4.3 一次函数的图象教学设计 2026-2027学年数学北师大版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦一次函数图像及性质，分两课时展开，先探究正比例函数图像的作法（列表、描点、连线）与性质（过原点、k值影响象限和增减性），再延伸至一次函数，衔接正比例函数图像的平行关系与平移规律。 通过情境导入回顾函数概念与作图步骤搭建学习支架，以“作图—对比—归纳”探究活动引导学生观察k、b对图像的影响，培养几何直观与推理意识，如对比y=2x与y=-3x图像归纳象限规律，采用“做中学”提升数形结合能力，为教师提供结构化教学流程，助力核心素养落实。

4.3 一次函数的图像 第1课时 正比例函数的图象及性质 教学设计 课题 第1课时 正比例函数的图象及性质 授课人 教学目标 1．了解一次函数的图象是一条直线， 能熟练作出一次函数的图象。 2．经历函数图象的作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线。 3．已知函数的代数表达式作函数的图象，培养学生数形结合的意识和能力． 4．理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系。 教学重点 初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线。 教学难点 理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 1.在下列函数中， （1）y＝x2－3，（2）y＝2x，（3）y＝，（4）y＝2－5x， 是一次函数的是 (2),（4） ，是正比例函数的是 （2） 。 2.函数有哪些表示方法?它们之间有什么关系? 3.你能将关系式法转化成图象法吗?什么是函数的图象? 回顾旧知，为本节课的学习做铺垫。 探究新知 1.正比例函数的图象 函数图象的概念： 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 4.你能根据函数表达式画出图象吗? 思考 画正比例函数 y＝2x 的图象。 (1)为了画出函数的图象，首先需要选取一些自变量的值，并将自变量的值及其对应的函数值用表格表示。那么,列表时选取自变量 x 的哪些值呢?观察这个函数表达式，x 可以取 0 吗?可以取正数吗?可以取负数吗? (2)以你所列表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。 (3)这些点真的在一条直线上吗?你能画出这条直线吗? 解：（1） （2） （3） 教师追问：其他满足 y＝2x 的点(x，y)也在这条直线上吗？ 教师归纳： 画函数图象的一般步骤： 探究 (1)画正比例函数 y＝－3x 的图象。 (2)正比例函数 y＝2x 和 y＝－3x 的图象有什么共同特点? 解：（1）图象如图所示。 （2）相同点：①函数图象都经过原点(0，0)，②函数图象都是一条直线。 ☀追问 一般地，正比例函数 y＝kx 的图象有何特点? 不同点：① y＝2x 经过第一、三象限，② y＝－3x 经过第二、四象限。 教师归纳 正比例函数 y＝kx 的图象是一条经过原点(0，0)的直线。因此，画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了。→两点作图法 针对练习 1. 已知正比例函数 y＝( k＋1 )x。 （1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围是k＞－1。 （2）若函数图象经过点（2，4），则 k ＝1 。 （链接例1） 2.正比例函数的性质 思考 在同一平面直角坐标系中画出正比例函数 y＝x,y＝3x,y＝－x 和 y＝－4x 的图象。 问题 这四个函数中，随着 x 值的增大，y 的值分别如何变化? 观察图象可以发现： ①直线 y＝x，y＝3x 向右逐渐上升，即 y 的值随 x 的增大而增大； ②直线 y＝－1/2x，y＝－4x 向右逐渐下降，即 y 的值随 x 的增大而减小。 教师归纳： 在正比例函数 y＝kx 中： 当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大； 当 k＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小。 针对练习 2.已知正比例函数 y＝kx ( k ＞0)的图象上有两点（x1，y1）,（x2，y2），若 x1＜x2，则 y1 ＜ y2。 3. 对于正比例函数 y＝(k－2)x，当 x 增大时，y 随之减小， 则 k 的取值范围是 ( A ) A．k＜2　　　　 B．k≤2 C．k＞2　　　 　D．k≥2 探究 （1）正比例函数 y＝x 和 y＝3x 中，随着 x 值的增大 y 的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？ 答：观察函数图象，可以看到对于任意一个 x 值， y＝3x 的函数值都是 y＝x 的3倍，并且随着 x 的增加，y ＝3x 的函数值增长速度更快。 （2）正比例函数 y＝－x 和 y＝－4x 中，随着 x 值的增大 y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？ 答：观察函数图象，可以看到对于任意一个 x 值， y＝－4x 的函数值都是 y＝－x 的8倍，并且随着 x 的增加，y＝－4x 的函数值减小速度更快。 教师归纳 当 |k| 越大时，直线越陡，图象越靠近 y 轴，相应的函数值上升或下降得越快。 （链接例2） 通过学生比较熟悉的生活情景，让学生在写函数关系式和认识图象的过程中，初步感受函数与图象的联系，激发其学习的欲望。 做一做“作出这几个正比例函数的图象”，意在让学生进一步熟悉如何作一个正比例函数的图象，同时要求学生通过这几个函数的图象，分析正比例函数图象的性质,以及k的绝对值大小与直线倾斜程度的关系。 典例精析 【例1】用你认为最简单的方法画出函数 y＝x的图象： 【解】列表如下： 函数 y＝x的图象如图： 【例2】已知正比例函数 y = mx 的图象经过点（m，4），且 y 的值随着 x 值的增大而减小，求 m 的值。 【解】∵ 正比例函数 y = mx 的图象经过点（m，4）， ∴ 4＝m · m，解得 m＝±2。 又∵ y 的值随着 x 值的增大而减小， ∴ m ＜0，故 m＝－2。 这里的例题，一是让学生熟练正比例函数图象的作法，二是明确正比例函数图象的性质，要注意自变量的取值范围。 随堂检测 1.已知点 P（1，m）在正比例函数 y＝4x 的图象上，那么点 P 的坐标是（ A ） A.（1,4） B.（－1，－4） C.（1，－4） D.（－1,4） 2.已知正比例函数 y＝kx（k≠0）的图象经过二、四象限。则（ B ） A. y 随 x 的增大而增大 B. y 对 x 的增大而减小 C. 当 x＜0时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞0时，y 随 x 的增大而减小。 D. 无论 x 如何变化，y 不变。 3.下列图象哪个可能是函数 y＝－x 的图象（ B ） 4.函数 y＝7x 的图象经过第_一、三_象限，y 随 x 的增大而增大 。 5.如图分别是函数 y＝k1x，y＝k2x，y＝k3 x，y＝k4x 的图象。 （1）k1 ＜ k2，k3 ＜ k4(填“＞”或“＜”或“＝”)； （2）用不等号将 k1，k2，k3，k4及 0 依次连接起来。 解： k1 ＜ k2 ＜ 0 ＜ k3 ＜ k4 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况。 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第1课时 正比例函数的图象及性质 1.画函数图象的一般步骤： 2.两点作图法 3.在正比例函数 y＝kx 中： 当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大； 当 k＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小。 4.当 |k| 越大时，直线越陡，图象越靠近 y 轴，相应的函数值上升或下降得越快。 教学反思 第2课时 一次函数的图象及性质 教学设计 课题 第2课时 一次函数的图象及性质 授课人 教学目标 1.了解一次函数两个变量之间的变化规律.在认识一次函数图象的基础上，掌握一次函数图象及其简单性质； 2.经历对一次函数图象变化规律的探究过程，学会解决一次函数问题的一些基本方法和策略； 3.在结合图象探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的思想； 4.通过对一次函数图象及性质的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力。 教学重点 了解并掌握一次函数的图象与性质。 教学难点 能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 复习导入 回答下列问题. （1）画函数图象的步骤？ （2）上节课中我们探究得到正比例函数图象经过哪个定点？ （3）作正比例函数图象需要描出几个点？ 答：（1）作函数图象的主要步骤是：列表，描点，连线。 （2）正比例函数的图象是一条过原点（0，0）的直线。 （3）画正比例函数的图象，除原点外只要描出一个点。 通过类比正比例函数图象的画法，引入本节内容。 探究新知 1.一次函数的图象 思考 (1)用列表、描点、连线的方法画一次函数 y＝2x＋1 的图象。 解：①列表： x … －1 0 1 … y … －1 1 3 … ②描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。 ③连线：把这些点依次连接起来，得到 y＝2x＋1 的图象。 (2)一次函数 y＝2x＋1 的图象真的是一条直线吗? 解：是一条直线。 (3)一次函数 y＝2x＋1 的图象与正比例函数 y＝2x 的图象有什么关系? 答：如图所示，一次函数 y＝2x＋1 的图象与正比例函数 y＝2x 的图象相互平行。 (4)一般地，一次函数 y＝kx＋b 的图象与正比例函数 y＝kx 的图象有什么关系? 教师归纳： 一次函数 y＝kx＋b 的图象是一条直线，它与正比例函数 y＝kx 的图象相互平行。因此，画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点画直线就可以了。一次函数 y＝kx＋b 的图象也称为直线 y＝kx＋b 。 （链接例1） 2.一次函数的性质 思考 画出一次函数 y＝3x＋1,y＝－x＋1,y＝3x－2,y＝4x－3 的图象。 思考(1)哪个函数 y 的值随着 x 值的增大而增大?哪个函数 y 的值随着 x 值的增大而减小? 答：① y＝3x＋1，y＝3x－2 和 y＝4x－3，y 随着 x 的增大而增大，图象由左到右是逐渐上升的。 ② y＝－x＋1，y 随着 x 的增大而减小，图象由左到右是逐渐下降的。 教师归纳： 在一次函数 y＝kx＋b 中， 当 k ＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大； 当 k ＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小。 k 决定函数的增减性。 （链接例2） 思考（2）随着 x 值的增大，y 的值增大速度最快的函数是哪个? 答： y＝4x－3。 教师归纳：|k|越大，函数图象越陡峭。 思考 (3)哪两个函数的图象相互平行? 答：一次函数 y＝3x＋1 和一次函数 y＝3x－2 的图象相互平行。 教师归纳： k 值相同的两个一次函数图象平行。 3.一次函数的平移 追问 你能通过适当的移动将直线y＝3x＋1 变为直线 y＝3x－2 吗？ 比较函数 y = -x + 3 与 y = -x 的解析式。 教师总结 即直线 y＝3x－2 向上平移 3 个单位长度就得到 y＝3x＋1 的图象，因此，直线 y＝3x－2 与直线 y＝3x＋1 倾斜程度相同，平行。 思考 你知道直线 y＝kx＋b (k ≠ 0) 与 y＝kx (k≠0) 有什么关系? 针对练习 (1) 将直线 y＝2x 向上平移 2 个单位后所得图象对应的函数表达式为(　D　) A．y＝2x－1 B．y＝2x－2 C．y＝2x＋1 D．y＝2x＋2 (2) 将正比例函数 y＝－6x 的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数表达式可能是 y＝－6x＋3 (写出一个即可)。 思考 (4)图象与 y 轴相交于同一点的函数有哪些? 答：一次函数 y＝3x＋1 和一次函数 y＝－x＋1 的图象与 y 轴相交于同一点(0,1)。 探究 对于一次函数 y＝kx＋b 的图象，你有哪些结论? 教师归纳 一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点(0,b),与函数 y＝kx 的图象平行。 （注：k 值相同的两个一次函数图象平行。） 在一次函数 y＝kx＋b 中， 当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大； 当 k＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小。 探究 根据一次函数的图象判断 k，b 的正负，并说出直线经过的象限： k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0 过一、二、 过一、三、 过一、二、 过二、三、 三象限 四象限 四象限 四象限 （链接例3） 学生通过讨论，得出所观察到的图象的规律，在教师的引导下，逐步认识对一次函数图象及性质。 通过师生、生生互动，共同总结，使学生再次明确一次函数图象的特点，为下个环节的知识运用作好准备。 典例精析 【例1】用你认为最简单的方法画出下列函数的图象： (1) y＝－2x－1；(2) y＝0.5x＋1 【解】 也可以先画直线 y＝－2x 与 y＝0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y＝－2x －1与 y＝0.5x ＋1。 【例2】P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数 y = - 0.5x + 3 图象上的两点，下列判断中，正确的是( ) A. y1＞y2 C. 当 x1＜x2 时，y1＜y2 B. y1＜y2 D. 当 x1＜x2 时，y1＞y2 【解析】根据一次函数的性质： 当 k＜0 时，y 随 x的增大而减小，所以 D 为正确答案。 提示：反过来也成立：y 越大，x 就越小。 【例3】已知一次函数 y＝(1－2m)x＋m－ 1，求满足下列条件的 m 的值： （1）函数值 y 随 x 的增大而增大； （2）函数图象与 y 轴的负半轴相交； （3）函数的图象过第二、三、四象限。 【解】(1)由题意得 1－2m＞0，解得 m＜。 (2)由题意得 1－ 2m≠0 且 m－1＜0，即 m＜1且 m≠。 (3)由题意得 1－2m＜0 且 m－1＜0，解得 ＜m＜1。 检测学生对一次函数的图象和性质的掌握情况。 随堂检测 1. 直线 y＝x＋b（b＞0）与直线 y＝kx（k＜0）的交点位于（　B　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 一次函数 y＝－2x＋4 的图象与 y 轴的交点坐标是（　D　） A. （0，2） B. （4，0） C. （2，0） D. （0，4） 3.如图为一次函数 y＝kx＋b（k≠0）的图象，则下列结论正确的是（　B　） A. k＞0，b＞0 B. k＞0，b＜0 C. k＜0，b＞0 D. k＜0，b＜0 4.一次函数 y＝kx－k（k＜0）的图象大致是（　A　） 5. 已知 2y-3 与 3x＋1 成正比例，且 x＝2 时，y＝5. （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并指出它是什么函数； （2）点（3，2）在这个函数的图象上吗？ 解：（1）设 2y－3＝k（3x＋1）， 当 x＝2 时，y＝5， ∴ 2×5－3＝k（3×2＋1）， 解得 k＝1， ∴ 2y－3＝3x＋1， 即 y＝1.5x＋2。 故 y 是 x 的一次函数。 （2）由（1）得，y＝1.5x＋2， 当 x＝3 时，y＝1.5×3＋2 ＝6.5≠2， ∴ 点（3，2）不在这个函数的图象上。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况。 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第2课时 一次函数的图象及性质 1. 2.一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点(0,b),与函数 y＝kx 的图象平行。 （注：k 值相同的两个一次函数图象平行。） 在一次函数 y＝kx＋b 中， 当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大； 当 k＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小。 3. k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0 过一、二、 过一、三、 过一、二、 过二、三、 三象限 四象限 四象限 四象限 4.习题解析 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $