第三章《 图形的相似》单元巩固卷 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版数学九上《图形的相似》单元巩固卷，聚焦相似三角形、位似变换等核心知识，融合墨子小孔成像（文化传承）、测量河宽（生活应用）等情境，适配单元复习，培养几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中位线性质、位似坐标、平行线分线段成比例|基础题占比60%，如第1题三角形中位线面积比，第3题平行线分线段成比例| |填空题|6/18|相似比计算、实际测量（大树高度）、正方形综合|中档题为主，第13题结合测量情境，第15题正方形中相似三角形面积计算| |解答题|8/72|作图（旋转与位似）、证明（相似判定）、动态综合（旋转问题）|分层设计，第20题《海岛算经》测河宽（应用意识），第24题旋转综合（推理能力与创新意识）|

第三章《 图形的相似》巩固卷-北师大版数学九上单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1． 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连结DE、EF、DF，若S△DEF＝1、则S△ABC ＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验.图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔 P，物体AB在幕布上形成倒立的实像A'B'(点A，B的对应点分别是A'， B')，且AB⊥A'B， A'B'⊥A'B，若AB＝10cm， P到A'B的距离PQ＝6cm，则A'B'长为（　　） A．12cm B．13.5cm C．15cm D．18cm 3．如图，直线l1∥l2∥l3分别交直线l4，l5于点A，B，C，D，E，F，已知AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长是（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．6 4．如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 5．如图，五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为 3 ，则的长为（　　） A． B．4 C． D．5 6． 如图， △ABC三个顶点的坐标分别为A （-2， 2) ， B（-4，1) ， C（-1，-1) ， 以点C为位似中心，在x轴下方作把△ABC放大为原来的2倍的位似图形△A'B'C'，则点B'的坐标为（　　） A．（3， - 7) B．（5， - 7) C．（5， - 5) D．（2， - 5) 7．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点 O，AB=8，BC=12，点E在CD上，且DE=2，连接OE，并延长与AD的延长线相交于点 F，则 DF的长为 (　　) A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，在矩形 ABCD 中，点 在边 AD 上，连接 AC ， BE 交于点 .若 ， ，，则 FC 的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD为半径画弧，交AB于E，连结AC、DE交于F，若AB=6，EF：DF=2：3，则BC=（　　） A．5 B． C．4 D． 10．已知：如图，D，E，F，G分别是△ABC边上的点，满足DE∥AB，FG∥AC，DE 交FG 于点M.若 其中 则四边形 AGME 面积的最小值为 (　　) A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．若 则 　 　. 12． 如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， CD是边AB上的高， 则 的值是　 　. 13．如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2m至A点时，看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D，测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6m，竹竿CD长3m，则大树的高度EF为　 　 m． 14． 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=8，BC=4，点E在边AB上，AE=3，连接CE，且∠DCE=∠BCE.点F在BC的延长线上，连接DF.若DF=DC，则线段CF的长为　 　. 15．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在BC的延长线上，以CE为边，在CE上方构造正方形CEFG，连接AF与BF，分别交CD于点M和点N.若CE=1，则△MNF的面积是　 　. 16．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，已知∠AEB＝∠DFE＝∠BFE，且AB＝4，BC＝6，DE＝2，DF＝1，则BE的长为　 　． 三、解答题（共8题，共72分） 17．如图，矩形ABCD中，AC是对角线，请解决下列问题： （1）将△ABC绕点A旋转后，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，且点E在线段AC上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若AB=2，BC=4，EF与AD交于点G，求FG的长. 18． 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，的顶点和均为格点（格点的交点）.已知点A和的坐标分别为(-1，-3)和(2，6). ⑴在所给的网格图中描出边AB的中点，并写出D点的坐标； ⑵ 以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出. 19． 如图， 在 中，AD平分 ， E是AB上一点， 且. （1） 求证： （2） 若.AC=4，AD=6，BE=3， 求AE， BD 的长. 20．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽AB.如图，从B处沿与AB垂直的直线方向走45m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走20m到达D处，再右转90°走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得DE=32m. （1）求证： △ABC∽△EDC. （2）求河宽AB的长. 21．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠ADE=∠B. （1）求证：△ABD∽△ADE. （2）若AE=4，AB=9，且△ADE的面积为8，求△ABD的面积. 22．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F. （1）求证：DE-BF=EF； （2）若AB=2，BG=1，求线段EF的长. 23．如图，在正方形 ABCD中，点G是对角线BD上一点，CG的延长线交 AB于点E，交 DA的延长线于点 F，连接AG. （1） 求证： CG=AG； （2） 求证： （3） 若 求 EF的长. 24．在和中，，，，连接BD，CE. （1） 如图①将绕点A旋转，在旋转过程中，线段BD与CE总保持相等的数量关系，请说明理由. （2） 如图②，，，，把绕点A旋转，点P为射线BD与CE的交点，当E在BA延长线上时，求线段CP的长度（只求图中的情况）. （3） 在②的条件下，在旋转过程中，点P为射线BD与射线CE的交点，当四边形ADPE为正方形时，直接写出线段PB长度的值. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：点 、 分别是、 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴， 同理可证，， ∴， 由 ， ∴ ． 【分析】先根据三角形的中位线定理得到，根据面积比等于相似比的平方得到，同理得到，进而求出△ABC的面积即可． 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：C. 【分析】根据垂直得到，即可得到，然后根据对应边成比例解答即可． 3．【答案】D 【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴ ABBC=DEEF，即24=3EF ，解得EF=6. 故答案为：D. 【分析】根据平行线分线段成比例定理（两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例），得出比例式代入求值即可． 4．【答案】D 【解析】【解答】解：连接DE， 由作法得CD平分∠ACB， ∴∠ECD=∠FCD(角平分线的定义)， ∵EF垂直平分CD， ∴CE＝DE(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)， ∴∠ECD=∠EDC， ∴∠FCD=∠EDC， ∴DE//BC， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴DE=2， ∴CE=DE=2， ∴， ∴AE=4. 故答案为：D. 【分析】连接DE，首先根据尺规作图，可得出CD平分∠ACB，EF垂直平分CD，从而得出∠FCD=∠EDC，进而可得出DE∥BC，即可得出，进而，由已知线段可先求出DE的长，再进一步求出AE的长。 5．【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示， 五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形 故选：C. 【分析】位似图形是相似图形，位似比等于相似比，对应线段的比等于相似比. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可得：，且相似比为， ， ，， ，， ． 故答案为：C. 【分析】根据平面直角坐标系内位似图形的性质解答即可． 7．【答案】B 【解析】【解答】解：取中点，连接， 是中点，是中点， 是中位线，，，， ， ， ， 设，则，，， ， ， 解得：， ， ， ， ． 故答案为：B. 【分析】取中点，连接，根据平行四边形的性质得到ON是△ABD的中位线，即可求出ON和DN长，然后根据平行线得到，根据对应边成比例解答即可． 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵矩形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：C . 【分析】根据矩形的性质可得，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 9．【答案】C 【解析】【解答】解：由作图可得AD=AE， ∵ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD=BC，AB=CD=6， ∴△AEF∽△CDF， ∴AE：CD=EF：DE=2：3， ∴AE=4， ∴AD=BC=4， 故答案为：C. 【分析】根据作图和矩形的性质可得AD=AE=BC，AB∥CD，即可得到△AEF∽△CDF，根据对应边成比例求出AE长解答即可. 10．【答案】B 【解析】【解答】解： ，即 ​​​​​​​ ，即 当时，随着a的增大而增大 当时有最小值，最小值 故答案为： B. 【分析】先由三角形相似的预备定理可得，再由面积比等于相似比的平方可得DF与BF的比值，同理可得DF与DC的比值，即DC与BC的比值可得，再由三角形相似的预备可得，再结合已知可得，再利用割补法可得是关于a的二次函数，且二次项系数为正，则在对称轴的右侧随着a的增大而增大，再利用二次函数图象上点的坐标特征结合已知a的取值范围求出的最小值即可. 11．【答案】 【解析】【解答】解： 故答案为： 【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答. 12．【答案】 【解析】【解答】解：∵∠ACB=90° ∴∠ACD+∠BCD=90° ∵CD⊥AB ∴∠ACD+∠A=90° ∴∠BCD=∠A ∴△ACD~△CBD ∴ 设AD=1，则CD=2，BD=4，得AC= 又∵△ACD~△ABC ∴ ∴ 故填：. 【分析】由垂直产生的互余关系得∠BCD=∠A，有△ACD~△CBD，得CD：BD=1：2，设AD=1，则CD=2，AC=，由△ACD~△ABC可得相似比，即可得面积之比. 13．【答案】10 【解析】【解答】解：过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，如图所示： 则BH⊥CD， ∴∠BGD=∠BHF=90°， 由题意得，AB=CG=EH=1.6m，AC=BG=2m，CE=GH=10m， ∴BH=BG+GH=12m， ∵CD=3m， ∴DG=CD-CG=3-1.6=1.4m， ∵∠DBG=∠FBH， ∴△BDG∽△BFH， ∴， ∴， 解得：FH=8.4， ∴EF=FH+EH=10m， ∴大树的高度EF为10m， 故答案为：10. 【分析】过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，易得△BDG∽△BFH，由相似三角形的性质可得，进而即可得出结论. 14．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：如图， 延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90， ∵DF =DC， ∴CH=FH=CF， ∵AD//BC，B= 90， ∴∠B=∠GAE=90，∠B+ ∠BAD= 180° ， ∴∠B=∠BAD=∠BHD = 90°， ∴四边形ABHD是矩形， ∴AB=DH=8，AD= BH， ∵∠AEG= ∠BEC， ∴AEG△BEC ， ∴， ∴AB=8，AE=3， ∴BE=5， ∴， ∴AG=， ∵AD//BC， ∴∠G= ∠BCE， ∵∠DCE= ∠BEC， ∴∠G= ∠DCE， ∴CD=CG 设CH=FH=x，则AD=BH=4+x ∴CD=GD=4+x+=x+， 由勾股定理得CD2=CH2+DH2 ∴ 解得x= ∴CF=2CH= 故答案为：. 【分析】 延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90°，由三线合一的性质可得 CH=FH=CF，结合角度的和差运算可证明四边形ABHD是矩形，所以AB= DH=8，AD= BH，又∠AEG=∠BEC ，则可证AEG△BEC ，利用相似三角形的性质计算可得AG=，然后通过平行线的性质和等角对等边可得CD=GD，设CH=FH=x，则AD=BH=4+x，CD=GD=x+，最后通过勾股定理求出x的值即可解答. 15．【答案】 【解析】 【解答】解：如图，延长FG交AB于点R， ∵四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形 ∴AB∥CD∥EF，GF∥CE，∠E=90° ∴FR∥BE，BR∥EF ∴四边形BRFE是矩形 ∴FR⊥AB，FR=BC+CE=4 又∵CD∥AB ∴△FMN∽△FAB ∵ ∴ ∵ ∴. 故答案为：. 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及面积的计算.先利用正方形的性质求出△FAB底边AB上的高FR，计算△FAB的面积；再利用平行线判定三角形相似，计算相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解. 16．【答案】 【解析】【解答】解：延长、交于点，过点作于点， ∵四边形是平行四边形，∴，。 ∴，又∵，∴，∴。 ∵，∴。 又∵，∴，∴。 ∵，，∴，∴。 ∵，∴为的中点。 ∵，，∴，∴。 ∴。 在中，由勾股定理得： 。 在中，由勾股定理得： 。 ∵，∴，∴。 即，解得 故答案为： 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理。通过延长线段构造等腰三角形和相似三角形，利用等腰三角形三线合一求出相关线段长度，再结合勾股定理和相似三角形的性质计算的长。 17．【答案】（1）图形如图所示： （2）解：∵在矩形 中， ∴， 由（1）知， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】本题考查图形的旋转作图与相似三角形的判定及性质。 （1）作图时以A为圆心、AB长为半径画弧，与AC的交点即为点E，再以A为圆心、AC长为半径画弧，结合旋转角相等的特点确定点F的位置，连接EF即可得到旋转后的三角形； （2）先根据旋转的性质得到对应边、对应角相等，结合矩形的内角特征证明与相似，利用相似三角形对应边成比例求出EG的长度，再由EF与BC相等，通过线段差求出FG的长。 18．【答案】解：⑴如图所示，点 D 即为边AB 的中点，点 D的坐标为(-2，-1)； ⑵如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形. 【解析】【分析】（1）利用网格特点及矩形的对角线互相平分，可得到点D的位置，并写出点D的坐标.. （2）利用位似的定义，将△ABC以O为位似中心，将△ABC放大2倍，可得到点B、C的对称点，然后画出△A1B1C1即可. 19．【答案】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，即，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得：． 【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得到，即可得到、然后根据三角形外角得到，再结合，根据两角对应相等的两三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例求出；然后推理证明，根据对应边成比例解答即可． 20．【答案】（1）解：∵∠ABC=∠EDC=90°， ∠ACB=∠ECD， ∴△ABC∽△EDC （2）解：由(1)得△ABC∽△EDC， 即 ∴AB=72(m) 【解析】【分析】(1)根据相似三角形的判定定理即可得到结论； (2)根据相似三角形的性质即可得到结论. 21．【答案】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠DAE． 又∵∠ADE=∠B， ∴△ABD∽△ADE （2）解：∵△ABD∽△ADE ∴ ∴AD2=AB·AE=9×4=36 ∴AD=6 ∴ ∴S△ABD=18 【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义得到一组对应角相等，结合已知条件中的另一组对应角相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”即可证明； (2)利用相似三角形对应边成比例求出AD的长，再利用“相似三角形面积的比等于相似比的平方”这一性质，建立面积与边长的关系式，从而求出△ABD的面积. 22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠BAD=90°， ∵DE⊥AG，BF∥DE， ∴∠AED=∠BFA=90°， ∵∠BAD=90°， ∴∠DAE+∠BAF=90°， 在Rt△ABF中，∠ABF+∠BAF=90°， ∴∠DAE=∠ABF， 在△ADE和△BAF中， ∴△ADE≌△BAF（AAS）， ∴DE=AF，AE=BF， ∴AF=AE+EF， ∴DE=BF+EF， 即 （2）在 Rt△ABG 中，AB=2，BG=1， 由勾股定理得： AG===， ∵ △ABG 的面积可表示为： S△ABG=⋅AB⋅BG=⋅AG⋅BF ， 代入数据：×2×1=××BF 解得：BF=。 由（1）知 AE=BF=。 又 ∵ △ADE≅△BAF， ∴ DE=AF。 在 Rt△ADE 中，由 △ADE∼△GAB 得： DE=， ∴ AF=DE=， ∴ EF=AF−AE=−=。 ∴线段 EF 的长为。 【解析】【分析】（1）由正方形的性质（边相等、角为直角），结合垂直和平行关系，得到 ∠AED=∠BFA=90∘；再通过 “同角的余角相等” 得到 ∠DAE=∠ABF；最后利用 AAS 证明 △ADE≅△BAF，由全等三角形的对应边相等，结合线段和差关系，证得 DE−BF=EF。 （2）由勾股定理求出 AG 的长度；再利用三角形面积公式求出 BF（即 AE）的长度；结合（1）中的全等结论，求出 DE（即 AF）的长度；最后通过线段差 EF=AF−AE 计算出结果。 23．【答案】（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠CDB=∠ADB=45°， DC=DA， 在△CDG和△ADG中， ∴△CDG≌△ADG (SAS)， ∴CG=AG； （2）证明：∵四边形 ABCD是正方形， ∴∠CBE=∠FDC=90°， CB=CD=AB， CB∥DF， ∴∠BCE=∠DFC， ∴△BCE∽△DFC， 即 （3）解：∵ ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD∥AB， CD=AB， CB∥AD， ∴BE∥CD， ∴∠EBG=∠CDG， ∠BEG=∠DCG， ∴△BEG∽△DCG， 设 则CD=6x， ∵AF∥CB， ∴∠FAE=∠CBE， ∠AFE=∠BCE， ∴△AFE∽△BCE， ∴EF的长为 【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得到∠CDB=∠ADB=45°，DC=DA，证明△CDG≌△ADG(SAS)，根据全等三角形的性质即可得证； (2)根据正方形的性质得到∠CBE=∠FDC=90°，CB=CD=AB，CB//DF， 证明△BCE~△DFC，根据相似三角形的性质即可得证； (3)根据正方形的性质证明△BEG~△DCG，可得，设，则CD=6x，得到，再证明△AFE~△BCE，根据相似三角形的性质可得，代入数据求解即可. 24．【答案】（1）解：， ， ， ，， ， ； （2）解：，，， ， ， ， ， ， 又，，， ，， ， ； （3）解：，，， ， 为正方形，如图，当点P在线段BD上时， ， ； 当点P在BD的延长线上时， ； 综上所述，或. 【解析】【分析】(1)通过证明三角形全等得出线段相等关系； (2)先证明三角形相似，再利用相似三角形的性质求出线段长度； (3)根据正方形的性质，分点P在线段BD上和在线段BD延长线上两种情况，利用勾股定理求出PB的长度。 学科网（北京）股份有限公司 $