2.3 二次函数的图象与性质 第4课时 (课件) 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=a(x-h)²的图象与性质，课堂导入通过复习y=ax²+k的开口方向、顶点坐标等性质，以问题“y=a(x-h)²与y=ax²的关系”衔接，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于通过“操作·思考”让学生填表、画图探究函数关系，培养几何直观（数学眼光），归纳“左加右减”平移规律和性质，发展推理意识（数学思维），典例与练习结合提升模型应用能力（数学语言）。学生能主动建构知识，教师可高效落实教学目标。

第二章 二次函数 2.3 二次函数的图象与性质 鲁教版（五四制）九年级上册 第4课时 二次函数的图象与性质 y=ax2+k (a≠0) a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 极值 向上 向下 (0,k) (0 ,k) y轴 y轴 当x<0时， y随着x的增大而减小； 当x>0时， y随着x的增大而增大 当x<0时, y随着x的增大而增大； 当x>0时， y随着x的增大而减小 x=0时,y最小=k x=0时,y最大=k 抛物线y=ax2 +k (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到 复习导入 二次函数y=a(x-h)²的图象有什么特征?它与二次函数y=ax²的图象有什么关系?比如，二次函数y=2(x-1)²的图象与二次函数y=2x²的图象有什么关系? 3 画二次函数y=2(x-1)2的图象。 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y=2x2 y=2(x-1)2 （1）完成下表，你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系？ 这两个函数有什么不一样的地方? 32 32 32 18 18 18 8 8 8 2 2 2 0 0 50 8 18 2 操作·思考 4 x y O -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 8 6 4 2 -2 y=2(x-1)2 y=2x2 这两个函数的图象形状和开口方向相同 但是对称轴和顶点坐标不同 （2）在图中画出y=2(x-1)²的图象。你是怎么画的?与同伴进行交流。 （3）二次函数y=2(x-1)²的图象与二次函数y=2x²的图象有什么关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? （4）当x取哪些值时,y的值随着x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随着x值的增大而减小? 当x＞1时,y的值随着x值的增大而增大； 当x＜1时，y的值随着x值的增大而减小. 5 类似地，你能发现二次函数y=2(x+1)²的图象与二次函数y=2x²的图象有什么关系吗? 二次函数y=2x²，y=2(x-1)²，y=2(x+1)²的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同。将二次函数y=2x²的图象向右平移1个单位长度，就得到函数y=2(x-1)²的图象;将二次函数y=2x²的图象向左平移1个单位长度，就得到函数y=2(x+1)²的图象。 6 x y O -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 8 6 4 2 -2 y=2(x-1)2 y=2x2 函数y=2x2的图象和与y=2(x-1)2的图象的位置有什么关系？ 函数y=2(x-1)2的图象可由y=2x2的图象沿x轴向右平移一个单位长度得到 说出图象的开口方向对称轴和顶点坐标 x=1 抛物线 y=2(x-1)2 的开口向上，对称轴是经过点（1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记作直线x=1， 顶点是（1，0）． x y O -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 8 6 4 2 -2 y=2(x-1)2 y=2x2 y=2(x+1)2 二次函数y=2(x+1)2的图象与这两个函数的图象有什么关系？ 请在同一坐标系中作出y=2(x+1)2的图象. 尝试·思考 (1)二次函数y=-(x+1)²，y=-(x-2)²的图象分别与二次函数y=-x²的图象有什么关系？它们是轴对称图形吗?对称轴和顶点坐标分别是什么? (2)当x取哪些值时，函数y=-(x+1)²“的值随着x 值的增大而增大? 当x取哪些值时，函数y=-(x+1)²的值随着x值的增大而减小?函数y=-(x-2)²呢? 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y o -1 -2 -3 -4 -5 -10 x=-1 x=2 二次函数y=-(x+1)²，y=-(x-2)²的图象都是抛物线，它们与抛物线y=-x²的形状相同，只是位置不同。 将二次函数y=-x²的图象向左平移1个单位长度，就得到二次函数y=-(x+1)²的图象; 将二次函数y=-x²的图象向右平移2个单位长度，就得到二次函数y=-(x-2)²的图象。 归纳总结 顶点(0,0) 顶点(2,0) 直线x=－2 直线x=2 向右平移 2个单位 向左平移 2个单位 顶点(－2,0) 直线: x=0 向右平移 2个单位 向右平移 2个单位 向左平移 2个单位 向左平移 2个单位 左右平移规律： 左加右减 1.抛物线y=a(x-h)2的顶点是(h,0),对称轴是平行于y轴的直线x=h. 二次函数y=a(x-h)2的性质 2.当a>0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a<0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展. x=h x=h 归纳总结 思考·交流 二次函数y=a(x-h)²的图象是什么形状?其中的h对图象有什么影响?与同伴进行交流。 二次函数y=a(x-h)²的图象是抛物线，它的形状与二次函数y=ax²的图象形状相同，只是位置不同。将函数y=ax²的图象左右平移就可以得到函数y=a(x-h)²的图象。 3.当a>0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0). 当a<0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=h)的右侧,y随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值最大(是0). x=h x=h 二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=ax2整体沿x轴平移了 个单位(当h>0时,向右移了 个单位;当h<0时,向左移 个单位)得到的. 二次函数y=a(x-h)2的性质 归纳总结 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式． 典例精析 例 分析：y＝ax2向右平移3个单位后的关系式可表示为y＝a(x－3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a的值． 解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2， 把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ， ∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2. 课堂小结 探索y=a(x-h)2的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 直线x=h （h,0） a>0,开口向上 a<0,开口向下 y=ax2 平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变. 1. [济宁市兖州区模拟] 下列二次函数中，其图象的对称轴为 直线 的是( ) C A. B. C. D. 课堂练习 17 2. [北京市汇文中学模拟] 对于二次函数 ，下 列说法错误的是( ) B A. 它的图象的开口向下 B. 它的图象的对称轴是直线 C. 当时， 取最大值 D. 当时，随 的增大而减小 3. 已知二次函数，当时，随 的增大而 增大，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 18 4. [广东省东莞市模拟] 若抛物线 上有 三个点，，，则，， 的大 小关系为( ) B A. B. C. D. 19 【点拨】 , 抛物线开口向上，对 称轴为直线 , 越靠近对称轴的自变量所对应的函数值 越小. 抛物线上有三个点 , , , 且, , , , . 20 5. 在同一平面直角坐标系中,一次函数 和二次函数 的图象可能是( ) B A. B. C. D. 【点拨】 A.由抛物线可得, 由直线可得 , 矛盾， 故此选项错误；C.由抛物线可得, 由直线可得 , 矛 盾，故此选项错误；D.由抛物线可得 , 由直线可得 , 矛盾，故此选项错误.故选B. 21 6. 将抛物线平移可以得到抛物线 ， 平移的方法是( ) D A. 沿 轴向上平移5个单位长度 B. 沿 轴向下平移5个单位长度 C. 沿 轴向左平移5个单位长度 D. 沿 轴向右平移5个单位长度 22 7. 对于任意实数 ，抛物线 与抛物线 ( ) A A. 开口方向相同 B. 对称轴相同 C. 顶点相同 D. 都有最高点 8. 将抛物线 向右平移后所得新抛物线顶点的横坐标 为2,且新抛物线经过点,则 的值为___. 2 23 纠易错 因不能灵活运用平移规律而致错 9. 已知抛物线,若抛物线不动,把 轴向左平移2个单位 长度,那么在新坐标系中抛物线的表达式为________________. 本题易混淆平移的对象，看成抛物线平移而出错， 把 轴向左平移2个单位长度，即为抛物线向右平移2个单位 长度，故答案为 . . . 24 10. [山东省德州市模拟] 如图，四个二次函数 的图象分别对应的表达式是：① ； ②；③；④ ，则 ，，， 的大小关系为( ) A A. B. C. D. 25 【点拨】 题图中①②开口向上，③④开口向下， , ,,.又 ①的开口小于②的开口，④的开口小于 ③的开口，,, ,故选A. 26 11. 设函数，，直线 与函数，的图象分别交于点， ，则下列 选项，正确的是( ) C A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 27 12. 已知二次函数,当自变量 的值满足 时,与其对应的函数值的最大值为,则常数 的值 为( ) D A. 1或3 B. 或1 C. 3或5 D. 或5 28 【点拨】由 ,得函数图象开口向下,对称轴为 直线.由题意得，当时， 的最大值为0，故 或.当时，在中，随 的增大而减 小， 当时，的最大值为 ,解 得或（舍去）;当时，在中， 随 的增大而增大， 当时， 的最大值为 ,解得（舍去）或 .综上,常 数的值为 或5. 29 13. 如图,在平面直角坐标系中，点， 的坐标分别为 ，,连接.若函数 的图象与线段 有交点，则 的取值范围是_ __________. 30 【点拨】易知函数 的图象的对称轴 为直线，点，所在的直线为 .在 中,令,则 ,解得 ,.当时,;当时, , 即当时,抛物线右半部分与线段 有交点. 31 当时,;当时, ，即当 时,抛物线左半部分与线段 有交 点. 当时,该函数的图象与线段 有交 点. 14. 如图，直线交轴于点，交轴于点 ， 抛物线的顶点为，且经过点 . 33 （1）求抛物线对应的函数表达式； 【解】对于，当时， ； 当时，,, . 抛物线的顶点为， . 又 抛物线经过点 , ，解得 . 抛物线对应的函数表达式为 . 34 （2）若点在该抛物线上，求 的值； 点在抛物线 上, ，解得 , . 的值为1或 . 35 （3）请在抛物线的对称轴上找一点 ， 使的值最小，直接写出点 的 坐标. 点的坐标为 . 36 【点拨】如图，设点 关于对称轴直线 的对称点为， 点 的坐标为 .连接交对称轴直线 于 点,点 即为所求的点. 易知直线的函数表达式为 . 联立，得解得 故点的坐标为 . 37 $