4.3 一次函数的图像 讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦一次函数与正比例函数的图像及性质核心知识点，系统梳理从图像画法（两点法、平移规律）到性质（单调性、与坐标轴交点）的脉络，搭建从具体描点到抽象特征分析的学习支架。 资料以题型分类为特色，解题知识突出关键细节如两点法选点技巧、平移规律，典例与变式结合培养抽象能力和推理意识。课中辅助教师系统授课，课后通过过关验收助学生自测，有效查漏补缺。

第4章 4.3 一次函数的图像 内 容 导 航 题型1 一次函数的图象 题型2 正比例函数的图象 题型3 一次函数的性质 题型4 正比例函数的性质 考 点 演 练 题型1 一次函数的图象 解｜题｜知｜识 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 【典例1】已知点（k，b）为第一象限内的点，则一次函数y＝kx﹣b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵点（k，b）为第一象限内的点， ∴k＞0，b＞0， ∴一次函数y＝kx﹣b的图象经过第一、三、四象限． 故选：B． 【变式1】直线y1＝mx+n和y2＝nmx﹣n在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、直线y1解析式中，m＞0，n＜0，直线y2解析式中，mn＜0，﹣n＞0，即m＞0，n＜0，一致，符合题意； B、直线y1解析式中，m＞0，n＞0，直线y2解析式中，mn＜0，﹣n＞0，矛盾，不符合题意； C、直线y1解析式中，m＞0，n＜0，直线y2解析式中，mn＜0，﹣n＜0，矛盾，不符合题意； D、直线y1解析式中，m＞0，n＞0，直线y2解析式中，mn＜0，﹣n＜0，矛盾，不符合题意； 故选：A． 题型2 正比例函数的图象 解｜题｜知｜识 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 【典例1】函数y＝bx与y＝ax+b（a≠0，b≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、由一次函数y＝ax+b（a≠0，b≠0）图象可知：a＜0，b＞0． ∴函数y＝bx图象应该经过一、三象限，故A正确； B、由一次函数y＝ax+b（a≠0，b≠0）图象可知：a＜0，b＜0． ∴函数y＝bx图象应该经过二、四象限，故B错误； C、由一次函数y＝ax+b（a≠0，b≠0）图象可知：a＞0，b＞0． ∴函数y＝bx图象应该经过一、三象限，故C错误； D、由一次函数y＝ax+b（a≠0，b≠0）图象可知：a＞0，b＜0． ∴函数y＝bx图象应该经过二、四象限，故D错误． 故选：A． 【变式1】如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，请用“＞”表示a，b，c的不等关系b＞a＞c ． 【答案】b＞a＞c 【解答】解：由图象可得， c＜0，b＞a＞0， ∴b＞a＞c， 故答案为：b＞a＞c． 题型3 一次函数的性质 解｜题｜知｜识 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 【典例1】若实数a，b满足，则函数y＝ax+b的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解答】解：∵实数a，b满足， ∴， ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0， 解得 a＝2，b＝3， ∴函数解析式为y＝2x+3， ∵k＝2＞0，b＝3＞0， ∴函数图象经过第一、二、三象限， ∴此函数图象不经过第四象限． 故选：D． 【变式1】一次函数y＝kx+b与y＝bx（k，b为常数，且kb≠0），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、∵正比例函数y＝bx的图象经过一、三象限， ∴b＞0， ∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于负半轴， ∴b＜0，两者矛盾，错误，不符合题意； B、∵正比例函数y＝bx的图象经过一、三象限， ∴b＞0， ∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0，两者一致，正确，符合题意； C、∵正比例函数y＝bx的图象经过二、四象限， ∴b＜0， ∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于正半轴， ∴b＞0，两者矛盾，错误，不符合题意； D、∵正比例函数y＝bx的图象经过二、四象限， ∴b＜0， ∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于正半轴， ∴b＞0，两者矛盾，错误，不符合题意， 故选：B． 【变式2】已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＞0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小， ∴k＜0， ∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限； ∵kb＞0， ∴b＜0， ∴图象与y轴的交点在x轴下方， ∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限． 故选：B． 【变式3】关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（　　） A．图象经过第一、二、三象限 B．图象与x轴交于点（0，1） C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＜0 【答案】A 【解答】解：由题意可得k＝1＞0，b＝1＞0， ∴图象经过第一、二、三象限，故A正确； 函数值y随自变量x的增大而增大，故C错误； 当y＝0，可得0＝x+1，解得x＝﹣1， ∴图象与x轴交于点（﹣1，0），故B错误； ∵函数值y随自变量x的增大而增大， ∴当x＞﹣1时，y＞0，故D错误， 故选：A． 题型4 正比例函数的性质 解｜题｜知｜识 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 【典例1】下列函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　） A．y＝2x+3 B．y＝﹣2+4x C．y＝﹣2x+1 D． 【答案】C 【解答】解：A、∵2＞0， ∴y的值随x的值增大而增大，故本选项错误； B、∵4＞0， ∴y的值随x的值增大而增大，故本选项错误； C、∵﹣2＜0， ∴y的值随x的值增大而减小，故本选项正确； D、∵0， ∴，y的值随x的值增大而增大，故本选项错误． 故选C． 【变式1】正比例函数y＝（m2+1）x的图象经过的象限是（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 【答案】A 【解答】解：∵m2≥0， ∴m2+1＞0， 而正比例函数y＝kx当k＞0时图象经过一、三象限， ∴正比例函数y＝（m2+1）x的图象经过一、三象限， 故选：A． 过 关 验 收 1．若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则函数y＝bx﹣k的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0， ∴b＞0，﹣k＞0， ∴一次函数y＝bx﹣k图象经过第一、二、三象限， 故选：B． 2．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b．例如：max{4，3}＝4，max{﹣6，2}＝2．若关于x的函数为y＝max{x+7，﹣x+3}，则该函数的最小值是（　　） A．﹣2 B．0 C．5 D．7 【答案】C 【解答】解：联立y＝x+7与y＝﹣x+3得， 解得， 当x≥﹣2时，x+7≥﹣x+3， ∴y＝max{x+7，﹣x+3}＝x+7≥﹣2+7＝5； 当x＜﹣2时，x+7＜﹣x+3， ∴y＝max{x+7，﹣x+3}＝﹣x+3＞﹣（﹣2）+3＝5； 综上可知，该函数的最小值是5， 故选：C． 3．已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：当a＞0，b＞0时， 一次函数y1＝ax+b的图象经过第一、二、三象限，一次函数2＝bx+a的图象经过第一、二、三象限，故选项C错误； 当a＞0，b＜0时， 一次函数y1＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，一次函数y2＝bx+a的图象经过第一、二、四象限，故选项A正确、选项B错误、选项D错误； 故选：A． 4．下列有关一次函数y＝﹣3x+6的说法中，错误的是（　　） A．y的值随着x的增大而减小 B．函数图象经过第一、二、四象限 C．函数图象与y轴交点坐标为（0，6） D．当x＞0时，y＞6 【答案】D 【解答】解：∵一次函数解析式为y＝﹣3x+6，k＝﹣3＜0，b＝6＞0， ∴y的值随着x的增大而减小，函数图象经过第一、二、四象限，函数图象与y轴交点坐标为（0，6）， ∴当x＞0时，y＜6， ∴四个选项中，只有D选项说法错误， 故选：D． 5．一次函数yx+3的图象如图所示，当﹣3＜y＜0时，x的取值范围是（　　） A．x＞4 B．0＜x＜2 C．0＜x＜4 D．2＜x＜4 【答案】D 【解答】解：∵﹣3＜y＜0，由图象可知符合条件的x的取值范围是2＜x＜4． 故选：D． 6．已知一次函数y＝﹣2x+3，当0≤x≤5时，函数y的最大值是 　3　 ． 【答案】3 【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+3中k＝﹣2＜0， ∴y的值随x的值增大而减小， ∴在0≤x≤5范围内， x＝0时，函数值y最大，此时y＝﹣2×0+3＝3． 故答案为：3． 7．点A（1，y1）、B（2，y2）在一次函数y＝3x+1的图象上，则y1　＜　 y2（用“＜”、“＝”或“＞”填空）． 【答案】＜． 【解答】解：∵k＝3＞0， ∴y随x的增大而增大， 又∵点A（1，y1）、B（2，y2）在一次函数y＝3x+1的图象上，且1＜2， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 4.3 一次函数的图像 内 容 导 航 题型1 一次函数的图象 题型2 正比例函数的图象 题型3 一次函数的性质 题型4 正比例函数的性质 考 点 演 练 题型1 一次函数的图象 解｜题｜知｜识 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 【典例1】已知点（k，b）为第一象限内的点，则一次函数y＝kx﹣b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式1】直线y1＝mx+n和y2＝nmx﹣n在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型2 正比例函数的图象 解｜题｜知｜识 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 【典例1】函数y＝bx与y＝ax+b（a≠0，b≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，请用“＞”表示a，b，c的不等关系 ． 题型3 一次函数的性质 解｜题｜知｜识 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 【典例1】若实数a，b满足，则函数y＝ax+b的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】一次函数y＝kx+b与y＝bx（k，b为常数，且kb≠0），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＞0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式3】关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（　　） A．图象经过第一、二、三象限 B．图象与x轴交于点（0，1） C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＜0 题型4 正比例函数的性质 解｜题｜知｜识 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 【典例1】下列函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　） A．y＝2x+3 B．y＝﹣2+4x C．y＝﹣2x+1 D． 【变式1】正比例函数y＝（m2+1）x的图象经过的象限是（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 过 关 验 收 1．若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则函数y＝bx﹣k的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b．例如：max{4，3}＝4，max{﹣6，2}＝2．若关于x的函数为y＝max{x+7，﹣x+3}，则该函数的最小值是（　　） A．﹣2 B．0 C．5 D．7 3．已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．下列有关一次函数y＝﹣3x+6的说法中，错误的是（　　） A．y的值随着x的增大而减小 B．函数图象经过第一、二、四象限 C．函数图象与y轴交点坐标为（0，6） D．当x＞0时，y＞6 5．一次函数yx+3的图象如图所示，当﹣3＜y＜0时，x的取值范围是（　　） A．x＞4 B．0＜x＜2 C．0＜x＜4 D．2＜x＜4 6．已知一次函数y＝﹣2x+3，当0≤x≤5时，函数y的最大值是 　 　 ． 7．点A（1，y1）、B（2，y2）在一次函数y＝3x+1的图象上，则y1　 y2（用“＜”、“＝”或“＞”填空）． 学科网（北京）股份有限公司 $