25.3 实际问题与一元二次方程 讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦初中数学“实际问题与一元二次方程”核心知识点，系统梳理传播问题、平均变化率问题、几何图形面积问题的数量关系，构建“审题、设未知数、列方程、解方程、检验、答”六步解题流程作为学习支架，帮助学生从分析实际情境到建立方程模型。 资料选取流感传播、营业额增长等生活实例设计例题与试题，培养学生用数学眼光观察现实世界。解题中强调根的检验，体现数学思维的推理意识，通过建立方程模型提升数学语言的模型意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生自主练习、查漏补缺。

25.3 实际问题与一元二次方程 课节学习目标 1. 会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程. 2. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. 3. 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 课节知识点解读 知识点1. 实际问题与一元二次方程 1. 传播问题数量关系： 2. 平均变化率问题数量关系： 3. 几何图形面积问题数量关系： 知识点2.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤 第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。 第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。 第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。 第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。 第6步：答。 温馨提醒：解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解. 课节知识点例题讲析 【例题1】有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则x满足的方程是（　　） A．（1+x）2＝242 B．（2+x）2＝242 C．2（1+x）2＝242 D．（1+2x）2＝242 【例题2】某企业通过改革，生产效率得到了很大的提高，该企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3390万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程 是（　　） A．1000（1+x）2＝3390 B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3390 C．1000（1+2x）＝3390 D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3390 【例题3】如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 深化对课节知识点理解的试题专炼 1．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A．x(x+1)=1035 B．x(x-1)=1035 C．x(x+1)=1035 D．x(x-1)=1035 2.学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场.若共赛了场，则有几个球队参赛？设有个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D．5 3．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2023年至2025年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2023年至2025年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．5000（1+2x）＝7500 B．5000×2（1+x）＝7500 C．5000（1+x）2＝7500 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500 4．哈尔滨市南岗区中学校组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间比赛一场），计划一共安排21场比赛，设总共x个学校参加比赛，列方程为　 　． 5.某呼吸机制造商2026年一月份生产呼吸机1000台，2026年三月份生产呼吸机4000台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意，可列方程为　 　． 6．某楼盘2023年初房价为每平方米20000元，经过两年连续降价后，2025年初房价为16200元．设该楼盘这两年房价年平均降低的百分率为x，根据题意可列方程为　 　． 7.长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________． 8.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了________元。 9. 某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 10. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2023年投入资金1000万元，2025年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2025年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2026年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2026年最多可以改造多少个老旧小区？ 25.3 实际问题与一元二次方程 课节学习目标 1. 会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程. 2. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. 3. 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 课节知识点解读 知识点1. 实际问题与一元二次方程 1. 传播问题数量关系： 2. 平均变化率问题数量关系： 3. 几何图形面积问题数量关系： 知识点2.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤 第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。 第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。 第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。 第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。 第6步：答。 温馨提醒：解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解. 课节知识点例题讲析 【例题1】有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则x满足的方程是（　　） A．（1+x）2＝242 B．（2+x）2＝242 C．2（1+x）2＝242 D．（1+2x）2＝242 【答案】C 【解析】根据经过两轮传染后患病的人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 依题意得：2（1+x）2＝242． 【例题2】某企业通过改革，生产效率得到了很大的提高，该企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3390万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程 是（　　） A．1000（1+x）2＝3390 B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3390 C．1000（1+2x）＝3390 D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3390 【答案】B. 【解析】月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3390万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元， 依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3390． 【例题3】如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 【答案】A. 【解析】设修建的路宽应为米． 根据题意，得：， 整理，得：， 因式分解得，， 解得，. ∵不合题意，舍去．∴. ∴则修建的路宽应为1米.故选A. 深化对课节知识点理解的试题专炼 1．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A．x(x+1)=1035 B．x(x-1)=1035 C．x(x+1)=1035 D．x(x-1)=1035 【答案】B 【解析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程． ∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x-1）=1035． 2.学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场.若共赛了场，则有几个球队参赛？设有个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D．5 【答案】D 【解析】设有x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x−1）场球，第二个球队和其他球队打（x−2）场，以此类推可以知道共打（1＋2＋3＋…＋x−1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解． 设有x个球队参加比赛， 依题意得1＋2＋3＋…＋x−1＝15， 即 5 3．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2023年至2025年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2023年至2025年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．5000（1+2x）＝7500 B．5000×2（1+x）＝7500 C．5000（1+x）2＝7500 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500 【答案】C. 【解析】根据题意可得等量关系：2023年的快递业务量×（1+增长率）2＝2025年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可． 设我国2023年至2025年快递业务收入的年平均增长率为x， 由题意得：5000（1+x）2＝7500 4．哈尔滨市南岗区中学校组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间比赛一场），计划一共安排21场比赛，设总共x个学校参加比赛，列方程为　 　． 【答案】x（x﹣1）＝21． 【分析】根据赛制为单循环形式且共安排了21场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】依题意，得：x（x﹣1）＝21． 5．某呼吸机制造商2026年一月份生产呼吸机1000台，2026年三月份生产呼吸机4000台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意，可列方程为　 　． 【答案】1000（1+x）2＝4000． 【解析】由该呼吸机制造商2020年一月份及三月份生产呼吸机的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 依题意，得：1000（1+x）2＝4000． 6．某楼盘2023年初房价为每平方米20000元，经过两年连续降价后，2025年初房价为16200元．设该楼盘这两年房价年平均降低的百分率为x，根据题意可列方程为　 　． 【答案】 20000（1﹣x）2＝16200． 【解析】根据题意可以列出相应的二元一次方程，本题得以解决． 由题意可得， 20000（1﹣x）2＝16200 7.长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________． 【答案】32cm. 【解析】设长方形铁片的宽是cm，则长是cm． 根据题意，得：， 解得，. ∵不合题意，舍去．∴.∴长方形铁片的长是10cm，宽是6cm，则它的周长为32cm. 8.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了________元。 【答案】700元. 【解析】设此长方体箱子的底面宽是米，则长是米． 根据题意，得：， 整理，得：， 因式分解得，， 解得，. ∵不合题意，舍去．∴. ∴此矩形铁皮的面积是（平方米）， ∴购回这张矩形铁皮共化了（元）. 答：张大叔购回这张矩形铁皮共化了700元. 9. 某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 【答案】每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会超过700台. 【解析】设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． 则依题意得： 整理,得： 解得:(不合题意舍去). ∴=8. 3轮感染后,被感染的电脑有. 10. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2023年投入资金1000万元，2025年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2025年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2026年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2026年最多可以改造多少个老旧小区？ 【答案】（1）20% （2）18个 【解析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为， 根据题意得：， 解这个方程得，，， 经检验，符合本题要求． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． （2）设该市在2026年可以改造个老旧小区， 由题意得：， 解得． ∵为正整数，∴最多可以改造18个小区． 答：该市2026年最多可以改造18个老旧小区． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $