学小结 数学知识： 1. 函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量。 ①有两个变量；②给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值。 自变量取值：符合数学意义和实际意义。 2. 函数常见的三种表示方式：①表格；②关系式；③图象。 思想方法：函数思想、数形结合思想。 六、作业 必做： 教科书习题4.1第1,2,4题。 选做： 下列各式中，x都是自变量，则y是不是x的函数，为什么？ (1) y=2x；(2) y=x²；(3) y²=x。 (1) ✅是函数。对于每一个，有唯一值与之对应。 (2) ✅是函数。任意，只有唯一对应值。 (3) ❌不是函数。例如，或，一个对应两个，不满足唯一对应。 4 学科网（北京）股份有限公司 $