1.3《矩形的性质与判定》同步练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 《矩形的性质与判定》初中数学新授课同步练，以“基础认知-能力应用-综合拓展”分层设计，通过梯度题型深化从概念理解到动态探究的知识巩固路径，培养抽象能力、推理意识与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|矩形定义、性质与判定的直接应用|单选题考查判定条件（如“对角线相等的平行四边形是矩形”），填空题涉及直角三角形斜边中线等基础计算| |能力应用|性质与判定的综合运用及简单几何变换|填空题结合等腰三角形分类讨论（如矩形中PE为等腰三角形的多解问题），解答题证明菱形与矩形的转化（如第9题）| |综合拓展|动态几何与折叠问题的探究|解答题涉及矩形折叠中的变量关系（如第15题点P在射线BC上运动时的分类讨论），综合实践题融合空间观念与创新意识|

1.3《矩形的性质与判定》同步练习 一、单选题 1.如图，点E在矩形ABCD的边CB的延长线上，连接BD,AE,BD=EC,若∠E=75°，则 ∠DBC 的度数是() D B A.20° B.25° C.30° D.35° 2.如下图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是() A.当∠BAD=90°时，它是矩形 B.当AC=BD时，它是矩形 C.当OA=OB时，它是矩形 D.当AC⊥BD时，它是矩形 3.如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到，点B'的位置，AB'与CD交于点E, 若AB=8,AD=2,则图中阴影部分的周长为() ⊙ D E B A.20 B.18 C.14 D.10 4.图①是某可伸缩书架，其示意图如图②所示，连杆 AG=GC=CI=E=BF=BH=HD=DW=25cm,连杆的交点M为C, AG,BF中点，N为， GCBH中 点，P为CI,HD中点，Q为IE,DJ中点，当AF的长由l5cm缩短至7Cm时，书架两侧的挡板 AF与 E ”之间的距离() B 图① 图② A.伸长了8cmB.伸长了16cmC.伸长了80cm D.伸长了96cm 二、填空题 5.已知直角三角形两边长为1和5，则此直角三角形斜边上的中线长是 6.如图，在矩形ABCD中，AB=2,对角线AC和BD相交于点O,AE⊥BD于点E.若 BE:ED=1: ,则矩形MBCD的面积为 7.在矩形ABCD中，AB=3,BC=6,点E在BC边上，BE=1,点P在AD边上，若△AEP是等腰 三角形，则DP的长为. 8.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=3,BC=9,点E、F分别在AD、BC边上，将纸片 ABCD 沿直线F折叠，点C落在D上的一点H处，点D落在点F处. C G H --1D (1)GH= (2)当点A与点H重合时，EF= 三、解答题 9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,延长BC至点E,使得CE=BC,连接 DE A D B (1)尺规作图：作边DE的中点F,并分别连接CF,OF(不写作法，保留作图痕迹)： (2)求证：四边形OCFD是矩形； (3)若∠BCD=120°，OF=4,求菱形ABCD的面积. 10.如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作直线EF⊥AC交AD于点E,交 于点F,连 BC CE AF B D ○ (1)请你判断四边形AFCE的形状，并说明理由； (2)若∠EAC=30°，AE=4,求四边形AFCE的面积. 11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE∥OC,且DE=OC,连 接CE. A (1)求证：四边形CODE是矩形； (2)若AB=5,AC=6，求四边形CODE的周长. 12.如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，DF⊥BC,垂足为F,点G在DE的延 长线上，DG=FC. E (1)求证：四边形DFCG是矩形； (2)若AB=10,CG=3,DE=5.5,求四边形DFCG的面积. 13.如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O, E D p 图1 图2 图3 (1)若AB=2,BC=3,求BD的长； (2)如图2，延长CB至点G,使CG=AC,取AG的中点H,连接BH、DH,请判断BH与DH 位置关系，并说明理由； (3)如图3，点E、点F分别是BD的延长线和反向延长线上的点，且DE=BF,连接CE、CF, 在CF上取点N使得∠CNE=3O°，在CE上取点M使得EN=FM,EN、FM相交于点P,已知 CE=5,CF=6,求PE-PF的值. 14.如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且DE‖AC、CE∥BD,连接OE. G D M B B C 图1 图2 图3 (1)求证：CD与OE互相垂直且平分； (2)如图2，若取AD的中点M,连接ME交CD于点N,求证：MN=WE; (3)如图3，过点E作射线分别交CD,BA的延长线于点F,G,连接DG,△DEF的面积为2， 求△DFG的面积. 15.综合与实践 备用图 备用图 【问题情境】在数学活动课上，老师和同学们以矩形纸片的折叠为背景开展几何探究，在矩 形纸片ABCD中，AD>AB,点E是射线BC边上一动点，连接AE,将△ABE沿AE折叠得到 △MME,并展开铺平如图1. 【操作探究】 (I)如图2，若点M落在矩形内部，过点M作MF∥BE交AE于F,连接BF,请判断四边形 BEMF 的形状，并说明理由， (2)如图3，若点E为BC的三等分点，点M落在矩形内部，再取EC的中点N,连接NM并延 长交AD边于点G，判断AG与DG的数量关系，并说明理由. (3)若AB=6,BC=10,在翻折过程中，当点M落在直线DE上时，请直接写出BE的长. 参考答案 一、单选题 1.C 解：连接AC交BD于点O, E B ,四边形ABCD是矩形， ∴4C-D.01=c=4C,0B=0n-D, ∴OB=OC, ..BD=EC, ∴AC=EC, ∴.∠CAE=∠E=75°， .∠ACB=180°-2×75°=30°， ..OB=OC, .∠DBC=∠ACB=30°. 2.D 解：A选项，：平行四边形ABCD,∠BAD=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，A选项正确，不符合题意； B选项，平行四边形ABCD,AC=BD, ∴.平行四边形ABCD是矩形，B选项正确，不符合题意； C选项，：平行四边形ABCD中， :.0A=OC=AC OB=OD=IBD 2 .OA=OB, ∴.AC=BD, ∴.平行四边形ABCD是矩形，C选项正确，不符合题意； D选项，当 AC⊥BD ABCD 时，平行四边形心是菱形，不一定是矩形，结论错误，D选项符合题 意. 3.A .四边形ABCD为矩形， .B'C=BC=AD=2,AB=DC=8, 由翻折可得AB'=AB=8, .阴影部分的周长为 AD+DE+EA+EB'+B'C+EC=AD+DC+AB'+B'C=2+8+8+2=20 4.B 解：连接AB,FG,BG, B 图② ,点M为AG,BF中点，AG=BF=25cm, .四边形ABGF是矩形， ∴.AF=BG,∠BAF=90° 当4F=BG=15cm时，AB=VBF-AF=V2S2-15=20cm. 当4F=BG=7cm时，B=VBF-AF=V252-7=24cm, .∴当AF的长由15cm缩短至7cm时，AF与BG之间的距离AB的长度伸长24-20=4cm, 同理，当AF的长由15cm缩短至7cm时，BC,CD,DE各伸长24-20=4cm, ∴.当AF的长由l5cm缩短至7cm时，书架两侧的挡板AF与EJ之间的距离4×4=l6cm. 二、填空题 √5 5.2或1 解：分两种情况讨论： 情况1：当1和V3均为直角边时， 由勾殷定理得，斜边长为V+(⑤=+3=2， “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， :斜边上的中线长为2×2=1； 情况2：当3为斜边，1为直角边时， “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 2*3=3 1 斜边上的中线长为2 2. 3 综上所述，此直角三角形斜边上的中线长是1或2. 6.4v5 解：：四边形ABCD是矩形， ∠BAD=90, 0A=OB=OD=1BD 2 ,BE:ED=1:3 产设BE=,则ED=3x,BD=BE+BD=4, ∴.OB=OD=-BD=2x 21 ..OE=OB-BE=2x-x=x .BE=OE .·AE L BD :.AE OB 垂直平分 .AB=AO .OA=OB .AB=AO=OB ∴.△ABO 是等边三角形， ∴.OB=AB=2 3 .∴.BD=2OB=4 在R△MBD中，由勾股定理得：AD=VBD-AB=V4-2=25 矩形1BCD的面积4B.D=2x25=45 7.1或4或6-V10 解：在矩形ABCD中，AB=3,AD=BC=6,∠B=∠BAD=∠C=∠D=90°， ①当AE=PE时，如图，过点E作EF⊥AD于点F, D 则AF=PF,四边形ABEF是矩形， ∴.AF=BE=1, ∴.AF=PF=1 .AP=2 .AD=6 .DP=AD-AP=4 ②当AE=AP时，如图， 0 B E AB=3,BE=1 .AE=√AB2+BE2=V10 :DP=AD-AP=6-10 ③当AP=EP时，如图，过点P作PG⊥BC于点G,设DP=x, P D B E G 则四边形CDPG是矩形， ∴.GC=DP=x,PG=CD=3 .EG=6-1-x=5-x,AP=6-x ∴EP=AP=6-x 在RtPEG中，由勾股定理可得3+(5-)=(6-】 解得x=1 综上可知DP的长为1或4或6-V10, 8. 3 V10 解：(1)由折叠的性质可知，四边形CDEF与GHEF关于直线EF对称， ..GH=CD, ,四边形ABCD是矩形， .'CD=AB=3, ∴.GH=3, (2)当点A和点H重合时，即点C落在点A处，由折叠的性质可知，AF=CF,AE=CE, 设BF=x,则CF=BC-BF=9-x, ..AF=9-x, 在Rt△ABF中，由勾股定理可得，AB2+BF2=AF2, 即+r=9-可，解得4， 即BF=4, 设AE=y,则DE=AD-AE=9-y, ..CE=y, 在Rt△CDE中，由勾股定理可得，CD+DE2=CE2, 即3+9-=少，解得=5，即E=5, 过点E作EM⊥BC于点M, G (H)A E D M ,四边形ABCD是矩形， ∴.四边形ABME是矩形， .'EM=AB=3,BM=AE=5, ∴.MF=BM-BF=5-4=1, 在RtEMF中，EF=VEM+MF=V3+P=i0 三、解答题 9.(1)如图所示，点F及线段CF,OF即为所求. O B E (2)证明：在△BDE中，CE=BC,点F为DE的中点， ∴CF∥BD, CF-BD BCD “四边形 是菱形， 0D=2BD,∠C0D=90 1 ∴.CF=OD 又CF∥OD, 四边形 CFD 为平行四边形. .∠COD=90° ∴.OCFD 是矩形. (3)解：四边形OCFD是矩形， ∴.CD=OF=4 “四边形 ABCD 是菱形， ∴.BC=CD=4 :∠BCD=120° .∠DCE=180°-∠BCD=60° 如图，作DG⊥BE于点G. A D ⊙ E tADCG中， ∠CDG=90°-∠DCG=30° 在 :.CG=-CD=2 2 :.DG=VCD2-CG2=V42-22=25 一.S菱形HBcD=BC·DG=4×2V3=8V3 10.(1)解：四边形AFCE是菱形.理由如下： “四边形1BCD 矩形， .AD∥BC '.LAE0=∠CF0,∠EAO=∠FCO. .O▣AC 是心的中点， ∴.OA=OC ∴.△AOE≌△COF(AAS) .AE=CF 四边形4rC 是平行四边形. .EF⊥AC 小平行四边形 FCE 是菱形. (2)解：四边形AFCE是菱形， ∴EF=20E,AC=20A, 又AC⊥EF,∠EAC=30°， 0-=4E=2, ∴EF=4, 在R△10E中，由勾股定理得O1=VAE-OE=25, .AC=43. :Sum号4c-gr-x45x4=85, 11.(1)证明：DE∥OC,DE=OC, ∴.四边形CODE是平行四边形， ,在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, .AC⊥BD,即∠COD=90°， .平行四边形CODE是矩形； (2)解：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, 六AC1BD,即∠COD=90,CD=AB=5,0C=)AC=3, .0D=VCD2-0C2=4, ,四边形CODE是矩形， 四边形CODE的周长 2(0C+0D)=14 12.(1)证明：.D,E分别为AB,AC的中点， .DE∥BC, ..DG=FC, .四边形DFCG是平行四边形， ,DF⊥BC, ∴.四边形DFCG是矩形. (2)解：D为AB的中点，AB=10, BD-14B=5 2 ,四边形DFCG是矩形，CG=3, ∴.DF=CG=3, :.BF=VBD2-DF2=V52-32=4 .DE是△ABC的中位线，DE=5.5, ∴.BC=2DE=11, .CF=BC-BF=11-4=7, ∴.四边形DFCG的面积为CF.CG=7×3=21, 13.(1)解：，四边形ABCD是矩形， ∴.AC=BD,∠ABC=90°， AB=2,BC=3, BD-AC=BC+AB23 (2)证明：BH⊥DH,理由如下： 延长DA与BH的延长线交于点Q,如图， D H ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABG=90°，A0∥BG,AD=BC, .∠QAH=∠BGH ,点H为线段AG的中点， 1 AH=GH=BH=号AG ,·∠AHQ=∠GHB :.△MH0≌AGHB(ASA) ..AQ=GB,HO=HB, ..AD+AQ=GB+BC ..DO=GC, CG=AC,AC=BD, .DO=BD. 则BH⊥DH; (3)解：连接AF、AE,如图， B ,四边形ABCD是矩形， .∠ABD=∠CDB,AB=CD ∴.∠ABF=∠CDE, DE BF, :△1 BFCDE(SaS) ∴.∠AFB=∠CED,AF=CE, 则AF IICE ∴.四边形AFCE为平行四边形， ∴.AE∥FC, 过点A作AS⊥FM交FM于点S,过点A作AT⊥NE交NE于点T,连接AP,AN,AM,如图， 300 300 .AE∥FC, 1 AFI‖ICE 1 ·Sw=Se-2S。AcE, S=Se,即PMAS=NAr, .EN FM, .AS=AT, .∠ASP=∠ATP=90°，AP=AP, :△SP2ATP(HL) .SP=TP,AS=AT. .'AE∥FC,∠CNE=30°， ∴.∠AEN=∠CNE=30°， CF=6,AE=FC, ∴.AS=AT=3,ET=3V5, .CE=5,AF=EC, .FS=4, .PE=PT+TE,PF=PS+FS, PE-PF-PT+TE-(PS+FS) =PT+TE-PS-ES =TE-FS =35-4 14.(1)证明：.DE‖AC、CE∥BD, .四边形OCED是平行四边形， ,矩形ABCD, OC-TAC=IBD=OD 21 2 ∴.平行四边形OCED是菱形， ,CD、OE是菱形OCED的两条对角线， .CD与OE互相垂直且平分；， (2)证明：设CD与OE交于点P, M D C 可知PE-OE,OE1CD,OP=EP ,矩形ABCD, .AD⊥CD, ∴.AD∥PE, ∴.∠DMN=∠PEN, ,M是AD中点， MD-1AD 2 ,P是CD中点，O是CA中点， 即EP=}AD 2 ∴.MD=EP, ,∠MDN=∠EPN=90°， △MDN≌△EPN(ASA) 。。 .MIN =NE; (3)解：如图，设DF=m, ,矩形ABCD, .AG∥DF, ∴.直线AG到直线CD的距离等于矩形的水平边长AD, 1 :OE⊥CD,EP=2AD 1 AD_mAD=2 SDer=号m. 2 24 即m·AD=8, 5咖分mA0 1 2*8=4 15.(1)四边形BEMF是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知：∠AEB=∠AEM,EB=EM, .MF∥BE, ∴.∠MFE=∠AEB=∠AEM, ∴.MF=ME=BE, ∴.四边形BEMF是平行四边形， ..EB=EM, ∴.四边形BEMF是菱形； (2)4G=DG,理由如下： 2 :点E为BC的三等分点， BE-EC .取EC的中点N, :EN=CN=EC=BE、 2 由折叠的性质可知：∠AEB=∠AEM,EB=EM ∴.EM=EN, .∠EMN=∠ENM, .'∠BEM=∠AEB+∠AEM=∠ENM+∠EMN, ∴.∠AEM=∠EMN, .AE∥GN, ,四边形ABCD是矩形， .AD=BC,AD∥BC ∴四边形AENG是平行四边形， ∴.AG=EN, EN-1BC-1AD 1 3 3 .AG=号AD 1 3 2 (3)解：由题意可分：当点M落在矩形内部，如图所示： D M 四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=10, ∴.AD=BC=10,AD∥BC,∠B=90° ∴.∠AEB=∠DAE, 由折叠的性质可知：∠AEB=∠AEM,EB=EM,∠B=∠AME=90°，AM=AB=6, ∴.∠DAE=∠AEM,∠AMD=90° DE-AD=10,DM-VAD-AME-8 ∴.ME=ED-DM=2=BE; 当点M落在矩形外部，如图所示： M D A ,四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=10, .AB=CD=6,AD=BC=10,AD∥BC,∠B=∠BCD=90° ∴.∠AEB=∠DAE,∠DCE=90°， 由折叠的性质可知：∠AEB=∠AEM, ∴.∠DAE=∠AEM, ∴.DE=AD=10, CE=DE2-DC2=8 .'BE=BC+CE=18.