第三章《图形的相似》单元测试 2026～2027学年北师大版九年级上册数学

**基本信息** 2026~2027学年九年级上册数学北师大版《图形的相似》单元卷，覆盖相似三角形判定与性质、位似变换、黄金分割等核心知识，通过基础辨析、网格作图、动态规律探究等题型，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|比例性质、相似多边形性质、位似中心判断|结合网格（第7题）考查位似位置，融入黄金分割历史情境（第9题）| |填空题|5|等比性质、相似比与函数、位似坐标变换|以书法格线（第13题）为背景，体现应用意识| |解答题|8|相似判定证明、位似作图、动态规律探究|分层设计（第22题分基础巩固/应用/拓展），结合函数与几何（第21题），培养模型意识与推理能力|

2026~2027学年九年级上册数学北师大版第三章《图形的相似》单元测试 一．选择题（共10小题） 1．若2m＝3n，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，则B'C'的长度x和角β的大小分别是（　　） A．x＝2，β＝78° B．x＝2，β＝88° C．x＝4.5，β＝78° D．x＝4.5，β＝88° 3．如图，已知△ADE∽△ABC，若AD：AB＝1：2，则DE：BC＝（　　） A．1： B．1：2 C．2：3 D．1：4 4．如图，已知△ABC，∠B＝α，AB＝8，BC＝10．将△ABC沿图中的DE剪开，则剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，直线AB∥CD∥EF，若CE＝4，AE＝7，则的值是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC于点M，交AB于点N；②以点C为圆心，以BN长为半径作弧，交AC于点O；③以点O为圆心，以MN长为半径作弧，在∠ACB内部交前面的弧于点P；④过点P作射线CP交AB于点D．若AC＝6，AD＝4，则BD的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．9 7．如图是6×9的网格，其中每个小正方形的边长均为1．△ABC与△A′B′C′是一对位似三角形，且点B和点B′是对应点，现给出了点A和点C的位置，则点B的位置（　　） A．有2个，一个在网格中，一个在网格外 B．有且只有1个，在网格外 C．有2个，均在网格中 D．没有在网格中的 8．如图，在边长为1的小正方形网格中，AB，CD相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，C△AOC为△AOC的周长，C△BOD为△BOD的周长，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，在EA的延长线上取点F，使EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此规律作下去，则边AC2026的长为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．已知，且b+d+f≠0，则＝ 　 　 ． 12．如图，已知△ABC∽△DEF，且相似比为k，那么直线y＝kx﹣k的图象必定经过　 　 象限． 13．如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上，若线段BC＝12cm，则线段AB的长为　 　 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（1，3），（4，3），以原点O为位似中心将△OAB进行放缩．若放缩后点A的对应点的坐标为（2，6），则点B的对应点的坐标为 　 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，点E为直角边AC的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F．若CD＝8，AC＝10，DF＝4，则FB的长度为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．如果，求2x：（y﹣3z）的比值． 17．如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，求证：△AEC∽△EDB． 18．图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点A，B，C均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍； （2）在图②中，在线段BC上作点D，使得CD＝3BD； （3）在图③中，作△BEF∽△BAC，且相似比为3：4． 19．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，连接DE，且DE∥AB，点F在DC上，且． （1）求证：； （2）若CF＝4，DF＝8，，求证：△DCE∽△ACD． 20．阅读以下材料，并解答后面的问题． 黄金三角形的概念和性质 定义：顶角为36°的等腰三角形叫作黄金三角形． 性质：黄金三角形的底边与腰的比等于． 如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交AC于点D． （1）求证：△BCD为黄金三角形； （2）若AC＝4，求DC的长．（结果保留根号） 21．综合与实践：在学习了函数后，某数学学习小组进行了拓展性探究． 【问题情境】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P在AC边上运动（不与A，C重合），点E在射线AB上运动，且满足S△APE＝3，过点P作PF∥AB交BC于点F． 【问题探究】（1）学习小组发现：当AP的长度变化时，AE的长度和PF的长度会随之改变，并且AE，PF的长度可以表示为AP长度的函数．设AP＝x，AE＝y1，PF＝y2．请直接写出y1，y2关于x的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围； 【问题解决】（2）请在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象；结合函数图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 22．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BC＝CD，求证：BC2＝BD•AB； 【尝试应用】（2）如图2，在△AEC中，∠E＝90°，D为AE边上一点，若∠A＝2∠ECD，ED•AC＝5，求CD； 【拓展提高】（3）如图3，四边形ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD＝DC＝2，tanB＝2，点F是边DA延长线上一点，连接CF交边AB于点M，过点C作∠FCE＝∠B交射线BA于点E，设AM＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式． 23．问题发现：（1）如图1，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．D为BC的中点，以CD为直角边，在BC下方作等腰直角△CDE，其中∠CDE＝90°．以BD为直角边，在BC上方作等腰直角△BDG，其中∠BDG＝90°，AE与BG交于点F．求证：AF＝EF． 类比探究：（2）如图2，若将△CDE绕点C顺时针旋转90°，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； 拓展延伸：（3）如图3，在（2）的条件下，再将等腰直角△CDE沿直线BC向右平移k个单位长度，得到△C′D'E'，若AB＝a，试求的值．（用含k，a的式子表示） 2026~2027学年九年级上册数学北师大版第三章《图形的相似》单元测试参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：A．由已知可得＝，故本选项不符合题意； B.＝＝＝，故本选项不符合题意； C.＝+＝+1＝，故本选项符合题意； D.不一定等于，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴∠D＝∠D′＝95°，∠C＝∠C′＝110°，＝， ∴∠β＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠D＝88°，＝， 解得：B′C′＝4.5， 故选：D． 3．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：2， ∴． 故选：B． 4．【解答】解：A、由∠CED＝∠B，∠DCE＝∠ACB，判定阴影三角形与△ABC相似，故A不符合题意； B、AD：AE＝AB：BC＝4：5，但对应成比例的两边的夹角不一定相等，不能判定阴影三角形与△ABC相似，故B符合题意； C、求出BD＝5，BE＝4，得到BD：BE＝BC：AB＝5：4，又∠DBE＝∠ABC，判定阴影三角形与△ABC相似，故C不符合题意； D、由∠CDE＝∠B，∠DCE＝∠BCA，判定阴影三角形与△ABC相似，故D不符合题意． 故选：B． 5．【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴． 故选：A． 6．【解答】解：由尺规作图的痕迹知∠ACD＝∠B． ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴． ∵AC＝6，AD＝4， ∴， ∴AB＝9， ∴BD＝AB﹣AD＝5， 故选：B． 7．【解答】解：画出△ABC如图， 由图可得C选项符合题意，其他选项不符合题意， 故选：C． 8．【解答】解：∵AC∥BD， ∴△AOC∽△BOD， ∴， 故选：A． 9．【解答】解：设AB＝AD＝CD＝2a， ∵E是AD的中点， ∴AE＝ED＝a， ∴， ∵EF＝BE， ∴， ∴， 由题意可得：∠AHG＝∠AHI＝90°，， ∴，满足黄金分割定义， ∴点H是线段AB的黄金分割点； ∵∠AHI＝∠DAB＝∠D＝90°， ∴四边形AHID是矩形， ∴， ∴，满足黄金分割定义， ∴点I是线段DC的黄金分割点； ∵F、A、E、D在同一直线上， ∴， ∵AD2＝（2a）2＝4a2，， ∴AD2＝FD•AF，满足黄金分割定义， ∴点A是线段FD的黄金分割点； ∵E是AD的中点， ∴E不是AD的黄金分割点， ∵，ED＝a，， ∴FE2＝5a2，， ∴FE2≠FD•ED， ∴E不是FD的黄金分割点， 综上所述，点A、H、I是黄金分割点，共3个． 故选：B． 10．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD⊥DC， ∴AC＝＝＝， ∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形ACC1B1， ∴矩形ACC1B1的边长和矩形ABCD的相似比为：2， ∴矩形ACC1B1的对角线和矩形ABCD的对角线的比：2， ∵矩形ABCD的对角线为， ∴矩形ACC1B1的对角线AC1＝×＝， 依此类推，矩形AC1C2B2的对角线和矩形ACC1B1的对角线的比为：：2， ∴矩形AC1C2B2对角线AC2＝×（）2， ∴矩形AC2C3B3的对角线AC3＝×（）3， 按此规律第n个矩形的对角线A∁n＝×（）n， ∴AC2026＝×（）2026． 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：∵＝＝＝， ∴a＝b，c＝d，e＝f， ∴＝＝． 故答案为：． 12．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，其相似比为k， ∴， ∴直线y＝kx﹣k的解析式为， ∴直线y＝kx﹣k的图象必定经过一、三、四象限． 故答案为：一、三、四． 13．【解答】解：由题意AB：BC＝2：4， ∵BC＝12cm， ∴AB＝6cm． 故答案为：6cm． 14．【解答】解：∵△OAB的顶点A的坐标为（1，3），以原点O为位似中心将△OAB进行放缩，放缩后点A的对应点的坐标为（2，6）， ∴以原点O为位似中心将△OAB进行放大2倍， ∵点B的坐标为（4，3）， ∴点B的对应点的坐标为（4×2，3×2），即（8，6）， 故答案为：（8，6）． 15．【解答】解：在直角三角形ACD中，AD⊥BC，AC＝10，CD＝8， 由勾股定理得：， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∵∠CAD+∠ACD＝90°， ∴∠BAD＝∠ACD， ∵∠ADB＝∠ADC， ∴△ADC∽△BDA， ∴，即， 解得：， ∴， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∵E为AC中点， ∴EC＝ED＝EA＝5， ∴EF＝ED+DF＝5+4＝9， 在直角三角形AEF中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 16．【解答】解：由题意得， 设，则x＝3k，y+z＝4k，z+x＝5k， ∴z＝2k，y＝2k， ∴． 17．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠EDB+∠BED＝120°，∠CAE+∠AEC＝120° ∵∠AED＝60°， ∴∠BED+∠AEC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BED＝∠CAE， ∴△AEC∽△EDB． 18．【解答】解：（1）如图①，△A'B'C即为所求． （2）如图②，取格点M，N，使，连接MN交BC于点D， 可知△BDM∽△CDN， ∴， ∴CD＝3BD， 则点D即为所求． （3）∵△BEF∽△BAC，且相似比为3：4， ∴， 如图③，△BEF即为所求． 19．【解答】证明：（1）∵DE∥AB， ∴， ∵， ∴； （2）∵点F在DC上，CF＝4，DF＝8， ∴， ∵AC＝CE+AE， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵∠C＝∠C， ∴△DCE∽△ACD． 20．【解答】（1）证明：由作图可知，BP平分∠ABC， ∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∴∠BCD＝∠ABC＝36°， ∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴BC＝BD， ∴△BCD是顶角为36°的等腰三角形， ∴△BCD为黄金三角形； （2）解：∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴△ABC是黄金三角形， ∴． ∵AC＝4， ∴BC＝． ∵△BCD为黄金三角形， ∴， ∴CD＝． 21．【解答】解：（1）对于y1：∵∠A＝90°，AP＝x，AE＝y1，S△APE＝3， ∴， 整理得， ∵点P在AC上不与A，C重合，AC＝8， ∴自变量范围：0＜x＜8； 对于y2：∵PF∥AB， ∴△CPF∽△CAB， ∴， ∵CP＝AC﹣AP＝8﹣x，AB＝6，AC＝8， ∴， 整理得，自变量范围：0＜x＜8； 综上，；； （2） 根据函数图象可得，y1＜y2时，1.2＜x＜6.8． 22．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，BC＝CD， ∴∠B＝∠ACB，∠B＝∠BDC． ∴△ABC∽△CBD， ∴， ∴BC2＝BD•AB． （2）如图，延长AE，使EF＝DE，连接CF，根据等腰三角形的性质，CD＝CF，∠DCF＝2∠DCE． ∵∠CFD＝∠AFC，∠A＝∠DCF． ∴△CFD∽△AFC， ∴AC＝AF． 同理（1）可得CD2＝CF2＝EF•AF＝ED•AC＝5． ∴CD＝． （3）过点C作BE的垂线，垂足为G．易知四边形ADCG为正方形，则AG＝CG＝2． 由tanB＝＝2，BG＝1，AB＝BG+AG＝3． ∵∠MCE＝∠CBE，∠MEC＝∠CEB， ∴△MCE∽△CBE， 同理（1）可得CE2＝ME•BE＝（x+y）（3+y）， 在Rt△CGE中，CE2＝CG2+EG2＝4+（3+y）2． ∴（x+y）（3+y）＝4+（3+y）2． 整理得：y＝． 23．【解答】（1）证明：由题意可得点E、D、G三点共线，且EG＝BC＝AB，AB∥EG， ∴∠BAE＝∠AEG， ∵∠AFB＝∠EFG， ∴△ABF≌△EGF（AAS）， ∴AF＝EF； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图2，连接EG，BE， 由题意得，BD＝GD，DE＝DC，∠BDG＝∠CDE＝90°，点E为AC的中点， ∴∠BDG﹣∠BDE＝∠CDE﹣∠BDE， ∴∠GDE＝∠BDC， ∴△DEG≌△DCB（SAS）， ∴GE＝BC，∠DBC＝∠DGE， ∴AB＝BC＝EG， 又∵∠ABF＝45°﹣∠DBC＝45°﹣∠DGE＝∠EGF，∠AFB＝∠EFG， ∴△ABF≌△EGF（AAS）， ∴AF＝EF； （3）解：由题意得，BC＝AB＝a，CC'＝k， 则BC'＝k+a， 如图3，连接E'G， 由（2）同理得△BC'D'≌△GE'D'， ∴GE'＝BC'，∠D'BC'＝∠D'GE'， 又∵∠ABF＝45°﹣∠D'BC'＝45°﹣∠D'GE'＝∠E'GF，∠AFB＝∠E'FG， ∴△ABF∽△E'GF， ∴． 数学 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $